中考數(shù)學(xué)綜合提高題訓(xùn)練

1、中考數(shù)學(xué)綜合提高訓(xùn)練第一部分 函數(shù)圖象中點的存在性問題1.1 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 例1 如圖1，已知拋物線（b是實數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C（1）點B的坐標(biāo)為_，點C的坐標(biāo)為_（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）請你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，

2、請說明理由圖1滿分解答（1）B的坐標(biāo)為(b, 0)，點C的坐標(biāo)為(0, )（2）如圖2，過點P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，那么PDBPEC因此PDPE設(shè)點P的坐標(biāo)為(x, x)如圖3，聯(lián)結(jié)OP所以S四邊形PCOBSPCOSPBO2b解得所以點P的坐標(biāo)為()圖2 圖3（3）由，得A(1, 0)，OA1如圖4，以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC，那么OQCQOA當(dāng)，即時，BQAQOA所以解得所以符合題意的點Q為()如圖5，以O(shè)C為直徑的圓與直線x1交于點Q，那么OQC90°。因此OCQQOA當(dāng)時，BQAQOA此時OQB90°所以C、Q、B三點共線因此，即解得此時Q(

3、1,4)圖4 圖5考點伸展第（3）題的思路是，A、C、O三點是確定的，B是x軸正半軸上待定的點，而QOA與QOC是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據(jù)QOA與QOC相似把點Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對應(yīng)成比例確定點B的位置如圖中，圓與直線x1的另一個交點會不會是符合題意的點Q呢？如果符合題意的話，那么點B的位置距離點A很近，這與OB4OC矛盾例2 如圖1，已知拋物線的方程C1： (m0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側(cè)（1）若拋物線C1過點M(2, 2)，求實數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋

4、物線的對稱軸上找一點H，使得BHEH最小，求出點H的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由圖1解答（1）將M(2, 2)代入，得解得m4（2）當(dāng)m4時，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1，當(dāng)H落在線段EC上時，BHEH最小設(shè)對稱軸與x軸的交點為P，那么因此解得所以點H的坐標(biāo)為（4）如圖3，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FFx軸于F由于BCEFBC，所以當(dāng)，即時，BCEFBC設(shè)點F的坐標(biāo)為，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由

5、，得整理，得016此方程無解圖2 圖3 圖4如圖4，作CBF45°交拋物線于F，過點F作FFx軸于F，由于EBCCBF，所以，即時，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得綜合、，符合題意的m為考點伸展第（4）題也可以這樣求BF的長：在求得點F、F的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點間的距離公式求BF的長例3直線分別交x軸、y軸于A、B兩點，AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到COD，拋物線yax2bxc經(jīng)過A、C、D三點(1) 寫出點A、B、C、D的坐標(biāo)；(2) 求經(jīng)過A、C、D三點的拋物線表達(dá)式，并求拋物線頂點G的坐標(biāo)；(3) 在直線BG上

6、是否存在點Q，使得以點A、B、Q為頂點的三角形與COD相似？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖1解答（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(1，0)（2）因為拋物線yax2bxc經(jīng)過A(3，0)、C(0，3)、D(1，0) 三點，所以 解得 所以拋物線的解析式為yx22x3(x1)24，頂點G的坐標(biāo)為(1，4)（3）如圖2，直線BG的解析式為y3x1，直線CD的解析式為y3x3，因此CD/BG因為圖形在旋轉(zhuǎn)過程中，對應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，所以ABCD因此ABBG，即ABQ90°因為點Q在直線BG上，設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x，3x1)，那么RtCOD的兩條直角邊的

7、比為13，如果RtABQ與RtCOD相似，存在兩種情況：當(dāng)時，解得所以，當(dāng)時，解得所以， 圖2 圖3考點伸展第（3）題在解答過程中運用了兩個高難度動作：一是用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明ABBG；二是我們換個思路解答第（3）題：如圖3，作GHy軸，QNy軸，垂足分別為H、N通過證明AOBBHG，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，可以證明ABG90°在RtBGH中，當(dāng)時，在RtBQN中，當(dāng)Q在B上方時，；當(dāng)Q在B下方時，當(dāng)時，同理得到，例4 RtABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1所示，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象與BC邊交于點D（4，m），與AB邊交于點E（2，n），BDE的面積為2（1）求m與n的數(shù)量關(guān)系

