導(dǎo)數(shù)常用結(jié)論匯編

1、全國名校高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練經(jīng)典試題匯編（附詳解）X - i In X_-加強(qiáng)版證明調(diào)和級數(shù)不H城XIn2-tn3- -dtin >二那即 Xln/£ 才 一1導(dǎo)數(shù)常用的一些技巧和結(jié)論I < +1) < 1 ( 13沖卡12 fT加強(qiáng)X取-+1 .、 ->ln； 1-rX in £ 1 S 卩 InxN 1X Hi緲科-旳JO1 2(x-l)全國名校高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練經(jīng)典試題匯編（附詳解）艸二扌仆$lif常用的放縮公式（考試時(shí)需給出證明過程）Infrc + 1) <> 1)2 + 1(© R)ln:r >4.Inrr29

2、 ；)(0<£ w 1)X + 15sIna? W扣-m(»)6xIna; 2斗(北一2)(0 <1)2X7.2lii(l + 辺)2 工于(G 2 0)加E (叩)時(shí)，<4( Vt 2jtJ Qxvlm屮訶旦.也小”石"'X .1+1£ N-JT丿也當(dāng)尸耐” UL辿Zlkin尸石-JJ-if 3 X/CyJPXT足K他兒加甬it的切釵切點(diǎn)為"Ok第一組：對數(shù)放縮（放縮成一次函數(shù)）In x<x1， In xcx， In（ 1 + x）<x（放縮成雙撇函數(shù)）“&廠），Inx>,(1 X 1(0

3、ex v1 )，X丿In x</X (x:>1 )，In X A 仮一丄(0 <x c1 )， VxJx2 1 2 1 2（放縮成二次函數(shù)）In x<x -X， In (1+x)<x-?x(1 <x <0 )， In (1 + x )> x? x( x > 0 )(放縮成類反比例函數(shù))In X >1 -1 , In X A仝也(X A1)，In x <引)(0 < x <1),Xx+1x+1X2x2x心心一，嘰“小一so）, .wx（x<0）第二組：指數(shù)放縮（放縮成一次函數(shù)）eX3x+1， ex AX， ex

4、>ex，e c -x< 0 )，XI 12113e 工1+x +-X +-x2 6（放縮成類反比例函數(shù)）ex乞丄（X蘭0 ）,1 -X（放縮成二次函數(shù)）ex 31+x+1x2（x0 ）,第三組：指對放縮Xe -In X 織X +1 )-(xT ) = 2第四組：三角函數(shù)放縮1 2 1 2 1 2 sin x<x<ta nx(x>0 ), sinxx一x ， 1一一x 蘭 cosxE1一sin x .'打222第五組：以直線y=x-1為切線的函數(shù)x 121y =1 nx， y = e -1， y=x -x， y =1-， y=xl nx. x全國名校高中數(shù)學(xué)

5、導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練經(jīng)典試題匯編(附詳解)經(jīng)典導(dǎo)數(shù)構(gòu)造模型1關(guān)系式為“加型 /'(x)+f(x)>0 構(gòu)韻打(7|/(龍)+/(劉 xfxfx()構(gòu)造xfx=xf x)f(x<3)xf (x)-r /X)>0 構(gòu) iS k 丁(X)=工丁 刃 + 払嚴(yán)/仗卜 K叫:V" (X)-F?/(xj(注意對工的符號進(jìn)行討論2.關(guān)系式為竹附型(1)m/(xj>o構(gòu)造zpizx審-幾w二八小/(2)/(x) 0 構(gòu)進(jìn)/m小/(X)(3)0 構(gòu)造ZW(X)-W/(X)M 艸)-譏Y)7?«注意對丫的符號進(jìn)行討論)經(jīng)典模型全國名校高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練經(jīng)典試題匯編(附

