(完整word版)第三章一階線性微分方程組第四講常系數(shù)線性微分方程組的解法(1)(word文檔良心出品)

1、隴東學(xué)院數(shù)學(xué)系常微分方程精品課程教案第四講 常系數(shù)線性微分方程組的解法 (4課時)一、 目的與要求：理解常系數(shù)線性微分方程組的特征方程式，特征根，特征向量的概念，掌握常系數(shù)線性微分方程組的基本解組的求法.二、重點：常系數(shù)線性微分方程組的基本解組的求法.三、難點：常系數(shù)線性微分方程組的特征方程式，特征根，特征向量的概念.四、 教學(xué)方法：講練結(jié)合法、啟發(fā)式與提問式相結(jié)合教學(xué)法.五、 教學(xué)手段：傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合.六、教學(xué)過程：1新課引入由定理3.6我們已知道，求線性齊次方程組(3.8)的通解問題，歸結(jié)到求其基本解組 .但是對于一般的方程組(3.8)，如何求出基本解組，至今尚無一般方

2、法.然而對于常系數(shù)線性齊次方程組(3.20)丫dx其中A是nxn實常數(shù)矩陣，借助于線性代數(shù)中的約當(dāng) Jordan)標準型理論或矩陣指數(shù)，可以使這一問題得到徹底解決.本節(jié)將介紹前一種方法，因為它比較直觀.由線性代數(shù)知識可知，對于任n咒n矩陣A，恒存在非奇異的n咒n矩陣T，使矩陣教案編寫人：李相鋒李萬軍13(3.21)(3.22)我們知道，約當(dāng)標準型 TAT的形式與矩陣A的特征方程det(A - aE)=a11 一幾a21耳2a22 一幾IHilla1na2nan1an2Hiann 一幾TAT成為約當(dāng)標準型.為此，對方程組(3.20)引入非奇異線性變換丫 =TZ其中 T=(tij)(i,j =1,

3、2J|, n), detTHO,將方程組(3.20)化為dZ.T-ATZdx的根的情況有關(guān).上述方程也稱為常系數(shù)齊次方程組A的特征根.(3.20)的特征方程式.它的根稱為矩陣F面分兩種情況討論.(一)矩陣A的特征根均是單根的情形設(shè)特征根為Ai,Z_2,川，An,這時P-1方程組(3.20)變?yōu)?3.23)TATL0dxdz2dx0(VZ2LzJ易見方程組(3.23)有n個解01L0J乙(x) =000L。L1把這n個解代回變換(3.21)之中，便得到方程組(3.20)的n個解Y(x) dtj(i =12山，n)這里T是矩陣T第i列向量，它恰好是矩陣 A關(guān)于特征根的特征向量，并且由線性方程組(A

4、 -kiE)Ti =0所確定.容易看出，Yi(x),Y2(x)，川,Yn(x)構(gòu)成(3.20)的一個基本解組，因為它們的朗斯基行列式 W(X)在X = 0時為W (0) = detT工0 于是我們得到定理3.11如果方程組(3.20)的系數(shù)陣A的n個特征根 為入，川仏n,彼此互異，且Ti,T2,川，Tn分別是它們所對應(yīng)的特征向量，則Yi(x)雖斫1,丫2儀)林2,川,Yn(x) = e入兀是方程組(3.20)的一個基本解組.例1試求方程組生=3x 一 y + Zdt* 史=-x + 5y -zdtdzcI = X - y +3z L dt y的通解.特征方程是解它的系數(shù)矩陣是3I-11 I11

5、=r15-11h-13 .3 -幾-11-15-幾-13-13 -人det(ArE)-032入一11a + 36a-36 = 0沐=2對應(yīng)的特征向量所以矩陣A的特征根為 再=22 =3,入3=6 .先求T1 - bLcja,b,c滿足方程-1b=ljL-1(A-“)11 lal-1-11Lca 一 b + C = 0一a +3b-c = 0可得a = -G b = 0.取一組非零解，例如令 C = 1，就有a = 1,b = 0,c = -1.同樣，可求出另兩個特征根所對應(yīng)的特征向量，這樣，這三個特征根所對應(yīng)的特征向量分別是1f f 0,T2 =1,T3 =-2LT.11 ”Ti =故方程組的