8、；（2）當(dāng)tanA時，求反比例函數(shù)的解析式和直線AB的表達(dá)式；（3）設(shè)直線AB與y軸交于點F，點P在射線FD上，在（2）的條件下，如果AEO與EFP 相似，求點P的坐標(biāo)圖1解答（1）如圖1，因為點D（4，m）、E（2，n）在反比例函數(shù)的圖象上，所以 整理，得n2m（2）如圖2，過點E作EHBC，垂足為H在RtBEH中，tanBEHtanA，EH2，所以BH1因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m1)已知BDE的面積為2，所以解得m1因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)因為點D（4，1）在反比例函數(shù)的圖象上，所以k4因此反比例函數(shù)的解析式為設(shè)直線AB的解析式為ykxb，代入B(4

9、，3)、E(2，2)，得 解得，因此直線AB的函數(shù)解析式為圖2 圖3 圖4（3）如圖3，因為直線與y軸交于點F（0，1），點D的坐標(biāo)為（4，1），所以FD/ x軸，EFPEAO因此AEO與EFP 相似存在兩種情況：如圖3，當(dāng)時，解得FP1此時點P的坐標(biāo)為（1，1）如圖4，當(dāng)時，解得FP5此時點P的坐標(biāo)為（5，1）考點伸展本題的題設(shè)部分有條件“RtABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1所示”，如果沒有這個條件限制，保持其他條件不變，那么還有如圖5的情況：第（1）題的結(jié)論m與n的數(shù)量關(guān)系不變第（2）題反比例函數(shù)的解析式為，直線AB為第（3）題FD不再與x軸平行，AEO與EFP 也不可能相似圖5例5如圖1

10、，已知梯形OABC，拋物線分別過點O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標(biāo)；（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、 B1的坐標(biāo)分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代數(shù)式表示x2x1，并求出當(dāng)S=36時點A1的坐標(biāo)；（3）在圖1中，設(shè)點D的坐標(biāo)為(1，3)，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發(fā)，以與點P相同的速度沿著線段DM運動P、Q兩點同時出

11、發(fā)，當(dāng)點Q到達(dá)點M時，P、Q兩點同時停止運動設(shè)P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由 圖1 圖2解答（1）拋物線的對稱軸為直線，解析式為，頂點為M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面積，由此得到由于，所以整理，得因此得到當(dāng)S=36時， 解得 此時點A1的坐標(biāo)為（6，3）（3）設(shè)直線AB與PQ交于點G，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E，直線PQ與x軸交于點F，那么要探求相似的GAF與GQE，有一個公共角G在GEQ中，GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾

12、角，為定值在GAF中，GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF這時GAFGQEPQD由于，所以解得 圖3 圖4考點伸展第（3）題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的事實上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實際的圖形更接近圖3例6 如圖1，已知點A (-2，4) 和點B (1，0)都在拋物線上（1）求m、n；（2）向右平移上述拋物線，記平移后點A的對應(yīng)點為A，點B的對應(yīng)點為B，若四邊形A ABB為菱形，求平移后拋物線的表達(dá)式；（3）記平移后拋物線的對稱軸與直線AB 的交點為C，試在x軸上找一

13、個點D，使得以點B、C、D為頂點的三角形與ABC相似圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“10寶山24”，拖動點A向右平移，可以體驗到，平移5個單位后，四邊形A ABB為菱形再拖動點D在x軸上運動，可以體驗到，BCD與ABC相似有兩種情況思路點撥1點A與點B的坐標(biāo)在3個題目中處處用到，各具特色第（1）題用在待定系數(shù)法中；第（2）題用來計算平移的距離；第（3）題用來求點B 的坐標(biāo)、AC和BC的長2拋物線左右平移，變化的是對稱軸，開口和形狀都不變3探求ABC與BCD相似，根據(jù)菱形的性質(zhì)，BACCBD，因此按照夾角的兩邊對應(yīng)成比例，分兩種情況討論滿分解答(1) 因為點A (-2，4) 和點B (1，0

