胡運權(quán)運籌學第七章習題解

1、7.3某廠每月生產(chǎn)某種產(chǎn)品最多600件，當月生產(chǎn)的產(chǎn)品若未銷出，就需貯存（剛?cè)霂斓漠a(chǎn)品下月不付存儲費）月初就已存儲的產(chǎn)品需支付存儲費，每100件每月1000元。已知每100件產(chǎn)品的生產(chǎn)費為 5千元，在進行生產(chǎn)的月份工廠支出經(jīng)營費4千元，市場需求如表 7-19所示，假定1月初及4月底庫存量為零，試問每月應(yīng)生產(chǎn)多少產(chǎn)品，才能在滿足需求條件下，使總生產(chǎn)及存貯費用之和最小。月份11234產(chǎn)品（100件）5321解:設(shè)階段變量：k=1,2,3狀態(tài)變量：Xk第k個月初的庫存量決策變量：dk第k個月的生產(chǎn)量狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：xk聲T Xk 口kGdk階段指標：v（Xk,d kffckdk由于在4月末，倉庫存量為

2、 0,所以對于k=4階段來說有兩種決策: '5+4=9XT 0f（X4）= *1Xt1對 K=3 f(X3fl"5X3G f (x4) d3 I0123456f區(qū)）d302*5+4+9=233*5+4+1=2020311*5+4+9=182*5+4+1+1=1616222*5+9=191*5+1+4+1=1111133*1+1=440K=2d2X0123456f( x)d03*5+4+20=4*5+4+165*5+4+106*5+38639=394+411+2*5+4+23*5+4+16+4*5+4+11+5*5+4+4+3450=351=361=361=3421*4+4+2

3、02*5+4+16+3*5+4+11+4*5+4+4+304+2=2302=322=322=3033+1*5+4+162*5+4+11+3*5+4+4+323320+3=283=28=23=3244+5+4+11+42*5+4+4+420016=23=22=2055+11*5+4+4+1601 =5=161666+1004=10K=1時0123456F(x)d05*5+4+38=676*5+4+34=68675解得：第一個月生產(chǎn) 500份，第二個月生產(chǎn) 600份，第三個月生產(chǎn) 0份，第四個月生產(chǎn) 0 份。7.4某公司有資金4萬元，可向A , B, C三個項目投資，已知各項目不同投資額的相應(yīng)效

4、益值如表7-20所示，問如何分配資金可使總效益最大。表 7-20項目投資額01234A041486066B042506066C064687876解:設(shè)階段變量k，k 1,2,3,4，每一個項目表示一個階段狀態(tài)變量Sk,表示可用于第k階段及其以后階段的投資金額;決策變量U k，表示在第k階段狀態(tài)為Sk下決定投資的投資額; 決策允許集合：OWU k < Sk狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：Sk+i=Sk-U k；階段指標函數(shù)：V k(SkU k);最優(yōu)指標函數(shù)：fk(S)=max V k(SkU k)+ fk+1(Sk+1)終端條件：f4(X4)=0 ；K=4, f4(X4)=0k=3, 0 <U 3&

5、lt; S3矗7 3f3（S3）=max V 3（S3U 3）+ f4（S4）f3（S3）*U30123400001064641206468682306468787834064687876783k=2, 0 <U 2< S2A -U 2f2（S2）=max V 2（S2 U 2）+ f3（ Sb）f2（S2）*U20123400+00010+6442+064020+6842+6450+0106130+7842+6850+6460+0114240+7842+7850+6860+6466+01243k=1, 0 <U K SiS1 '' 乂 1f1（S1）=max

6、 V 1（S1 U 1）+ f2（S2）f1（S1）*U103400+00010+6441+064020+10641+6448+0106130+11441+10648+6460+0114040+12441+11448+10660+6455+01551所以根據(jù)以上計算，可以得到獲得總效益最大的資金分配方案為(1, 2, 1）7.5為了保證某設(shè)備正常運行，須對串聯(lián)工作的三種不同零件 Ai,A2,A3,分別確定 備件數(shù)量。若增加備用零件數(shù)量，可提高設(shè)備正常運轉(zhuǎn)的可靠性，但費用要增加， 而總投資額為8千元。已知備用零件數(shù)和他的可靠性和費用關(guān)系如表所視，求 Ai,A2,A3,的備用零件數(shù)個為多少時可使設(shè)