6、通解是x(t)ly(t) =C1e2t 0 + C2eLz(t)L-3t111 -2（二）常系數(shù)線性微分方程組的解法復(fù)特征根L1J+C3e6tL1 J從上一講我們已經(jīng)知道，求解方程組dY一=AYdx歸結(jié)為求矩陣A的特征根和對應(yīng)的特征向量問題.現(xiàn)在考慮復(fù)根情形.因為(3.20)A是實的矩陣，所以復(fù)特征根是共軛出現(xiàn)的，設(shè)A1,2iP是一對共軛根，由定理3.11，對應(yīng)解是儀)=*丫1, Y2(x)=e2丫23.20)的實其中Ti,T2是特征向量，這是實變量的復(fù)值解，通常我們希望求出方程組( 值解，這可由下述方法實現(xiàn).定理3.12如果實系數(shù)線性齊次方程組dY =A(x)Y dx有復(fù)值解Y(x) =U(

7、x)+iV(x)其中U(x)與V(x)都是實向量函數(shù)，則其實部和虛部4(X廠U2(X)Vi(x)V(x) =V2(x)LVn(X).LUn (x)_證明 因為Y(X)=U(X)+iV (x)是方程組(3.8)的解，所以aU(x)+iV(x)三 dU2xUidV(xdxdx dx三 A(x)U (x) +iV(x)三 A(x)U(x) +iA(x)V(x)由于兩個復(fù)數(shù)表達式恒等相當(dāng)于實部及虛部恒等，所以上述恒等式表明:= A(x)U (x), dxdVdW =A(x)V(x)dx即U(X),V (x)都是方程組(3.8)的解證畢.(a,b)上的n個線性無關(guān)的向量函數(shù),定理3.13如果Y(x),Y

8、2(x)，川,Yn(x)是區(qū)間bi,b2是兩個不等于零的常數(shù)，則向量函數(shù)組biYi(x)+Y2(x), b2Yi(x)-Y2(x),Y3(x)，川,Yn(x)(3.24)在區(qū)間(a, b)上仍是線性無關(guān)的.證明(反證法)如果(3.24)線性相關(guān)，那么依定義3.1存在n個不全為零的常數(shù)C1,C2，HiCn，使得對區(qū)間(a,b)上的所有x皆有CibiY(x) +Y2(x) +C2b2Y(x)-Y2(x) +C3Y3(x) +川+CnYn(x)三0所以(CQ+C2b2)Y(x)+(Cibi-C2b2)Y2(x)+C3Y3(x)十川+CnYn(x)三 0因為Y(x),Yi(x)，川,Yn(x)線性無關(guān)

9、，從而CQ + C2b2 = 0, Gb C2b2 =0, C3 =0,川，Cn =0從上式可知，Cibi =C2b2 =0,因為bi,b0,故CC 0 .即所有常數(shù)Ci,C2ILCn都等于零，矛盾.證畢.由代數(shù)知識知,實矩陣A的復(fù)特征根一定共軛成對地出現(xiàn).即，如果A =a + ib是特征方程組(3.20)對應(yīng)于Z =a + ib的復(fù)值解根，則其共軛入=a-ib也是特征根.由定理3.11，形式是tilYi(X)=da 如氣=eZ)xt2(a枷)X=et11 +%1t21 +it22LtnJtn1 +itn2.= eax(cosbx + i sinbx)tn + it12t21 十 it22tn

10、1 +itn2 .ax=e丄ax+ ieCtn cosbx-t12 sin bxlt21 cosbx上22 sinbxt12 cosbx +切 sin bxlt22 cosbx 佗 sin bxtnQOsbx-tn2 sin bx”_tn2 cosbx 中 tnjSi nbx”程組（3.20）對應(yīng)于特征根 Z = a - ib的解,這里T1是對應(yīng)于幾=a+ib的特征向量.由于矩陣A是實的，所以上述向量的共軛向量是方記作Y2（x） = e（axT2, TT；.現(xiàn)將上述兩個復(fù)值解，按下述方法分別取其實部和虛部為1I Yi(x) + 丫2 (x)ax ert11 cos bx -!t21 cos b

11、x -t12 sin bx1t22 sin bx jLtn1 cosbx-tn2 sin bxj1和YS Y2(x) =r t12 cosbx + t11 s in bxl eax|t22cosbt21sinbx|Ltn2 cosbx + tn1 sinbx由定理3.12和定理3.13，它們分別是方程組（3.20）的解，并且由此得到的n個解仍組成基本解組.例2求解方程組dx一 =X - y - z dt)dy=X + y dtdzc丄=3x + z dt解它的系數(shù)矩陣為11L3-110-101特征方程是特征根為先求Z, =1對應(yīng)的特征向量為-1-1det(A -aE )=仏-1)仏2 -2a

12、+5) =0/, =1,幾 2,3=12i01T1 =L-1再求打=1 +2i所對應(yīng)的特征向量 T2.它應(yīng)滿足方程組(A-(1+2i)E)T2 -r-2i-11-2i-1lab =00-2dLcj-2ia -b -c = 0 a -2bi =0 3a -2ci = 0用2i乘上述第一個方程兩端，得|4a2bi 2ci =0a2bi =03a2ci =0顯見，第一個方程等于第二與第三個方程之和.故上述方程組中僅有兩個方程是獨立的，即a-2bi =03a-2ci =0J求它的一個非零解不妨令a =2i,則b =1,c = 3.于是 初=1 +2i對應(yīng)的解是21L3J2i1f-2sin 2t1f2c