14、)都在拋物線上，所以 解得，(2)如圖2，由點A (-2，4) 和點B (1，0)，可得AB5因為四邊形A ABB為菱形，所以A ABB AB5因為，所以原拋物線的對稱軸x1向右平移5個單位后，對應(yīng)的直線為x4因此平移后的拋物線的解析式為圖2(3) 由點A (-2，4) 和點B (6，0)，可得A B如圖2，由AM/CN，可得，即解得所以根據(jù)菱形的性質(zhì)，在ABC與BCD中，BACCBD如圖3，當(dāng)時，解得此時OD3，點D的坐標(biāo)為（3，0）如圖4，當(dāng)時，解得此時OD，點D的坐標(biāo)為（，0） 圖3 圖4考點伸展在本題情境下，我們還可以探求BCD與AB B相似，其實這是有公共底角的兩個等腰三角形，容易想

15、象，存在兩種情況我們也可以討論BCD與CB B相似，這兩個三角形有一組公共角B，根據(jù)對應(yīng)邊成比例，分兩種情況計算例7 2009年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經(jīng)過點A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與OAC相似？若存在，請求出符合條件的 點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得DCA的面積最大，求出點D的坐標(biāo),圖1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“09臨沂26”，拖動點P在拋物線上運動，可以體驗到，PAM的形狀在變化，分別

16、雙擊按鈕“P在B左側(cè)”、“ P在x軸上方”和“P在A右側(cè)”，可以顯示PAM與OAC相似的三個情景雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動點D在x軸上方的拋物線上運動，觀察DCA的形狀和面積隨D變化的圖象，可以體驗到，E是AC的中點時，DCA的面積最大思路點撥1已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數(shù)法求解析式時，設(shè)交點式比較簡便2數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點的坐標(biāo)，用點的坐標(biāo)表示線段的長3按照兩條直角邊對應(yīng)成比例，分兩種情況列方程4把DCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于OA滿分解答 （1）因為拋物線與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點，設(shè)拋物線的解析式為，代入點C的 坐標(biāo)（0，2），解得所以

17、拋物線的解析式為（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為如圖2，當(dāng)點P在x軸上方時，1x4，如果，那么解得不合題意如果，那么解得此時點P的坐標(biāo)為（2，1）如圖3，當(dāng)點P在點A的右側(cè)時，x4，解方程，得此時點P的坐標(biāo)為解方程，得不合題意如圖4，當(dāng)點P在點B的左側(cè)時，x1，解方程，得此時點P的坐標(biāo)為解方程，得此時點P與點O重合，不合題意綜上所述，符合條件的 點P的坐標(biāo)為（2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，那么點D的坐標(biāo)為，點E的坐標(biāo)為所以因此當(dāng)時，DCA的面積最大，此時點D的坐標(biāo)為（2，1） 圖5 圖6考點伸展第（3）題也可以這樣解：如圖6，

18、過D點構(gòu)造矩形OAMN，那么DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去CDN和ADM的面積設(shè)點D的橫坐標(biāo)為（m，n），那么由于，所以例8 如圖1，ABC中，AB5，AC3，cosAD為射線BA上的點（點D不與點B重合），作DE/BC交射線CA于點E.(1) 若CEx，BDy，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；(2) 當(dāng)分別以線段BD，CE為直徑的兩圓相切時，求DE的長度；(3) 當(dāng)點D在AB邊上時，BC邊上是否存在點F，使ABC與DEF相似？若存在，請求出線段BF的長；若不存在，請說明理由 圖1 備用圖 備用圖解答 （1）如圖2，作BHAC，垂足為點H在RtABH中，AB5，cosA，

