第四節(jié)：冪級數(shù)ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念一、函數(shù)項級數(shù)的概念)(, )(, )(21xuxuxun稱為定義在稱為定義在 U 上的函數(shù)項無窮級數(shù)，上的函數(shù)項無窮級數(shù)，（1）簡稱級數(shù)。簡稱級數(shù)。 10)(nnxu )()()(00201xuxuxun（2）對于每一個確定的對于每一個確定的（2即為一常數(shù)項級數(shù)。即為一常數(shù)項級數(shù)?？紤]區(qū)間考慮區(qū)間 U 上的一個函數(shù)序列上的一個函數(shù)序列 )()()(21xuxuxun 1)(nnxu,0Ux 代入代入1式得式得（1） 10)(nnxu )()()(00201xuxuxun（2）對于每一個確定的對于每一個確定的 )()()(21xuxuxun 1)(

2、nnxu,0Ux 代入代入1式得式得假設(shè)假設(shè)2收斂，則稱收斂，則稱0 x為函數(shù)項級數(shù)為函數(shù)項級數(shù)1的收斂點(diǎn)，的收斂點(diǎn)，假設(shè)假設(shè)2發(fā)散，則稱發(fā)散，則稱0 x為函數(shù)項級數(shù)為函數(shù)項級數(shù)1的發(fā)散點(diǎn)，的發(fā)散點(diǎn)，所有收斂點(diǎn)的全體稱為所有收斂點(diǎn)的全體稱為1的收斂域，記為的收斂域，記為, I散點(diǎn)的全體稱為散點(diǎn)的全體稱為1的發(fā)散域，記為的發(fā)散域，記為, I, IIU 所有發(fā)所有發(fā), Ix 常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù) 1)(nnxu都收斂，都收斂，其和記為其和記為)(xs（1） )()()(21xuxuxun 1)(nnxu所有收斂點(diǎn)的全體稱為所有收斂點(diǎn)的全體稱為1的收斂域，記為的收斂域，記為, I散點(diǎn)的全體稱為散點(diǎn)的

3、全體稱為1的發(fā)散域，記為的發(fā)散域，記為, I, IIU 所有發(fā)所有發(fā), Ix 常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù) 1)(nnxu都收斂，都收斂，其和記為其和記為)(xs即即)(xs 1)(nnxu )()()(21xuxuxun稱稱 s (x) 為為1的和函數(shù)，的和函數(shù)，和函數(shù)的定義域即為和函數(shù)的定義域即為 I 。兩個基本問題：兩個基本問題：（1如何確定如何確定1的收斂域？的收斂域？（2如何在收斂域上求如何在收斂域上求1的和函數(shù)？的和函數(shù)？二、冪級數(shù)及收斂性二、冪級數(shù)及收斂性 00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa nnxxa)(0)(0 xx .), 1,0(均均為為常常數(shù)數(shù) nan（1）

4、當(dāng)當(dāng)00 x 0nnnxa nnxaxaxaa2210（2）在變量代換在變量代換)(0 xxt 的冪級數(shù)，的冪級數(shù)，時，上述冪級數(shù)成為時，上述冪級數(shù)成為下，（下，（1就化為就化為2了了形如形如的函數(shù)項級數(shù)稱為的函數(shù)項級數(shù)稱為).,( U 0nnnxa nnxaxaxaa2210（2）).,( U.), 1,0(均均為為常常數(shù)數(shù) nan對于冪級數(shù)對于冪級數(shù)2），），（1如何確定它的收斂域如何確定它的收斂域 I ；（2在收斂域內(nèi)在收斂域內(nèi) ，如何求它的和函數(shù)，如何求它的和函數(shù) s (x)。主要有兩個問題主要有兩個問題: 考察冪級數(shù)考察冪級數(shù) 0nnx nxxx21這是公比為這是公比為 x 的幾何級

5、數(shù)，的幾何級數(shù)， （1當(dāng)當(dāng) | x | 1 時，時，級數(shù)收斂，級數(shù)收斂， （2當(dāng)當(dāng) | x | 1 時，時，級數(shù)發(fā)散，級數(shù)發(fā)散，（1）所以所以1的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?,1, 1( I（1的發(fā)散域?yàn)榈陌l(fā)散域?yàn)?, 1 1,( I在收斂域內(nèi)，（在收斂域內(nèi)，（1的和函數(shù)為的和函數(shù)為,11x 即即,11x nxxx21),1, 1( Ix（1的收斂域是一個以原點(diǎn)為中心的對稱區(qū)間。的收斂域是一個以原點(diǎn)為中心的對稱區(qū)間。 nxxxxnxnnn32312又例：又例：解：將該冪級數(shù)看成參數(shù)為解：將該冪級數(shù)看成參數(shù)為 x 的任意項常數(shù)級的任意項常數(shù)級數(shù)，并用常數(shù)項級數(shù)收斂性判別法進(jìn)行判別。數(shù)，并用常數(shù)項級數(shù)收斂

