基本不等式√ab≤(a+b)2

1、最新高二數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課時(shí)訓(xùn)練（專題學(xué)案附經(jīng)典解析）基本不等式:vOb < a+b2一、對(duì)基本不等式的理解及簡(jiǎn)單應(yīng)用 1若a,b R,且ab>0,則下列不等式中，恒成立的是A. a+b > 2v?f 112B.?+ ?> V? ?C. + 2? ?D. a2+b2>2ab 答案:C 解析:因?yàn)閍b>0,所以3>0,?>0,即?+ ?.?>2/?冬2,所以選C.? ? ? ? '2. 設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是（）- ?+?A.avbv v? ？+?B. av “？<» ？+?C.av V?侮一 ?+?

2、D. V?臥" 答案:B ?+?解析:0<a<b? a2<ab<b2? a<v?b,0<a<b ? 2a<a+b< 2b? a<-?<b，又角？亍?所以a<存嚴(yán)b.3. x+1?>2;|?+ ? >2;第>2;?>xy;?+? >v|?P?其中正確的是（寫出序號(hào)即可）.答案: 解析:當(dāng) x>0時(shí),x+?>2;當(dāng)XVO時(shí),x+?< -2,不正確;- X與?同號(hào)，二|?+ ?=|X|+點(diǎn)2,正確;當(dāng)x,y異號(hào)時(shí)，不正確;當(dāng)x=y時(shí),?+? =xy，不正確;當(dāng)x= 1,y

3、=-1時(shí)不正確故填.二、利用基本不等式求最值 4.（課時(shí)訓(xùn)練河南鄭州高二期末，8）已知a>0,b>0,且2是2a與b的等差中項(xiàng)， 則2的最小值為（）? 、 /B.2C.2D.4答案:B 解析:V2是2a與b的等差中項(xiàng)，二2a+b= 4.又 */a>0,b>0,2?+? 2 4 221 1 二?>2.故選 B.2ab< () =(4)=4,當(dāng)且僅當(dāng) 2a=b=2,即 a=1,b=2 時(shí)取等號(hào).2 1 ?5.（課時(shí)訓(xùn)練福建廈門高二期末，8）已知a>0,b>0，若不等式?+ ;?>莎?恒亙成 立，則m的最大值等于（）A.7B.8C.9D.10答案

4、:C 解析:va>0,b>0,不等式!?+ 1?>島恒亙成立,? ? 2?+? m< (2?+?(?+?.min- (2a+b)(|?+=5+詈+ 春 5+2X2v?x?=9,當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào). m的最大值等于9.故選C.6.設(shè) x>0,貝y y=3-3x-?的最值為答案:大3-2v3解析:很0" 3X+護(hù)2也 -(3?+< -2v3.-y=3-3x-? 3-2 v3 . y有最大值3-2v5,當(dāng)且僅當(dāng)3x=1 時(shí)，即當(dāng)x=r時(shí)等號(hào)成立. :37.（課時(shí)訓(xùn)練河北邯鄲三校聯(lián)考，15）設(shè)x,y滿足x+4y=40且x>0,y>0,則

5、Ig x+lg y的最大值是 答案：2 解析:因?yàn)閤,y滿足x+4y=40且x>0,y>0.所以 Ig x+lg y=lg(xy)=lg(x4y)-lg 4?+4? 2< lg(2) -Ig 4=lg 400-Ig 4=2.當(dāng)且僅當(dāng)x=4y,即x=20,y=5時(shí)，等號(hào)成立.8.設(shè)常數(shù)a>0，若9x+?>a+1對(duì)一切正實(shí)數(shù)x成立則a的取值范圍 答案:1,+勺5解析:vx>0,a>0,9x+>6a,當(dāng)且僅當(dāng)9x=?,即x二?時(shí)取等號(hào).?3從而由原不等式對(duì)x>0恒成立得6a>a+1, a> 5.三、利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題 9.(課

6、時(shí)訓(xùn)練江西吉安聯(lián)考，20)新余到吉安相距120 km,汽車從新余勻速行駛 到吉安，速度不超過(guò)120 km/h,已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(單位:元)由可變 部分和固定部分兩部分組成：可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系 數(shù)為b,固定部分為a元.1(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(km/h)的函數(shù);并求出當(dāng)a=50,b=200 時(shí)，汽車應(yīng)以多大速度行駛，才能使得全程運(yùn)輸成本最??；(2)隨著汽車的折舊，運(yùn)輸成本會(huì)發(fā)生一些變化，那么當(dāng)a=,b=2,此時(shí)汽車的速度應(yīng)調(diào)整為多大，才會(huì)使得運(yùn)輸成本最小.解:(1)由題意知,汽車從新余勻速到吉安所用時(shí)間為號(hào)?120 ?全程成本為 y=(bv

