各種模態(tài)分析方法總結(jié)與比較

1、各種模態(tài)分析方法總結(jié)與比較一、模態(tài)分析模態(tài)分析是計(jì)算或試驗(yàn)分析固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型這些模態(tài)參 數(shù)的過程。模態(tài)分析的理論經(jīng)典定義：將線性定常系統(tǒng)振動微分方程組中的物理 坐標(biāo)變換為模態(tài)坐標(biāo)，使方程組解耦，成為一組以模態(tài)坐標(biāo)及模態(tài)參數(shù)描 述的獨(dú)立方程，以便求出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。坐標(biāo)變換的變換矩陣為模態(tài)矩 陣，其每列為模態(tài)振型。模態(tài)分析是研究結(jié)構(gòu)動力特性一種近代方法，是系統(tǒng)辨別方法在工程 振動領(lǐng)域中的應(yīng)用。模態(tài)是機(jī)械結(jié)構(gòu)的固有振動特性，每一個(gè)模態(tài)具有特 定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型。這些模態(tài)參數(shù)可以由計(jì)算或試驗(yàn)分析 取得，這樣一個(gè)計(jì)算或試驗(yàn)分析過程稱為模態(tài)分析。這個(gè)分析過程如果是 由有限元計(jì)算的

2、方法取得的，則稱為計(jì)算模記分析；如果通過試驗(yàn)將采集 的系統(tǒng)輸入與輸出信號經(jīng)過參數(shù)識別獲得模態(tài)參數(shù)，稱為試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析。 通常，模態(tài)分析都是指試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析。振動模態(tài)是彈性結(jié)構(gòu)的固有的、整 體的特性。如果通過模態(tài)分析方法搞清楚了結(jié)構(gòu)物在某一易受影響的頻率 圍各階主要模態(tài)的特性，就可能預(yù)言結(jié)構(gòu)在此頻段在外部或部各種振源作 用下實(shí)際振動響應(yīng)。因此，模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)動態(tài)設(shè)計(jì)及設(shè)備的故障診斷的 重要方法。模態(tài)分析最終目標(biāo)是在識別出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動特 性分析、振動故障診斷和預(yù)報(bào)以及結(jié)構(gòu)動力特性的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)。 二、各模態(tài)分析方法的總結(jié)（一）單自由度法般來說，一個(gè)系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)是它的若干階模態(tài)

3、振型的疊加。但是(SDOF)法2-12-2如果假定在給定的頻帶只有一個(gè)模態(tài)是重要的，那么該模態(tài)的參數(shù)可以單 獨(dú)確定。以這個(gè)假定為根據(jù)的模態(tài)參數(shù)識別方法叫做單自由度 n1 o在給定的頻帶圍，結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性的時(shí)域表達(dá)表示近似為:,ertQR T而頻域表示則近似為:Qrh j j單自由度系統(tǒng)是一種很快速的方法，幾乎不需要什么計(jì)算時(shí)間和計(jì)算 機(jī)存。這種單自由度的假定只有當(dāng)系統(tǒng)的各階模態(tài)能夠很好解耦時(shí)才是正 確的。然而實(shí)際情況通常并不是這樣的，所以就需要用包含若干模態(tài)的模 型對測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行近似，同時(shí)識別這些參數(shù)的模態(tài)，就是所謂的多自由 度（MDOF）法。單自由度算法運(yùn)算速度很快，幾乎不需要什么計(jì)算和計(jì)

4、算機(jī)存，因此 在當(dāng)前小型二通道或四通道傅立葉分析儀中，都把這種方法做成置選項(xiàng)。 然而隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，存不斷擴(kuò)大，計(jì)算速度越來越快，在大多數(shù)實(shí)際 應(yīng)用中，單自由度方法已經(jīng)讓位給更加復(fù)雜的多自由度方法。1、峰值檢測峰值檢測是一種單自由度方法，它是頻域中的模態(tài)模型為根據(jù)對系統(tǒng)極點(diǎn)進(jìn)行局部估計(jì)（固有頻率和阻尼）。峰值檢測方法基于這樣的事實(shí)：在固有頻率附近，頻響函數(shù)通過自己的極值，此時(shí)其實(shí)部為零（同相部分最專業(yè)資料?。?，而虛部和幅值最大（相移達(dá)90° ,幅度達(dá)峰值）圖1。出現(xiàn)極值的那個(gè)固有頻率就是阻尼固有頻率r的良好估計(jì)。相應(yīng)的阻尼比,，的估計(jì)可用半功率點(diǎn)法得到。設(shè) 1和2分處在阻尼固有頻率

