圓與方程-圓的方程典型例題.

1、圓與方程 -圓的方程典型例題類型一：圓的方程例 1 求過兩點 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圓心在直線 y0 上的圓的標(biāo)準方程并判斷點P(2 , 4) 與圓的關(guān)系分析：欲求圓的標(biāo)準方程， 需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點 P 與圓的位置關(guān)系，只須看點 P 與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑， 則點在圓外； 若距離等于半徑，則點在圓上；若距離小于半徑，則點在圓內(nèi)解法一：（待定系數(shù)法）設(shè)圓的標(biāo)準方程為 (xa)2( yb) 2r 2 圓心在 y 0上，故b 0圓的方程為 ( x a)2y 2r 2又該圓過A(1, 4) 、 B(3 , 2) 兩點(1a) 216

2、r 2a) 2r 2(34解之得： a1， r 220所以所求圓的方程為( x1)2y2 20 解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）因為圓過A(1 , 4)、 B(3 , 2) 兩點，所以圓心C 必在線段AB 的垂直平分線l 上，又因為421，故l 的斜率為1，又 AB 的中點為 (2 , 3) ，故 AB 的垂直平分線l 的方程為：kAB31y 3 x2 即 xy10 又知圓心在直線y0上，故圓心坐標(biāo)為 C ( 1 , 0)半徑 rAC(11)24220 故所求圓的方程為(x1)2y 220 又點 P(2, 4)到圓心 C( 1, 0)的距離為dPC(2 1)24225 r 點P 在圓外說明：

3、 本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個關(guān)鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點之間的距離和半徑的大小關(guān)系來判定點與圓的位置關(guān)系，若將點換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關(guān)系呢？例 2求半徑為 4，與圓 x2y 24x2y4 0 相切，且和直線y0相切的圓的方程分析： 根據(jù)問題的特征，宜用圓的標(biāo)準方程求解解：則題意，設(shè)所求圓的方程為圓C：(xa) 2( yb) 2r 2圓 C 與直線 y0相切，且半徑為4，則圓心 C 的坐標(biāo)為 C1( a , 4)或 C2 ( a ,4) 又已知圓 x2y 24x2y40 的圓心 A 的坐標(biāo)為 (2 , 1)，半徑為 3若兩圓相切，則CA437或

4、CA4 3 1(1) 當(dāng) C1(a , 4) 時 ， (a2)2(41) 272， 或 (a2)2(41) 212 (無解)，故可得a2 210所求圓方程為( x2210)2( y4)242 ，或 (x22 10)2( y4) 242 (2) 當(dāng) C2 ( a ,4)時 ， (a2)2(41)272 ， 或 (a2) 2( 41) 212(無解)，故a2 26 所求圓的方程為(x 2 2 6 ) 2( y4) 242 ，或 ( x226) 2( y4) 242 說明： 對本題，易發(fā)生以下誤解：由 題 意 ， 所 求 圓 與 直 線 y0 相 切 且 半 徑 為 4 ， 則 圓 心 坐 標(biāo) 為

5、C ( a , 4) ， 且 方 程 形 如( xa) 2( y 4)242 又圓 x2y 24x2 y40 ，即 (x 2)2( y1)232 ，其圓心為A( 2 , 1) ，半徑為 3若兩圓相切， 則 CA43 故 (a2) 2(41) 272 ，解之得 a2 2 10所以欲求圓的方程為 ( x 2 2 10 )2( y4)242 ，或 (x2210)2( y4)242 上述誤解只考慮了圓心在直線y0 上方的情形，而疏漏了圓心在直線y0下方的情形另外，誤解中沒有考慮兩圓內(nèi)切的情況也是不全面的例 3 求經(jīng)過點A(0 , 5) ，且與直線x2y0 和 2xy0 都相切的圓的方程分析：欲確定圓的

6、方程 需確定圓心坐標(biāo)與半徑， 由于所求圓過定點 A ，故只需確定圓心坐標(biāo) 又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上解： 圓和直線x2y0 與 2xy0 相切，圓心 C 在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線x2y0 和 2xy0 的距離相等x2 yx2 y55兩直線交角的平分線方程是x3y0 或 3xy0 又圓過點A(0 , 5) ，圓心 C 只能在直線 3x y0 上設(shè)圓心 C (t , 3t ) C 到直線 2xy0 的距離等于 AC ， 2t 3tt 2(3t5) 25化簡整理得 t 26t50 解得： t1或 t5圓心是 (1 , 3) ，半徑為5或圓心是 (5 ,15

