7.兩個(gè)變量的線性相關(guān)

1、河北武邑中學(xué)教師課時(shí)教案備課人授課時(shí)間課題§232兩個(gè)變量的線性相關(guān)課標(biāo)要求。通過收集現(xiàn)實(shí)問題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系教 學(xué) 目 標(biāo)知識(shí)目標(biāo).認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中變量間除了存在確定的關(guān)系外，仍存在大量的非確定性的相關(guān)關(guān)系，并利用散點(diǎn)圖直觀體會(huì)這種相關(guān)關(guān)系.技能目標(biāo)經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個(gè)變量線性相關(guān)的過程.知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給岀的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程.情感態(tài)度價(jià)值觀使學(xué)生認(rèn)識(shí)到在現(xiàn)實(shí)世界中存在變量關(guān)系，重點(diǎn)通過收集現(xiàn)實(shí)問題中兩個(gè)有天聯(lián)變量的數(shù)據(jù)直觀認(rèn)識(shí)變量間的相天天系；利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí) 兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系；根據(jù)給岀的線性回歸方程的系數(shù)公

2、式建立線性回歸方程難點(diǎn)變量之間相關(guān)關(guān)系的理解；作散點(diǎn)圖和理解兩個(gè)變量的止相關(guān)和負(fù)相關(guān)；理解最小二乘法的思 想.教 學(xué) 過 程 及 方 法問題與情境及教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)提出問題(1) 作散點(diǎn)圖的步驟和方法？(2 )正、負(fù)相關(guān)的概念？(3)什么是線性相關(guān)？(4 )看人體的脂肪百分比和年齡的散點(diǎn)圖，當(dāng)人的年齡增加時(shí)，體內(nèi)脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？(5) 什么叫做回歸直線？(6) 如何求回歸直線的方程？什么是最小二乘法？它有什么樣的 思想？(7) 利用計(jì)算機(jī)如何求回歸直線的方程？(8) 利用計(jì)算器如何求回歸直線的方程？活動(dòng)：學(xué)生回顧，再思考或討論，教師及時(shí)提示指導(dǎo)討論結(jié)果：(1)建立相應(yīng)的平面直

3、角坐標(biāo)系 ，將各數(shù)據(jù)在平面直角 坐標(biāo)中的對應(yīng)點(diǎn)畫出來 ，得到表示兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形，這樣的圖形叫做散點(diǎn)圖( a如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線 上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系，即變量之間具有函數(shù)關(guān)系.b如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系.C.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系)(2) 如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，稱為正相關(guān).如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，稱為負(fù)相關(guān).(3) 如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相 關(guān)的關(guān)系.(4) 大體上來看，隨著年齡的增加，人體中脂肪的百分比也

4、在增加 ，呈正相關(guān)的趨勢，我們可以從散點(diǎn)圖上來進(jìn)一步分析.學(xué)生活動(dòng)問題與情境及教師活動(dòng)學(xué) 過 程 及 方 法從散點(diǎn)圖上可以看出，這些點(diǎn)大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附 近如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線（regressionlin e）.如果能夠求出這條回歸直線的方程（簡稱回歸方程）,那么我們就可以比較清楚地了解年齡與體內(nèi)脂肪含量的相關(guān)性.就像平均數(shù)可以作為一個(gè)變量的數(shù)據(jù)的代表一樣，這條直線可以作為兩個(gè)變量具有線性相關(guān) 關(guān)系的代表.（6）從散點(diǎn)圖上可以發(fā)現(xiàn)，人體的脂肪百分比和年齡的散點(diǎn)圖，大致分布 在通過散點(diǎn)圖中

5、心的一條直線那么，我們應(yīng)當(dāng)如何具體求出這個(gè)回歸方程呢？有的同學(xué)可能會(huì)想，我可以采用測量的方法，先畫出一條直線，測量出 各點(diǎn)與它的距離，然后移動(dòng)直線，到達(dá)一個(gè)使距離的和最小的位置 ，測量出 此時(shí)的斜率和截距，就可得到回歸方程了 .但是，這樣做可靠嗎？有的同學(xué)可能還會(huì)想，在圖中選擇這樣的兩點(diǎn)畫直線，使得直線兩側(cè) 的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同.同樣地，這樣做能保證各點(diǎn)與此直線在整體上是最 接近的嗎？還有的同學(xué)會(huì)想，在散點(diǎn)圖中多取幾組點(diǎn)，確定出幾條直線的方程，再 分別求出各條直線的斜率、截距的平均數(shù)，將這兩個(gè)平均數(shù)當(dāng)成回歸方程的斜率和截距.同學(xué)們不妨去實(shí)踐一下，看看這些方法是不是真的可行？（學(xué)生討論：1.選擇能

