算術(shù)平方根第一課時教學(xué)設(shè)計

1、人教版數(shù)學(xué)七年級下冊第六章第一節(jié)算術(shù)平方根贛州市贛縣石芫中學(xué)黃新杰1人教版七（下） 6.1 平方根（第 1 課時）算術(shù)平方根教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)課是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書人教版七年級( 下 ) 第六章實數(shù)的第一節(jié)平方根的第 1 課時， 主要是 “算術(shù)平方根” 的概念和性質(zhì)的教學(xué)， 屬于“數(shù)與代數(shù)” 領(lǐng)域其教數(shù)學(xué)本質(zhì)是已知冪和乘方指數(shù)2 求正底數(shù)，即求正數(shù)乘方的逆運算問題.學(xué)本節(jié)課是在七年級上冊學(xué)習(xí)了有理數(shù)的乘方運算的基礎(chǔ)上安排的，是學(xué)習(xí)平方根、無理內(nèi)數(shù)、實數(shù)、二次根式、一元二次方程以及解三角形等內(nèi)容的準(zhǔn)備知識. 由于實際計算中需要容解引入無理數(shù)， 使數(shù)的范圍從有理數(shù)擴充到了實數(shù)，從

2、而完成了初中階段數(shù)的擴展；運算方面，析在乘方的基礎(chǔ)上引入了開方運算，使代數(shù)運算得以完善. 因此，本節(jié)課是有助于了解平方根、開方、 n 次方根的概念，為今后學(xué)習(xí)根式運算、方程、函數(shù)等知識作鋪墊. 同時也為學(xué)習(xí)有關(guān)的物理、化學(xué)公式的計算打下扎實的基礎(chǔ).1. 了解算術(shù)平方根的概念， 會求一個正數(shù)的算術(shù)平方根， 能用數(shù)學(xué)符號表示算術(shù)平方根，了解算術(shù)平方根的性質(zhì)；進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、符號感.教2.通過探究2 大小，培養(yǎng)學(xué)生估算意識，感知無限不循環(huán)小數(shù)的特點，滲透“數(shù)形結(jié)學(xué)合”“夾逼法”等數(shù)學(xué)思想方法 .目3.能運用算術(shù)平方根的知識解決實際問題，增強數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.標(biāo)4.在概念形成過程中，讓學(xué)生體會知

3、識的來源與發(fā)展，提高學(xué)生的思維能力；在合作交流等活動中，培養(yǎng)他們的合作精神和創(chuàng)新意識激勵學(xué)生樹立遠大理想，并為實現(xiàn)自己的理想目標(biāo)而努力 .重點理解算術(shù)平方根的概念、性質(zhì) .難（ 1）理解算術(shù)平方根的意義；點（ 2）正確求出一個非負數(shù)的算術(shù)平方根.學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)： 學(xué)生已學(xué)完有理數(shù)的乘方，具備了乘方運算的基礎(chǔ)， 對冪中的底數(shù)、指數(shù)等概念有了一定的了解；并且有計算正方形等幾何圖形面積的技能這就是本節(jié)課學(xué)的教學(xué)出發(fā)點，有助于本節(jié)學(xué)習(xí)活動的進行.情學(xué)生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：此階段的學(xué)生具有很強的好奇心、強烈的“自我”和自我發(fā)展的意分析識，因此對新鮮事物或新內(nèi)容特別感興趣，但缺乏學(xué)習(xí)的方法. 在前面的學(xué)習(xí)過

4、程中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過程，具備了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，具備了一定的合作與交流的能力教學(xué)結(jié)合本節(jié)課的知識內(nèi)容的特點與學(xué)生的知識能力基礎(chǔ)，擬采用探究法、類比法、數(shù)形結(jié)策略合法、夾逼法等方法進行教學(xué) .分析2二、教學(xué)流程安排活動流程圖活動一：創(chuàng)設(shè)情景，引入新課活動二：知識類比，形成概念活動三：理解概念，初步應(yīng)用活動四：符號表達，感受簡潔活動五：數(shù)形結(jié)合，感知估算活動六：學(xué)以致用，強化新知活動七：小結(jié)提升，合作交流活動八：分層作業(yè)，共同進步內(nèi)容和目的數(shù)學(xué)生活化，從生活中的實例引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的認知沖突，為形成算術(shù)平方根概念做準(zhǔn)備 .從已有知識（二次冪運算）入手，感知一個