19、所以AHAC所以BH垂直平分AC，ABC 為等腰三角形，ABCB5 因為DE/BC，所以，即于是得到，（）（2）如圖3，圖4，因為DE/BC，所以，即，因此，圓心距 圖2 圖3 圖4在M中，在N中，當(dāng)兩圓外切時，解得或者如圖5，符合題意的解為，此時當(dāng)兩圓內(nèi)切時，當(dāng)x6時，解得，如圖6，此時E在CA的延長線上，；當(dāng)x6時，解得，如圖7，此時E在CA的延長線上， 圖5 圖6 圖7（3）因為ABC是等腰三角形，因此當(dāng)ABC與DEF相似時，DEF也是等腰三角形如圖8，當(dāng)D、E、F為ABC的三邊的中點時，DE為等腰三角形DEF的腰，符合題意，此時BF2.5根據(jù)對稱性，當(dāng)F在BC邊上的高的垂足時，也符合題

20、意，此時BF4.1如圖9，當(dāng)DE為等腰三角形DEF的底邊時，四邊形DECF是平行四邊形，此時 圖8 圖9 圖10 圖11考點伸展第（3）題的情景是一道典型題，如圖10，如圖11，AH是ABC的高，D、E、F為ABC的三邊的中點，那么四邊形DEHF是等腰梯形例9 圖1解答（1），（2）由拋物線的解析式，得點M的坐標(biāo)為，點N的坐標(biāo)為因此MN的中點D的坐標(biāo)為（2，0），DN3因為AOB是等腰直角三角形，如果DNE與AOB相似，那么DNE也是等腰直角三角形如圖2，如果DN為直角邊，那么點E的坐標(biāo)為E1（2，3）或E2（2，3）將E1（2，3）代入，求得此時拋物線的解析式為將E2（2，3）代入，求得此時

21、拋物線的解析式為如果DN為斜邊，那么點E的坐標(biāo)為E3或E4將E3代入，求得此時拋物線的解析式為將E4代入，求得此時拋物線的解析式為 圖2 圖3對于點E為E1（2，3）和E3，直線NE是相同的，ENP45°又OBP45°，PP，所以POBPGN因此對于點E為E2（2，3）和E4，直線NE是相同的此時點G在直線的右側(cè)，又，所以考點伸展在本題情景下，怎樣計算PB的長？如圖3，作AFAB交OP于F，那么OBCOAF，OFOC，PF，PA，所以1.2 因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例1如圖1，拋物線yax2bxc經(jīng)過A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸

22、（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點P是直線l上的一個動點，當(dāng)PAC的周長最小時，求點P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點M，使MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖1 解答（1）因為拋物線與x軸交于A(1,0)、B(3, 0)兩點，設(shè)ya(x1)(x3)，代入點C(0 ,3)，得3a3解得a1所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1當(dāng)點P落在線段BC上時，PAPC最小，PAC的周長最小設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為H由，BOCO，得PHBH2所以點P的坐標(biāo)為(1, 2)圖2（3）點M的坐標(biāo)為(1

23、, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考點伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設(shè)點M的坐標(biāo)為(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如圖3，當(dāng)MAMC時，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此時點M的坐標(biāo)為(1, 1)如圖4，當(dāng)AMAC時，AM2AC2解方程4m210，得此時點M的坐標(biāo)為(1,)或(1,)如圖5，當(dāng)CMCA時，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6當(dāng)M(1, 6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標(biāo)為(1,0)圖3 圖4 圖5例2如圖1，點A在x軸上，OA4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置（1）

24、求點B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖1解答（1）如圖2，過點B作BCy軸，垂足為C在RtOBC中，BOC30°，OB4，所以BC2，所以點B的坐標(biāo)為（2）因為拋物線與x軸交于O、A(4, 0)，設(shè)拋物線的解析式為yax(x4)，代入點B，解得所以拋物線的解析式為（3）拋物線的對稱軸是直線x2，設(shè)點P的坐標(biāo)為(2, y)當(dāng)OPOB4時，OP216所以4+y216解得當(dāng)P在時，B、O、P三點共線（如圖2）當(dāng)BPBO4時，BP216所以解得當(dāng)