7、) ，半徑為 55 所求圓的方程為(x 1)2( y 3)25 或 ( x 5) 2( y15)2125說明： 本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過定點且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法例 4、 設(shè)圓滿足： (1)截 y 軸所得弦長為2； (2) 被 x 軸分成兩段弧，其弧長的比為3 :1 ，在滿足條件(1)(2) 的所有圓中，求圓心到直線l： x2 y0 的距離最小的圓的方程分析： 要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準方程滿足兩個條件的圓有無數(shù)個，其圓心的集合可看作動點的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用

8、點到直線的距離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進而確定圓的半徑，求出圓的方程解法一： 設(shè)圓心為 P(a , b) ，半徑為 r 則 P 到 x 軸、 y 軸的距離分別為b 和 a 由題設(shè)知：圓截x 軸所得劣弧所對的圓心角為90 ，故圓截 x 軸所得弦長為2r r 22b2又圓截 y 軸所得弦長為2 r 2a 21又 P(a , b) 到直線 x2y0 的距離為a2bd5 5d 2a22ba 24b24aba 24b22(a2b2 )2b2a21當(dāng)且僅當(dāng) a5b 時取“ =”號，此時 dmin5這時有ab2b2a21a1a1或b1b1又 r 22b22故所求圓的方程為(x 1

9、)2( y 1)22 或 ( x1)2( y 1)22解法二： 同解法一，得da 2b5 a2b5d a24b24 5bd 5d 2 將a22 21代入上式得：b2b24 5bd5d 210 上述方程有實根，故8(5d21)0 ，5 d55將 d代入方程得b15又 2b2a21 a1 由a 2b1a、 b 同號知故所求圓的方程為(x 1)2( y 1)22 或 ( x 1)2( y 1)22 說明： 本題是求點到直線距離最小時的圓的方程，若變換為求面積最小呢？類型二：切線方程、切點弦方程、公共弦方程例 5已知圓2y24 ，求過點P 2 4O：xO 相切的切線， 與圓解： 點 P 2，4不在圓

10、O 上，切線 PT 的直線方程可設(shè)為yk x 24根據(jù) d r2k421k 2解得k34所以y3x244即3x 4 y100因為過圓外一點作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在易求另一條切線為x2 說明： 上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補回漏掉的解本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0 解決（也要注意漏解）還可以運用x0 xy0 yr 2 ，求出切點坐標(biāo)x0 、 y0 的值來解決，此時沒有漏解例 6 兩圓 C1：x2y2D1xE1 yF10 與 C2：x2y2D2 xE2 yF20 相交于 A 、 B 兩點，求它們的公共弦AB 所在直線的方程分

11、析： 首先求 A 、 B 兩點的坐標(biāo)，再用兩點式求直線AB 的方程，但是求兩圓交點坐標(biāo)的過程太繁為了避免求交點，可以采用“設(shè)而不求”的技巧解：設(shè)兩圓 C1 、 C2 的任一交點坐標(biāo)為(x0 , y0 ) ，則有：x0 2y0 2D1 x0E1 y0F10x0 2y0 2D2 x0E2 y0F20得： ( D1 D2 )x0(E1E2 ) y0F1F2 0 A 、 B 的坐標(biāo)滿足方程(D1D2 ) x( E1E2 ) y F1F2 0方程 ( D1 D2 )x (E1E2 ) yF1F20是過 A、B 兩點的直線方程又過 A 、 B 兩點的直線是唯一的兩圓 C1 、 C2 的公共弦 AB 所在直

12、線的方程為( D1D2 )x( E1E2 ) yF1F20 說明： 上述解法中，巧妙地避開了求 A 、 B 兩點的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達到了目標(biāo)從解題的角度上說，這是一種“設(shè)而不求”的技巧，從知識內(nèi)容的角度上說，還體現(xiàn)了對曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對直線方程是一次方程的本質(zhì)認識它的應(yīng)用很廣泛例 7、過圓 x2y2直線 AB 的方程。1外一點M (2,3) ，作這個圓的兩條切線MA 、MB ，切點分別是A、B，求練習(xí)：1求過點 M (3,1) ，且與圓 ( x1)2y24 相切的直線 l 的方程 解：設(shè)切線方程為y1k (x3) ，即 kxy3

13、k1 0，圓心(1,0) 到切線 l 的距離等于半徑2 ， | k3k1|2 ，解得 k3，224k1切線方程為 y13(x3) ，即 3x4 y130 ，4當(dāng)過點 M 的直線的斜率不存在時，其方程為x 3 ，圓心 (1,0) 到此直線的距離等于半徑2，故直線 x 3也適合題意。所以，所求的直線l 的方程是 3x 4 y130 或 x32、過坐標(biāo)原點且與圓x 2y 24x2 y50 相切的直線的方程為2( y 1) 2 5解：設(shè)直線方程為ykx ，即 kxy0 .圓方程可化為( x2) 2，圓心為（ 2，2-1 ），半徑為10.依題意有2k110 ，解得 k3 或 k1，直線方程為y3x 或k

