傅里葉變換和拉普拉斯變換

1、附錄 A 傅里葉變換和拉普拉斯變換傅里葉變換(簡稱傅氏變換 和拉普拉斯變換(簡稱拉氏變換 , 是工程實(shí)際中用來求解線性常微分方程的簡便工具; 同時(shí), 也是建立系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域和頻率域的數(shù)學(xué)模型傳遞函 數(shù)和頻率特性的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。傅氏變換和拉氏變換有其內(nèi)在的聯(lián)系。但一般來說,對(duì)一個(gè)函數(shù)進(jìn)行傅氏變換,要求它 滿足的條件較高,因此有些函數(shù)就不能進(jìn)行傅氏變換,而拉氏變換就比傅氏變換易于實(shí)現(xiàn), 所以拉氏變換的應(yīng)用更為廣泛。1. 傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)(簡稱傅氏級(jí)數(shù)是由正弦和余弦項(xiàng)組成的三角級(jí)數(shù)。 周期為 T 的任一周期函數(shù) ( f t ,若滿足下列狄里赫萊條件: 1 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn);2

2、在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極大值和極小值; 3 積分/2/2( T T f t -存在,則 ( f t 可展開為如下的傅氏級(jí)數(shù):011( (cos sin (1 2nn n f t a an t b n t A =+-式中系數(shù) n a 和 n b 由下式給出:/2/2/2/22( cos ; 0,1, 2, , (22( sin ;1, 2, , (3T n T T n T a f t n tdt n A T b f t n tdt n A T-=-=-式中 2/T =稱為角頻率。周期函數(shù) ( f t 的傅氏級(jí)數(shù)還可以寫為復(fù)數(shù)形式(或指數(shù)形式 :( (4 jn tn n f t eA =-=-式中

3、系數(shù)/2/21( (5 T jn tn T f t edt A T-=-如果周期函數(shù) ( f t 具有某種對(duì)稱性質(zhì), 如為偶函數(shù)、 奇函數(shù), 或只有奇次或偶次諧波, 則傅氏級(jí)數(shù)中的某些項(xiàng)為零, 系數(shù)公式可以簡化。 表 1A -列出了具有幾種對(duì)稱性質(zhì)的周期函數(shù) ( f t 的傅氏級(jí)數(shù)簡化結(jié)果。1. 用復(fù)數(shù)形式進(jìn)行周期函數(shù) ( f t 傅氏級(jí)數(shù)展開并求導(dǎo)01010100/20/2/2/21( (cos sin 21( 2221(2221, , ,2221( ,1(cossin nn n in tin tin tin tnn n in tin tn nn nn n nn nn n T T T T n

4、 T T f t a an t b n t ee ee a a b i a ib a ib a eea ib a ib c a c d c f t dt T c f t n t i T =-=-=-=+-=+-+=+-+=-令 /2in t/2/2/2in t/2/2in t/2in t/21( 11(cossin ( (1, 2, ( 1( T T T T T n T T T T n n n n T n T n t dt f t edtT d f t n t i n t dt f t edtTTn c f t c e c f t edtT-+=-=+=其 中 ,例 1A - 試求圖 1A -

5、所示周期方波的傅氏級(jí)數(shù)展開式。 解 首先寫出方波在一個(gè)周內(nèi)的數(shù)學(xué)表達(dá)式0, 24( , 440, 42T T t T T f t A t T T t -<<-=-<<<<表 1A - 周期函數(shù) ( f t 的對(duì)稱性質(zhì) 因?yàn)?( ( f t f t =-,為偶函數(shù),故只需計(jì)算系數(shù) n a 。由表 1A - 有 /4/40442( cos cos sin(2T T n A n a f t n tdt A n tdt TTn =依次取 0,1, 2,3, n = 計(jì)算,得012345, 2/, 0, (2/3, 0, 2/5, a A a A a a A a a