5、的兩側(cè)（1< r< 2）,則:2-32、模態(tài)檢測212""r2-4模態(tài)檢測是根據(jù)頻域中的模態(tài)模型對復(fù)模態(tài)（或?qū)嵞B(tài)）向量進(jìn)行局部估計(jì)的一種單自由度方法。在 h jQrrj rt-URLR中略去剩余項(xiàng)則單個(gè)頻響函數(shù)在 處的值近似為:QrHtj j r-j rjrj rQr 1r jrA jr2-5由此式可見，頻響函數(shù)在 處的值乘以模態(tài)阻尼因r,就是留數(shù)（的估計(jì)值如圖1。利用這種模態(tài)檢測方法之前，先要估計(jì)出圖1對頻響應(yīng)函數(shù)的幅值進(jìn)行峰值和模態(tài)檢測3、圓擬合圓擬合是一種單自由度方法，用頻域中的模態(tài)模型對系統(tǒng)極點(diǎn)和復(fù)模態(tài)（或?qū)嵞B(tài)）向量進(jìn)行局部估計(jì)。此方法依據(jù)事實(shí)是：單

6、自由度系統(tǒng)的速度頻響函數(shù)（速度對力）在奈奎斯特圖（即實(shí)部對虛部）上呈現(xiàn)為一個(gè)圓。如果把其他模態(tài)的影響近似為一個(gè)復(fù)常數(shù),那么在共振頻率r附近，頻響函數(shù)2-5專業(yè)資料的基本公式為：Htj jU jVjrR j12-6因此，首先要選擇共振頻率附近的一組頻率響應(yīng)點(diǎn)，通過這些點(diǎn)擬合 成一個(gè)圓。阻尼固有頻率可以看成是復(fù)平面上數(shù)據(jù)點(diǎn)之間角度變化率最 大（角間隔最大）的那個(gè)點(diǎn)的頻率，也可以看成是相位角與圓心的相位角最 為接近的那個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的頻率。 對于分得開的模態(tài)而言，二者的差別是很小。阻尼比,估計(jì)如下:2-72-821;1;rr tan 12tan 2 ?2：分居在r兩側(cè)的兩個(gè)頻率點(diǎn):2：分別為頻率點(diǎn)在1和2

7、得半徑與r得半徑之間的夾角。圓的直徑和阻尼固有頻率點(diǎn)的角位置含有復(fù)留數(shù)U+jV的信息:上上tan U rV式中：圓的直徑:園心與固有頻率點(diǎn)的連線跟虛軸之間的夾角.圓擬合法速度也很快，但為避免結(jié)果出錯(cuò)，特別是在模態(tài)節(jié)點(diǎn)附近, 需要操作者參與。（二）單自由度與多自由度系統(tǒng)粘性阻尼單自由度SDOF系統(tǒng)如圖2的力平衡方程式表示慣性力、 阻尼力、彈性力與外力之間的平衡圖2單自由度系統(tǒng)2-91,2 C/2M V C/2M 2 K/M2-11Mx t Cxt Kx t ft其中M:質(zhì)量C:阻尼K: xxx:加速度，速度，位移f:外力t時(shí)間變 量，把結(jié)構(gòu)中所呈現(xiàn)出來的全部阻尼都近似為一般的粘性阻尼。把上面的時(shí)