7、備運轉(zhuǎn)的可靠性最高。設(shè)備數(shù)可靠性備用零件費用(千元)A1A2A3A1A2A310.30.20.113220.40.50.225330.50.90.7364解：設(shè)第k階段的狀態(tài)為Sk；第k階段決定投入的備件為Xk；Ck(Xk)為第k階段 選擇k個零件的費用；Rk(Xk)為第k個階段選擇k個零件的可靠性。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：Sk+i=Sk- Ck(Xk)遞退方程：fk(Sk) maxRK(Xk)fk i(s 1)f4(S4)13CK (xk) SKCi (1)i k 1所以有上可知當 A1； A2； A3；分別為 k=1;k=2;k=3 時 S仁8; S2=5,6,7; S3=1,2,3,4; 當k=

8、3時S3X3F3(X3)X3*100無210.11310. 1220.2410.1320.230.7當k=2時S2X2F2(X2)X2*510. 2*0.1=0.02120.5*0=0610. 2*0.2=0.04120. 5*0=030.9*0=0710. 2*0.7=0.14120.5*0.1=0.0530.9*0=0當k=1時S1X1F1(x1)X1*810.3*0.14=0.042120.4*0.04=0.01630.5*0.02=0.01由上表可知，最優(yōu)解的可靠性為 0.042;此時Xi=1； X2=1； X3=37.7某工廠接受一項特殊產(chǎn)品訂貨，要在三個月后提供 某種產(chǎn)品1000k

9、g，一次交貨。由于該產(chǎn)品用途特殊，該廠原 無存貨，交貨后也不留庫存。已知生產(chǎn)費用與月產(chǎn)量關(guān)系為： C=1000+3d+0.005d 2，其中d為月產(chǎn)量（kg），C為該月費用（元）。每月庫存成本為 2元/kg，庫存量按月初與月末存儲 量的平均數(shù)計算，問如何決定3個月的產(chǎn)量是總費用最小。解：用動態(tài)規(guī)劃法求解階段k:每一個月為一個階段 k=1,2,3狀態(tài)變量Sk :第k個月初的庫存量決策變量dk :第k個月的生產(chǎn)量狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：Sk i= sk +d k最優(yōu)指標函數(shù)：fk（ Sk ）:第k個月狀態(tài)為Sk時到第3個 月末的總費用最小則第k個月的庫存費用為：Ek=（Sk +Ski）/2 2= Sk+Sk

10、 i=2 Sk +dk s1=0，d1+d2+d 3 =1000當 k=3 時f 3 (s 3 )=minE 3+C 3=min2s 3 +d 3 +1000+ 3d 3 +0.005d 23 = min3000+ 2d 3 +0.005d 32= 3000+2(1000- s 3 )+0.005(1000- s3)2當 k=2 時 f 2 (s 2 )=minE 2+C2+ f 3(s3)=min2s 2 +d 2 +1000+3d 2 +0.005d 22 +3000+2(1000- s3)+0.005(1000- s 3)2 =min2s 2 +1000+4d 2 +0.005d 22

11、+3000+2(1000-s 2-d2) +0.005(1000- s 2-d2)2=min6000+2d 2 +0.005d 22 +0.005(1000- s2-d2)2只有當 d*2 =1000- s2 時 f 2 (s 2 )取最小值 6000+2 ( 1000s 2 ) +0.005( 1000- s2)2f 1 (s 1 )=minE 1+C1+ f 2 (s2 )=min2 s 1 + d 1 +1000+3 d 1 +0.005d 12 +6000+2 ( 1000- s 2 )+0.005( 1000- s2)2=min9000+4 d 1 +0.005d 12 +0.005

