北京高考文科數(shù)學(xué)試題及答案完美版

1、2 0 14 年普高等學(xué)校招生全國統(tǒng)、選擇題共8小題，每小題5分,(1)若集合A 0,1,2,4(A)0,1,2,3,4(2)下列函數(shù)中，定義域是x(A) y e(3)r已知向量a 2,4 ,(A) 5,7(4)(5)(6)(A)數(shù)學(xué)（文）第一部分（選擇題（北京卷）共40分）共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1,2,3 ，則 AI(B)0,4R且為增函數(shù)的是（(B)(C)(C)1,2(D) 3ln x(D)1,1(B)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的(A)(C)設(shè)a、(B) 3(D)15b是實數(shù)，則“ a（A）充分而不必要條件（C）充分必要條件已知函數(shù)0,1已知圓CB

2、m,0 m 0(B)r，則2a5,9S值為b” 是 “ a2(B)(D)(C)3,7(D) 3,9開始b2”k=0 S=0必要而不必要條件既不充分不必要條件(A) 7log 2 X ,在下列區(qū)間中,包含 f x零點的區(qū)間k<3是1,2使得(B) 6(C)2,4241和兩點AAPB 90°,則(D)4,m的最大值為（(C) 5(D)（8）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條0.80.7-件下，可食用率 p與加工時間t （單位：分鐘）滿足的函數(shù)關(guān)系0.5SS+2k=k+12p at bt c （ a、b、c是常數(shù)），如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)

3、模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為（結(jié)束O345 t(A)3.50分鐘(B) 3.75分鐘(C)4.00分鐘(D) 4.25分鐘第二部分(非選擇題 共110分)二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。(9)若 Xi i 1 2i x R ,則 x(10)設(shè)雙曲線C的兩個焦點為5/2,0 , J2,0 ，一個頂點式則C的方程為(11)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的最長棱的棱長(12)在 ABC 中,1 一2 , cosC ，貝1J c4sin A(13)若X、y滿足0 ,則z J3x y的最小值(14)顧客請一位工藝師把A、B兩件玉石原料各制成一件工藝品，工藝師帶一位徒弟完成這項任

4、務(wù),每件顏料先由徒弟完成粗加工，再由工藝師進(jìn)行精加工完成制作，兩件工藝品都完成后交付顧客,兩件原料每道工序所需時間(單位：工作日)如下:工序 jj-j時間、原料粗加工精加工原料A"原料B則最短交貨期為工作日.三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明，演算步驟。(15)(本小題13分)已知an是等差數(shù)列，滿足a13,a412,數(shù)列bn滿足b14,b420,且bnan為等比數(shù)列.(I )求數(shù)列an和bn的通項公式;(n)求數(shù)列bn的前n項和.(16)(本小題13分)函數(shù) f x 3sin 2x的部分圖象如圖所示(i)寫出f x的最小正周期及圖中 x0、 y0的值;(n)求f

5、 x在區(qū)間 一，一上的最大值和最小值212(17)(本小題14分)如圖，在三木柱 ABC A1B1cl中，側(cè)棱垂直于底面,AA1 AC 2 ,E、F分別為AC1、BC的中點.(I)求證：平面 ABE 平面B1BCC1 ；(n)求證：C1F/ 平面 ABE ；(田)求三棱錐 E ABC的體積.(18)(本小題14分)從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時間(單位：小時)的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù) 分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖:組號分組頻數(shù)1628317422525612768292合計100(I)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計這名學(xué)生該周課外閱讀時間少于12小時的概率；(n)求頻率分

6、布直方圖中的a, b的值；(m)假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，試估計樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組(只需寫出結(jié)論)(19)(本小題14分)22已知橢圓C： x2 2y24.(I)求橢圓C的離心率；(n)設(shè)。為原點，若點 A在直線y 2,點B在橢圓C上，且OA OB ,求線段ab長度的最小值.(20)(本小題13分)已知函數(shù) f(x) 2x3 3x.(I)求f(x)在區(qū)間2,1上的最大值;(n)若過點P(1,t)存在3條直線與曲線y f (x)相切，求t的取值范圍;(田)問過點 A( 1,2), B(2,10), C(0,2)分別存在幾條直線與曲線y f(