13、os2t1=6cos2t+ ietsin 2tL3.3cos2t3sin 2t=6 (cos2t +i sin2t)故原方程組的通解為x(t)l0y(x) =C1et 1+C2eLz(x)L-dr-2sin 2tl cos2t +C3e|_3cos2t j2cos 2tsin 2tL3sin 2t j(三)矩陣A的特征根有重根的情形由定理3.11，我們已經(jīng)知道，當(dāng)方程組(3.20)的系數(shù)矩陣本解組的求解問題，歸結(jié)到求這些特征根所對應(yīng)的特征向量A的特征根均是單根時，其基然而，當(dāng)矩陣A的特征方程有重根時，定理3.11不一定完全適用，這是因為，若Zi是A的ki重特征根，則由齊次線性方程組所決定的線性

14、無關(guān)特征向量的個數(shù)r , 一般將小于或等于特征根人的重數(shù)ki.若Yi = ki,那么矩陣A對應(yīng)的約當(dāng)標準型將呈現(xiàn)對角陣，其求解方法與3.5.1情形相同若YI 1000L0為000二200001這時，方程組(3.27)可以分裂為兩個獨立的小方程組扎1乙十Z?dx2(3.28)(3.29)dz2-=r Z2dxdZ3、=Z3dxI dz4,丄i=人 2Z4 +Z5dxdz5、=人 2Z5I dx在(3.28)中自下而上逐次用初等積分法可解得(CZ, = IX2 +C2X +G12!2 1Z2 =(C3X + C2)e Z3毛0同樣對(3.29)可解得Z4 =(C5X+C4)e2X這里Ci,C2,H

15、I,C5是任意常數(shù).由于在方程(3.28)中不出現(xiàn)Z4,Z5,在(3.29)中不出現(xiàn)Z1, Z2, Z3 .我們依次取G = 1,C2 = C3 = C4 ：= C5 ：= 0G = 0,。2 ：= 1,。3 ：= C4 ：= C5 ：= 0G =C2 =0,C3 =1,C4 =C5 =0=Cg = C4 = 0,。5 ：= 1G =C2 =C3 =0,C4 =1,C5 =0C1 =C2可以得到方程組(3.27)的五個解如下才000x/Tx2!x00L0 J0 10 1000，Z 5-0exex0 ”e護”，Z 4 =從而Z (x)赫 xex x00:2 ,2! e00e xe0 e護(3.3

16、1)t1101(tux+t jet21e沁(t2 1X + t 2)t31評,Y 2 =(t3 1X + t 30t41小(t41X+14)eLt51e沁1 _(t5 1x+t5)e仁Y = TZ中可得原方程組(3.26)的五個解,Yi是方程組(3.27)的一個解矩陣.又det Z (0) =1 H0 ,所以(3.31)是方程組(3.27)的一個基本解矩陣.而(3.30)是(3.27)的一個基本解組.現(xiàn)在把(3.30) 的每個解分別代入到線性變換(t2!x2 +t12X+t13)eM(如x2 2!(也22!(如x22!512|(X L 2!+ t22X +t23)eM+ t32X +t33)e

17、M+ t42X +t43)e九+ t52X+t53)et24/XV 1 *+I(t24X+t25)e/t340,丫5 =(t34X+t35)e 護上44鈔(t44X+t45)eE3(t54X+t55)ehl，Y 4=X+t而且這五個解構(gòu)成方程組的一個基本解組.這是因為,若把上面五個解寫成矩陣形式Y(jié)(x)=Yi(x), Y2(x),Y3(x),Y4(x), Y5(x)則顯然有detY(0) = T HO.至此我們已清楚地看到，若J中有一個三階若當(dāng)塊，Z,是(3.26)的三重特證根，則(3.26)有三個如下形式的線性無關(guān)解,Yi (x)二S(x)P2i(x)P3i (x)P4i(x)LP5i(X)

18、.e兒i =1,2,3(3.32)其中每個Pki(x)(i =1,2,3, k =123, 4,5)是x的至多二次多項式.因此(3.32)也可以寫成如下形式(R 0 + R 必+ R 2x2)e-x其中R0, R1, R2都是五維常向量.而對于J中的二階若當(dāng)塊，g是(3.26)的二重根，它 所對應(yīng)的(3.26)的兩個線性無關(guān)解應(yīng)是如下形式(R3 中 R4X)e從隴東學(xué)院數(shù)學(xué)系常微分方程精品課程教案其中R3, R4也都是五維常向量.最后，我們還應(yīng)指出，對于方程組(3.20)，若入是A的一個ki重特征根，則kj所對應(yīng)的若當(dāng)塊可能不是一塊而是幾塊，但是它們每一塊的階數(shù)都小于或等于ki，而且這些階數(shù)的