12、 ( 1000- d1 )2 =min14000-6d 1 +0.01d 12 只有當d；=300時fi(sj取最小值13100元此時 s2 = d 1 + s1=300那么 d2=1000- s2=700 , f2（S2）=9850 元d；=1000-di-d2=0, f3（S3）=3000 元即：三個月的產(chǎn)量分別為 300、700、0時，總費用最小。7-11.某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品， 各產(chǎn)品重量與利潤關(guān)系如表。 現(xiàn)將此三種產(chǎn)品運往市場出售，運輸總重量不超過6t,應(yīng)運輸每件產(chǎn)品各多少件使總利潤最大？產(chǎn)品重量 （ t/母件）利潤（千兀/每件）12802313034180解：設(shè)：Xk :第K種產(chǎn)品的

13、數(shù)目；Vk :第K種產(chǎn)品的利潤；Sk :第K種產(chǎn)品之初的總重量；Sk 1 Sk XkWk;fk （Sk）:第K3種產(chǎn)品的總價值；fk （ Sk）=max XkVk+' fk 1（ Sk 1）且 f4 （S4 ）=0K=3 : f3（S3） max。 1MX3 f4（S4）max。 180X3Sk0346*X1數(shù)目01180K=2 :f2 (S2 )max 0x22 V2 X 2f3(S3)max0x22 130X 2f3 (S33 X2 )S2X2S3130X2 f3(S3 3X2)6*X20000001010002020003030130110130+0=13040i4i0+i80=

14、i80i30+0=i30i8005050+i80=i80i800i2i30+0=i306060+i80=i802602i3i30+0=i3020260+0=260K=1 :fi (Si)max。x13vixif2(S2)max。x1 380 Xif2(Si2Xi)SiXiS280Xi f2(Si 2Xi)fi(Si)*Xi6060+260=2602600/1i480+i80=26022i60+0=i6030240+0=240答做最大利潤為260，產(chǎn)品數(shù)目為“ 0, 2, 0 ”或“i , 0, i”。7.i2某公司需要對某產(chǎn)品決定未來4個月內(nèi)每個月的最佳存儲量，以使總費用最小。已知各月對該產(chǎn)品

15、的需求量和單位訂貨費用、存儲費用如表7-23所示。假定每月初訂貨于月末到貨并入庫，下月開始銷售。表 7-23月份ki234需求量dk50454030單位訂貨費用Ck850850775825單位存儲費用Pk35204030解：階段 k：月份 k=i，2，3，4，5 狀態(tài)變量Xk：第k個月初的存量 決策變量r:第k個月的訂貨量 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：Xk+i=X k+rk-dk 決策允許集合：rk（Xk） = rk I rk>0 dk+iw Xk+i=rk I dk+iw Xk+rk-dk階段指標：Ckrk +PkXkf5 (X5)=0 X5=0fk (Xk) =min Vk(Xk, rk)+fk+

16、i(Xk+i)=min Ckrk+ PkXk+ fk+i (Xk+ rk-dk)對于 k=4X5=0r4=0 X4=d4f4 (X4) =min V4(X4, r4)+f5(X5)=min 30 X4=900對于k=3F3 (X3)=min V3(X3, r3)+f4(X4)=min C33+ P3X3 + f4(X4)=min 40r3+ 40X3 + 900=mi n775r3+40x3+900d4=X4 貝y d4=X3+r3-d3 r3+d3+d4-X3=70-X3 f3(X3)=min775(70-x 3)+40x3+900=min63250-735x 3當k=2時f2 ( X2)=

17、min C22+ P2X2+ f3(X3)=min850r 2+20x2+63250-735(x2+r2-d2)=min850r 2+20x2+63250-735x2-735r2+33075=min96325-715x 2+115“R2(x2)=r 2r2 0 d3 x2+r3-d2 =r 2 r2 0 d3+d2 -X2 3 =r 2 r20 85-X2 r3 f2 (X2)=min 96325-715x2+115 X2+9775=min106100-830x 2當k=1時f1 (X1) =min 850r1+30x i+106100-830(x 1+r1-50)=mi n147600-80

18、0x 1+20n門(x1)= r1 I r1 >0 d2+d1-x1 < 門=n I n > 0 95-xk 門f1 (X1)=min 147600-800 X1+20 ( 95-X1)=min 149500-820 x1根據(jù)題意 X1=0r1*=95 - x1f1 (X1) =149500r1* =95r1* =95x2 =x1+r1-d1 =45f2 (X2) = 68750r2* =85-45=40X3 =x 2+ r2-d2=45+40-45=40f3 (X3) =33850x4 = d4=30 f4 (X4) =9007.13某罐頭制造公司在近 5周內(nèi)需要一次性地購