8、間域方程變換到拉氏域復(fù)變量P,并假設(shè)初始位移和初始速度為零，則得到拉氏域方程：Mp2 Cp K F p ,或Z pXZ:動剛度經(jīng)過變換可得傳遞函數(shù)的定義，H p Z 1 p即X p2-10一1/MH p -p2 C/M p K/M上式右端的分母叫做系統(tǒng)特征方程，它的根即是系統(tǒng)的極點(diǎn)是:如果沒有阻尼C=0 ,則所論系統(tǒng)是保守系統(tǒng)。我們定義系統(tǒng)的無阻尼 固有頻率為:2-41 K/M臨界阻尼Cc的定義為使（2.3）式中根式項(xiàng)等于零的阻尼值:Cc 2M . K/M c而臨界阻尼分?jǐn)?shù)或阻尼比（1為：匕=CCc,阻尼有時(shí)也有用品質(zhì)因數(shù)即2-6Q因數(shù)表示:Q 1/ 2 i系統(tǒng)按阻尼值的大小可以分成過阻尼系統(tǒng)

9、（1>1 ）、臨界阻尼系統(tǒng)（1 = 1 ）和欠阻尼系統(tǒng)（1<1 ）。過阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)只含有衰減成分、沒有振蕩趨勢。欠阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)一種衰減振動，而臨界阻尼系統(tǒng)則是過阻尼系統(tǒng)與欠阻尼系統(tǒng)之間的一種分界。實(shí)際系統(tǒng)的阻尼比很少有大于 10%的，除非這些系統(tǒng)含有很強(qiáng)的阻尼 機(jī)制，因此我們只研究欠阻尼的情形。在欠阻尼的情況下式2-11兩個(gè)共輾復(fù)根:.*.11 j 1 ,11 j 12-7其中1為阻尼因子1為阻尼固有頻率。有關(guān)系統(tǒng)極點(diǎn)的另外一些關(guān)系式有:2-2式寫成如下形式:在展開成部分分式形式，則有:1 j J 1211/M*H p A-,這里 A1p 1 p 11/Mj2 12-82-9

10、2-102-112-122-13這里的A和A*是留數(shù)。多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)可以用簡單的力平衡代數(shù)方程演化成形式相似的一個(gè)矩陣的方程。下面是以而自由度系統(tǒng)為例。如圖:多自由度系統(tǒng)圖3專業(yè)資料該系統(tǒng)的運(yùn)動方程如下:M1x1C1C2x1tM 2乂2C2C3 x? tC?x2 tC2X tK1K2K2 x1 tK3也tK2x1 tf1 tf2 t2-14寫成矩陣形式是M10x10M2 x2C2C2C2C2C3x1x2KiK2K2K2K2 K3x2或者M(jìn)其中M、C、K、f(t)和x(t)分別為質(zhì)量矩陣、fi2-152-16阻尼矩陣、剛度矩陣、方向量和響應(yīng)向量。把這個(gè)時(shí)間域的矩陣方程變換到拉氏域(變量

11、為P)且假定初始位移和初始速度為零，則得:2_p M p C K X p F p2-172-18或者是 Z p X p F p 式中：Z(p)動剛度矩陣可以得到傳遞函數(shù)矩陣為:2-19i adj Z pH P Z PZ PT式中adj Z p : Z p的伴隨矩陣，等于 j Zj ;Zij : Z p去掉第行第列后的行列式1 如果i j等于偶數(shù)1 如果ij等于奇數(shù)傳遞函數(shù)矩陣含有幅值函數(shù)。2-19式中的分母，即是 Z p的韓烈士，叫做系統(tǒng)的特征方程。與單自由度情況一樣，系統(tǒng)特征方程的根，即系統(tǒng)極點(diǎn)，決定系統(tǒng)的共振頻率。根據(jù)特征值問題，可以求出系統(tǒng)特征方恒的根。為了把系統(tǒng)方程2-17轉(zhuǎn) 化為一般

