恒成立問題專題

1、最新高考數(shù)學二輪專題訓練（附經(jīng)典解析）1參變分離法例1 :已知函數(shù)fIn X a，若 fX【答案】【解析】In Xxin X只需要xln XmaxxIn XIn Xg X 在 1,單調(diào)遞減,2.數(shù)形結(jié)合法例2:若不等式log a X sin2x a 0, a【答案】a n,14【解析】本題選擇數(shù)形結(jié)合，可先作出恒成立問題3x2 ,X2 在 1,xln X上恒成立，則a的取值范圍是X3，其中X1,1,單調(diào)遞減,1對于任意的c n0,4都成立，貝y實數(shù)a的取值范圍y sin2x在 x0,-的圖像,4a扮演的角色為對數(shù)的底數(shù),決定函數(shù)的增減，根據(jù)不等關系可得0 a 1，觀察圖像進一步可得只需一時，g

2、x sin2x ,43.logan sin2 n 1丄，所以a4最值分析法例3:已知函數(shù)f xaln X 1 a在區(qū)間1,e 上，f Xx恒成立，求a的取值范圍【解析】f XX恒成立即不等式0恒成立，令X al nx X 1只需g X min0即可，g 10 ,g' X a1j，令 g' X 0 UoXXXa （分析g X的單調(diào)性）當a 1時 g X在1,e單調(diào)遞減，則g X0（思考：為什么以a 1作為分界點討論？因為找到g 10，若要不等式成立，那么一定從用）1時，分x a是否在1,e中討論（最小值點的選取）e,單調(diào)性如表所示(1)可以比較1，g e的大小找到最小的臨界值，再

3、求解，但比較麻煩.由于最小值只會在e處取得，所以讓它們均大于 0即可.由于x 1 ,x e并不在1,e 中,所以求得的只是臨界值，臨界值等于零也符合條件）在1,e上單調(diào)遞增,10，符合題意,T+z綜上所述：a eA對點增分集訓、選擇題1.已知函數(shù)In2 x3x,0，若 f X0m 2 x 0 ,則實數(shù)m的取值范圍是A.,1B.2,1C.0,3D.3,【答案】B【解析】若f X m 2 X 0，即有f X2 X，分別作出函數(shù)f X和直線y m 2 X的圖象,由直線與曲線相切于原點時，3x '2x 3 ，貝U m3，解得m 1,由直線繞著原點從x軸旋轉(zhuǎn)到與曲線相切,滿足條件.即有0 m 2

4、解得B.2.已知函數(shù)f22x 4x，當 X3,3 時，f2m 14m恒成立，則實數(shù)取值范圍是（A.3,11B.3,11C. 3,11D.2,7【答案】【解析】由題意可得:f ' X 3x2 4x3x0可得：X140, f 32733,據(jù)此可知函數(shù)f X在區(qū)間 3,3上的最小值為33,結(jié)合恒成立的條件可得：m2 14m33 ,求解關于m的不等式可得實數(shù) m的取值范圍是3,11 .本題選擇C選項.a的取值范圍是（3.若函數(shù)f X Inx ax22在區(qū)間1,2內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)A.2B.2,【答案】【解析】-2axX22ax21C2,2ax0在,2內(nèi)恒成立，所以a212X2厶八 max由于X

5、1,2，所以12X22,，所以a-,故選D.84.已知對任意1-,e e不等式XeaX2恒成立（其中e 2.71828L，是自然對數(shù)的底數(shù)）則實數(shù)a的取值范圍是（A.0,|B.0,eC.,2eD.【答案】【解析】X 由eaX得2ln X在 a1 2-,ee上恒成立，即1a1,e2上恒成立.e2ln X1 2-,ee1 In X2X當1,e 時,e單調(diào)遞增,e,e2 時，0 , f X單調(diào)遞減.max f故實數(shù)a的取值范圍是0，e.故選A.5. （ 2020年）已知函數(shù)2 X,X e，當 X1,1 時,不等式m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（B.C. e,D.e,【答案】D【解析】若mX恒成立，則