25、PBPO時，PB2PO2所以解得綜合、，點P的坐標(biāo)為，如圖2所示圖2 圖3考點伸展如圖3，在本題中，設(shè)拋物線的頂點為D，那么DOA與OAB是兩個相似的等腰三角形由，得拋物線的頂點為因此所以DOA30°，ODA120°例3如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點P(0,m)是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D（1）求點D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)APD是等腰三角形時，求m的值；（3）設(shè)過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2）當(dāng)點P從O向C運動時，

26、點H也隨之運動請直接寫出點H所經(jīng)過的路長（不必寫解答過程）圖1 圖2解答（1）因為PC/DB，所以因此PMDM，CPBD2m所以AD4m于是得到點D的坐標(biāo)為(2，4m)（2）在APD中，當(dāng)APAD時，解得（如圖3）當(dāng)PAPD時，解得（如圖4）或（不合題意，舍去）當(dāng)DADP時，解得（如圖5）或（不合題意，舍去）綜上所述，當(dāng)APD為等腰三角形時，m的值為，或圖3 圖4 圖5（3）點H所經(jīng)過的路徑長為考點伸展第（2）題解等腰三角形的問題，其中、用幾何說理的方法，計算更簡單：如圖3，當(dāng)APAD時，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，如圖4，當(dāng)PAPD時，P在AD的垂直平分線上所以DA2PO因此

27、解得第（2）題的思路是這樣的：如圖6，在RtOHM中，斜邊OM為定值，因此以O(shè)M為直徑的G經(jīng)過點H，也就是說點H在圓弧上運動運動過的圓心角怎么確定呢？如圖7，P與O重合時，是點H運動的起點，COH45°，CGH90°圖6 圖7例4如圖1，已知一次函數(shù)yx7與正比例函數(shù)的圖象交于點A，且與x軸交于點B（1）求點A和點B的坐標(biāo)；（2）過點A作ACy軸于點C，過點B作直線l/y軸動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿OCA的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q當(dāng)點P到達(dá)點A時，點P和直線l都停

28、止運動在運動過程中，設(shè)動點P運動的時間為t秒當(dāng)t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由 圖1 解答（1）解方程組 得 所以點A的坐標(biāo)是(3，4)令，得所以點B的坐標(biāo)是(7，0)（2）如圖2，當(dāng)P在OC上運動時，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如圖3，當(dāng)P在CA上運動時，APR的最大面積為6因此，當(dāng)t2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8圖2 圖3 圖4我們先討論P在OC上運動時的情形，0t4如圖1，在AOB中，B45°，AOB45°，OB7，所以O(shè)BAB因此OABA

29、OBB如圖4，點P由O向C運動的過程中，OPBRRQ，所以PQ/x軸因此AQP45°保持不變，PAQ越來越大，所以只存在APQAQP的情況此時點A在PQ的垂直平分線上，OR2CA6所以BR1，t1我們再來討論P在CA上運動時的情形，4t7在APQ中， 為定值，如圖5，當(dāng)APAQ時，解方程，得如圖6，當(dāng)QPQA時，點Q在PA的垂直平分線上，AP2(OROP)解方程，得如7，當(dāng)PAPQ時，那么因此解方程，得綜上所述，t1或或5或時，APQ是等腰三角形 圖5 圖6 圖7例5 如圖1，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有點A(6, 0)，B(0, 8)，C(4, 0)，點M、N分別為線段AC和射線AB上的動點

