強化第六講無窮級數(shù)與微分方程

1、強化第六講：第六單元模擬試卷一，單項選擇題（本大題共6小題，每 小題4分，滿分24分）00X若工町7則（冷+%J=（ B ）A.2s B2s 一 H, C.2s + w,D.S + 12302.y（-ir（I-cos-）（0）是A絕對收斂,B條件收斂,C,發(fā)散ZX斂散性與仇取值有關3.幕級數(shù)的收斂半徑R=（ D ）心）43B,0 C9A, - B, 3!4。y = cos=0幕級數(shù)展開式中的系數(shù)是 工C, -21D工3!6!6!5若是1階線性齊次方程的兩個不同的特解，y!yy=c,y/x）+c,y/x） G，。任意常數(shù)）（B ）A必是方程的通解B必是方程的解C必是方程的特解D不一定是方程的解6

2、y + y+啲待定特解嚴=（C ）A.x（Ax + B）.B.Ax + Bx + c,Cjc（Ax + Bx + c）,D-x（Ax +Bx + e）二 填空題（本大題共六小題，每小題4分，滿分24分）7幕級數(shù)乞耳竺的收斂區(qū)間為_1,3） d-i y/ft8 f(x) = -展開成U-3)的幕級數(shù)為_-y(-) (%-3/(0%6)X3為39.若 ln(l+x)二lxIn(I + n廠所以y(-ir in(i+-)收斂 H + Itzin7 15X n COS14判別”12斂散性.（答收斂）提示：本題利用比較法因為所以232又因為燭孕比值法）所以級屹訓斂X n cos 由比較法可知- n-l

3、2二收斂* (_1卩15求幕級數(shù)呂(.丫-5)”的收斂半徑與收斂區(qū)間。(答R=5收斂區(qū)間(0, 10)(一1嚴提示：P = liinG + 1護(-1)0= nR = 55所以-5x-50xy = UX = yX代入原方程得i/if=x+ 1/ ,dxduXu = u In lidxdu 1 ,= dxu nu-tt XJ wInu-u J X= f!d(ln_l)= f dxJ In/r-lJ X= ln(ln u -1) = In x + In C = In -1 = Cx回代w=上得,X1 &求/+y = 0滿足y,t=0提示：原方程的特征方程為r+l = 0,解得42則通解為 y =

4、C| cos X + C2 sin x代入 y z = l 得 G=l，即 y = cosx + C2sinx又y = C2Cosx-sinx,代入y“=2 得2答 y=cosx+2sinx19求y +5y+4y = 3-2 冊通解提示：原方程對應的齊次方程為y +5y+4y = 0苴待征方程為r+5r + 4 = 0.解得則齊次方程的通解為y=Cf 7+C2W宀又原方程即為y+ 5 +4y = (3 -y” = A 所以原方程的特解一般形式為y=Ax + BV八0代入原方程得5A+4(Ax + B = 3-2x即 4Ax+5A+4B = 3-2x由待定系數(shù)法可得4A = -25A + 4B

5、= 3=:和i?;都收斂，所以(叮乙nl+叮)收斂本題用比較法證明級數(shù)收斂因為(1叩一2)20,所以“/+氣:21氣必I則由比較法可知Z|冷叫|收斂(2)由(1)結論可知工評斤是絕對收斂的,所以工“肆N收斂 I又(冷+叫)2 =冷2 + 2碼耳+匕2 ,顯然可以很容易證明(叫+叫)2收斂 22設”(x)與兒(天)是方程y + p(x)y +q(x)y = /(x)的兩個不同的解，證明：y = y.W 一 兒(X)為 y + (x)y + (x)y = o 的解。提示：將s(x)分別代入方程y +p(x)y +q(x)y = f(x)中，得到兩個方程，然后兩個方程相減，即可證得結論成立!五.綜合題(毎小題8分.共24分)23將/(%) = arctanX展開成x的幕級數(shù)，并求其收斂區(qū)間。提示：本題利用間接法解題，即求函數(shù)/(%) = arctanX的導數(shù)的帚級數(shù)，然后再1 + Q不泄積分回歸到原函數(shù)因為/V) =，又= l-x + F-x + = y(-l)”x , -1%亠 答：F(x) = 0-e亠V Yy_25設亍rTiTTiT麗+ZGds = xdx5 + 1= J-ds = xdxV=