(完整word版)軸對(duì)稱中幾何動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題總結(jié)

1、軸對(duì)稱中幾何動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題總結(jié)軸對(duì)稱的作用是“搬點(diǎn)移線”，可以把圖形中比較分散、缺乏聯(lián)系的元素 集中到“新的圖形”中，為應(yīng)用某些基本定理提供方便。比如我們可以利用軸對(duì) 稱性質(zhì)求幾何圖形中一些線段和的最大值或最小值問(wèn)題。利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問(wèn)題借助的主要基本定理有三個(gè)：（1）兩點(diǎn)之間線段最短；（2）三角形兩邊之和大于第三邊；（3）垂線段最短。初中階段利用軸對(duì)稱性質(zhì)求最值的題目可以歸結(jié)為：兩點(diǎn)一線，兩點(diǎn)兩線，點(diǎn)兩線三類線段和的最值問(wèn)題。下面對(duì)三類線段和的最值問(wèn)題進(jìn)行分析、討論。（1）兩點(diǎn)一線的最值問(wèn)題：（兩個(gè)定點(diǎn)+ 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)）問(wèn)題特征：已知兩個(gè)定點(diǎn)位于一條直線的同一側(cè)， 在直線上求一

2、動(dòng)點(diǎn)的位置，使 動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)線段和最短。核心思路：這類最值問(wèn)題所求的線段和中只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，解決這類題目的方法是 找出任一定點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)，交直線于一點(diǎn)， 交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)滿足最值的位置。方法：1.定點(diǎn)過(guò)動(dòng)點(diǎn)所在直線做對(duì)稱。2. 連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)，則直線段長(zhǎng)度就是我們所求。變異類型：實(shí)際考題中，經(jīng)常利用本身就具有對(duì)稱性質(zhì)的圖形，比如等腰三角形， 等邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形，即其中一個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱 點(diǎn)就在這個(gè)圖形上。1. 如圖，直線I和I的同側(cè)兩點(diǎn) A B,在直線I上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最小。（2）一點(diǎn)兩線的最值問(wèn)題：（兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)+個(gè)定點(diǎn)）問(wèn)題特

3、征：已知一個(gè)定點(diǎn)位于平面內(nèi)兩相交直線之間，分別在兩直線上確定兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)使線段和最短 核心思路：這類問(wèn)題實(shí)際上是兩點(diǎn)兩線段最值問(wèn)題的變式，通過(guò)做這一定點(diǎn)關(guān)于 兩條線的對(duì)稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“搬點(diǎn)移線”，把線段“移”到同一直線上來(lái)解決。變異類型：1.如圖，點(diǎn)P是/ MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在 OM ON上作點(diǎn)A, B。使 PAB的周長(zhǎng)最小。、1 2.如圖,點(diǎn)A是/ MON外的一點(diǎn)，在射線OM上作點(diǎn)P,使PA與點(diǎn)P到射線ON的距離之和最小。（3）兩點(diǎn)兩線的最值問(wèn)題：（兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)+兩個(gè)定點(diǎn)）問(wèn)題特征：兩動(dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)隨另一個(gè)動(dòng)（一個(gè)主動(dòng)，一個(gè)從動(dòng)），并且兩動(dòng)點(diǎn)間的距離保持不變。核心思路：用平移方法，可把兩動(dòng)點(diǎn)變成一個(gè)動(dòng)

4、點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)”類型來(lái)解。變異類型：1.如圖，點(diǎn)P, Q為/ MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在 OM ON上作點(diǎn)A，B。使四邊形PAQB勺周長(zhǎng)最 小。Qf2如圖，已知 A （1 , 3）, B （ 5, 1）,長(zhǎng)度為2的線段PQ在x軸上平行移動(dòng)，當(dāng) AP+PQ+QB 的值最小時(shí)，點(diǎn) P的坐標(biāo)為（） ZO戸Q3.（4）兩點(diǎn)兩線的最值問(wèn)題：（兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)+兩個(gè)定點(diǎn)）問(wèn)題特征：兩動(dòng)點(diǎn)分別在兩條直線上獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，一動(dòng)點(diǎn)分別到一定點(diǎn)和另一動(dòng)點(diǎn) 的距離和最小。核心思路：利用軸對(duì)稱變換，使一動(dòng)點(diǎn)在另一動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)與定點(diǎn)的線段上（兩點(diǎn)之間線段最短），且這條線段垂直于另一動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)所在直線（連接直線外 一點(diǎn)

5、與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短）時(shí)，兩線段和最小，最小值等于 這條垂線段的長(zhǎng)。變異類型：演變?yōu)槎噙呅沃荛L(zhǎng)、折線段等最值問(wèn)題。1.如圖，點(diǎn)A是/ MON內(nèi)的一點(diǎn)，在射線 ON上作點(diǎn)P,使PA與點(diǎn)P到射線0M的距離之和 最小。、常見(jiàn)題目Parti、三角形1.如圖，在等邊厶 ABC中，AB=6, AD丄BQ E是AC上的一點(diǎn)， M是AD上的一點(diǎn)，且 AE=2, 求EM+EC勺最小值。2. 如圖，在銳角厶 ABC中，AB=42 / BAC= 45 °，/ BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D, M N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，貝U BM+M的最小值是 3. 如圖， ABC中，AB=2, / B

6、AC=30 ,若在AC AB上各取一點(diǎn) M N,使BM+M的值最小, 則這個(gè)最小值。30uPart2、正方形1 如圖，正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)為8, M在DC上，丐 DM= 2, N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，DN+ MN的 最小值為 。即在直線AC上求一點(diǎn)N,使DN+M最小。2.如圖所示，正方形 ABCD的面積為12， ABE是等邊三角形，點(diǎn) E在正方形ABCD內(nèi)，在 對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,使PD PE的和最小，則這個(gè)最小值為（）A. 2.3B . 2、6 C . 3D. 6也中點(diǎn), P為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn);AB = 10cm , E 為邊 B4. 如圖，四邊形 ABCD是正方形, 求PC+PE的最小值；Part3、矩形BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為1.如圖，若四邊形 ABCD是矩形， AB = 10cm BC= 20cm, E為邊BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PC+PD的最小值；Part4、菱形BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為1.如圖，若四邊形 ABCD是菱形，AB=10cm / ABC=45 , E為邊BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PC+PE的最小值;Part5、直角梯形1.已知直角梯形 ABCD中，AD/ BC AB丄BC AD=2, BC=D（=5,點(diǎn)P在BC上秱動(dòng)，則當(dāng)PA+PD ）Part6、一次函數(shù)一次函數(shù) y二kx+ b