6、A =-=其中 0a 是應(yīng)用羅必達(dá)法則求得的。由式 (1 A -可求出方波的傅氏級(jí)數(shù)展開式為 211( (coscos 3cos 5 235A Af t t t t =+-+-上述表明, 方波可以分解為各種頻率的諧波分量。 換句話說, 用不同頻率的諧波合成可以得 到方波。 圖 A-1 周期方波2. 傅里葉積分和傅里葉變換任一周期函數(shù),只要滿足狄里赫萊條件,便可以展開為傅氏級(jí)數(shù)。對(duì)于非周期函數(shù) 因?yàn)槠渲芷?T 趨于無窮大,不能直接用傅氏級(jí)數(shù)展開式,而要做某些修改,這樣就引出了傅里葉積分式。若 ( f t 為非周期函數(shù), 則可視它為周期 T 趨于無窮大, 角頻率 0(2/ T = 趨于 零的周期函

7、數(shù)。 這時(shí), 在傅氏級(jí)數(shù)展開式 (1 (5 A A - 中, 各個(gè)相鄰的諧波頻率 之差 000(1 n n =+-=便很小,諧波頻率 0須用一個(gè)變量 代替(注意, 此處 不同于式 (1 A -中的角頻率 。這樣,式 (4 A -和式 (5 A -可改寫為/2/2( (6( (72j tT j tT f t eA f t e dt A =-=-=-將式 (7 A -代入式 (6 A -,得/2/2/2/2( ( 21( 2T j tj tT T j t j t T f t f t edt e f t e dt e -=-=-=當(dāng) T 時(shí), d ,求和式變?yōu)榉e分式,上式可寫為1( ( (8 2j

8、t j t f t f t e dt e d A -=-式 (8 A -是非周期函數(shù) ( f t 的傅里葉積分形式之一。在式 (8 A -中,若令 ( (9j tF f t e dt A -=-則式 (8 A -可寫為1( ( (102j tf t F e d A -=-式 (9 A -和式 (10 A -給出的兩個(gè)積分式稱為傅里葉 (簡稱傅氏 變換對(duì), ( F 稱 為 ( f t 的傅氏變換,記為 ( ? ( F f t =,而 ( f t 稱為 ( F 的傅氏反變換,記為( ? ( f t F =。非周期函數(shù) ( f t 必須滿足狄里赫萊條件才可進(jìn)行傅氏變換,而且狄里赫萊的第三條件 這時(shí)應(yīng)

9、修改為積分( f t dt -存在。例 A-2 求圖 A-2方波的傅氏變換。 -圖 A-2 方波圖 A-3 方波的頻譜解 圖 A-2方波可用下式表示:,0( 0, A a a f t t a t a-<<=><-顯然, ( f t 不是周期函數(shù)。由式(A-9得2( ( s i n a j tjtaA F f t ed t A ea-=頻譜函數(shù) ( F 的模 ( F 稱為頻譜, 方波的頻譜 ( 2sin /F A a =, 它與頻率 的關(guān)系曲線見圖 A-3。工程技術(shù)上常用傅里葉方法分析線性系統(tǒng),因?yàn)槿魏沃芷诤瘮?shù)都可展開為含有許多正弦 分量或余弦分量的傅氏級(jí)數(shù), 而任何非周

10、期函數(shù)都可表示為傅氏積分, 從而可將一個(gè)時(shí)間域 的函數(shù)變換為頻率域的函數(shù)。 在我們研究輸入為非正弦函數(shù)的線性系統(tǒng)時(shí), 應(yīng)用傅氏級(jí)數(shù)和 傅氏變換的這個(gè)性質(zhì), 可以通過系統(tǒng)對(duì)各種頻率正弦波的響應(yīng)特性來了解系統(tǒng)對(duì)非正弦輸入 的響應(yīng)特性。研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的頻率域方法,就是建立在這個(gè)基礎(chǔ)之上的。3. 拉普拉斯變換工程實(shí)踐中常用的一些函數(shù),如階躍函數(shù),它們往往不能滿足傅氏變換的條件,如果對(duì)這種函數(shù)稍加處理,一般都能進(jìn)行傅氏變換,于是就引入了拉普拉斯變換,簡稱拉氏 變換。例如,對(duì)于單位階躍函數(shù) ( 1( f t t =的傅氏變換,由式 (9 A -可求得為0( ? ( ( 1(sincos j tj tF

