19.2特殊的平行四邊形(通用)

1、菱形講義菱形22知識(shí)精講一菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形的性質(zhì)菱形是特殊的平行四邊形，平行四邊形具有的性質(zhì)它全都具有.此外，它還具有以下性質(zhì):1.菱形的四條邊都相等；2 .菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.3 .是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是對(duì)角線所在的直線.菱形的判定1 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形（定義）；2 .對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；3 .四條邊都相等的四邊形是菱形.四.面積問(wèn)題如下圖:1S菱形ABCD =2 acLbd .三點(diǎn)剖析一.考點(diǎn)：1菱形的性質(zhì)；2菱形的判定；3 面積問(wèn)題.二.重難點(diǎn):菱形的性質(zhì)和應(yīng)用，菱形的證明與判定.:矩形和

2、菱形性質(zhì)的區(qū)別.三.易錯(cuò)點(diǎn) 例題講解 一：性質(zhì)例1.1.1如圖，在菱形 ABCC中，E是AB邊上一點(diǎn)，且/ A=/ EDF=60，有下列結(jié)論： AE=BF DEF是等邊三角形BEF是等腰三角形；/ ADEN BEF,其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 A. 3【答案】D【解析】連接BD ,B. 4C. 1D. 2四邊形ABCD是菱形,1 AD=AB , / ADB=丄 / ADC , AB / CD ,2/ ADC=120 , / ADB=60 , 同理：/ DBF=60 , 即/ A= / DBF ,:. ABD是等邊三角形, AD=BD , / ADE+ / BDE=60 , / BDE+ / BDF=

3、 / EDF=60 ,/ ADE= / BDF ,在 ADE 和 BDF 中,pADE =4DFAD =BDza =NDBFADE BDF (ASA ), DE=DF , / EDF=60 , EDF是等邊三角形,正確; / DEF=60 ,/ AED+ / BEF=120 ,/ AED+/ ADE=180 -/ A=120 ,/ BEF;故正確./ ADE=/ BDF ,同理：/ BDE= / CDF ,但/ ADE不一定等于/BDE , AE不一定等于 BE ,故錯(cuò)誤； aDE BDF , AE=BF ,同理：BE=CF,但BE不一定等于BF .故錯(cuò)誤.故選D .例1.1.2如圖，在菱形

4、接DE則/ CDF等于(ABCD中,/ BAD=80 , AB的垂直平分線交對(duì)角線 AC于點(diǎn)F,垂足為E,連)A. 50°【答案】B【解析】如圖，連接BF ,B. 60C. 70°D. 80°在菱形 ABCD 中，/ BAC= - / BAD= - >80°=40 °，/ BCF= / DCF , BC=CD , 2 2/ BAD=80 , / ABC=180 -/ BAD=180 -80 °=100°,/ EF是線段AB的垂直平分線, AF=BF , / ABF= / BAC=40 , / CBF= / ABC- /

5、 ABF=100 -40 °=60° ,在 BCF 和 DCF 中,IBC =CDI3CF =NDCF， pF =CF BCF DCF ( SAS), / CDF= / CBF=60 .故選B .例1.1.3已知四邊形 ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，/ BAD=60，對(duì)角線 AC與BD交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)0的直 線EF交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F.(1) 求證： AOEA COF(2) 若/ EOD=30，求 CE的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析(2)運(yùn)2【解析】(1)證明:四邊形ABCD是菱形, AO=CO ,AD / BC,/ OAE= / OCF ,在AOE和 COF中,"O

6、AE =NOCF4ao =C0INAOE =NCOF AOE BA COF ( ASA );(2)/ BAD=60 ,1 1/DAO=1 / bad=2 池 °=3。°，/ EOD=30 , L_/ AOE=90 -30 °60° ,/ AEF=180 - / DAO- / AOE=180 -30。-60 °90°菱形的邊長(zhǎng)為 2,/ DAO=30 ,1 1 od= 2 aD= 2 幺1，二 A0= JaD? -OD2 =（22-1 = 73 , AE=CF= /3 X =-,2 2菱形的邊長(zhǎng)為 2,/ BAD=60 ,.高 EF=2

7、X 也=732 ，在 Rt CEF 中，CE= JEF2 +CF 2 = J（3）2 +（73）2422二：判定例1.2.1如圖，在?ABCD中，添加下列條件不能判定?ABCD是菱形的是（A. AB=BCC. BD平分/ ABC【答案】【解析】四邊形abcd A、當(dāng)AB=BC確;B、當(dāng)AC丄BD確；B.D.ACI BDAC=BD是平行四邊形，時(shí)，根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可得時(shí)，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，可得?abcd是菱形,?abcd是菱形,故本選項(xiàng)正故本選項(xiàng)正可得C、當(dāng)BD平分/ ABC時(shí)，易證得 AB=AD，根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,ABCD是菱形，故