6、性判別法進(jìn)行判別。結(jié)論：當(dāng)結(jié)論：當(dāng) | x | 1 時發(fā)散時發(fā)散當(dāng)當(dāng) x = 1 時，級數(shù)收斂。時，級數(shù)收斂。 當(dāng)當(dāng) x = 1 時級數(shù)發(fā)散。時級數(shù)發(fā)散。特點(diǎn)：除去端點(diǎn)特點(diǎn)：除去端點(diǎn) 1 外，收斂域外，收斂域 I 是以原點(diǎn)為是以原點(diǎn)為中心的對稱區(qū)間。中心的對稱區(qū)間。)1, 1 I收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)槭諗坑虻纳鲜鎏攸c(diǎn)對一般的冪級數(shù)收斂域的上述特點(diǎn)對一般的冪級數(shù) 0nnnxa也成立的。也成立的。 0nnnxa定理定理1阿貝爾定理）：如果級數(shù)阿貝爾定理）：如果級數(shù)時收斂，時收斂，時，時，反之，如果級數(shù)反之，如果級數(shù)當(dāng)當(dāng)0 xx )0(0 x則當(dāng)則當(dāng)|0 xx 冪級數(shù)絕對收斂冪級數(shù)絕對收斂 0nnnxa當(dāng)

7、當(dāng)0 xx 時發(fā)散，時發(fā)散，時，時，則當(dāng)則當(dāng)|0 xx 冪級數(shù)發(fā)散。冪級數(shù)發(fā)散。定理定理1的幾何解釋：的幾何解釋：（1冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的收斂點(diǎn)都集中在以原點(diǎn)為中心的左右兩側(cè)。的收斂點(diǎn)都集中在以原點(diǎn)為中心的左右兩側(cè)。（2） 0 RP收收斂斂點(diǎn)點(diǎn)發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn)分分界界點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂點(diǎn)點(diǎn) 發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn)P 分分界界點(diǎn)點(diǎn)R 0 RP收收斂斂點(diǎn)點(diǎn)發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn)分分界界點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂點(diǎn)點(diǎn) 發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn)P 分分界界點(diǎn)點(diǎn)R 0nnnxa推論：如果級數(shù)推論：如果級數(shù)使得使得1當(dāng)當(dāng) | x | R 時，時， 0nnnxa發(fā)散，發(fā)散，（3當(dāng)當(dāng) x = R 時，時，可能收斂，也可能發(fā)散可能收斂，也可能發(fā)散 0nnnx

8、a 0 RP收收斂斂點(diǎn)點(diǎn)發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn)分分界界點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂點(diǎn)點(diǎn) 發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn)P 分分界界點(diǎn)點(diǎn)R 0nnnxa稱上述稱上述 R 為為收斂區(qū)間收斂區(qū)間的收斂半徑，的收斂半徑，為收斂區(qū)間為收斂區(qū)間 + 收斂的端點(diǎn)收斂的端點(diǎn)規(guī)定：規(guī)定： 0nnnxa僅在僅在 x = 0 處收斂，那么處收斂，那么（2假設(shè)假設(shè)在整個數(shù)軸上收斂，那么在整個數(shù)軸上收斂，那么 0nnnxa),(RR )(RxRx 或或= 收斂域收斂域（1假設(shè)假設(shè)0 R R問題：如何求問題：如何求 0nnnxa的收斂半徑？的收斂半徑？,0 nnnxa定理定理2：考慮冪級數(shù)：考慮冪級數(shù)假如假如,lim1 nnnaa其中，其中，是級數(shù)相鄰兩項的系數(shù)，