5、正數(shù)的平方運算與求算術(shù)平方根的互逆過程，類比理解概念 .通過文字語言敘述算術(shù)平方根的初步運用，強化對概念的認識，經(jīng)歷算術(shù)平方根求解過程 . 運用數(shù)學(xué)符號表示算術(shù)平方根，感受數(shù)學(xué)符號的簡潔美 .數(shù)形結(jié)合，動手操作，體驗“夾逼法”，探究估算2 的大小，感知無限不循環(huán)小數(shù)的特征.生活數(shù)學(xué)化，學(xué)以致用，運用算術(shù)平方根的知識解決實際問題，體現(xiàn)概念與運算的一致性 . 小結(jié)反思，回顧所學(xué)的知識方法，形成體系，提升學(xué)習(xí)方法與學(xué)生素養(yǎng) .關(guān)注差異，落實人文精神，使不同層次的學(xué)生都能體會到學(xué)習(xí)的成功，獲得不同的發(fā)展.三、教學(xué)過程設(shè)計問題情境師生行為設(shè)計意圖活動 1創(chuàng)設(shè)情景，引入新課（ 1）同學(xué)們，在某校舉行的以“

6、中國夢 , 我的夢”為主題的繪畫比賽中，歡歡同學(xué)準(zhǔn)備了一些正方形的畫布，根據(jù)下表正方形的邊長，你能快速求出相應(yīng)正方形的面積嗎？（ 2）填表：（表 1)正方形的邊長/dm120.523正方形的面積/dm2已知正方形的邊長，求面積.（已知一個正數(shù)，求這個正數(shù)的二次冪. ）學(xué)生課前聆聽歌曲中國夢我的夢，欣創(chuàng)設(shè)中國夢我賞一組“中華民族復(fù)興”的夢為主題的繪畫的圖片 .活動情景， 切入課題 .學(xué)生利用乘方的法（表 1) 已知一個則進行（表 1) “已知正數(shù)，求這個正數(shù)的正方形邊長求面積”運二次冪； ( 表 2）是已算；利用乘方的互逆運知一個正數(shù)的二次算進行 ( 表 2）“已知正冪，求這個正數(shù) , 即求方形

7、的面積求邊長”的一個二次冪的正底計算 .數(shù) .3問題情境(表 2）師生行為設(shè)計意圖正方形的面積 /dm2140.2549正方形的邊長/dm（教師在學(xué)生完成的基礎(chǔ)上與學(xué)生共同總結(jié)：已知正方形的面積求邊長，實際上就是已知一個正數(shù)的二次冪，求這個正數(shù) , 即求一個二次冪的正底數(shù) . ）本次活動應(yīng)重點關(guān)注：學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)兩道題的解答過程中對乘方運算及其互逆運算的感知 .引導(dǎo)學(xué)生觀察、 分析通過對比，讓學(xué)生感知（表 1) 與( 表 2）運算的互逆過程，從乘方入手， 為形成“算術(shù)平方根”的概念做準(zhǔn)備 .活動 2 知識類比，形成概念（ 1） 表 1 和表 2 中的兩種運算有什么關(guān)系？（互逆運算）（ 2）如

8、果表 1 中正方形的邊長用 x 表示，面積用 a 表示，可以得到 x2a 在這個式子x2a 中， a 叫做 x的二次冪， 正數(shù) x 是二次冪運算中的什么數(shù)？（正底數(shù)）正數(shù) x 又叫做 a 的算術(shù)平方根（ 3）歸結(jié)概念：一般地，如果一個正數(shù) x 的平方等于 a ，即 x2 a ，那么這個正數(shù) x 就叫做 a 的算術(shù)平方根 .活動 3 理解概念，初步應(yīng)用（1）試一試：因為 42=16 ， 所以是 16 的算術(shù)平方根；因為 0.52=0.25 , 所以是 0.25 的算術(shù)平方根；因為 ( 4 ) 2=16 , 所以是的算術(shù)平方根.9 81（ 2）想一想：判斷下列說法是否正確. 5是 25的算術(shù)平方根