7、x)相切？(只需寫出結(jié)論)2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué)(文)(北京卷) 答案及解析第一部分(選擇題共40分)、選擇題共8小題，每小題 5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項(1)若集合A 0,1,2,4 , B 1,2,3，則 AI B(A)0,1,2,3,4(B) 0,4(C) 1,2(D) 3【解析】因為A B 1,2,所以選 C.【考點】本小題主要考查集合的基本運(yùn)算，屬容易題，熟練集合的基礎(chǔ)知識是解答集合題目的關(guān)鍵(2)下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是(A) y(B) y x(C) yln x(D) y x【解析】對于選項A,在R上是減函數(shù)；

8、選項 C的定義域為(0,);選項D,在(,0)上是減函數(shù),r1,1，貝 U 2a(A) 5,7(B) 5,9(C) 3,7(D) 3,9【解析】因為2a(4,8),所以2a b (4,8)1,1)(5,7),故選 a.故選B.【考點】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題，難度不大r(3)已知向量a【考點】本小題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，屬容易題(4)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為(A)(B) 3(C)(D) 15【解析】當(dāng)k=0 時,1;當(dāng) k=1 時，S 1 23;當(dāng)k=2時,7 ;當(dāng)k=3時，輸出S 7 ,故選C.【考點】本小題主要考查程序框圖的基礎(chǔ)知識，難度不大，程序框圖是高考新

9、增內(nèi)容，是高考的重點知識，熟練本部分的基礎(chǔ)知識是解答的關(guān)鍵(5)設(shè)a、b是實數(shù)，則“b" 是“a2b2” 的()(A)充分而不必要條件(B)必要而不必要條件(C)充分必要條件(D)既不充分不必要條【解析】若a 0,b2,.2b ,故不充分;若 a 2,b 0,2,b ,而a b,故不必要，故選 d.【考點】本小題主要考查不等式的性質(zhì)，熟練不等式的性質(zhì)是解答好本類題目的關(guān)鍵6 .(6)已知函數(shù) f X 10g 2 X ,在下列區(qū)間中，包含 f X零點的區(qū)間是()X(A) 0,1(B)1,2(C)2,4(D)4,【答案】C3【解析】因為f(2) 4 10, f(4) 2 0,所以由根的存

10、在性定理可知，選C.2【考點】本小題主要考查函數(shù)的零點知識，正確理解零點定義及根的存在性定理是解答好本類題目的關(guān)IT 2. 2已知回C: x 3 y 41和兩點A m,0 , B m,0 m 0 ,若圓C上存在點P ,使得 APB 900,則m的最大值為()(A) 7(B) 6(C) 5(D) 4【答案】B【解析】由題意知，點P在以原點(0,0)為圓心，以m為半徑的圓上，又因為點 P在已知圓上，所以只要兩個圓有交點即可，所以 m 15 ,故選B.【考點】本小題主要考查兩圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查分析問題與解決問題的能力.(8)加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.咋

11、特定條件下，可食用率p與加工時間t (單位：分鐘)滿足的函數(shù)關(guān)系p at2 bt c (a、b、c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為()(A) 3.50分鐘(B) 3.75分鐘(C) 4.00分鐘(D) 4.25分鐘【答案】B【解析】由圖形可知，三點(3,0.7),(4,0.8), (5,0.5)都在函數(shù)p at2 bt c的圖象上，0.2,b 1.5,c2.9a 3b c 0.7所以16a 4b c 0.8,解得a25a 5b c 0.5一215 213150.81 時，0.71;II0.511 |!1>-O345t所以 p 0.2t