9、那么是級數(shù)相鄰兩項的系數(shù)，那么,|lim nnna或或1, nnaa R,1 0, 0 , 0 求冪級數(shù)求冪級數(shù)（1利用極限利用極限 |lim1nnnaa（2判定冪級數(shù)在端點(diǎn)判定冪級數(shù)在端點(diǎn)Rx 確定收斂半徑確定收斂半徑 R 處的收斂性，處的收斂性， R,1 0, 0 , 0 0nnnxa收斂域的一般步驟：收斂域的一般步驟：（3收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點(diǎn)。收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點(diǎn)。及收斂區(qū)間及收斂區(qū)間 ),(RR 例例1： 11) 1(nnnnx nxxxxnn 132) 1(32|lim1nnnaa 1)1(limnnn1lim nnn,1 ,1 R當(dāng)當(dāng) x = 1 時，時， 11

10、) 1() 1(nnnn 112) 1(nnn 11nn當(dāng)當(dāng) x = 1 時，時， 11) 1(nnnnx 11) 1(nnn交錯級數(shù)且收斂交錯級數(shù)且收斂 ，所以，所求收斂域?yàn)椋核?，所求收斂域?yàn)椋?,1( 1)1( nn發(fā)散發(fā)散解：解：例例2：求冪級數(shù)：求冪級數(shù) 的收斂域的收斂域 0!nnnx解：解：|lim1nnnaa !1! )1(1limnnn 11lim nn0 , R),( 收收斂斂域域?yàn)闉槔?：求冪級數(shù)：求冪級數(shù) 的收斂域的收斂域 1)12(nnnx解：解：12 xt令令 1nnnt則則|lim1nnnaa nnn1)1(1lim 1lim nnn1 1 Rt = 1 ， 1)

11、 1(nnn 1nnnt交錯級數(shù)且收斂，交錯級數(shù)且收斂，t = 1 ， 1nnnt 11nn調(diào)和級數(shù)且發(fā)散調(diào)和級數(shù)且發(fā)散,11 t,1121 x即即為為所所求求01 x例例4：求冪級數(shù)：求冪級數(shù) 的收斂域的收斂域 0122nnnx解：解：122lim nnn21 |lim1nnnaa ,21nna 當(dāng)當(dāng) x = 2 時，原級數(shù)成為時，原級數(shù)成為 0122)2(nnn發(fā)散，發(fā)散，故故)2,2( I理由：原級數(shù)中缺少偶數(shù)次冪的項：理由：原級數(shù)中缺少偶數(shù)次冪的項：nna21 ,2112nna 所以所以 R = 2 ，實(shí)際上實(shí)際上02 na 12n解：因原級數(shù)為缺項級數(shù)，定理解：因原級數(shù)為缺項級數(shù)，定

12、理 2 不能直接應(yīng)用。不能直接應(yīng)用。此時要用任意常數(shù)項級數(shù)的比值判別法來求此時要用任意常數(shù)項級數(shù)的比值判別法來求|lim1nnnuu 1211) 1(222lim nnnnnxx2lim2xn 22x 例例4：求冪級數(shù)：求冪級數(shù) 的收斂域的收斂域 0122nnnx當(dāng)當(dāng)即即2| x當(dāng)當(dāng)122 x即即2| x2 R122 x時，級數(shù)收斂時，級數(shù)收斂時，時，時，發(fā)散，時，發(fā)散，時，時，解：解：例例4：求冪級數(shù)：求冪級數(shù) 的收斂域的收斂域 0122nnnx當(dāng)當(dāng)即即2| x當(dāng)當(dāng)122 x即即2| x2 R122 x時，級數(shù)收斂時，級數(shù)收斂時，時，時，發(fā)散，時，發(fā)散，時，時，當(dāng)當(dāng)2 x 1122)2(nn

13、n 122)2(2nnn 12n發(fā)散發(fā)散所以原級數(shù)的收斂域?yàn)樗栽墧?shù)的收斂域?yàn)?2,2( I時，原級數(shù)成為時，原級數(shù)成為解：解：例例5：求冪級數(shù)：求冪級數(shù) 的收斂域的收斂域 022) !()!2(nnxnn冪級數(shù)缺少奇次冪的項，冪級數(shù)缺少奇次冪的項，,2xt )41,41( tI,4141 t即即所以原級數(shù)的收斂域?yàn)樗栽墧?shù)的收斂域?yàn)?21,21( xI原級數(shù)成為原級數(shù)成為也可先作變量替換：也可先作變量替換：可按例可按例 4 的方法處理的方法處理 02) !()!2(nntnn這是關(guān)于這是關(guān)于 t 的冪級數(shù)，的冪級數(shù)，且沒有缺項且沒有缺項可直接用定理可直接用定理 2 求收斂半徑和收斂域：求