19、和恰好等于ki.這樣，由以上分析我們得到定理3.14 設(shè)A1,Z2,i|,Am是矩陣A的m個不同的特征根，它們的重數(shù)分別為k1,k2,川，km.那么，對于每一個 人，方程組(3.20)有k個形如Yi(x) = Pi(x)e, Y2(x) = P2(x)eM,|H，Yk。) = PMx)/的線性無關(guān)解，這里向量PxXi =12川，kJ的每一個分量為x的次數(shù)不高于ki -1的多項式.取遍所有的扎i(i =1,2,|(,m)就得到(3.20)的基本解組.上面的定理既告訴了我們當(dāng) A的特征根有重根時，線性方程組 (3.20)的基本解組的形式, 同時也告訴了我們一種求解方法，但這種求解方法是很繁的.在實

20、際求解時，常用下面的待定系數(shù)法求解.為此，我們需要線性代數(shù)中的一個重要結(jié)論.引理3.1 設(shè)n階矩陣互不相同的特征根為再(i =1,2，川，m)，其重數(shù)分別是，k1,k2,川,km(k1 +k2 +IU+km = n),記n維常數(shù)列向量所組成的線性空間為V，則(1) V的子集合kV j = R (A-kj E) j R = 0, R V是矩陣A的kj (j =1,2，川，m)維不變子空間，并且(2) V有直和分解V =V V2il( V m；現(xiàn)在，在定理3.14相同的假設(shè)下，我們可以按下述方法求其基本解組 教案編寫人：李相鋒李萬軍教案編寫人：李相鋒李萬軍17定理3.15 如果幾j是（3.20）的

21、kj重特征根，則方程組（3.20）有個kj形如Y (x)=(R 0+ R1X+IH+R kjdXkj)e恥(3.33)的線性無關(guān)解，其中向量 R 0, R 1,|H，R kj由矩陣方程(A Zj E) R 0 = R1(A-幾jE)R 1=2 R 2IHIHHINI(A -幾j E)Rkj _2 = (kj R kj 4k(A-).jE) jR0=0(3.34)所確定.取遍所有的幾j（ j =1,2|, m），則得到（3.20）的一個基本解組.證明由定理3.14知，若幾）是（3.20）的kj重特征根，則對應(yīng)解有（3.30）的形式.將（3.33）代入方程組（3.20 ）有R1+2 R 2x+|i

22、|+(kj 1)R kj4XkjpejX + 5R 0+ R 1X+| +R kjxkj)ejX= A(R 0+ R1X+IH +R kj)/消去ejX，比較等式兩端X的同次幕的系數(shù)（向量），有(A-)打 E) R 0= R1(A -珀E)Rr =2R2IHIHHINI(A-kj E )R =(kj-1)R kjj(3.35)(A-)E) R kjj=O注意到方程組（3.35）與（3.34）是等價的.事實上，兩個方程組只有最后一個方程不同，其 余都相同.（3.35）與（3.34）同解的證明請見教材.這樣，在方程組(3.31)中，首先由最下面的方程解出R 0，再依次利用矩陣乘法求出R1,R2,1

23、,Rk._1.由引理3.1得知，線性空間V可分解成相應(yīng)不變子空間的直和，取遍所有的打(j =1,2,j|,m),就可以由(3.34)最下面的方程求出 n個線性無關(guān)常向量，再由(3.31) 逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的n個解.記這n個解構(gòu)成的解矩陣為 Y(X)，顯然，Y (0)是由(3.34)最下面的方程求出的n個線性無關(guān)常向量構(gòu)成， 由引理3.1的2)矩陣Y(0)中的各 列構(gòu)成了 n維線性空間 V的一組基，因此det Y(0)0，于是Y(x)是方程組(3.20)的一個基本解組.例3求解方程組十 T2+ *dxdy2,* + *3 dxldx=y1+y2dy301L1解系數(shù)矩陣為1 101特征方程為a-2)仏 +1)2 =0特征根為=22 =爲(wèi)=T.其中=2對應(yīng)的解是Y i(x)=e2x下面求=-1所對應(yīng)的兩個線性無關(guān)解.由定理3.15，其解形如教案編寫人：李相鋒李萬軍隴東學(xué)院數(shù)學(xué)系常微分方程精品課程教案教案編寫人：李相鋒李萬軍19并且R0, R