上海交通大學(xué)線性代數(shù)期末考試題07081線代BA卷

1、卷第1頁共6頁線性代數(shù)考試題及答案設(shè)A (j)33的特征值為1,2, 3,Ai j則|A|T(A1A22A33)=21 .b.11a.66001a11a12a13已知P010 ,Aa21a22a23100a31a32a33單項(xiàng)選擇題（每題 3 分，共 18 分），若PmAPnA,1.2.是行列式| A |中元素ai j的代數(shù)余子式,11c.3d.6。則以下選項(xiàng)中正確的是a.mb.d.m 43. n 維向量s(3s n）線性無關(guān)的充要條件是a.存在不全為零的數(shù)k1, k2,ks，使k1 1k2 2ksb.s中任意兩個(gè)向量都線性無關(guān);c.s中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示;d.s中存在一個(gè)向

2、量，它不能用其余向量線性表示。4.設(shè)A，B是正定矩陣，則以下矩陣中,定是 正定矩陣為（其中k1,k2為任意常數(shù)）a.A+B；b.A B；c.A B；d.kiA+k?B5.已知矩陣a.a2 a，伴隨矩陣A0,且A x 0有非零解，則b.a 2或a 4；c.a 4；d.a 2且a6設(shè)，是非齊次線性方程組（E A）xb的兩個(gè)不同的解，則以下選項(xiàng)中一定是A對應(yīng)特征值的特征向量為A_卷第2頁共6頁卷第3頁共6頁X有特征值 6, 2, 2，且A能相似于對角陣，則5條件為k_111111.設(shè)Aa1a2a3,b1，其中ai互不相同，i1,2,3,222a1a2a31則線性方程組ATXb的解是_2 2 212.

3、若實(shí)二次型f (X1,X2, X3) X12X1X2+2X24X3為正定二次型則 的取值范圍為_三計(jì)算題（每題 8 分，共 48 分）X1X2Xn 1XnyX1X2Xn 1yXn13 .計(jì)算n階行列式：DX1X2yXn 1XnX1yX2Xn 1XnXiX2114.已知線性方程組XiX31,x1ax2x3ba.b.c.；d.。7.填空題（每題設(shè)行列式D3 分，18 分)3,Aij是D中元素aij的代數(shù)余子式，則i 13Ajj 1設(shè)A是實(shí)對稱可逆矩陣,則將TT 1X AX化為f YAY的線性變換為10.已知0是n維實(shí)列向量，矩陣A E kT,k為非零常數(shù)，則A為正交矩陣的充分必要9. 設(shè)矩陣A 2

4、A_卷第4頁共6頁(1)試問：常數(shù)a,b取何值時(shí)，方程組有無窮多解、唯一解、無解?(2 )當(dāng)方程組有無窮多解時(shí)，求出其通解。1 1a115.設(shè)A1 a11，已知線性方程組Ax有解但不唯一。試求a 112(1)a的值；(2)正交矩陣Q,使得QTAQ為對角矩陣。卷第5頁共6頁1000*01001 116 設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A，且ABA1BA13E。求矩陣B。10100308317 .已知線性空間R的基1,2,3到基1,10110，21，32102試求：(1)基1，2，3；(2)在基1,2，3的過渡矩陣為P，且22 1；P 32 243 02,3與1,2,3下有相同坐標(biāo)的全體向量。A_卷第6頁共6頁

5、四證明題(每題 8 分，共 16 分)19設(shè)A為n階矩陣，已知秩r(A) r(A2)。試證：(1)線性方程組Ax 0,A2x 0同解；(2)r(A) r(A3)。218設(shè)A為三階實(shí)對稱矩陣，且滿足A A 2E 0已知A對應(yīng)特征值1的特征向量有o,1 ,oTT1，0,1試求：矩陣A，An。其中n為自然數(shù)。卷第7頁共6頁20設(shè)i,2,3是n維非零實(shí)向量，ki ik2 2,ki,k2為使得0的任意常數(shù)。以下結(jié)論若正確，請證明；若不正確，請舉出反例。(1)若3與1正父，且3與2也正父，則3與 正父。(2)若3與1線性無關(guān)，且3與2也線性無關(guān)，則3與 線性無關(guān)。參考答案(線代)選擇題b d c a d

6、b填空題7. 11;8.X A1Y;9.x 2；10.k2.2 ；11.1 00T；12.( 2、2)。三計(jì)算題n(n 1)n13.D (1)Fyn1(yxj。i 1A_卷第8頁共6頁110114.(1)A01100a 20 b 1a 2, b1無窮多解；a 2唯一解；a2, b1無解（4 分）X111(2)X20k 1 , k R（8 分）X30115解：（1）方程組AX有解但不唯一， 所以r（A）r(A)3, 故a2。(2 分)（2）特征值為13,23,30。（4 分）16由| A | | A|n 1，有| A|38，得| A|用A*,A左右乘方程的兩端，得（2E1000* 10100B

7、6(2E A )6101003062。（2 分）*A )B6E（4 分）160000600（8 分）60600301(8 分)300QTAQ03000031 31 31 62 61 6A(1,2,3)，B(1,2,3）,則B AP，故651111，28，3-2;(2 分)108117. (1)設(shè)APx，即A(P E)x 0，因?yàn)锳為可逆矩陣，得(PE)x 0，由1 211 0 1(P E) 3120 1 14 310 0 0（2）設(shè)所求向量的坐標(biāo)為 x，則Ax(4 分)A_卷第9頁共6頁A_卷第10頁共6頁得xk(1, 1,1)T,(6 分)故k(123)k(2,1,3)T(8 分)18.(A E)(A2E)0,特征值1、1、 -2,(2 分)An四證明題19.證:(1)特征向量(1,0,1)T,(4 分)0-1(6 分)002)2)n02)n(2)n0(2)n(8 分)2因?yàn)锳XA(Ax)0，所以Ax0的解都是A2X20的解，又r(A) r(A ),故它們的解空間相同，因此它們同解。 A3XA(A2X) 0,所以A2X0的解都是A3X0的解。反之,若存在0，使A30，但A20。則由32A3X