14、收斂半徑和收斂域：,41412 x,2121 x三、冪級數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)三、冪級數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)（一冪級數(shù)的運(yùn)算（一冪級數(shù)的運(yùn)算 0nnnxa收斂半徑收斂半徑,min21RRR 記記 nnxaxaxaa22101R 0nnnxb nnxbxbxbb2210收斂半徑收斂半徑2R（1加法加法 0nnnxa 0nnnxb 0)(nnnnxba nnnxbaxbaba)()()(1100),(RRx 當(dāng)當(dāng)（2乘法乘法 0nnnxa 0nnnxb)(2210 nnxbxbxbb 0nnnxa收斂半徑收斂半徑,min21RRR 記記 nnxaxaxaa22101R 0nnnxb nnxbxbxbb2210收斂

15、半徑收斂半徑2R),(RRx 當(dāng)當(dāng))(2210 nnxaxaxaa00ba xbaba)(0110 2021120)(xbababa nnnnxbababa)(0110（3除法除法 0nnnxa收斂半徑收斂半徑 nnxaxaxaa22101R 0nnnxb nnxbxbxbb2210收斂半徑收斂半徑2R nnnnxbxbxbbxaxaxaa22102210 nnxcxcxcc2210其中系數(shù)其中系數(shù),210ccc可通過下面等式來確定可通過下面等式來確定)(10 nnxcxcc)(10 nnxbxbb nnxaxaa10相除后的冪級數(shù)，其收斂區(qū)間可能比原級數(shù)小的多。相除后的冪級數(shù)，其收斂區(qū)間可能

16、比原級數(shù)小的多。（二冪級數(shù)性質(zhì)（二冪級數(shù)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1：如果兩個冪級數(shù)：如果兩個冪級數(shù) 0)(nnnxaxf 0)(nnnxbxg和和的收斂半徑分別為的收斂半徑分別為,0021 RR和和則有則有 0)(nnnnxba)()(xgxf 00nnnnnnxbxa且收斂半徑且收斂半徑 R 滿足：滿足：,min21RRR 性質(zhì)性質(zhì)2：冪級數(shù)：冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù) s (x) 在收斂域在收斂域 I 上連續(xù)；上連續(xù)； 11) 1(nnnnx nxxxxnn 132) 1(32例如：例如：1,1( I收斂域?yàn)椋菏諗坑驗(yàn)椋汗势浜秃瘮?shù)故其和函數(shù) s (x) 在在1,1( I上連續(xù)上連續(xù) 性質(zhì)性質(zhì)

17、3：冪級數(shù)：冪級數(shù) 0nnnxa xxdxs0)( xnnnxdxa00 xnnnxdxa00101 nnnxnaIx 逐項積分后所得級數(shù)逐項積分后所得級數(shù)的和函數(shù)的和函數(shù) s (x) 在收斂域在收斂域 I 上可積，上可積，并有逐項積分公式并有逐項積分公式其收斂半徑與原級數(shù)相同。其收斂半徑與原級數(shù)相同。 101 nnnxna并求常數(shù)項級數(shù)并求常數(shù)項級數(shù) 12nnn解：解：|lim1nnnaa nnn1lim 1 1 R,1 時時當(dāng)當(dāng) x 11) 1(nnn級數(shù)成為級數(shù)成為發(fā)散發(fā)散所以收斂域?yàn)樗允諗坑驗(yàn)?1,1( I例例1：求：求 11nnxn的收斂域及和函數(shù)，的收斂域及和函數(shù)，的和。的和。設(shè)

18、冪級數(shù)在設(shè)冪級數(shù)在 I 上的和函數(shù)為上的和函數(shù)為 s (x) , 那么那么 12321nxnxx 11)(nnxnxs例例1：求：求 11nnxn并求常數(shù)項級數(shù)并求常數(shù)項級數(shù) 12nnn解：解：的收斂域及和函數(shù)，的收斂域及和函數(shù)，的和。的和。)1,1( I 12321nxnxx 11)(nnxnxs xtdts0)( xtd01 xtdt02 xtdt023 xntdtn01x 2x 3x nx xx 1 xtdtsxdd0)()1(xxxdd 2)1(1x 例例1：求：求 11nnxn并求常數(shù)項級數(shù)并求常數(shù)項級數(shù) 12nnn解：解：的收斂域及和函數(shù)，的收斂域及和函數(shù)，的和。的和。)1,1(