14、 22123y1 x .33、已知直線 5x12 ya0與圓 x 22xy 20 相切，則 a 的值為.解：圓 ( x1) 2y 21的圓心為（1， 0），半徑為1，5a1，解得 a8 或 a18 .52122類型三：弦長、弧問題例 8、求直線 l : 3x y 60 被圓 C : x 2y22x 4 y 0截得的弦 AB 的長 .例 9、直線 3x y2 30 截圓 x 2y 24 得的劣弧所對的圓心角為解：依題意得，弦心距d3 ，故弦長AB2 r 2d 22 ，從而 OAB 是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為AOB.3例 10、求兩圓x2y 2xy20 和 x2y25 的公共弦長類型

15、四：直線與圓的位置關(guān)系例 11、已知直線 3x y 2 30 和圓 x2y24 ，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系 .例 12、若直線 yxm 與曲線 y4 x2有且只有一個公共點，求實數(shù)m 的取值范圍 .解：曲線 y4x 2表示半圓 x2y 24( y0)，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實數(shù)m 的取值范圍是 2 m2 或 m22 .例 13 圓 (x3)2( y 3)29上到直線 3x4 y110 的距離為1 的點有幾個？分析： 借助圖形直觀求解或先求出直線l1 、 l 2 的方程，從代數(shù)計算中尋找解答解法一： 圓 ( x3)2( y3) 29 的圓心為 O1 (3 , 3) ，半徑 r3 設(shè)圓心 O1

16、到直線3x4y110334311的距離為 d ，則 d32422 3如圖，在圓心 O1 同側(cè)，與直線 3x4 y110 平行且距離為1 的直線 l1 與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意又 r d 3 2 1與直線 3x4 y110 平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意符合題意的點共有3 個解法二： 符合題意的點是平行于直線3x4 y110 ，且與之距離為1 的直線和圓的交點設(shè)所求直線為 3x4ym0m111，則 d4232 m 115 ，即 m6 ，或 m16 ，也即l1：3x 4 y6 0 ，或 l2：3x 4 y 16 0設(shè)圓22O1x3)(y3) 9 的圓心到直線l1、l2的距

17、離為d1、d2，則：(d1334363343161 32423 ， d23242 l1 與 O1 相切，與圓 O1 有一個公共點；l 2 與圓 O1 相交，與圓 O1 有兩個公共點即符合題意的點共 3個說明： 對于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：設(shè)圓心 O1 到直線 3x4y33431111 0的距離為 d ，則 d322 3 42圓 O1 到 3x 4 y110 距離為 1 的點有兩個顯然，上述誤解中的d 是圓心到直線 3x 4y11 0的距離， dr ，只能說明此直線與圓有兩個交點，而不能說明圓上有兩點到此直線的距離為1到一條直線的距離等于定值的點，在與此直線距離為這個定值的兩條平行直線

18、上，因此題中所求的點就是這兩條平行直線與圓的公共點求直線與圓的公共點個數(shù)，一般根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系來判斷，即根據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比較來判斷練習(xí)：直線 xy1 與圓x2y22ay0 (a0) 沒有公共點，則a 的取值范圍是1a1a ，解得21 a21 . a0 ， 0 a2 1.解：依題意有2練習(xí)2 ：若直線ykx2 與圓 (x2) 2( y3) 21 有兩個不同的交點，則k 的取值范圍是.2k144) .解：依題意有k 21，解得 0k， k 的取值范圍是 (0,1333、圓 x2y22x4 y30 上到直線 xy 10 的距離為2 的點共有（）（A）1 個（B）2 個（C）3

19、個（D）4 個分析：把222 4 30化為22，圓心為， ，半徑為x yxyx 1y 281 2r2 2 ，圓心到直線的距離為2 ，所以在圓上共有三個點到直線的距離等于2 ，所以選 C、過點P3， 4作直線 l，當(dāng)斜率為何值時，直線l與圓22有公共點，如4：1y 24C x圖所示分析： 觀察動畫演示，分析思路解： 設(shè)直線 l 的方程為yy4k x3即Oxkxy3k4 0根據(jù) dr 有Ek23k41k 22P整理得3k 24k0解得0 k43類型五：圓與圓的位置關(guān)系問題導(dǎo)學(xué)四：圓與圓位置關(guān)系如何確定？例 14、判斷圓 C1 : x2y 22x6y260 與圓 C2 : x2y 24 x2 y40

20、 的位置關(guān)系，例 15：圓220 和圓22yxxy4 y0x的公切線共有條。2解：圓 (x1) 2y 21的圓心為O1 (1,0) ，半徑 r1 1，圓 x 2( y2) 24的圓心為 O2 (0,2) ，半徑 r22 ， O1O25, r1 r23, r2r11. r 2 r1O1O2r1r2 ，兩圓相交 .共有 2條公切線。練習(xí)1：若圓 x2y 22mxm240 與圓 x2y 22x4my4m 280 相切，則實數(shù)m 的取值集合是.解：圓 (x) 2y24 的圓心為O1 ( m,0)，半徑r12，圓( x1)2( y2m)29的圓心為mO2 (1,2m)， 半 徑 r23，且兩圓相切， O