7、2+a) -?=120(?+ ?j,v (0,120.當(dāng) a=50,b=200時(shí),y=120(盤？?+ 為 >240?5?=120(當(dāng)且僅當(dāng)v=100時(shí)取等號(hào)).所以汽車應(yīng)以100 km/h的速度行駛，能使得全程運(yùn)輸成本最小.當(dāng) a詈b=20r 時(shí)，y=120(20r-+ 筆),由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知 v=120時(shí),y有最小值.所以汽車應(yīng)以120 km/h的速度行駛，才能使得全程運(yùn)輸成本最小.（建議用時(shí)：30分鐘）1. 已知0VXV1,則x（3-3x）取最大值時(shí)x的值為B.4C.3D.f答案:A 解析:V0<x< 1,二 1-x>0,99+1? D.Ovx < 2

8、時(shí),X-?無(wú)最大值則 x(3-3x)= 3x(1-x) < 3X( 9-)當(dāng)且僅當(dāng)x=1-x，即x=2時(shí)取等號(hào).2. 下列結(jié)論正確的是（）1A.當(dāng)x>0且X詢時(shí)，lg X+-2 1B. 當(dāng) x>0 時(shí),v-+ 希 2v?1C. 當(dāng)x> 2時(shí),x+-的最小值為2解析選項(xiàng)A,當(dāng)x (0,1)時(shí),lg x<0,不滿足基本不等式恒為正數(shù)的要求；選項(xiàng)B中滿足一正、二定、三相等”的條件，是正確選項(xiàng);11 R選項(xiàng)C,當(dāng)x>0時(shí),x+?> 2,等號(hào)成立的條件為x=1，當(dāng) x>2時(shí),X+?遷(利 用函數(shù)單調(diào)性處理);113對(duì)于D,設(shè)f(x)=x-?則f'(

9、x)=1 + ?2>0,函數(shù)為增函數(shù)，因而最大值為-.3. 若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是A 24A.-B.28C.5D.6答案:C 解析:x+3y=5xy, 5?+5?=1.3?12?、13 c 3? 12?13_ +5?5?5 ' 5?5?57=5.當(dāng)且僅當(dāng)5?=罟，即x=2y時(shí)等號(hào)成立.4. 小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(avb),其全程的平均時(shí)速為v,A.avvv V?B.v= V? ?+?+?D.v=h2?T2V?f V?答案:A肋疋22?解析:V=L=<-+ - ?+? ?E、f 2?2?-?多-? ?多-?!十，、，2? E

10、因?yàn)?a= = > =0,所以一>a,即 v>a.故選 A.?+?+?+?+?"八？+? 95. 已知函數(shù)y=x-4+?+i(x>-1),當(dāng)x=a時(shí),y取得最小值b,則a+b=()D.8A.-3B.2C.3 答案:C 解析:y=x-4+?+i=x+1+?+i-5,因?yàn)閤>-1,所以x+1>0,島>0.所以由均值不等式得y=x+1+禽-52Vt?H 1) X侖-5=1, 當(dāng)且僅當(dāng)X+仁島，即(x+1)2=9,所以x+1 = 3,x=2時(shí)取等號(hào),所以 a=2,b= 1,a+b= 3,選 C.6. 函數(shù)y=loga(x-1)+1(a>0,且的

11、圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在一次函數(shù)_ 1 2y=mx+n的圖象上，其中m,n>0,則+ ；的最小值為? ?答案：8 解析:由題意，得點(diǎn)A(2,1),則1 = 2m+n,又m,n>0,所以丄 + 2= 2?+?2+ 迢2?也=4+2?+ 422 > 4+2v4=8.? 當(dāng)且僅當(dāng)?= 3x+4y=(3x+4y)(5?+ 5?| =2?,即mW,n時(shí)取等號(hào),則:+ I的最小值為8.? ?7. 已知x>0,則?-的最大值為 答案：1499 解析:因?yàn)?9.設(shè)a,b,c都是正數(shù)求證：2?+ 2?+1 、 1 1 1 A+ .2? ?+? ?+? ?+?角，又x>0時(shí),x+A2

12、V?¥=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=?即x=2時(shí)取等2?號(hào)所以0<?+廣4,即總的最大值為1.8. 建造一個(gè)容積為8 m3,深為2 m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，如果池底和池壁的造元.價(jià)每平方米分別為120元和80元，則水池的最低總造價(jià)為 答案:1 760 解析:設(shè)池底的長(zhǎng)和寬分別為a,b,則2ab=8,ab=4,總造價(jià) y= (2a+2b) X2 X80+ 120ab= 320(a+b)+ 480 > 320X2v?+?l80= 1 760(當(dāng)且僅當(dāng) a=b=2 m時(shí)取等號(hào)）.證明:va,b,c都是正數(shù),二1(+丄)A丄A丄.2 '2?2?2 V? ?+?同理可證 2(2?+ 21?) A土?“?* 2?* A止?三式相加得-+ -+ -丄+丄+丄,2? 2? 2? ?+? ?+? ?+?當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào).10.（如圖）某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800 m2的矩形蔬菜溫室，溫室內(nèi)沿 左右兩側(cè)與后墻內(nèi)側(cè)各保留1 m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m寬的空地, 當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？UmdmTO3 ni解:設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x m,則另一邊長(zhǎng)為80?m,因此種植蔬菜的區(qū)域?qū)?/p>