11、f t f t edt edtt j t -=+顯然, ( F 無法計(jì)算出來,這是因?yàn)閱挝浑A躍函數(shù)不滿足狄里赫萊第三條件,即( f t -不存在。為了解決這個(gè)困難,我們用指數(shù)衰減函數(shù) 1( te t -代替 1( t ,因?yàn)楫?dāng) 0時(shí),1( tet -趨于 1( t 。 1( tet -可用下式表示為, 0(0 1( 0,tte t e t t ->>=<用這個(gè)函數(shù)代入式 (9 A -,求得它的傅氏變換為1( ? 1( 1( ttj ttj tF et et edt eedt j -=+上式說明, 單位階躍函數(shù)乘以因子 te-后, 便可以進(jìn)行傅氏變換, 這時(shí), 由于進(jìn)行變換的函

12、數(shù)已經(jīng)過處理,而且只考慮 0t >的時(shí)間區(qū)間,因此稱之為單邊廣義傅里葉變換。對(duì)于任意函數(shù) ( f t ,如果不滿足狄里赫萊第三條件,一般是因?yàn)楫?dāng) t 時(shí), ( f t 衰減太慢。 仿照單位階躍函數(shù)的處理方法, 也用因子 (0 te ->乘以 ( f t , 則當(dāng) t 時(shí),衰減函數(shù)快得多。通常把 te-叫做收斂因子。但由于它在 t -時(shí)起相反作用,為此,假設(shè) 0t <時(shí), ( 0f t =。這個(gè)假設(shè)在實(shí)際上是可以做到的,因?yàn)槲覀兛偪梢园淹庾?用加到系統(tǒng)上的開始瞬間選為 0t =,而 0t <時(shí)的行為,即外作用加到系統(tǒng)之前的行為,可以在初始條件內(nèi)考慮。這樣,我們對(duì)函數(shù) (

13、f t 的研究,就變?yōu)樵跁r(shí)間 0t =區(qū)間 對(duì)函數(shù) ( tf t e-的研究, 并稱之為 ( f t 的廣義函數(shù), 它的傅里葉變換為單邊傅氏變換, 即( 0( ( ( tj tj tF f t eedt f t edt -+=若令 s j =+,則上式可寫為( ( (11 sts F F s f t e dtA j-=-而 ( F 的傅氏反變換則由式 (10 A -有 1( ? ( ( 2tjtf t eF F e d -=等式兩邊同乘以 te ,得 ( 1( ( 2j tf t F ed +-=以 s j =+代之,可得1( ( (12 2j stj f t F s e dsA +-=-在式

14、 (11 A -和式 (12 A -中, s j =+是復(fù)數(shù),只要其實(shí)部 0>足夠大,式(12 A -的積分就存在。 式 (11 A -和式 (12 A -的兩個(gè)積分式稱為拉氏變換對(duì)。( F s 叫做 ( f t 的拉氏變換,也稱象函數(shù),記為 ( ( F s f t =; ( f t 叫做 ( F s 的拉氏反 變換,也稱原函數(shù),記為 1( ( f t F s -=。例 A-3 求正弦函數(shù) ( sin f t t =的拉氏變換。解 由歐拉公式1s i n(2j tj tt e ej-=- 計(jì)及式 (11 A -可得0221( sin sin ( 21112stj tj tstF s t

15、te dt eee dtjj s j s j s -=-=-=-+例 A-4 求單位脈沖函數(shù) ( t 的拉氏變換。 解 將 00( ( lim 1( 1( /t f t t t t t t=-代入式 (11 A -,可得0000000000001(lim1( 1( /1lim1( 1( /11/lim1lim1/stt stt t st st t t t t t t edt t t t t t edt t d edt et sdt s dt -=-=-=-=因此,單位脈沖函數(shù) ( t 的拉氏變換為1。 顯然,強(qiáng)度為 A 的脈沖函數(shù) ( A t 的拉氏變換就等于它的強(qiáng)度 A ,即 (A t A

