高數(shù)8-7方向?qū)?shù)與梯度ppt課件

1、 第八章 第七節(jié)第七節(jié)一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù) 二、梯度二、梯度 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度l( , )P x y一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)定義定義: 若函數(shù)若函數(shù)( , )zf x yf0lim則稱則稱lflf22()() ,xy ,cosx,cosy為函數(shù)在點(diǎn)為函數(shù)在點(diǎn) P 處沿方向處沿方向 l 的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).0(,)( , )limf xx yyf x y在點(diǎn)在點(diǎn) ( , )P x y處處沿方向沿方向 l (方向角為方向角為, ) 存在下列極限存在下列極限: P記作記作 ( , )( , ),f x yP x y若函數(shù)在點(diǎn)處可微( , )P x yl定理定理:則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方

2、向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,flf0limcoscosffflxy,.l 其中為 的方向角證明證明: 由函數(shù)由函數(shù)( , )f x y( )fffxyoxy coscosffxy且有且有)(o在點(diǎn)在點(diǎn) P 可微可微 , 得得P故coscosffxy對于三元函數(shù)對于三元函數(shù)( , , ),f x y z為為 ) ) 的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為( , , )(P x y zl在點(diǎn)處沿方向方0(,)( , )limff xx yy zzf x yl( , , )cos( , , )cos( , , )cosxyzfx y zfx y zfx y z222()()() ,xyz cos, .cos,cos

3、 )xyz xflf特別特別: : 當(dāng)當(dāng) l 與與 x 軸同向軸同向有時,2,0 當(dāng)當(dāng) l 與與 x 軸反向軸反向有時,2,xflf向角向角 ,例例1. 求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) P(1, 1, 1) 沿向量沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向?qū)?shù) .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx解解: 向量向量 l 的方向余弦為的方向余弦為例例2. 求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)P(2, 3)沿曲線沿曲線223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).解解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為將已知曲線用參數(shù)方程表示為2)2, 1 (x

4、xPlz它在點(diǎn)它在點(diǎn) P 的切向量為的切向量為,171cos1760 xoy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4, 1 (174cos1例例3. 設(shè)設(shè)是曲面是曲面n在點(diǎn)在點(diǎn) P(1, 1, 1 )處處指向外側(cè)的法向量指向外側(cè)的法向量,解解: 方向余弦為方向余弦為,142cos,143cos141cos而而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得同理得) 1,3,2(2632222zyx方向方向的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在點(diǎn)在點(diǎn)P 處沿處沿求函數(shù)求函數(shù)nn二、梯度二、梯度 方向?qū)?shù)

5、公式方向?qū)?shù)公式coscosffflxy令向量令向量這說明這說明方向：方向：f 變化率最大的方向變化率最大的方向模模 : f 的最大變化率之值的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：方向?qū)?shù)取最大值：,ffGxy)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致時與當(dāng)Gl:GGlfmax定義定義, fadrg即即fadrg同樣可定義三元函數(shù)同樣可定義三元函數(shù)( , , )f x y z),(yxPyfxfjyfixff,grad稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (P) 在點(diǎn)在點(diǎn) P 處的梯度處的梯度zfyfxf,kzfjyfixf記作記作(gradient),在點(diǎn)在點(diǎn)處的梯度處的

6、梯度 G向量向量1. 函數(shù)函數(shù))ln(222zyxu在點(diǎn)在點(diǎn))2,2, 1 (M處的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:注意注意 x , y , z 具有輪換對稱性具有輪換對稱性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向?qū)?shù)是 .在點(diǎn)在點(diǎn)A( 1 , 0 , 1) 處沿點(diǎn)處沿點(diǎn)Axd d2. 函數(shù)函數(shù))ln(22zyxu提示提示:31,32,32那那么么cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0, ) 1 ,2,2(AB

7、0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu21 第八章 第八節(jié)第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 二、最值應(yīng)用問題二、最值應(yīng)用問題三、條件極值三、條件極值多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法xyz一、一、 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 定義定義: 若函數(shù)若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值極小值).例如例如 :在點(diǎn)在點(diǎn) (0,0) 有極小值有極小值;在點(diǎn)在點(diǎn) (0,0) 有極大值有極大值;在點(diǎn)在點(diǎn) (0,0) 無極值無極值.極大值和極小值極大值和極小值統(tǒng)稱為極值統(tǒng)稱為極值, 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).),

8、(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22zxy yxz ),(),(00yxyxfz在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有的某鄰域內(nèi)有xyzxyz說明說明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) . 例如例如,定理定理1 (必要條件必要條件)函數(shù)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值取得極值 ,取得極值取得極值取得極值取得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值

9、且在該點(diǎn)取得極值 , 則有則有),(),(00yxyxfz在點(diǎn)存在存在),(),(00yxyxfz在點(diǎn)因在),(0yxfz 0 xx 故故在),(0yxfz 0yy yxz 時時, 具有極值具有極值定理定理2 (充分條件充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且且令令那么那么: 1) 當(dāng)當(dāng)A0 時取極小值時取極小值.2) 當(dāng)當(dāng)3) 當(dāng)當(dāng)時時, 沒有極值沒有極值.時時, 不能確定不能確定 , 需另行討論需另行討論.若函數(shù)若函數(shù)的在點(diǎn)),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxf

10、ByxfAyyyxxx02BAC02 BAC02BAC例例1.1.求函數(shù)求函數(shù)解解: : 第一步第一步 求駐求駐點(diǎn)點(diǎn). .得駐點(diǎn)得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (: (1, 0) , (1, 2) , (3, 3, 0) , (0) , (3, 2) .3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(diǎn)在點(diǎn)(1,0) (1,0) 處處為極小值為極小值; ;解方程組解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值的極值. .求二階偏導(dǎo)數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0,

11、 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233在點(diǎn)在點(diǎn)( (3,0) 3,0) 處處不是極值不是極值; ;在點(diǎn)在點(diǎn)( (3,2) 3,2) 處處為極大值為極大值. .,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(diǎn)在點(diǎn)(1,2) (1,2) 處處不是極值不是極值; ;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC例例2.討論函數(shù)討論函數(shù)及及是否取得極值是否取得極值.解解: 顯然顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn)都是它們的駐點(diǎn) ,

12、在在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因而因而 z(0,0) 不是極值不是極值.因而因而,022時當(dāng) yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值為極小值. .正正負(fù)負(fù)033yxz222)(yxz在點(diǎn)(0,0)并且在并且在 (0,0) 都有都有 02BAC33yxz可能為可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxz二、最值應(yīng)用問題二、最值應(yīng)用問題函數(shù)函數(shù) f 在閉域上連續(xù)在閉域上連續(xù)函數(shù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn)最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)、偏導(dǎo)不存在的點(diǎn)駐點(diǎn)、偏導(dǎo)不存在的點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,

13、且只有一個極值點(diǎn)且只有一個極值點(diǎn)P 時時, )(Pf為極小為極小 值值)(Pf為最小為最小 值值( (大大) )( (大大) )根據(jù)根據(jù)例例3.3.解解: 設(shè)水箱長設(shè)水箱長,寬分別為寬分別為 x , y m ,則高為則高為則水箱所用材料的面積為則水箱所用材料的面積為令令得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個體積為某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222

14、xxyA0)(222yyxA因此可因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn)斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn). 即當(dāng)長、寬均為即當(dāng)長、寬均為高為高為時時, 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233例例4. 有一寬為有一寬為 24cm 的長方形鐵的長方形鐵板板 ,把它折起來做成把它折起來做成解解: 設(shè)折起來的邊長為設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面面積則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大積最大. )0,120:(2 xD為為問怎樣折法

15、才能使斷面面問怎樣折法才能使斷面面cos24xcos22x0)sin(cos222x令令xAsin24sin4x0cossin2xA解得解得: :由題意知由題意知, ,最大值在定義域最大值在定義域D D 內(nèi)達(dá)到內(nèi)達(dá)到, , 而在域而在域D D 內(nèi)只有內(nèi)只有一個駐點(diǎn)一個駐點(diǎn), ,故此點(diǎn)即為所求故此點(diǎn)即為所求. .,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x三、條件極值三、條件極值條件極值的求法條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)求一元函數(shù)的無條件極值問題的無條

16、件極值問題對自變量除定義域限制外對自變量除定義域限制外, 還有其它條件限制還有其它條件限制例如例如 ,轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz例例.要設(shè)計(jì)一個容量為要設(shè)計(jì)一個容量為0V水箱長、寬、高等于多少時所用材料最??？水箱長、寬、高等于多少時所用材料最??？的長方體開口水箱的長方體開口水箱, 試問試問 ,0),(下在條件yx方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.如方法如方法 1 所述所述 ,則問題等價(jià)于一元函數(shù)則問題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題的極值問題,極值點(diǎn)必滿足極值點(diǎn)必滿足設(shè)設(shè) 記.),(的極值

17、求函數(shù)yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有故有引入輔助函數(shù)引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù)函數(shù).0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格利用拉格極值點(diǎn)必滿足極值點(diǎn)必滿足0 xxf0yyf0),(yx則極值點(diǎn)滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.),(),(yxyxfF推廣推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形個約束條件的情形. 設(shè)設(shè)解方

18、程組解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn)可得到條件極值的可疑點(diǎn) . 例如例如, 求函數(shù)求函數(shù)下的極值下的極值.在條件在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F例例5.要設(shè)計(jì)一個容量為要設(shè)計(jì)一個容量為0V則問題為求則問題為求x , y ,令令解方程組解方程組解解: 設(shè)設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高分別表示長、寬、高,下水箱表面積下水箱表面積最小最小.z 使在條件使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱長、寬、高等于多少時所用材料最省

19、？水箱長、寬、高等于多少時所用材料最??？的長方體開口水箱的長方體開口水箱, 試問試問 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn),2230Vzyx3024V由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長、寬為高的長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省倍時，所用材料最省.因而因而 , 當(dāng)高為當(dāng)高為,340Vxyz例例6：已知平面上兩定點(diǎn)：已知平面上兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓試在橢圓圓周上求一點(diǎn)圓周上求一點(diǎn) C, 使使ABC 面積面積 S最大最大.解答提示解答提示:CBAoyxED設(shè)設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐

20、標(biāo)為 (x , y), 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx那么那么 ACABS2110321yx設(shè)拉格朗日函數(shù)設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組解方程組得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)對應(yīng)面積對應(yīng)面積而而比較可知比較可知, 點(diǎn)點(diǎn) C 與與 E 重合時重合時, 三角形三角形面積最大面積最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2CDSS1. 求半徑為求半徑為R 的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解解: 設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為 x , y , z ,那那么么,2zyxzyx它們所對應(yīng)的三個三角形面積分別為它們所對應(yīng)的三個三角形面積分別為,si