30、，點M以2個單位長度/秒的速度自C向A方向作勻速運動，點N以5個單位長度/秒的速度自A向B方向作勻速運動，MN交OB于點P(1)求證：MNNP為定值；(2)若BNP與MNA相似，求CM的長；(3)若BNP是等腰三角形，求CM的長圖1解答(1)如圖2，圖3，作NQx軸，垂足為Q設(shè)點M、N的運動時間為t秒在RtANQ中，AN5t，NQ4t ，AQ3t在圖2中，QO63t，MQ105t，所以MNNPMQQO53在圖3中，QO3t6，MQ5t10，所以MNNPMQQO53(2)因為BNP與MNA有一組鄰補(bǔ)角，因此這兩個三角形要么是一個銳角三角形和一個鈍角三角形，要么是兩個直角三角形只有當(dāng)這兩個三角形都

31、是直角三角形時才可能相似如圖4，BNPMNA，在RtAMN中，所以解得此時CM 圖2 圖3 圖4(3)如圖5，圖6，圖7中，即所以當(dāng)N在AB上時，在BNP中，B是確定的，()如圖5，當(dāng)BPBN時，解方程，得此時CM()如圖6，當(dāng)NBNP時，解方程，得此時CM()當(dāng)PBPN時，解方程，得t的值為負(fù)數(shù)，因此不存在PBPN的情況如圖7，當(dāng)點N在線段AB的延長線上時，B是鈍角，只存在BPBN的可能，此時解方程，得此時CM 圖5 圖6 圖7考點伸展如圖6，當(dāng)NBNP時，NMA是等腰三角形，這樣計算簡便一些例6如圖1，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常數(shù)），BC8，E為線段BC上的動點（不與B、C重

32、合）連結(jié)DE，作EFDE，EF與射線BA交于點F，設(shè)CEx，BFy（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； （2）若m8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？圖1解答(1)因為EDC與FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因為CB90°，所以DCEEBF因此，即整理，得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為(2)如圖2，當(dāng)m8時，因此當(dāng)x4時，y取得最大值為2(3) 若，那么整理，得解得x2或x6要使DEF為等腰三角形，只存在EDEF的情況因為DCEEBF，所以CEBF，即xy將xy 2代入，得m6（如圖3）；將xy 6代入，得m2（如圖4） 圖2 圖3

33、 圖4例7已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA2，OC3，過原點O作AOC的平分線交AB于點D，連結(jié)DC，過點D作DEDC，交OA于點E（1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；（2）將EDC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的正半軸交于點F，另一邊與線段OC交于點G如果DF與（1）中的拋物線交于另一點M，點M的橫坐標(biāo)為，那么EF2GO是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）對于（2）中的點G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構(gòu)成的PCG是等腰三角形？若存在，

34、請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在成立，請說明理由圖1解答（1）由于OD平分AOC，所以點D的坐標(biāo)為（2，2），因此BCAD1由于BCDADE，所以BDAE1，因此點E的坐標(biāo)為（0，1）設(shè)過E、D、C三點的拋物線的解析式為，那么 解得，因此過E、D、C三點的拋物線的解析式為（2）把代入，求得所以點M的坐標(biāo)為如圖2，過點M作MNAB，垂足為N，那么，即解得圖2因為EDC繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，DCGDEF，所以CGEF2因此GO1，EF2GO（3）在第（2）中，GC2設(shè)點Q的坐標(biāo)為如圖3，當(dāng)CPCG2時，點P與點B（3，2）重合，PCG是等腰直角三角形此時，因此。由此得到點Q的坐標(biāo)為如圖4，當(dāng)GPGC2時，

35、點P的坐標(biāo)為（1，2）此時點Q的橫坐標(biāo)為1，點Q的坐標(biāo)為如圖5，當(dāng)PGPC時，點P在GC的垂直平分線上，點P、Q與點D重合此時點Q的坐標(biāo)為（2，2） 圖3 圖4 圖5考點伸展在第（2）題情景下，EDC繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，F(xiàn)G的長怎樣變化？設(shè)AF的長為m，那么點F由E開始沿射線EA運動的過程中，F(xiàn)G先是越來越小，F(xiàn)與A重合時，F(xiàn)G達(dá)到最小值；F經(jīng)過點A以后，F(xiàn)G越來越大，當(dāng)C與O重合時，F(xiàn)G達(dá)到最大值4例 8如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中點，過點E作EF/BC交CD于點F，AB4，BC6，B60°（1）求點E到BC的距離；（2）點P為線段EF上的一個動點，過點P