12、的特征值問題公式，加入下面的恒等式:2-20將此式與2-17式結(jié)合在一起得:其中p ABYF'0MM0,BMC0K2-21如果力函數(shù)等于零，那么式2-19就成了關(guān)于實(shí)值矩陣的一般特征值問題，其特征值馬祖下列方程的 p值：2-22它的根就是特征方程 Z p 0的根。對于N各自由度系統(tǒng)，此方程有2N個(gè)呈復(fù)共輾對出現(xiàn)的特征根:11 j 12-230 NN j N* 11 j 100* Nr是阻尼因子，虛同單自由度系統(tǒng)一樣，多自由度系統(tǒng)的極點(diǎn)的實(shí)部 部r是阻尼固有頻率。（三）實(shí)模態(tài)和復(fù)模態(tài)按照模態(tài)參數(shù)（主要指模態(tài)頻率及模態(tài)向量）是實(shí)數(shù)還是復(fù)數(shù)，模態(tài) 可以分為實(shí)模態(tài)和復(fù)模態(tài)。對于無阻尼或比例阻尼

13、振動系統(tǒng)，其各點(diǎn)的振 動相位差為零或180度，其模態(tài)系數(shù)是實(shí)數(shù)，此時(shí)為實(shí)模態(tài)；對于非比例 阻尼振動系統(tǒng)，各點(diǎn)除了振幅不同外相位差也不一定為零或180度，這樣模態(tài)系數(shù)就是復(fù)數(shù)，即形成復(fù)模態(tài)。1 復(fù)模態(tài)與實(shí)模態(tài)理論在擬合頻段，實(shí)模態(tài)理論中傳遞函數(shù)在 k點(diǎn)激勵Z點(diǎn)響應(yīng)的留數(shù)表達(dá)式 為HkirRkl r 1 2., r2Vrejr arctan k, l 1,2, , n（1）Vr其中，rRkl為留數(shù)；和Vr構(gòu)成的復(fù)數(shù)為系統(tǒng)的復(fù)特征值r： r r jVr擬合頻段復(fù)模態(tài)理論中傳遞函數(shù)在k點(diǎn)激勵f點(diǎn)響應(yīng)的留數(shù)表達(dá)式為Hkl()nr12j r jVr2121rVr2ejr arctan -k, l 1, ,

14、 n（2）Vr由（1）、（2）式中可以看出，傳遞函數(shù)共振峰處復(fù)模態(tài)的相位與實(shí)模態(tài)相 位的差別在于多出的復(fù)留數(shù)相位r ,由傳遞函數(shù)的逆變換可以得到脈沖響應(yīng)函數(shù)，由此可以得到物理坐標(biāo)系中結(jié)構(gòu)的自由響應(yīng)表達(dá)式。對于無阻尼結(jié)構(gòu)，t時(shí)刻第r階模態(tài)k點(diǎn)的振動為xkr krYr sin rt r（ 3 ）粘性比例阻尼：t時(shí)刻第r階模態(tài)k點(diǎn)的振動為xkr krYre rt sin drt r一般粘性阻尼：t時(shí)刻第r階模態(tài)k點(diǎn)的振動為xkr 2Tr kre cos drt r kr（5）式中，k kr表不振型幅值；Q表示模態(tài)頻率；0表示相位角。可以看出，無阻尼和比例阻尼系統(tǒng)的初相位與初始條件有關(guān)，與物 理坐標(biāo)無

15、關(guān)，具有模態(tài)（振型）保持性； 而一般粘性阻尼系統(tǒng)的初相位還與物理坐標(biāo)k有關(guān)，每個(gè)物理坐標(biāo)振動時(shí)并不同時(shí)達(dá)到平衡位置和最 大位置， 不具備模態(tài)保持性，是行波形式.但各物理坐標(biāo)的相位差保持不變，各點(diǎn)的振動周期、衰減率仍保持相同 J.從物理坐標(biāo)點(diǎn)的自由響應(yīng)公式還可看出，即使各測點(diǎn)留數(shù)為復(fù)數(shù)，但如果留數(shù)的相位差，即振型的幅角相同，那么還是可以得到振動周期形狀不變且節(jié)點(diǎn)固定的振型.這樣模態(tài)雖是復(fù)模態(tài)，但表現(xiàn)出實(shí)模態(tài)的性質(zhì).因此實(shí)模態(tài)理論的實(shí)振型與復(fù)模態(tài)理論中復(fù)模態(tài)的差別在于各測點(diǎn)峰值相位差的大小.2實(shí)模態(tài)提取方法復(fù)模態(tài)理論中模態(tài)參數(shù)（特征值和特征向量）均為復(fù)數(shù)，在進(jìn)行結(jié)構(gòu) 模型修正時(shí)大量采用復(fù)數(shù)矩陣和復(fù)