6、詳解)幾個(gè)經(jīng)典函數(shù)模型零點(diǎn)取點(diǎn)問題In X 卡 xy =或y =.xIn X【例1】討論函數(shù)f (x) = lnx-ax的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(1) a A1時(shí)，無零點(diǎn).efgaxf£1=1 n 1<0.a(2) a時(shí)，1個(gè)零點(diǎn).e1 f'(X)x(3)當(dāng)0宀丄時(shí)，2個(gè)零點(diǎn).ef(x)max = f(e)=l ne-仁 0.f"(目測)，f亡h -一Ua j T二"，其中 1Vre.(放縮)f (e)=1-eaA0.f = ln 2 -1 蘭丄-a -! = -a c0，其中 丄 le2 :>e.(用至U了 In x £依一-(x1 )la 丿

7、 a a la 丿 aaVx全國名校高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練經(jīng)典試題匯編（附詳解）1 、 、 、f '( X)= a >0，單調(diào)遞增.f (1 )= a A 0， Xfa4f |e aI a丿I a丿e2【變式】（經(jīng)過換元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例 1：1.討論2.討論f（x） = lnx mVx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令 7x =t， m=a）； f（x） = xm|nx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令l=a ）；3.討論f （X ） = 7Xln x_mx 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（考慮 g（x ）= f（X）、77）；4.討論3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（考慮g（x）=VXf（x卜令t=x2la）；5.討論f（X ） = ln X-m

8、x2 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令t =x2， 2m =a）；6.討論f（x） = ax-ex的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令ex =t）.XX經(jīng)典模型二：¥旦或y =XX【例2】討論函數(shù)f（x）=eX -ax的零點(diǎn)個(gè)數(shù).a<0時(shí)，1個(gè)零點(diǎn).f x ) = eX-a >0，f(x)=eX -ax單調(diào)遞增.且 f(0) = 1-a>0， f =e： la丿-1<0，所以在m,0 上有一個(gè)零點(diǎn);la丿a =0時(shí)，無零點(diǎn).f (x)=ex AO恒成立;0 ca ce時(shí)，無零點(diǎn).Hxh =f 0na)=a(1TnapO ；a >e時(shí)，2個(gè)零點(diǎn).全國名校高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練經(jīng)典試題匯編（附詳解）

9、1fl =ea -1 0， f（1）= ea cO， f（21 n a）=a（a_2l n a） a（e 2）0. la丿【變式】（經(jīng)過換元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題2： f（x）=exax）：1.討論f（x）=e2x-mx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令2x =t，蘿蟲）；2.討論xf（=-mL的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（去分母后與1等價(jià)）;x e3.討論f（x）=exm仮的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（移項(xiàng)平方后與1等價(jià)）;4.討論f（X ）=ex +mx2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（移項(xiàng)開方后換元與1等價(jià)）;5.討論6.討論7.討論f（x） = ex-mx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（乘以系數(shù)e，令em = a）； f（x）=M-mx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令x，轉(zhuǎn)化成2）xf （

10、X ） = ex* -mx + m 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令 x -1 =t，卑=a）；e經(jīng)典模型三:y = XI n X 或 y = xeX【例】討論函數(shù)f（x）=lnx-旦的零點(diǎn)個(gè)數(shù).x（1） a。時(shí)，1個(gè)零點(diǎn).全國名校高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練經(jīng)典試題匯編（附詳解）f>0， f (X )=ln X-單調(diào)遞增.XXa1af(1 = a <0， f (1+a =ln(1 + a >1=0 .2' 丿 k 丿 1+a 1+a 1+aa =0時(shí)，1個(gè)零點(diǎn)（xo =1）. a 1時(shí)，無零點(diǎn).e X +af， f (xhin = f(-a*1 n(-a10Xa1時(shí)，1個(gè)零點(diǎn).e1c )1X