8、本選項(xiàng)正確；由排除法可得D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選D .例1.2.2如圖，在四邊形 ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH是菱形，則四邊形 ABCD只需要滿足一個(gè)條件，是（）B.四邊形ABCD是菱形D. AD=BCA.四邊形ABCD是梯形C.對(duì)角線AC =BD【答案】D【解析】-在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，/. EF II AD , HG / AD ,”EF / HG ；同理，HELGF , ”.四邊形EFGH是平行四邊形；A、 若四邊形 ABCD是梯形時(shí)，AD hCD，貝U GH HFE，這與平行四邊形 EFGH的對(duì)邊

9、GH = FE 相矛盾；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、 若四邊形ABCD是菱形時(shí)，點(diǎn)EFGH四點(diǎn)共線；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；A選項(xiàng)；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; GH =GF ;所以平行四邊形 EFGH是菱形；故本選項(xiàng)正確.C、若對(duì)角線 AC =BD時(shí)，四邊形ABCD可能是等腰梯形，證明同D 當(dāng) AD =BC 時(shí)，ABC中，/ ACB=90 , CD!AB于 D, AE平分/ BAG 分別于 BC CD交于 E、F, FH,求證：四邊形CFHE是菱形.故答案為D選項(xiàng).例1.2.3如圖.在EH1 AB于H.連接"【答案】見(jiàn)解析【解析】證明：/ ACB=90 , AE 平分/ BAC , EH 丄 AB , CE=EH

10、,在 Rt ACE 和 Rt AHE 中，AE=AE , CE=EH，由勾股定理得： AC=AH , / AE 平分/ CAB ,/ CAF= / HAF , 在 CAF和 HAF中JAC = AH?'1? CAF ? HAF ?AF = AFCAF HAF ( SAS),/ ACD= / AHF , CD 丄 AB , / ACB=90 ,/ CDA= / ACB=90 ,/ B+ / CAB=90 , / CAB+ / ACD=90 ,/ ACD= / B= / AHF , FH / CE, CD 丄 AB , EH 丄 AB ,CF / EH,四邊形CFHE是平行四邊形,E, F

11、分別是邊 AD, BC上的點(diǎn)，且 AE=CF,直線 EF分別交 H,交BD于點(diǎn)0 .'DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G, ABEA CDF; CE=EH ,四邊形CFHE是菱形.例1.2.4已知：如圖，在 ?ABCD中,BA的延長(zhǎng)線、(1)求證：.BEDF是什幺特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1 )證 AB=CD在 ABE菱形明：四邊形ABCD是平行四邊形，,/ BAE= / DCF ,中，上bqZdcf ,ae=cf(SAS );BEDF是菱形；理由如下：如圖所示：和 CDFCDF ABE(2)解：四邊形四邊形ABCD是平行四邊形， AD / BC , AD=BC ,/ AE=CF , DE=

12、BF ,四邊形BEDF是平行四邊形， OB=OD ,/ DG=BG , EF 丄 BD ,四邊形BEDF是菱形.20cm兩條對(duì)角線的比是 4 : 3,則這個(gè)菱形的面積是（）B. 24cmC. 48cm例1.3.1已知一個(gè)菱形的周長(zhǎng)是D. 96cmA. 12cm【答案】B【解析】該題考查的是菱形的性質(zhì).四邊形ABCD是菱形四邊形ABCD四邊長(zhǎng)相等，且對(duì)角線互相垂直且平分,該菱形周長(zhǎng)為20cm它的每個(gè)邊長(zhǎng)為 5cm兩條對(duì)角線的比是 4:3.OA 3OB "4由勾股定理，算出 OA =3cm , OB =4cm ,兩平分線長(zhǎng)度分別為 6cm, 8cm;菱形面積S冷仲8=24cm2.例1.3