9、；（） 0.01 是0.1 的算術(shù)平方根； (） 0的算術(shù)平方根是 0.（）（規(guī)定 : 0 的算術(shù)平方根是0）乘 方 運 算 x 2a 中 x與 a 的意義，由乘方運算定義算術(shù)平方根 . 引導(dǎo)學(xué)生用文字語言進行表述算術(shù)平方根定義 . 教師完善并板書定義 .本次活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注：（ 1）讓學(xué)生充分經(jīng)歷探究算術(shù)平方根定義的過程，讓學(xué)生感受到正數(shù)的二次冪運算和求二次冪的正底數(shù)運算互為逆運算 .（ 2）從特殊到一般、具體到抽象的數(shù)學(xué)思想方法及歸納的能力的培養(yǎng) .對照概念，學(xué)生先獨立完成，再交流互補，不斷完善 . 教師給予評價和鼓勵 .本次活動中教師應(yīng)重點關(guān)注：（ 1）讓學(xué)生充分經(jīng)歷探索求一個正數(shù)

10、的算術(shù)平方根過程 .（ 2）學(xué)生在自主完成時應(yīng)讓學(xué)生有一個獨立思考、交流意見的時間和空間 .從學(xué)生已有的“乘方”運算知識入手， 幫助學(xué)生認識到x 是二次冪 a 的正底數(shù)，我們也將“正數(shù) x叫 做 a 的 算 術(shù) 平 方根”，這樣學(xué)生容易理解定義。經(jīng)歷從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法 .讓學(xué)生親身體驗概念的形成過程 , 進而準(zhǔn)確地運用數(shù)學(xué)語言表達算術(shù)平方根的概念，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體作用，發(fā)展學(xué)生抽象概括的能力 .結(jié)合概念，從乘方運算入手，運用文字語言敘述一個具體正數(shù)的算術(shù)平方根 . 進一步增強對概念的理解，強化對算術(shù)平方根概念的認識 .理解規(guī)定“0 的算術(shù)平方根是 0” .4問題情境師生行為活動 4

11、符號表達，感受簡潔（1）怎樣用符號來表示算術(shù)平方根？a 的算術(shù)平方根可記為讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)a ，讀作“根號 a ”， a 叫做被開方數(shù)符號表示算術(shù)平方根，掌握其書寫及讀法 .也就是說，在等式 x 2 =a ( x 0) 中，規(guī)定 x = a .如： 16 的算術(shù)平方根是4；( 文字語言 )可記為： 16 =4（符號語言）0.25 的算術(shù)平方根是0.5；可記為： _ .（符號語言）16 的算術(shù)平方根是 4 ；819可記為： _ .（符號語言）設(shè)計意圖教師引導(dǎo)學(xué)生對照概念，運用數(shù)學(xué)符號表示算術(shù)平方根，并與文字敘述進行對比，體會數(shù)學(xué)符號表示法的簡潔性，培養(yǎng)學(xué)生的 符號感 .（2）例 1：求下列各數(shù)的

12、算術(shù)平方根. 0.04；25 ； 100.16（師生共同歸納：求一個正數(shù)a 的算術(shù)平方根的一般步驟以及算術(shù)平方根的性質(zhì). ）算術(shù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)只有一個算術(shù)平方根；算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)有0和1；被開方數(shù)越大，對應(yīng)的算術(shù)平方根也越大.（3）填空：（看誰算得又對又快！ ） 一個數(shù)的算術(shù)平方根是3，則這個數(shù)是 _. 81 的算術(shù)平方根是 _. 2 的算術(shù)平方根可記為_.（第小題師生同做，后兩小題找學(xué)生板演 . 注意后兩小題的解題格式 .）學(xué)生完成例 1 后，教師及時引導(dǎo)學(xué)生反思，歸納小結(jié)求一個正數(shù) a 的算術(shù)平方根的一般步驟以及算術(shù)平方根的性質(zhì) .由學(xué)生討論交流，共同探討填空題的解答思路 .本