19、買一批原料，估計未來5周內(nèi)價格有波動,其浮動價格及概率如表7-24所示，試求各周的采購策略，使采購這批原料價格的數(shù)學期望值最小。表 7-24批單價概率90.480.370.3解：設(shè)階段變量k，k 1,2,3,4,5，每一周表示一個階段狀態(tài)變量Sk，表示第k階段的實際價格；決策變量U k，當U k=1，表示第k周決定采購；當U k=0,表示第k周決定等待。SkE表示第k周決定等待，而在以后采用最優(yōu)決策時采購價格的期望值；fk(Sk)表示第k周實際價格為 Q時，從第k周至第五周采用最優(yōu)決策所得的最小期望值。因而可寫出逆序遞推關(guān)系式為fk(Sk)=min Sk, SkESk 9,8,7(1)由SkE

20、和fk(Sk)的定義可知SkE=E fk+1 (Sk+1 )=0.4fk+1 (9)+0.3 fk+1 (8)+ 0.3 fk+1 (7),(2)k=5因為如果在第五周原材料尚未購買，則不管實際價格如何，都必須采取采購策略。f5(S5)= S,即 f5(7) =7 , f5(8)=8, f5(9)=9k=4S4E =0.4f5 (9)+0.3 f5 (8)+ 0.3 f5(7)=8.18.1, s49f4($)=min S4, S4E=min S4, 8.1= 8, s487,S47所以在第四周如果價格為9，則等待下周購買，如果價格為8或7,則選擇采購k=3S3E =0.4f4 (9)+0.3

21、 f4(8)+ 0.3 f4(7)=7.747.74,s3 9f 3(S3)=min S3, S3E=min S3, 7.74= 7.74, s3 87,s3 7所以在第三周如果價格為 9或 8，則等待下周購買，如果價格為7，則選擇購買k=2S2E =0.4f3(9)+0.3 f3(8)+ 0.3 f3(7)=7.5187.518, s2 9f 2(S2)=min S2, S2E=min S2, 7.518= 7.518, s2 87,s2 7所以在第二周如果價格為 9或 8，則等待下周購買，如果價格為7，則選擇購買k=1S1E =0.4f2(9)+0.3 f2(8)+ 0.3 f2(7)=7

22、.36267.3626, s19f 1(S1)=min S1, S1E=minS1, 7.518= 7.3626, s187,s1 7所以在第一周如果價格為9 或 8，則等待下周購買，如果價格為7，則選擇購買7.14 某企業(yè)有 1000萬元資金可在三年內(nèi)每年初對項目A、B 投資，若每年初投資項目 A，則年末以0.6的概率回收本利 2000萬元或以0.4的概率喪失全部資金；若投資項目B,則年末以 0.1 的概率回收本利 2000萬元或以 0.9 的概率回收 1000 萬元。假定每年只能投資一次 每次 1000 萬元（有多余資金也不使用） ，試給出三年末期望總資金最大的投資策略。K 表示第 K 年

23、的投資方案過程， 狀態(tài) SK 表示每年可投資的資金，XK 表示第 K 年的投資決XK=0投資項目A1投資項目 B階段指標 VK =0.6*(1 XK )(2000+ fk1000)+ XK (0.1*2000+0.9*1000+ fk10000)基本方程fk MAX Vk fk 1fo 0,k0,1,2,3fk即每年年末期望最大總資金kSKXkVkfkPk110 0 0012 0 012 0 0A1110 0210 0 0013 2 013 2 0AA113 0 0310 0 0013 9 214 2 0AAB114 2 0期望最大總資金的投資策略為A-A-B7.15某汽車公司的一個型號汽車，每輛年均利潤函數(shù)r(t)與年均維修費用函數(shù)u(t)如上表中所示，購買同型號新汽車每輛 20萬元，如果汽車公司將汽車賣出，其價格如下表所示， 該公司年初有一輛新汽車，試給出四年盈利最大的更新計劃。項役齡0123r (t)201817.515u(t)22.546役齡0123價格171615.515解：設(shè)備