19、I 12321nxnxx 11)(nnxnxs xtdtsxdd0)()1(xxxdd 2)1(1x ,)1(12x 11)(nnxnxs11 x例例1：求：求 11nnxn并求常數(shù)項級數(shù)并求常數(shù)項級數(shù) 12nnn解：解：的收斂域及和函數(shù)，的收斂域及和函數(shù)，的和。的和。,)1(12x 11)(nnxnxs11 x,21 x取取 11)21()21(nnns2)211(1 4 12nnn 11)21(21nnn2421 性質(zhì)性質(zhì)4：冪級數(shù)：冪級數(shù) 0nnnxa)(xs 0 nnnxa)(0 nnnxa,11 nnnxan),(RRx 逐項求導(dǎo)后所得級數(shù)逐項求導(dǎo)后所得級數(shù)的和函數(shù)的和函數(shù) s (x

20、) 在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)， 并有逐項求導(dǎo)公式并有逐項求導(dǎo)公式其收斂半徑與原級數(shù)相同。其收斂半徑與原級數(shù)相同。 11 nnnxna),(RR 例例2：求：求 的和函數(shù)的和函數(shù) 11) 1(nnnnx解：必須先求出收斂域：解：必須先求出收斂域：1,1( I設(shè)在收斂域設(shè)在收斂域 I 上，和函數(shù)為上，和函數(shù)為 s (x) , 那么那么 11) 1()(nnnnxxs 3232xxx nxnn 1) 1( )(xs 21xx nnx1) 1(,11x 11 x xtdts0)(,110 xtdtxts0)(即即xt0)1ln( 例例2：求：求 的和函數(shù)的和函數(shù) 11) 1(nnnnx解：必

21、須先求出收斂域：解：必須先求出收斂域：1,1( I設(shè)在收斂域設(shè)在收斂域 I 上，和函數(shù)為上，和函數(shù)為 s (x) , 那么那么xts0)(即即xt0)1ln( 11) 1()(nnnnxxs 3232xxx nxnn 1) 1()0()(sxs 所所以以)1ln(x ),1ln()(xxs 11 x)0( s 000 0) 1(1n0 解：必須先求出收斂域：解：必須先求出收斂域：)1,1( I設(shè)在收斂域設(shè)在收斂域 I 上，和函數(shù)為上，和函數(shù)為 s (x) , 那么那么 12)(nnxnxs例例3：求：求 的和函數(shù)，的和函數(shù)， 12nnxn并求并求 12) 1(nnnn的和的和 1) 1(nnx

22、nn 1nnxn 11)(nnxx 1)(nnxx 11)(nnxx 1)(nnxx 11 nnxx1 nnxx 21 xxx1 xxx例例3：求：求 的和函數(shù)，的和函數(shù)， 12nnxn解：必須先求出收斂域：解：必須先求出收斂域：)1,1( I并求并求 12) 1(nnnn的和的和3)1(2xx 2)1(xx ,)1()1(3xxx 11 x 21)( xxxxs1 xxx 12)(nnxnxs 1) 1(nnxnn 1nnxn 1) 1(nnxnn,)1(23xx 11 x例例3：求：求 的和函數(shù)，的和函數(shù)， 12nnxn解：必須先求出收斂域：解：必須先求出收斂域：)1,1( I并求并求 1

23、2) 1(nnnn的和的和11 x 1) 1(nnxnn,)1(23xx 11 x,)1 () 1()(312xxxxnxsnn 取取,21 x 12)1(nnnn3)211(212 , 8 122nnn6 習(xí)題114: 1(1, 2, 8), 3(1, 3) 第十一章第四節(jié)第十一章第四節(jié): 作業(yè)作業(yè)例例5：求：求 的收斂區(qū)間及和函數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù) 111) 1(nnnx解：（解：（1先求級數(shù)的收斂區(qū)間先求級數(shù)的收斂區(qū)間 I |lim1nnnaa |)1()1(|lim1 nnn,1 1 R當(dāng)當(dāng) x = 1 時，時， 11) 1(nnnx 11) 1() 1(nnn一般項不趨于一般項不趨于 0 ，級數(shù)發(fā)散，級數(shù)發(fā)散，)1,1( I收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為對每一個對每一個,)1,1( x級數(shù)的前級數(shù)的前 n 項部分和為項部分和為112)1(1)( nnnxxxxSxxn 1)(1)(lim)(xSxSnn xxnn 1