兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)

1、兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)；電話07342518006湖南祁東育賢中學(xué) 周友良 421600衡陽(yáng)縣一中 劉亞明 一、內(nèi)容提要  1. 兩個(gè)平面的位置關(guān)系，同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系相類似，可以從有無(wú)公共點(diǎn)來(lái)區(qū)分。因此，空間不重合的兩個(gè)平面的位置關(guān)系有：  （1） 平行沒(méi)有公共點(diǎn)；  （2） 相交有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，且這些公共點(diǎn)的集合是一條直線。  注意：在作圖中，要表示兩個(gè)平面平行時(shí)，應(yīng)把表示這兩個(gè)平面的平行四邊形畫成對(duì)應(yīng)邊平行。  2. 兩個(gè)平面平行的判定定理表述為：    4. 兩個(gè)平面平行具有如下性質(zhì)：  （1）

2、兩個(gè)平行平面中,一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。        簡(jiǎn)述為：“若面面平行,則線面平行”。  （2） 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。        簡(jiǎn)述為：“若面面平行,則線線平行”。  （3） 如果兩個(gè)平行平面中一個(gè)垂直于一條直線，那么另一個(gè)也與這條直線垂直。  （4） 夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。二、要點(diǎn)內(nèi)容  1. 證明兩個(gè)平面平行的方法有：  （1）根

3、據(jù)定義。證明兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)。  由于兩個(gè)平面平行的定義是否定形式，所以直接判定兩個(gè)平面平行較困難，因此通常用反證法證明。  （2）根據(jù)判定定理。證明一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都與另一個(gè)平面平行。  （3）根據(jù)“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”，證明兩個(gè)平面都與同一條直線垂直。  2. 兩個(gè)平行平面的判定定理與性質(zhì)定理不僅都與直線和平面的平行有邏輯關(guān)系，而且也和直線與直線的平行有密切聯(lián)系。就是說(shuō)，一方面，平面與平面的平行要用線面、線線的平行來(lái)判定；另一方面，平面與平面平行的性質(zhì)定理又可看作平行線的判定定理。這樣，在一定條件下，線線平行、線面平行、面面平行

4、就可以互相轉(zhuǎn)化。  3. 兩個(gè)平行平面有無(wú)數(shù)條公垂線，它們都是互相平行的直線。夾在兩個(gè)平行平面之間的公垂線段相等。因此公垂線段的長(zhǎng)度是唯一的，把這公垂線段的長(zhǎng)度叫作兩個(gè)平行平面間的距離。顯然這個(gè)距離也等于其中一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的垂線段的長(zhǎng)度。  兩條異面直線的距離、平行于平面的直線和平面的距離、兩個(gè)平行平面間的距離，都?xì)w結(jié)為兩點(diǎn)之間的距離。三、例題分析例1. 如圖223：已知正方體ABCDA1B1C1D1，求證：平面AB1D1/平面BDC1。A1ABCDB1C1D1圖223解析：要證明兩個(gè)平面平行，由面面平行的判定定理知，須在某一平面內(nèi)尋找兩條相交且與另一平面平

5、行的直線證明:ABC1D1，C1D1A1B1，AD1/BC1AB A1B1，四邊形ABC1D1為平行四邊形，又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，BC1/平面AB1D1，同理，BD/平面AB1D1，又BDBC1B，平面AB1D1/平面BDC1。點(diǎn)評(píng):證面面平行，通常轉(zhuǎn)化為證線面平行，而證線面平行又轉(zhuǎn)化為證線線平行，所以關(guān)鍵是證線線平行。例2.如圖224：B為ACD所在平面外一點(diǎn)，M、N、G分別為ABC、ABD、BCD的重心，（1）求證：平面MNG/平面ACD；（2）求ABDCPHFMGN圖224解析：（1）要證明平面MNG/平面ACD，由于M、N、G分別為ABC、ABD、BCD的重心，

6、因此可想到利用重心的性質(zhì)找出與平面平行的直線。證明:連結(jié)BM、BN、BG并延長(zhǎng)交AC、AD、CD分別于P、F、H。M、N、G分別為ABC、ABD、BCD的重心，則有：連結(jié)PF、FH、PH有MNPF，又PF平面ACD，MN平面ACD。同理：MG平面ACD，MGMNM，平面MNG平面ACD（2）分析：因?yàn)镸NG所在的平面與ACD所在的平面相互平行，因此，求兩三角形的面積之比，實(shí)則求這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊之比。解：由（1）可知，MGPH，又PHAD，MGAD同理：NGAC，MNCD，MNGACD，其相似比為1：3，1：9點(diǎn)評(píng):立體幾何問(wèn)題，一般都是化成平面幾何問(wèn)題，所以要重視平面幾何。比如重心定理，三

7、角形的三邊中線交點(diǎn)叫做三角形有重心，到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍。例3. ABCDEFGH如圖：在正方體ABCDEFGH中，求證：平面AFH/平面BDG。解析：易證BD/平面AHF，BG/平面AHF，平面BDG/平面AHF。ABCDEFGH圖226RQSMNP例4如圖：在正方體ABCDEFGH中，M、N、P、Q、R、S分別是AE、EH、EF、CG、BC、CD的中點(diǎn)，求證：平面MNP/平面QRS。解析：先證明SR/BD，BD/HF,HF/NP, SR/平面MNP,再證RO/平面MNP，從而證明平面MNP/平面QRS例5. 如圖，正四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為2a，點(diǎn)P、Q分