13、.2如圖，在菱形為ABCD中，AB=5,對(duì)角線 AC=6.若過(guò)點(diǎn) A作AE丄BC,垂足為 E,貝U AE的長(zhǎng)"A. 412B.524C.5D. 5【答案】C1【解析】連接 BD,交 AC于 O 點(diǎn)， AB=BC=CD=AD=5 - AC丄 BD, AO= 2 AC,/ AOB=90 , AC=6,X 6X 8=24. BC?AE=24BD=2BO,1 1 AO=3,. B0=J25 -9 =4,. DB=8,.菱形 ABCD 的面積是 2 x AC?DB224AE= 5"隨堂練習(xí)1.1如圖，菱形 ABCD的對(duì)角線 AC BD相交于點(diǎn) 則點(diǎn)O到邊AB的距離OH等于（0，AC=

14、8, BD=6,過(guò)點(diǎn) O作OH丄AB，垂足為 H，C【解析】四邊形 B0=3 , A0=4 ,C.12D.可ABCD是菱形，AC=8, BD=6,AO 丄 BO ,- AB=fB0=5.11AO ?BO=22/ OH 丄 AB , oh=JL25故選D.1.2如圖，菱形ABCD中，NDAB =60。, DF丄AB于點(diǎn)E,且DF =DC，連接FC,則NACF的度數(shù)度.C【答案】15NADF =NADB【解析】DF丄AB ,2=120°30 ° = 90, DF =DC:. CDF是等腰直角三角形，1.3如圖,DAC=28A. 28°【答案】，則/ OBC的度數(shù)為（B

15、. 52 °= 45。，. NACF=45°30°=15ZDCF在菱形 ABCD中, M,)O,連接BO若/C. 62°D. 72°【解析】本題考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，注意掌握菱形對(duì)邊平行以及對(duì)角線相 互垂直的性質(zhì).根據(jù)菱形的性質(zhì)以及 AM=CN，利用ASA可得MMO CNO ,可得AO=CO，然后可得BO丄AC ,繼而可求得/ OBC的度數(shù).四邊形ABCD為菱形, AB / CD , AB=BC ,/ MAO= / NCO, / AMO= / CNO ,在MMO和CNO中,"ZMAO= ZNCO AM = CN ,

16、NAMO= ZCNO AMO CNO (ASA ), AO=CO ,/ AB=BC , BO 丄AC ,/ BOC=90 , / DAC=28 ,/ BCA= / DAC=28 , / OBC=90 -28 °62° .故選：C.1.4已知：如圖，四邊形 ABCD是菱形，過(guò) AB的中點(diǎn)E作AC的垂線EF,交AD于點(diǎn)M,交CD的延長(zhǎng) 線于點(diǎn)F."(1)求證：AM=D；(2 )若DF=2,求菱形ABCD勺周長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析(2) 16【解析】(1)證明：四邊形 ABCD是菱形, / BAC= / DAC .又 EF 丄 AC , AC是EM的垂直平分線, AE

17、=AM ,11/ ae=am= -ab=-ad ,22 AM=DM .(2)解： AB / cd ,/ AEM= / F.又/ FMD= / AME , / AME= / AEM ,/ FMD= / F, dfm是等腰三角形,1 df=dm= -ad2 AD=4 .菱形ABCD的周長(zhǎng)是16.1.5如圖，矩形 ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn) O, DE/ AC, CE/ BD. 求證：四邊形 OCE是菱形.【答案】見(jiàn)解析【解析】此題主要考查了菱形的判定，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法：菱形定義：一 組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊 形是菱形.OC

18、ED是平行四邊形，再根據(jù)矩形的首先根據(jù)兩對(duì)邊互相平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形性質(zhì)可得OC=OD，即可利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定出結(jié)論.證明：DE / AC , CE / BD ,四邊形OCED是平行四邊形,四邊形ABCD是矩形, OC=OD ,是菱形.四邊形OCED1.6若順次連接四邊形的各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則該四邊形一定是A.矩形B.等腰梯形C.對(duì)角線相等的四邊形D.對(duì)角線互相垂直的四邊形【答案】C【解析】如圖，根據(jù)題意得：四邊形 EFGH是菱形，點(diǎn) E, F, G, H分別是邊 AD , AB , BC, CD的中點(diǎn), EF=FG=CH=EH , BD=2EF , AC=2FG , BD=AC .原四邊形一定是對(duì)角線相等的四邊形.故選：C.1.7如圖，在矩形 ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線 MN與 AD相交于點(diǎn) M與BD相交于點(diǎn)N,連接BM DN(1) 求證：四邊形BMDNi菱形；(2) 若 AB=4, AD=8 求 MD的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析(2) 5【解析】(1)證明：四邊形 ABCD是矩形, AD / BC , / A=90° , / MDO= / NBO , / DMO= / BNO , 在 DMO 和 BNO 中pDMO “BNO 匕