6、m f XC X2xe所以f X在1,0單調(diào)遞減，在0,1單調(diào)遞增.ff 1 e ,所以 me.故選D.6.當X2,1時,不等式 ax3X2 4x0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是（A.5,B.6,C.6,D.4, 3【答案】【解析】2,0時，恒成立不等式等價于2X 4x 33XX2 4x 3minX3 2x 4X2 4x 36X3x28x 94XQx2,0 , f X 在 2, 1單調(diào)遞減，在1,0單調(diào)遞增,f X min0時，可知無論a為何值,不等式均成立,20,1時，恒成立不等式等價于a XXX24x 3Xmax同理設2X 4x 33X0,1單調(diào)遞增,max綜上所述：a 6,2 .故選7函數(shù)

7、f X,右存在X0X0,2 使得 m f Xo0成立,則實數(shù)m的范圍是（）A.e2,5B.1,C.1,D.-e,2【答案】【解析】右存在X00,2使得mX00成立，則在X00,2X min m即可,Xe 2，1 Xex 1X2Xe,2 1 X2xex X 1 21 X2 2在0,2上單調(diào)遞減f X min f 2e2 , m5&設函數(shù)f x Inx ax,若存在x00,，使f x00，則a的取值范圍是（A.,1eB.C.1,D.【答案】D【解析】f的定義域是0,1 ax當a 0時,0,則0,上單調(diào)遞增，且f 1故存在x00,，使 f X00 ；0時，令x 0 ,解得011，令f X 0

8、，解得a在0,上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,1max f lna，解得綜上,a的取值范圍是故選D.9.若對于任意實數(shù)函數(shù)ax恒大于零，則實數(shù)a的取值范圍是（A.,eB.C.e,D.e,【答案】D【解析】Q當x 0時,xexax0恒成立,a為任意實數(shù),ax0恒成立,xe ax0恒成立,即當x恒成立，設 g xxxe，則gxx:e x e2 x.x1 x e2x0,1 時,x 0 ,則 g x 在 0,1上單調(diào)遞增,當X 1, 時,上單調(diào)遞減,當x 1時，g取得最大值為e.則要使x 0時,X ex ax 0恒成立,a的取值范圍是 e,，故選D.10.已知函數(shù)X2X 2，若對任意，總有f X 0或A.,4

9、B.4,0C.4,0D.【答案】B【解析】由g X2X 20，得 X 1，故對X 1時，g X0不成立，從而對任意X 1,f X0恒成立，因為aX a Xa 30，對任意X 1恒成立，a 0a的取值范圍是（則實數(shù)）4,如圖所示，則必有，計算得出4 a 0 .故選B.ag X 0成立,11.已知函數(shù)fax ,0,，當X2 X1時，不等式f Xif X2X2X10恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（A.,eB.,eC.D.【答案】D【解析】不等式f Xif x2構(gòu)造函數(shù)X2Xix1 fx1X2 f X0,即 J122X1X20可得XifX xf Xx1x2 f x20恒成立，即X2f X2 X1 f X

10、1恒成立,X2e ax，由題意可知函數(shù)g X在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,eX 2ax0恒成立,X e X 2x，則 h' XXe即a 恒成立,2xex X 12x2，h'單調(diào)遞減；當X1 時，h' X 0 , hX單調(diào)遞增;X的最小值為e，據(jù)此可得實數(shù)2a的取值范圍為，-本題選擇D選2項.12設函數(shù)f Xex3x 1ax若有且只有一個整數(shù)X0 使得 f X00 ,則a的取值范圍是B.C.D.【答案】【解析】ex3x 1X axa，則g當g' Xg X單調(diào)遞減;時，g X單調(diào)遞增,當2-時，g X取得最小值g3如下圖所示.X ex 3x+2 ,又g 1h1 2e0 ,故

11、g 1 h 1 ;g 0h 01 a0 ,故 g 0 h 0 .故當xo0時，滿足g 0在直線h x axa的下方.直線h xax a恒過定點1,0且斜率為a ,要使得有且只有一個整數(shù)f x0 ,只需g1h 14e 1 2a 0a2e又a 1，實數(shù)a 的2勺取值范圍一,1 .故選C.X0使得e二、填空題13.設函數(shù)f X lx a，g x x 1，對于任意的x R，不等式f X g x恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是【答案】1, -氣【解析】法一：如圖,/ z/ /工/:-0'-因為f X g X恒成立，貝y y f的圖像在y g X的上方（可以有公共點）所以1，填 1,法2:由題設有ix