13、次活動中教師應(yīng)重點關(guān)注：（ 1）問題的解決依據(jù)于算術(shù)平方根的概念（ 2）學(xué)生在活動中的參與意識及積極性 .通過檢測學(xué)生對算術(shù)平方根概念的掌握情況，規(guī)范解題格式，讓學(xué)生進一步體會求算術(shù)平方根和乘方運算的互逆關(guān)系 .歸結(jié)算術(shù)平方根的有關(guān)性質(zhì)，加深對概念的理解 .通過逆用概念（已知算術(shù)平方根，求被開方數(shù)） 、概念間的綜合運用，進一步強化與提升概念的理解 .5問題情境師生行為設(shè)計意圖活動 5 數(shù)形結(jié)合，感知估算（1）剪拼游戲：用兩個面積為2的正方形拼成一個學(xué)生進行小組合1 dm作，動手操作，拼接圖面積為22的2dm 的正方形 . 有幾種剪拼方法？面積為2dm形，教師巡視、觀察、正方形的邊長是多少？適時

14、參與、引導(dǎo) .（2）2 到底有多大呢？在動手操作的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神與活動經(jīng)驗 .222的正方形方法 1：用三個面積分別為 1dm, 2dm , 4dm比較它們邊長的大小， 學(xué)生觀察圖形感受2 的大小 ,得到 1< 2 <2. （從“形”的角度去感知）你想進一步感知2 的大小嗎？方法 2：借助電子表格，一步一步推導(dǎo)出2 的近似值.( 夾逼法)方法 3：計算器演示 . （從“數(shù)”的角度去估算）（3） 2 是有限小數(shù)嗎？ 2 是循環(huán)小數(shù)嗎？（ 2 是一個小數(shù)位數(shù)無限， 且小數(shù)部分不循環(huán)的小數(shù) .這樣的數(shù)我們稱之為無限不循環(huán)小數(shù). ）這樣的數(shù)你以前見過嗎？是什么？（）2 和 是有

15、理數(shù)嗎？（它們是我們今后要學(xué)習(xí)的無理數(shù). ）（無理數(shù)的出現(xiàn)引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機！希帕索斯是發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的第一人！他為了捍衛(wèi)“無理數(shù)存在”的真理，挑戰(zhàn)權(quán)威, 付出了寶貴的生命！ ）活動 6 學(xué)以致用，強化新知例 2 ：自由下落物體的高度h ( 米 ) 與下落時間t ( 秒 ) 的關(guān)系為 h4.9t 2 有一鐵球從19.6 米高的建筑物上自由下落，到達地面需要多長時間？出示三邊長分別為1、2 、2 的的正方形，讓學(xué)生進行觀察比較，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生初步感知2的大小.借助電子表格、計算器進一步探究2 的大小.感知2是無限不循環(huán)小數(shù)的特征 . 了解有關(guān)數(shù)學(xué)史實 .本次活動中教師應(yīng)重點關(guān)注：（ 1

16、）學(xué)生能否熟練地進行圖形的剪拼 .（ 2）電子表格、計算器在數(shù)學(xué)中的運用 .學(xué)生審題，理解關(guān)系式的含義，以及已知數(shù)的意義，自主完成練習(xí)，教師巡視，并給予評講 .本次活動中教師應(yīng)重點關(guān)注：（ 1）理解關(guān)系式中已知量與未知量；（ 2）能正確將已知值代入關(guān)系式，進行公式變形，運用方程思想及算術(shù)平方根概念求解 .從 “形” 的角度粗略直觀感知 2 的的大小 .從 “數(shù)” 的角度進一步估算2 的大小 .了解“夾逼法”中利用不足近似值和過剩近似值估算2的大小，以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具“計算器”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感 .利用數(shù)學(xué)史實，適時對學(xué)生進行人文教育 .運用算術(shù)平方根的知識解決實際問題，進行數(shù)學(xué)建

17、模，將實際問題轉(zhuǎn)化為運用算術(shù)平方根的知識求解 .生活數(shù)學(xué)化.以增進學(xué)生對數(shù)學(xué)價值的體悟6問題情境活動 7 小結(jié)提升，合作交流（1）通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我知道了 ， 我學(xué)會了 ，我發(fā)現(xiàn)了 （ 2）在探索知識的過程中， 體驗了哪些數(shù)學(xué)思想方法？數(shù)形結(jié)合思想；夾逼法、用信息技術(shù)探究數(shù)學(xué)知識的方法.活動 8 分層作業(yè)，共同進步1. 必做題：習(xí)題 6.1 第 1 題，第 2 題 .2. 選做題：請你觀察下列計算過程：因為 12=1,所以1 =1；因為 112 = 121,所以121 = 11；因為 1112 = 12321,所以12321 = 111； 由此猜想：12345654321 = _.3. 課外

