微分形式與一般斯托克斯公式_第1頁
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文檔簡介

§4外積、微分形式與一般斯托克斯公式1設(shè) 試求 解 由外積的運(yùn)算律和性質(zhì)有 2設(shè) 試求 解 由外積的運(yùn)算律和性質(zhì)，有 3設(shè)是三個(gè)微分形式，證明 （）（）當(dāng)和是次數(shù)相同的微分形式時(shí)，證明證 （）設(shè)分別為次微分形式，由外積的線形性質(zhì)，只要對證明即可。 同理可得 故（）如（）所設(shè)令則由微分形式的運(yùn)算律 4設(shè)是次微分形式，是次微分形式，證明 （）（）當(dāng)時(shí)，便有證 （）由外積的線形性質(zhì)，只要對和證明即可， 若和有公共元素，則有，命題已經(jīng)成立，否則由定義知要使中的微分變到中的順序，只要把每個(gè)與個(gè)，交換次序，這總共要進(jìn)行個(gè)外積次序的變換，因此 （）當(dāng)時(shí)，和必有公共元素，故。5設(shè)曲面由一般參量方給出： 那么，第一型曲面積分計(jì)算公式為 其中 試以外積為工具證明上述公式。證 因?yàn)槠渲袨榍娴姆ㄏ蛄颗c軸正向夾角的余弦。當(dāng)由參量方程給出時(shí)， 從而6（龐加來引理）設(shè)是三維空間中任一微分形式，其系數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則（提示：三維空間微分形式只有下列四種情況：分四種情況驗(yàn)證，即有結(jié)論。）證 （1）時(shí) （2） （3）由書中（7）式，有 （4）由書中（7）式，有

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