36、作PMEF交BC于M，過M作MN/AB交折線ADC于N，連結(jié)PN，設(shè)EPx當(dāng)點N在線段AD上時（如圖2），PMN的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出PMN的周長；若改變，請說明理由；當(dāng)點N在線段DC上時（如圖3），是否存在點P，使PMN為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足條件的x的值；若不存在，請說明理由 圖1 圖2 圖3解答（1）如圖4，過點E作EGBC于G在RtBEG中，B60°，所以，所以點E到BC的距離為（2）因為AD/EF/BC，E是AB的中點，所以F是DC的中點因此EF是梯形ABCD的中位線，EF4如圖4，當(dāng)點N在線段AD上時，PMN的形狀不是否發(fā)生改變過點N作NHEF于H，

37、設(shè)PH與NM交于點Q在矩形EGMP中，EPGMx，PMEG在平行四邊形BMQE中，BMEQ1x所以BGPQ1因為PM與NH平行且相等，所以PH與NM互相平分，PH2PQ2在RtPNH中，NH，PH2，所以PN在平行四邊形ABMN中，MNAB4因此PMN的周長為4 圖4 圖5當(dāng)點N在線段DC上時，CMN恒為等邊三角形如圖5，當(dāng)PMPN時，PMC與PNC關(guān)于直線PC對稱，點P在DCB的平分線上在RtPCM中，PM，PCM30°，所以MC3此時M、P分別為BC、EF的中點，x2如圖6，當(dāng)MPMN時，MPMNMC，xGMGCMC5如圖7，當(dāng)NPNM時，NMPNPM30°，所以PNM

38、120°又因為FNM120°，所以P與F重合此時x4綜上所述，當(dāng)x2或4或5時，PMN為等腰三角形 圖6 圖7 圖81.3 因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例1 如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（1）求點A、B的坐標(biāo)；（2）設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當(dāng)ACD的面積等于ACB的面積時，求點D的坐標(biāo)；（3）若直線l過點E(4, 0)，M為直線l上的動點，當(dāng)以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式圖1 解答（1）由，得拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為A(4, 0)、B(2, 0)對稱軸是直線x1（2）ACD與ACB有公

39、共的底邊AC，當(dāng)ACD的面積等于ACB的面積時，點B、D到直線AC的距離相等過點B作AC的平行線交拋物線的對稱軸于點D，在AC的另一側(cè)有對應(yīng)的點D設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，與AC交于點H由BD/AC，得DBGCAO所以所以，點D的坐標(biāo)為因為AC/BD，AGBG，所以HGDG而DHDH，所以DG3DG所以D的坐標(biāo)為圖2 圖3（3）過點A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點的，即2個點M以AB為直徑的G如果與直線l相交，那么就有2個點M；如果圓與直線l相切，就只有1個點M了聯(lián)結(jié)GM，那么GMl在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtEM1A中，AE8，所以M1A6所以

40、點M1的坐標(biāo)為(4, 6)，過M1、E的直線l為根據(jù)對稱性，直線l還可以是例2在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)yk(x2x1)的圖象交于點A(1,k)和點B(1,k)（1）當(dāng)k2時，求反比例函數(shù)的解析式；（2）要使反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點為Q，當(dāng)ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值解答（1）因為反比例函數(shù)的圖象過點A(1,k)，所以反比例函數(shù)的解析式是當(dāng)k2時，反比例函數(shù)的解析式是（2）在反比例函數(shù)中，如果y隨x增大而增大，那么k0當(dāng)k0時，拋物線的開口向下，在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大拋物線yk