16、數(shù)迭代運(yùn)算，計(jì)算工作量大，效率低； 實(shí)模態(tài)理論中模態(tài)參數(shù)為實(shí)數(shù)，物理概念明確，后續(xù)結(jié)構(gòu)模型修正計(jì)算公 式簡單，計(jì)算工作量小又節(jié)約空間，故實(shí)模態(tài)得到廣泛的應(yīng)用，實(shí)際測試 得到的傳遞函數(shù)留數(shù)一般都為復(fù)數(shù)，要由復(fù)模態(tài)經(jīng)過實(shí)模態(tài)提取技術(shù)才能 得到實(shí)模態(tài)。復(fù)模態(tài)提取實(shí)模態(tài)的方法主要有：根據(jù)復(fù)模態(tài)的實(shí)部、虛部 或相位確定實(shí)模態(tài)的傳統(tǒng)方法；I b r a h i m 的擴(kuò)大模型法； C h e n的 傳遞函數(shù)提取法等。目前的模態(tài)分析軟件中普遍使用的為傳統(tǒng)方法。由復(fù) 模態(tài)實(shí)部或虛部獲得實(shí)模態(tài)向量的方法為：直接取復(fù)留數(shù)的實(shí)部或虛部作 為實(shí)模態(tài)理論中的留數(shù)，進(jìn)行規(guī)格化得到實(shí)模態(tài)振型.由復(fù)模態(tài)相位獲得實(shí)模態(tài)向量的方

17、法為：取復(fù)留數(shù)的幅值作為實(shí)模態(tài)理論中的留數(shù)，根據(jù)sin r的數(shù)值接近1或-1 ,將留數(shù)相位歸為 90 c或-90。，然后盡享振型規(guī)格化，得到實(shí)模態(tài)振型，此振型中各測點(diǎn)相位差 即為0 °或 180。用復(fù)模態(tài)理論獲得的復(fù)模態(tài)向量，由復(fù)振型的周期變化中t=0即振動達(dá)到最大幅度時(shí)的振幅之比表示。三、模態(tài)分析的應(yīng)用與發(fā)展模態(tài)分析技術(shù)的應(yīng)用可歸結(jié)為以下幾個(gè)方面：1）評價(jià)現(xiàn)有結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動態(tài)特性；2）在新產(chǎn)品設(shè)計(jì)中進(jìn)行結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的預(yù)估和優(yōu)化設(shè)計(jì)；3）診斷及預(yù)報(bào)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的故障；4）控制結(jié)構(gòu)的輻射噪聲；5）識別結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的載荷。對于實(shí)際的工程，用有限元軟件分析需要的頻率段，可查找振動原因，或校核。模態(tài)分

18、析可以看出在那些頻率段需要防止或避免共振時(shí)很有用。首先，頻率和振型是結(jié)構(gòu)的固有特性，任何結(jié)構(gòu)都可以進(jìn)行模態(tài)分析；其次，結(jié)構(gòu)的功能是不同的，不同結(jié)構(gòu)對應(yīng)的模態(tài)分析的用途是有差別的。 對建筑結(jié)構(gòu)，模態(tài)分析可以知道結(jié)構(gòu)的避頻設(shè)計(jì)、用于抗震設(shè)計(jì)計(jì)算以及 考慮動力荷載的放大作用等。另外，還可以挖掘振型有關(guān)的信息。機(jī)器、建筑物、航天航空飛行器、船舶、汽車等的實(shí)際振動千姿百態(tài)、 瞬息變化。模態(tài)分析提供了研究各種實(shí)際結(jié)構(gòu)振動的一條有效途徑。首先，將結(jié)構(gòu)物在靜止?fàn)顟B(tài)下進(jìn)行人為激振，通過測量激振力與胯動 響應(yīng)并進(jìn)行雙通道快速傅里葉變換(FFT)分析，得到任意兩點(diǎn)之間的機(jī)械導(dǎo)納函數(shù)(傳遞函數(shù))。用模態(tài)分析理論通過對