11、0Wfgnf1j y0-e<a<0時(shí)，2個(gè)零點(diǎn).fD - !=1eacO， f(1)=aA0，f (a2 ) = ln a2 -丄 > a -丄丄=a0 , f 卩 a I a 丿 a(e 丿【變式】（經(jīng)過換元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題3：f (X )= In x-a):x1.討論f（X ）=l-alnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù);X2.討論f （x）=m+7Xl nx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（考慮g（x）=#，令TX =t）；3. 討論f （x） = x-的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令ex=t）；e4. 討論f（X ）=ex -旦的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；x找點(diǎn)問題中的常見函數(shù)模型之間的關(guān)系y - W ；V = vhkv 一 r

12、f七 c'二 F?- F些X =苗'rV =111 .Vt2.v-rV - X'Cn 斗 AimX ZFv'竹，A-，L V = “JU T 龍制雛 Inx 的吋 X 取剖監(jiān)史，UJ以轉(zhuǎn)化成一I的其他任點(diǎn)次林，刺卜的四個(gè)函數(shù)龍然！ ! !練習(xí)題全國名校高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練經(jīng)典試題匯編(附詳解)1.已知函數(shù)f(x)=(x2)ex+a(x1)2有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.2.設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-al nx，討論f(x 的導(dǎo)函數(shù)(x )的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).3.已知函數(shù)f (x)=(x-1)eX+ax2有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.4.已知函數(shù)f(X ) = eX-mx-1

13、.當(dāng)mvo時(shí)，試討論y = f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).全國名校高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練經(jīng)典試題匯編(附詳解)基礎(chǔ)練習(xí)題：L討論函數(shù)(X>0)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);2”討論函數(shù)/(兀比叭卜*=2工L仏(x>0)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);玄討論函數(shù)/(.v) = e=4,的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);4討論函數(shù)rdr二=4的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);X5,討論函數(shù)A- > 0丿(刃二7必的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);67 <上時(shí)討論函數(shù)fx = nxax的零點(diǎn)的個(gè)數(shù); e(2017年全國新課標(biāo) 1 理-21)已知 f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)討論f (X )的單調(diào)性;(2)若f(x )有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.解析：(1) f

14、 © )=2ae2x +(a -2 )ex -1 =(2ex +1 X aex -1 )若a <0，則(x)vO恒成立，所以f(x )在R上遞減;若 a >0，令(x) = 0，得 ex=l,x=l n1.aa當(dāng)時(shí)，fS<0,所以f(x)在卜吒上遞減;全國名校高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練經(jīng)典試題匯編(附詳解)當(dāng) xaI n1 時(shí)，(x)。，所以 f (X )在 In1,'上遞減，在hn丄,JV a丿綜上，當(dāng)a蘭0時(shí)，f(X 在 R上遞減；當(dāng)a >0時(shí)，f(X )在f-=c,ln 遞增.(2) f (X 有兩個(gè)零點(diǎn)，必須滿足f(X kin O，即 a >0

15、，且 f (X 為=f fln 丄=1 1 Jn 1 <0 .V a 丿 a a構(gòu)造函數(shù) g (X )=1 _x_l nx， xaO.易得 g O )= 1 - <0，所以 g(x) = 1-x-ln x 單調(diào)遞減.1一0 V a <1.aX又因?yàn)?g(1) = 0，所以 1 - -l n1。 g- < g (1 a ala 丿F面只要證明當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x )有兩個(gè)零點(diǎn)即可，為此我們先證明當(dāng) x0時(shí)，xlnx.事實(shí)上，構(gòu)造函數(shù) h(x )=x -ln X，易得 h© ) = 1-，二 h(Xn)m = h(1 )=1，所以 h( x):>0 ,即 x > ln x . X2eza a-2 a+ea中(e -2)當(dāng) 0 <a c1 時(shí)， f (1 ) = p+1 =2> 0 ,e ee=a (3 1 +(a - 21 In f3 1 = 3 1 -1n (3 1 > 0 ,a丿la 丿la