6、反映直線變化的兩個(gè)點(diǎn).2.在圖中放上一根細(xì)繩，使得上面和下面點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同或基本相同.3.多取幾組點(diǎn)對，確定幾條直線方程.再分別算出各個(gè)直線方程斜率、截距的算術(shù)平均值，作為所求直線的斜率、截距.）教師：分別分析各方法的可靠性.如下圖：課本87-88上面這些方法雖然有一定的道理，但總讓人感到可靠性不強(qiáng).實(shí)際上，求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距離最小 ”人們經(jīng)過長期的實(shí)踐與研究 ，已經(jīng)得出了 計(jì)算回歸方程的斜率與截距的一般公式：問題與情境及教師活動(dòng)n遲(Xi -x)(yi -y)i 4bn送(Xi X)2i4n、Xi yi - nxyi丄n2_2' Xj

7、- nxi 4(1)a = y _ bX.其中，b是回歸方程的斜率，a是截距.推導(dǎo)公式的計(jì)算比較復(fù)雜，這里不作推導(dǎo)但是,我們可以解釋一下得出它的原理.假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)學(xué)生活動(dòng)教 學(xué) 過 程 及 方 法(xi,yi),(X2,y2),(Xyn),A且所求回歸方程是y =bx+a,其中a、b是待定參數(shù).當(dāng)變量x取Xi(i=1,2,，時(shí)可以得到y(tǒng) =bxi+a(i=1,2,n),A它與實(shí)際收集到的yi之間的偏差是yj-y =yi-(bxi+a)(i=1,2,n).他Ji)0:這樣，用這n個(gè)偏差的和來刻畫各點(diǎn)與此直線的整體偏差”是比較合適anA的由于(yi- y )

8、可正可負(fù)，為了避免相互抵消，可以考慮用x | y yi |來代替，但由于它含有絕對值，運(yùn)算不太方便，所以改用2 2 2Q=(yi-bxi-a) +(y 2-bx2-a) + +(yn-bx n-a)來刻畫n個(gè)點(diǎn)與回歸直線在整體上的偏差.這樣，問題就歸結(jié)為：當(dāng)a,b取什么值時(shí)Q最小，即總體偏差最小.經(jīng)過 數(shù)學(xué)上求最小值的運(yùn)算，a,b的值由公式給出.通過求式的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣 本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法(method of least square)(8)利用計(jì)算器求回歸直線的方程課本89教 學(xué) 過 程 及 方 法問題與情境及教師活動(dòng)學(xué)

9、生活動(dòng)例1有一個(gè)冋學(xué)家開了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影 響，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：攝氏溫度/C-504712151923熱飲杯數(shù)15615013212813011610489(1) 畫出散點(diǎn)圖；(2) 從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；(3) 求回歸方程；(4) 如果某天的氣溫是 2 C,預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù).解：課本911線性回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本估計(jì)出來的，存在隨機(jī)誤 差，這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果的偏差2即使截距和斜率的估計(jì)沒有誤差，也不可能百分之百地保證對應(yīng)于x的預(yù)報(bào)值，能夠與實(shí)際值y很接近我們不能保證點(diǎn)(x,y)落在回歸直線上，甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近，事實(shí)上，AAy=bx+a+e= y+e.這里e是隨機(jī)變量，預(yù)報(bào)值 y與實(shí)際值y的接近程度由 隨機(jī)變量e的標(biāo)準(zhǔn)差所決定.一些學(xué)生可能會(huì)提出問題：既然不一定能夠賣出143杯左右熱飲，那么為什么我們還以 這天大約可以賣出143杯熱飲”作為結(jié)論呢？這是 因?yàn)檫@個(gè)結(jié)論出現(xiàn)的可能性最大.具體地說，假如我們規(guī)定可以選擇連續(xù)的3個(gè)非負(fù)