16、=。4. 拉普拉斯變換的積分下限拉氏變換定義式中, 積分下限為零, 但有 0的右極限 0+和 0的左極限 0-之分。 對(duì)于 在 0t =處連續(xù)或只有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù), 0+型和 0-型的拉氏變換是相同的;對(duì)于 在 0t =處有無窮跳躍的函數(shù),例如單位脈沖函數(shù)(函數(shù) ,兩種變換的結(jié)果不一致。函數(shù)脈沖面積為 1,在瞬時(shí)出現(xiàn)無窮跳躍的特殊函數(shù),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 0, 0( ,t t t =且有( 1t dt -=取 ( t 的 0+型拉氏變換 0( 0stt e dt +-=而 ( t 的 0-型拉氏變換0000( ( ( 1s ts ts tt ed tt e d tt e d t +-+-=+=

17、 實(shí)質(zhì)上, 0+型拉氏變換并沒有反映出 函數(shù)在 0, 0-+區(qū)間內(nèi)的跳躍特性,而 0-型拉氏變換則包含了這一區(qū)間。因此, 0-型拉氏變換反映了客觀實(shí)際情況。在拉氏變換過 程中,若不特別指出是 0+或 0-,均認(rèn)是 0-型變換。5. 拉普拉斯變換定理常用的拉氏變換定理匯列如下,以供查閱。(1線性性質(zhì)設(shè) 1122( (,( (,b F s f t F s f t a =和 為常數(shù),則有121212( ( ( af t bf t a f t b f t aF s bF s +=+=+(2微分定理設(shè) ( (F s f t =,則有( ( (0df t sF s f dt =-式中 (0f 是函數(shù) (

18、f t 在 0t =時(shí)的值。 證明 由式 (11 A -有( ( stdf tdf t dt dtdt-=用分部積分法,令 ( , stdf t u edv dt dt-=,則00( ( ( (0st stdf t e f t s f t e dt sF s f dt -=+=- 同理,函數(shù) ( f t 的高階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為222322312(1( ( (0(0( ( (0(0(0( ( (0(0(0nn n n n n d f t s F s sf f dt d f t s F s s f sf f dt d f t s F s s f s f f dt -=-+=-+=-+式中 (1(0

19、,(0,(0, (0n f ff f - 為 ( f t 及其各階導(dǎo)數(shù)在 0t =時(shí)的值。顯然, 如果原函數(shù) ( f t 及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值都等于零, 則原函數(shù) ( f t 的 n 階導(dǎo) 數(shù)的拉氏變換就等于其象函數(shù) ( F s 乘以 ns ,即( ( nnn d f t s F s dt =(3積分定理設(shè) ( (F s f t =,則有 111( ( (0f t dt F s fs s-=+式中 1(0f-是 ( f t dt 在 0t =時(shí)的值。證明 由式 (11 A -有( ( stdf t df t dt dt dt -=用分部積分法,令 ( , stdf t u edv dt dt-

20、=,則有111( ( ( 11(0(st stf t dt e f t dtf t e dts sfF s s s-=-+=+同理,對(duì)于 ( f t 的多重積分的拉氏變換,有2(1(222(1(111( ( (0(0111( ( (0(0nn n n n f t dt F s f fs ssf t dt F s ffss s-=+=+式 中 (1(2(0 , (0 (0 n fff- 為 ( f t 的 各 重 積 分 在 0t =時(shí) 的 值 。 如 果(1(2(0 (0 (0 0, n fff-= 則有1( ( (nn n f t dt F s s = 即原函數(shù) ( f t 的 n 重積分的

21、拉氏變換等于其象函數(shù) ( F s 除以 ns 。 (4初值定理若函數(shù)及其一介導(dǎo)數(shù)都是拉氏可變換的,則函數(shù) ( f t 的初值為 (0 l i m (l i m (t o s f f t s F s += 即原函數(shù) ( f t 在自變量趨于零 (從正項(xiàng)趨于零 時(shí)的極限值, 取決于其象函數(shù) ( F s 在 自變量趨于無窮大時(shí)的極限值。證明 由微分定理,有( ( (0stdf t dt sF s f dt-=-令 s , 對(duì)等式兩邊取極限,得 0( limlim ( (0sts s df t dt sF s f dt-=-在 0t +<<的時(shí)間區(qū)間,當(dāng) s 時(shí), ste -趨于零,因此等