41、(x2x1)的對稱軸是直線 圖1所以當(dāng)k0且時，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大（3）拋物線的頂點Q的坐標(biāo)是，A、B關(guān)于原點O中心對稱，當(dāng)OQOAOB時，ABQ是以AB為直徑的直角三角形由OQ2OA2，得解得（如圖2），（如圖3）圖2 圖3考點伸展如圖4，已知經(jīng)過原點O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線（k0）交于A、B和C、D，那么AB與CD互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形問平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否成為正方形？如圖5，當(dāng)A、C關(guān)于直線yx對稱時，AB與CD互相平分且相等，四邊形ABCD是矩形因為A、C可以無限接近坐標(biāo)系但是不能落在坐標(biāo)軸上，所以O(shè)A與OC無法垂直，因

42、此四邊形ABCD不能成為正方形圖4 圖5例3 如圖1，已知拋物線yx2bxc與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C(0，3)，對稱軸是直線x1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；（3）點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交CE于點F，交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限當(dāng)線段時，求tanCED的值；當(dāng)以C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，請直接寫出點P的坐標(biāo)溫馨提示：考生可以根據(jù)第（3）問的題意，在圖中補(bǔ)出圖形，以便作答圖1解答（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，代入點C(0，3)，得所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（2）由，知A

43、(1，0)，B(3，0)設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，代入點B(3，0)和點C(0，3)，得 解得，所以直線BC的函數(shù)表達(dá)式為（3）因為AB4，所以因為P、Q關(guān)于直線x1對稱，所以點P的橫坐標(biāo)為于是得到點P的坐標(biāo)為，點F的坐標(biāo)為所以，進(jìn)而得到，點E的坐標(biāo)為直線BC:與拋物線的對稱軸x1的交點D的坐標(biāo)為（1，2）過點D作DHy軸，垂足為H在RtEDH中，DH1，所以tanCED，圖2 圖3 圖4考點伸展第（3）題求點P的坐標(biāo)的步驟是：如圖3，圖4，先分兩種情況求出等腰直角三角形CDE的頂點E的坐標(biāo)，再求出CE的中點F的坐標(biāo)，把點F的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式，解得的x的較小的一個值就是點P的橫坐標(biāo)例4

44、設(shè)直線l1：yk1xb1與l2：yk2xb2，若l1l2，垂足為H，則稱直線l1與l2是點H的直角線（1）已知直線；和點C(0，2)，則直線_和_是點C的直角線（填序號即可）；（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的頂點A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P為線段OC上一點，設(shè)過B、P兩點的直線為l1，過A、P兩點的直線為l2，若l1與l2是點P的直角線，求直線l1與l2的解析式 圖1答案（1）直線和是點C的直角線（2）當(dāng)APB90°時，BCPPOA那么，即解得OP6或OP1如圖2，當(dāng)OP6時，l1：， l2：y2x6如圖3，當(dāng)OP1時，l1：y3x1， l2：圖2

45、圖3例5 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸的交點分別為原點O和點A，點B(2,n)在這條拋物線上（1）求點B的坐標(biāo)；（2）點P在線段OA上，從點O出發(fā)向點A運動，過點P作x軸的垂線，與直線OB交于點E，延長PE到點D，使得EDPE，以PD為斜邊，在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD（當(dāng)點P運動時，點C、D也隨之運動）當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點C落在此拋物線上時，求OP的長；若點P從點O出發(fā)向點A作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時線段OA上另一個點Q從點A出發(fā)向點O作勻速運動，速度為每秒2個單位（當(dāng)點Q到達(dá)點O時停止運動，點P也停止運動）過Q作x軸的垂線，與直線AB交于點F，延長QF到點M，使得FMQF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN（當(dāng)點Q運動時，點M、N也隨之運動）若點P運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值圖1解答(1) 因為拋物線經(jīng)過原點，所以 解得，（舍去）因此所以點B的坐標(biāo)為（2，4）(2) 如圖4，設(shè)OP的長為t，那么PE2t，EC2t，點C的坐標(biāo)為(3t, 2t)當(dāng)點C落在拋物線上時，解得如圖1，當(dāng)兩條斜邊PD與QM在同一條直線上時，點P、Q重合此時3t10解得如圖2，當(dāng)兩條直角邊PC與MN在同一條直線上，PQN是等腰直角