19、試驗(yàn)導(dǎo)納函數(shù)的曲線擬 合，識別出結(jié)構(gòu)物的模態(tài)參數(shù)，從而建立起結(jié)構(gòu)物的模態(tài)模型。根據(jù)模態(tài) 疊加原理，在已知各種載荷時(shí)間歷程的情況下，就可以預(yù)言結(jié)構(gòu)物的實(shí)際 振動的響應(yīng)歷程或響應(yīng)譜。模態(tài)分析軟件以美國的ME' ScopeVES的功能最為全面。ME'ScopeVES軟件的功能包括信號處理(signal Process ing)、運(yùn)行撓曲振型 (OperatingDeflection Shapes) 、模態(tài)分析(Modal Analysi s)、結(jié)構(gòu)改正 (SDM)和聲學(xué)分析(Acoustics Analysi S) 等，解決和分析機(jī)器與結(jié)構(gòu)的振 動噪聲問題。主要可用于：1、可以顯示被

20、測物體的實(shí)際工作形態(tài) (0DS)、模態(tài)、聲學(xué)分布形態(tài)和 工程數(shù)據(jù)的形態(tài)等；2、模塊化結(jié)構(gòu)便于用戶根據(jù)自己的需要選擇合適的產(chǎn)品；3、強(qiáng)大的圖形顯示、結(jié)構(gòu)編輯、數(shù)據(jù)處理及動畫顯示功能；4、軟件的開放性好，能夠與全球的多家廠商的硬件兼容；5、主要應(yīng)用的領(lǐng)域：航空航天、建筑橋梁、汽車制造、鋼鐵冶金、 軍工裝備等。模態(tài)分析與參數(shù)辨識作為結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的一種逆問題分析方法并在 工程實(shí)踐中應(yīng)用是從60年代中、后期開始，至今已有近四十年的歷史了。 這一技術(shù)首先在航空、宇航及汽車工業(yè)中開始發(fā)展。由于電子技術(shù)、信號 處理技術(shù)與設(shè)備的發(fā)展，到 80年代末這項(xiàng)技術(shù)已成為工程中解決結(jié)構(gòu)動 態(tài)性能分析、振動與噪聲控制、故障

21、診斷等問題的重要工具。目前這一技 術(shù)已漸趨成熟。經(jīng)過二十余年的研究發(fā)展，到目前為止模態(tài)分析技術(shù)已在 我國各個(gè)工程領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用，成為一種解決工程問題的重要手段。在工程應(yīng)用方面模態(tài)分析已滲透到我國各個(gè)工程領(lǐng)域，并取得了不少 成就。例如，某型火箭全裝置的實(shí)物模態(tài)試驗(yàn)保證了火箭的準(zhǔn)確發(fā)射與導(dǎo) 航，防止了發(fā)射的失??；模態(tài)分析與參數(shù)識別技術(shù)曾被成功地用于解決某 型航空發(fā)動機(jī)的嚴(yán)重振動故障，取得重大經(jīng)濟(jì)及社會效益；某型魚雷全裝 置實(shí)物水下模態(tài)試驗(yàn)為魚雷的振動與噪聲控制確保導(dǎo)航性能提供了技術(shù) 依據(jù)；遠(yuǎn)東第一高塔的上方明珠電視塔的振動模態(tài)試驗(yàn)，為高塔的抗風(fēng)抗 地震安全性設(shè)計(jì)提供了技術(shù)依據(jù)；目前世界上跨度第一的斜拉索浦大橋的 振動試驗(yàn)對大橋抗風(fēng)振動的安全性分析與故障診斷提供了技術(shù)依據(jù)；建立 在模態(tài)