12、 aX 1 .當X1時，aR ;當X1時，有X aX 1恒成立或Xa X 1恒成立，故a1或a即a1，填 1,.14.函數(shù)f Xxinxax 1，其中aR，若對任意正數(shù)范圍為【答案】（,1X都有f X 0 ,則實數(shù)a的取值【解析】對任意正數(shù) X都有即不等式aIn X1對于X 0,恒成立.X在0,1上是減函數(shù),1,上是增函數(shù),所以X的最小值是g 11，所以a的取值范圍是,115.已知函數(shù)f X1 2Inx -ax2x，若函數(shù)2f X在丄上上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范2圍是【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)在1,2上單調(diào)遞增,211、-ax 20在,2上恒成立,X2,2c即1 ax 2X 0在X丄2,2上恒

13、成立，所以12 ax2x0恒成立,丄,2上恒成立，所以a2故實數(shù)a的取值范圍是16.已知關于x的不等式logm mx0 在 1,2上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為【解析】當m 1時,函數(shù)flogm2 mx1-外層單調(diào)遞減,2內(nèi)層二次函數(shù):當丄2m1，即m 1時,二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,函數(shù)單調(diào)遞減,x minlogm 4m當丄2m當1-2m-時214則需f1無意義;11時，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)先遞減后遞增，函數(shù)先遞增后遞減,2當丄2m-時，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增,4minf 1 logm1-0，無解.2當1時，函數(shù)flogm mx2x 1外層單調(diào)遞增,212m2,二次函數(shù)單調(diào)遞增，

14、函數(shù)單調(diào)遞增,所以f X minlOgm0，解得：m綜上所述：12三、解答題17.設函數(shù)fIn x 1x，其中a（1 ）討論函數(shù)x極值點的個數(shù),并說明理由;(2 )若f X 0成立，求a的取值范圍.【答案】(1)見解析；（2） 0 a 1 .【解析】(1)f X InX 1 a X2 X，定義域為1,a 2x 1a 2x 1 X 112aX2ax 1 aX 1c 22axax0時，g0，函數(shù)f X1,為增函數(shù)，無極值點.0時，A8a 129a8a，8a 一時 A 0, g X9在 1,為增函數(shù)，無極值點.0的兩個不相等的實數(shù)根,X2，且 X1X2 ,且x1X2，而g1X11-X2 ,4所以當1

15、,x1 ，g0，f x單調(diào)遞增;x1,X2f x單調(diào)遞減;X2,f x單調(diào)遞增.因此此時函數(shù)f x有兩個極值點;當 a 0 時 A 0 ,但 g 110, X1所以當X1,X2 , g X0 , f X 0, f X單調(diào)遞增;當 XX2, g X 0 ,單調(diào)遞減.所以函數(shù)只有一個極值點.綜上可知，當a 0時f有一個極值點；當X的無極值點；當a的有兩個極值點.(1)可知當0,單調(diào)遞增，而則當X 0,時，fX0 ,符合題意;當8a 1時,g 00,X20 , f X9則當X0,時，fX0,符合題意;當a1時，g0 0,X20,所以函數(shù)則當X0,X2時，fX0,不符合題意當a0時，設h XX InI X1 ，當X在f0,0,單調(diào)遞增,在0,單調(diào)遞增,因此當X0,于是X a X2X2ax 1 a此時0 ,不符合題意.綜上所述,a的取值范圍是18設函數(shù)mxX emx ,(1)證明:,0單調(diào)遞減,(2)若對于任意X1 ,X21,1，都有f【答案】(1)見解析;(2)【解析】f X memx 2xx在0, X2單調(diào)遞減，而0,X1In單調(diào)遞增;X2e 1，求的取值范圍.0 ,于是再求導得,2，由于f X 0,于是f X為單調(diào)遞增函數(shù),X ,0 時，f X 0 , X 0, 時，f X 0,f X在 ,0單調(diào)遞