8、別在BD和SC上，并且BPPD12，PQ平面SAD，求線段PQ的長(zhǎng).解析： 要求出PQ的長(zhǎng)，一般設(shè)法構(gòu)造三角形，使PQ為其一邊，然后通過(guò)解三角形的辦法去處理.作PMAD交CD于M連QM，PM平面SAD，PQ平面SAD.平面PQM平面SAD，而平面SCD分別與此兩平行平面相交于QM，SD.QMSD.BCa,SD2a.,MPa,.MQSDa,又PMQADS.cosPMQcosADS.在PMQ中由余弦定理得PQ2(a)2+(a)2-2·a·a·a2.PQa.評(píng)析：本題的關(guān)鍵是運(yùn)用面面平行的判定和性質(zhì)，結(jié)合平行線截比例線段定理，最后由余弦定理求得結(jié)果，綜合性較強(qiáng).例6.

9、已知：如圖，異面直線AB、CD和平面、分別交于A、B、C、D四點(diǎn)，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，求證：(1)E、F、G、H共面；(2)面EFGH平面.證明 (1)E、H分別是AB、DA的中點(diǎn)，EHBD.同理FGBD.FGEH.四邊形EFGH是平行四邊形，即E、F、H、G共面.(2)平面ABD和平面有一個(gè)公共點(diǎn)A，設(shè)兩平面交于過(guò)點(diǎn)A的直線AD， ADBD.又BDEH，EHBDAD.EH平面，EH平面，同理FG平面，F(xiàn)G平面.平面EFHG平面平面.例7. 如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1，求證：(1)平面AB1D1平面C1BD；(2)對(duì)角線A1C被平面AB1D1和平面C

10、1BD三等分.解析：本題若根據(jù)“一個(gè)平面內(nèi)兩條相交的直線分別與另一平面內(nèi)兩條相交的直線平行，則兩平面平行”是很容易解決論證平面AB1D1平面C1BD的，但兼顧考慮(2)的論證，(1)我們還是采用“兩平面垂直于同一直線則兩平面平行”的判定的方法.證：(1)連AC，BDAC，AC是A1C在底面上的射影，由三條垂線定理得A1CBD，同理可證A1CBC1.A1C平面C1BD，同理也能證得A1C平面AB1D1.平面AB1D1平面C1BD.(2)設(shè)A1到平面AB1D1的距離為h，正方體的棱長(zhǎng)為a，則有：h·(a)2a· a2.ha.同理C到平面C1BD的距離也為a，而A1Ca.故A1C

11、被兩平行平面三等分.評(píng)析：論證A1C被兩平行平面三等分，關(guān)鍵是求A1到平面AB1D1的距離，C到平面C1BD的距離，這里用三棱錐體積的代換，若不用體積代換，則可以在平面A1ACC1中去考慮：連A1C1，設(shè)A1C1B1D1O1，ACBD0，如圖連AO1，C1O，AC1，設(shè)AC1A1CK.A1CAO1M，C1OA1CN.可證M為A1AC1的重心，N為ACC1的重心，則可推知MNNCA1M.另外值得說(shuō)明的是：A1C是面AB1D1和面BC1D的公垂線.異面直線AD1和C1D的距離也等于MN.例8. 如圖，已知直線a平面；求證：過(guò)a有且只有一個(gè)平面平行于.證明 (1)存在性：設(shè)過(guò)a的平面與交于a，a，a

12、a.在上，設(shè)直線baA,在a上取點(diǎn)A，A與b確定平面，在上過(guò)A作bb.則a、b是相交直線(若重合，則顯然ba，矛盾).a,b確定平面，則.(2)唯一性：設(shè)過(guò)a還有一個(gè)平面，與有公共點(diǎn)A，與相交于過(guò)A的直線b，又a，b，bb,bb,而b與b都過(guò)點(diǎn)A，故重合，故與重合.例9.經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面和已知平面平行.已知：A，A，求證：是唯一的.證：設(shè)l過(guò)A點(diǎn)，且l，這樣的直線是唯一的.又，則l，過(guò)點(diǎn)A與平面的平面一定和l垂直.過(guò)點(diǎn)A和直線l垂直的平面是唯一的.過(guò)點(diǎn)A和平行的平面是唯一的.例10.一條直線和兩個(gè)平行平面相交，求證：它和兩個(gè)平面所成的角相等.已知：，直線a分別與和相交于點(diǎn)A和A.求證：a與所成的角與a與所成的角相等.解析：(1)當(dāng)a時(shí)，.即a與所成的角與a與所成的角都是直角.(2)當(dāng)a是的斜線時(shí)，如圖，設(shè)P是a上不同于A、A的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引a, aB,aB.連結(jié)AB和AB.a，a.由此可知，PAB是a和所成的角，PAB是a和所成的角，而ABAB.PABPAB即 a和所成的角等于a和所成的角.例11.a和b是兩條異面直線，求證：過(guò)a且平行b的平面必平行于過(guò)b且平行于a的平面.已知：a,b是異面直線，a，b,a,b.求證：.證：過(guò)b