12、1.5t 20.2（t 一）一，當(dāng) t一=3.754164p取最大值，故選 B.第二部分 (非選擇題共110分)【考點】本小題以實際應(yīng)用為背景，主要考查二次函數(shù)的解析式的求解、 二次函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查同學(xué)們分析問題與解決問題的能力二、填空題共6小題，每小題 5分，共30分。(9)若 x i i 1 2i x R ,則 x 【答案】2【解析】由題意知：xi 11 2i ,所以由復(fù)數(shù)相等的定義知x 2【考點】本小題主要考查復(fù)數(shù)相等的定義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算，難度不大，復(fù)數(shù)是高考的重點，年年必考，熟練復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵(1。)設(shè)雙曲線C的兩個焦點為J2,0 , J2,0 ，一個頂點

13、式1,0 ,則C的方程為 【答案】x2 y2 1【解析】由題意知：c 叵a 1,所以b2 c2 a2 1,又因為雙曲線的焦點在x軸上，所以C的方程為x2 y2 1.【考點】本小題駐澳考查雙曲線方程的求解、a, b, c的關(guān)系式，考查分析問題與解決問題的能力.(11)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長棱的棱長為【答案】2,2【解析】由三視圖可知：該幾何體為一條側(cè)棱垂直底面的三棱錐，底面為邊長為2的等邊三角形，棱錐的高為2,所以最長的棱長為逅222H【考點】本小題主要考查立體幾何的三視圖，考查同學(xué)們的空間想象能力，考查分析問題與解決問題的 能力.1(12)在 ABC 中，a 1, b 2,

14、 cosC ,則 c ； sin A 4【解析】由余弦定理得:22.21._cab2abcosC 5 2 2 - 4,故 c 2；因為44 4 1715cos A 一，所以 sin A 2 2 288【考點】本小題主要考查解三角形的知識，考查正弦定理，三角函數(shù)y(13)若x、y滿足 x的基本關(guān)系式等基礎(chǔ)止水，屬中低檔題目y 1 0 ,則z J3x y的最小值 y 1 0為 【答案】1【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，可知區(qū)域為三角形，平移直線z J3x y可得，當(dāng)直線經(jīng)過兩條直線y 1與x y 10的交點(0,1)時，z取得最小值1.【考點】本小題主要考查在約束條件下的簡單的目標(biāo)函數(shù)的最值問

15、題，正確畫圖與平移直線是解答這類問題的關(guān)鍵.(14)顧客請一位工藝師把 A、B兩件玉石原料各制成一件工藝品，工藝師帶一位徒弟完成這項任務(wù),每件顏料先由徒弟完成粗加工，再由工藝師進(jìn)行精加工完成制作，兩件工藝品都完成后交付顧客,兩件原料每道工序所需時間(單位：工作日)如下：、 工序時間原料二1:粗加工精加工原料A原料B則最短交貨期為 工作日.【答案】42【解析】因為第一件進(jìn)行粗加工時，工藝師什么都不能做，所以最短交貨期為6 15 21 42天.【考點】本小題以實際問題為背景，主要考查邏輯思維能力，考查分析問題與解決問題的能力三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明，演算步驟。(15)

16、(本小題13分)已知an是等差數(shù)列，滿足a13,a412,數(shù)列如滿足b14,b,20,且如an為等比數(shù)列.(I)求數(shù)列 an和bn的通項公式；(n)求數(shù)列 bn的前n項和.(15)(共 13 分)解：(I) 設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d,由題意得d%一巴333所以 an a1 n 1 d 3n n 1, 2, L設(shè)等比數(shù)列 bn an的公比為q,由題意得q3且空_2 8 ,解得q 2 .b1 a14 3n 1 n 1所以 bn an b & q 2.從而 bn 3n 2n 1 n 1 , 2, L(n)由知 bn 3n 2n 1 n 1, 2, L .312nh數(shù)列3n的前n項和為3 n