22、式左邊為00( ( limlim 0ststs s df t df t dt e dt dtdt+-=于是lim ( (0 0s sF s f +-=即0(0 l i m (l i m (t s f f t sf s += 式中 (0 f +表示 ( f t 在 0t =右極限時(shí)的值。(5終值定理若函數(shù) ( f t 及其一介導(dǎo)數(shù)都是拉氏可變換的,則函數(shù) ( f t 的終值為l i m ( l i m (t s f t sF s =即原函數(shù) ( f t 在自變量趨于無窮大時(shí)的極限值,取決于象函數(shù) ( F s 在自變量趨于零時(shí)的 極限值。證明 由微分定理,有( ( (0stdf t dt sF s

23、 f dt-=-令 0s ,對(duì)等式兩邊取極限,得 0( limlim( (0sts s df t dt sF s f dt-=-等式左邊為( ( limlim ( lim( lim( (0ststs s t t t df t df t dt e dtdtdtdf t df t f t f -=-于是l i m (l i m (t s f t sF s = 注意,當(dāng) ( f t 是周期函數(shù),如正弦函數(shù) sin t 時(shí),由于它沒有終值,故終值定理不適 用。(6位移定理設(shè) ( (F s f t =, 則有00( ( sf t e F s-= 和( ( ate f t F s =- 它們分別表示實(shí)域中

24、的位移定理和復(fù)域中的位移定理。證明 由式 (A-11 得000( stf t f t e dt -=-令 0t -=,則有000(0( ( ( s ss sf t f ed ef ed eF s -+-=上式表示實(shí)域中的位移定理,即當(dāng)原函數(shù) ( f t 沿時(shí)間軸平移 0時(shí),相應(yīng)于其象函數(shù)( F s 乘以 0se-。同樣,由式 (A-11有( 0( ( ( tt sts te f t e f t e dt f t edt F s -=-上式表示復(fù)域中的位移定理, 即當(dāng)象函數(shù) ( F s 的自變量 s 位移 時(shí), 相應(yīng)于其原函數(shù) ( f t 乘以 te 。位移定理在工程上很有用,可方便地求一些復(fù)雜

25、函數(shù)的拉氏變換,例如由 22sint s =+可直接求得22sin ( te t s -=+(7相似定理設(shè) ( (F s f t =,則有( t f aF as a = 式中 a 為實(shí)常數(shù)。上式表示, 原函數(shù) ( f t 自變量 t 的比例尺改變時(shí) (見圖 A-4 , 其象函數(shù) ( F s 具有類似的形式。 ,圖 A-4 函數(shù) (, (2, (/2 f t f t f t證明 由式 (A-11 ,有stt t f f e dt a a -= 令 /t a =,則有( ( a s tt f a f e d a F a sa -= (8卷積定理設(shè) 1122( (,( (F s f t F s f

26、t =,則有 12120( ( ( ( tF s F s f t f d =-式中120( ( t f t f d -叫做和的卷積,可寫為 12( ( f t f t *。因此,上式表示,兩個(gè)原函數(shù)的卷積相當(dāng)于它們象函數(shù)的乘積。 證明 由式 (A-11 ,有 1212000( ( ( ( ttst f t f d f t f d e dt -=- 為了變積分限為 0到 ,引入單位階躍函數(shù) 1( t -,即有110,(1( (,t f t t f t t <-=->因此 12120( ( (1( ( t f t f d f t t f d -=-所以1212002100210( (

27、(1( ( ( (1( ( ( tstststf t f d f t t f d e dtf d f t t e dt f d f t e dt-=-=-=-令 t -=,可得12210021210( ( ( ( ( ( ( ( ts s s s f t f d f d f eed f ed f ed F s F s -=表 A-2簡要列出拉氏變換的基本特性,表 A-3列出常用函數(shù)的拉氏變換式,可供查用。表 A-2 拉普拉斯變換的基本特性 6. 拉普拉斯反變換由象函數(shù) ( F s 求原函數(shù) ( f t ,可根據(jù)式(A-12拉氏反變換公式計(jì)算。對(duì)于簡單 的象函數(shù),可直接應(yīng)用拉氏變換對(duì)照表 A-3