18、知識閱讀： 第一次數(shù)學(xué)危機和根號的由來 .附：板書設(shè)計師生行為學(xué)生反思后充分發(fā)表自己的意見，教師傾聽 .本次活動中教師應(yīng)重點關(guān)注：（ 1）積極評價不同層次的學(xué)生對本節(jié)課的不同認識 .（ 2）通過小結(jié)明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，思想方法 .教師布置作業(yè)，學(xué)生按要求獨立完成 .本次活動中教師應(yīng)重點關(guān)注：（ 1）不同層次的學(xué)生對算術(shù)平方根的掌握程度，應(yīng)有針對性的分析與點評 .（ 2）學(xué)生的動手能力和數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng) .設(shè)計意圖通過回顧、 梳理、反思，使學(xué)生對所學(xué)知識得到充分的消化和吸收，理順各知識點間的關(guān)系 . 培養(yǎng)學(xué)生善于反思的良好習(xí)慣，倡導(dǎo)學(xué)生要善于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、敢于創(chuàng)新 .關(guān)注學(xué)生差異，設(shè)置分層

19、作業(yè)，使不同層次的學(xué)生均能體會到由學(xué)習(xí)的成功帶來的成就感， 實現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展”目標(biāo) .通過課外知識的閱讀，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)知識，激發(fā)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng) .6.1 算術(shù)平方根1、如果一個正數(shù)x 的平方等于 a ，那么這個正數(shù) x 就叫做 a 的學(xué)生板演算術(shù)平方根 .即：如果x2a ，那么 x =a ( x 0) 規(guī)定： 0 的算術(shù)平方根是02、例題附錄：課外閱讀材料: 兩則第一次數(shù)學(xué)危機根號的由來71、第一次數(shù)學(xué)危機第一次數(shù)學(xué)危機起因于無理數(shù)2 的發(fā)現(xiàn)，是數(shù)學(xué)史上的一次重要事件，發(fā)生于大約公元前400年左右的古希臘時期，自根號二的發(fā)現(xiàn)起，到公元前370

20、年左右，以無理數(shù)的定義出現(xiàn)為結(jié)束標(biāo)志。這次危機的出現(xiàn)沖擊了一直以來在西方數(shù)學(xué)界占據(jù)主導(dǎo)地位的畢達哥拉斯學(xué)派，同時標(biāo)志著西方世界關(guān)于無理數(shù)的研究的開始。直角三角形的直角邊與其斜邊不可通約，這個簡單的數(shù)學(xué)事實的發(fā)現(xiàn)使畢達哥拉斯學(xué)派的人感到迷惑不解。它不僅違背了畢達哥拉斯派的信條，而且沖擊著當(dāng)時希臘人持有的“一切量都可以用有理數(shù)表示”的信仰。所以，通常人們就把希帕索斯發(fā)現(xiàn)的這個矛盾，叫做希帕索斯悖論。畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)立了一個合政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學(xué)派。由畢達哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數(shù) ”是該學(xué)派的哲學(xué)基石。而 “一切數(shù)均可表

21、成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人 ”。畢達哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1 的正方形其對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分數(shù)表示，而只能用一個新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)2 的誕生。小小2 的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界掀起了一場巨大風(fēng)暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對畢達哥拉斯學(xué)派的致命打擊。對于當(dāng)時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結(jié)論的悖論

22、性表現(xiàn)在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)。這不但在希臘當(dāng)時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經(jīng)驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的2 的存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識，多么荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當(dāng)時直接導(dǎo)致了人們認識上的危機，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場大的風(fēng)波，史稱 “第一次數(shù)學(xué)危機 ”。2、根號的由來現(xiàn)在，我們都習(xí)以為常地使用根號（如， 3等等），并感到它使用起來既簡明又方便，那么，根號是怎樣產(chǎn)生和演變成現(xiàn)在這種樣子的呢？古時候，埃及人用記號“”表示平方根；印度人在開平方時，在被開方數(shù)的前面寫上ka；阿拉伯人用 48 表示48 ；1840 年前后，德國人用一個點“. ”來表示平方根，兩點“. ”表示 4 次方根，三個點“.”表示立方根，比如