21、1O2r1r2或 O1O2r2r1， (m1) 2(2m)25 或( m1)2(2m) 21，解得 m12或 m2 ，或 m0 或 m5，12 ,5,0,2.52實數(shù) m 的取值集合是 522：求與圓 x2y 25 外切于點 P(1,2) ，且半徑為25 的圓的方程 .解：設(shè)所求圓的圓心為O1( a, b) ，則所求圓的方程為( xa) 2( yb) 220.兩圓外切于點P ，1，122(1,2)a ba3,b 6( x3)( y6)20.OPOO1，所求圓的方程為3(, )，3類型六：圓中的對稱問題例 16、圓x2y22x6y90關(guān)于直線2xy50 對稱的圓的方程是例17 自點A 3，3發(fā)出

22、的光線 l射到 x 軸上，被 x 軸反射，反射光線所在y的直線與圓 C：x2y 24x 4y70 相切M（ 1）求光線 l 和反射光線所在的直線方程AC（ 2）光線自 A 到切點所經(jīng)過的路程分析、略解：觀察動畫演示， 分析思路 根據(jù)對稱關(guān)系， 首先求出點 AN的對稱點 A 的坐標(biāo)為3， 3 ，其次設(shè)過 A 的圓 C 的切線方程為G OBxyk x3 3根據(jù) d r ，即求出圓 C 的切線的斜率為A43k或 k34進一步求出反射光線所在的直線的方程為圖4x 3y 3 0 或 3x 4 y 3 0最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于x 軸對稱，求出入射光所在直線方程為4x 3y 3 0 或 3x 4 y 3

23、 0A'M，可由勾股定理求得 A M22CM2光路的距離為A C7 說明： 本題亦可把圓對稱到x 軸下方，再求解類型七：圓中的最值問題例18：圓2y2x4y10 0 上的點到直線xy 140x的最大距離與最小距離的差是4解 ： 圓 (x2)2( y2) 218 的 圓 心 為 （ 2 ， 2 ）， 半 徑 r3 2 ，圓心到直線的距離d105 2 r ， 直 線 與 圓 相 離 ， 圓 上 的 點 到 直 線 的 最 大 距 離 與 最 小 距 離 的 差 是2( d r ) ( d r ) 2r6 2 .例 19(1) 已知圓3)2(4)21，22O1xyP(x , y)為圓 O 上

24、的動點，求d x y的最大、最：(小值(2) 已知圓 O2：(x2)2y 21 ， P( x , y) 為圓上任一點 求 y2 的最大、 最小值， 求 x2 y 的x1最大、最小值分析： (1)、 (2) 兩小題都涉及到圓上點的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決解： (1)( 法 1)由圓的標(biāo)準方程( x3) 2( y4) 21可設(shè)圓的參數(shù)方程為x3cos,是參數(shù)）y4sin（,則 dx2y296 coscos2168 sinsin2266 cos8 sin2610 cos() （其中 tan4）3所以 dmax261036 ， d min261016 ( 法 2)圓上點到原點距離的最大

25、值d1 等于圓心到原點的距離'1，圓上點到原點距離d 1加上半徑的最小值 d2 等于圓心到原點的距離'減去半徑 1d 1所以 d1324216 d2324214 所以 dmax36 dmin16 (2) ( 法 1)由 ( x2) 2y21得圓的參數(shù)方程：x2cos,是參數(shù)ysin,則 y2sin2 令 sin2t ，x1cos3cos3得 sint cos2 3t ， 1t 2sin()23t23tsin()133t331t 244所以 tmax3333， t min44即 y2 的最大值為 33 ，最小值為 33 x144此時 x2y2 cos2 sin25 cos() 所

26、以 x2 y 的最大值為25，最小值為25 (法 2)設(shè)y2k ，則 kxyk2 0由于 P(x , y) 是圓上點，當(dāng)直線與圓有交點時，如x1圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值由 d2kk2，得 k331k214所以 y2 的最大值為 33 ，最小值為 33 x144令 x2yt，同理兩條切線在x 軸上的截距分別是最大、最小值由 d2m1，得 m255所以 x2y 的最大值為25，最小值為25 例 20：已知 A(2,0) ， B(2,0) ，點 P 在圓 (x3) 2( y 4) 2422上運動，則 PAPB 的最小值是.解：設(shè) P(x, y) ，則PA2PB2(x2) 2y2(x2) 2y22(x2y2