28、,查出相應(yīng)的原函數(shù)。工程實(shí)踐中,求復(fù)雜 象函數(shù)的原函數(shù)時(shí),通常先用部分分式展開法(也稱海維賽德展開定理將復(fù)雜函數(shù)展 成簡單函數(shù)的和,再應(yīng)用拉氏變換對(duì)照表。表 A-3 常用函數(shù)拉普拉斯變換對(duì)照表 一般, 象函數(shù) ( F s 是復(fù)變數(shù) s 的有理代數(shù)分式, 即 ( F s 可表示為如下兩個(gè) s 多項(xiàng) 式比的形式:1011111( ( (m m m mnn n nB s b s b s b s b F s A s s a sa s a -+=+式中,系數(shù) 1201, , , , , , , n m a a a b b b 都是實(shí)常數(shù); , m n 是正整數(shù),通常 m n <。為了將( F s

29、寫為部分分式形式,首先把 ( F s 的分母因式分解,則有101112( ( ( (m m m mn B s b s b sb s b F s A s s s s s s s -+=-式中, 12, , , n s s s 是 ( 0A s =的根,稱為 ( F s 的極點(diǎn)。按照這些根的性質(zhì),分以下兩 種情況研究。(1 ( 0A s =無重根這時(shí), ( F s 可展開為 n 個(gè)簡單的部分分式之和,每個(gè)部分分式都除以 ( A s 的一個(gè)因 式作為其分母,即12112( (13 ni n ii inic c c c c F s A s s s s s s s s s s=+=-式中, i c 為待

30、定常數(shù),稱為 ( F s 在極點(diǎn) i s 處的留數(shù),可按下式計(jì)算 :l i m ( ( (14ii i s s c s s Fs A =-或( (15 ( ii s s B s c A As =-式中, ( A s 為 ( As 對(duì) s 求一介導(dǎo)數(shù)。 根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì),從 (13 A -式可求得原函數(shù)1111( (16 i n ns ti ii i i c f t f s c eA s s -=-上述表明,有理代數(shù)分式函數(shù)的拉氏反變換,可表示為若干指數(shù)項(xiàng)之和。 例 A-5 求 22( 43s F s s s +=+的原函數(shù) .解 將 ( F s 的分母因式分解為243(1 (3 s s

31、s s +=+ 則12222( 43(1(313s s c c F s s s s s s s +=+按式 (14 A -計(jì)算,得11123121lim (1 ( lim3221lim (3 ( lim12s s s s s c s F s s s c s F s s -+=+=+=+=+因此,由式 (16 A -可求得原函數(shù)31( ( 2t tf t e e-=+例 A-6 求 23( 22s F s s s -=+的原函數(shù) ( f t 。解 將 ( F s 的分母因式分解為s 2 + 2 s + 2 = ( s + 1 j ( s + 1 + j 本例 F ( s 的極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，仍

32、可用式 ( A 16 求原函數(shù)。因此， F ( s 可寫為 F ( s = s3 s3 = s 2 + 2 s + 2 ( s + 1 j ( s + 1 + j c1 c2 = + s +1 j s +1+ j 式中 s3 4 + j = s +1+ j 2j s3 4 j c2 = slimj ( s + 1 + j F ( s = slimj = 1 1 s +1 j 2j c1 = slim( s + 1 j F ( s = slimj 1+ j 1+ 所以，原函數(shù) f (t = c1e( 1+ j t + c2 e( 1 j t = e t (cos t 4sin t 如果原函數(shù) F

33、 ( s 的分母是 s 的二次多項(xiàng)式，可將分母配成二項(xiàng)平方和的形式，并作為 一個(gè)整體來求原函數(shù)。對(duì)于本例的 F ( s 可寫為 F ( s = s 3 s3 s +1 4 = = 2 2 s + 2 s + 2 ( s + 1 + 1 ( s + 1 + 1 ( s + 1 2 + 1 2 應(yīng)用位移定理并查拉氏變換對(duì)照表 A-3，原函數(shù)求得為 s +1 t 4 f (t =1 = e (cos t 4sin t ( s + 1 2 + 1 ( s + 1 2 + 1 （2） A( s = 0 有重根 設(shè) A( s = 0 有 r 個(gè)重根 s1 ，則 F ( s 可寫為 F ( s = B( s ( s s1 ( s sr +1 L( s sn r = 式中， cr cr 1 c c c + + L + 1 + r +