17、 n 1 ,數(shù)列 2 的前n項和為1 x 2n 1 .2 1 23 n所以，數(shù)列 bn的刖n項和為一n n 121 .2(16)(本小題13分)函數(shù)f x 3sin 2x 的部分圖象如圖所示6(I)寫出f x的最小正周期及圖中 x0、 y0的值;(n)求f x在區(qū)間一，一上的最大值和最小值212(16)(共 13 分)解：(I ) f x的最小正周期為717兀 x0(n) 因為x7t7t12所以2x7t于是當(dāng)2x 0 ,即x6時，f x取得年大值0 ；12當(dāng)2x -，即x62(17)(本小題14分)時，f x取得最小值 3.3如圖，在三木柱 ABC A1B1cl中，側(cè)棱垂直于底面,AA AC

18、2 ,E、F分別為AC、BC的中點.(D求證：平面 ABE 平面B1BCC1 ；(n)求證：C1F/ 平面 ABE；(田)求三棱錐 E ABC的體積.(17)(共 14 分)AB BC,C1C解：(I )在三棱柱 ABC ABQ1中，BB1 底面ABC .所以BB1 AB .又因為AB BC .所以AB 平面B1BCC1 .所以平面 ABE 平面B1BCC1 .(n)取AB中點G ,連結(jié)EG , FG .因為E , F分別是AG , BC的中點,所以 FG / AC ,且 FG 1 AC .2因為 AC / AC1 ,且 AC AC1 ,6所以 FG / EC1 ,且 FG EC1 .所以四邊

19、形FGECi為平行四邊形.所以 GF / EG .又因為EG 平面ABE, GF 平面ABE, 所以GF /平面ABE.（田）因為 AA AC 2, BC 1 , AB BC , 所以 AB JACBoT 展.所以三棱錐E ABC的體積1c1 1 -3V S»a abc AA1 V3 1 2 33 23(18)(本小題14分)從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時間(單位：小時)的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖:組號分組頻數(shù)1628317422525612768292合計100(I)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計這名學(xué)生該周課外閱讀時間 少于12小時

20、的概率；(n)求頻率分布直方圖中的a, b的值；(m)假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，試估計樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組(只需寫出 結(jié)論)(18)(共 13 分)解：(I )根據(jù)頻數(shù)分布表，100名學(xué)生中課外閱讀時間不少于時的學(xué)生共有6 2 2 10名，所以樣本中的學(xué)生課外閱讀時間少于 12小時的頻率是12小從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計其課外閱讀時間少于12小時的率為0.9 .(n)課外閱讀時間落在組4 , 6)的有17人，頻率為0.17 ,所以0.085.頻率 0.17a 組距 2課外閱讀時間落在組 8, 10)的有25人，頻率為0.25,所以b頻率而

21、0.250.125.(田)樣本中的100名學(xué)生課外閱讀時間的平均數(shù)在第4組.(19)(本小題14分)已知橢圓C： x2 2y24.(I)求橢圓C的離心率;(n)設(shè)。為原點，若點 A在直線y 2,點B在橢圓C上，且OA OB ,求線段AB長度的最小值(19)(共 14 分)22解：(I)由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1.42所以 a2 4 , b2 2,從而 c2 a2 b2 2.因此a 2 , c貶.故橢圓C的離心率e c .a 2(n)設(shè)點A , B的坐標(biāo)分別為V。因為OA OB ,uur所以O(shè)AuurOB0,即tXo 2y00 ,解得t2y。又X 2yt2 4 ,所以X282 ,.-2 4 0 x0 W 42 X0因為電與4 02X0X2 W 4 ,且當(dāng) X24時等號成立，所以| AB' 8 .故線段AB長度的最小值為 2丘.(20)(本小題13分)已知函數(shù) f(X) 2x3 3x .(I)求f (x)在區(qū)間2,1上的最大值；(n)若過點P(1,t)存在3條直線與曲線y f(X)相切，求t的取值范圍；(田)問過點 A( 1,2), B(2,10), C(0,2)分別存在幾條直線與曲線y f(X)相切？(只需寫出結(jié)論)(20)(共 13 分)解：(I) 由 f x 2x3 3x得 f x 6x2 3.令 f x