中考數(shù)學壓軸題及解析分類匯編教師版

1、2013年中考數(shù)學壓軸題及解析分類匯編2013年中考數(shù)學壓軸題及解析分類匯編2013中考數(shù)學壓軸：相似三角形問題2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)相似三角形問題(一)2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)相似三角形問題(二)2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)相似三角形問題(三)2013中考數(shù)學壓軸：等腰三角形問題2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)等腰三角形問題(一)2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)等腰三角形問題(二)2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)等腰三角形問題(三)2013中考數(shù)學壓軸：直角三角形問題2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)直角三角形問題(一)2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)直角三角形問題(二)2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)直角三角形問題(三)2

2、013中考數(shù)學壓軸：平行四邊形問題2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)平行四邊形問題(一)2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)平行四邊形問題(二)2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)平行四邊形問題(三)2013中考數(shù)學壓軸：梯形問題2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)梯形問題(一)2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)梯形問題(二)2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)梯形問題(三)2013中考數(shù)學壓軸：面積問題2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)面積問題(一)2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)面積問題(二)2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)面積問題(三) 2013中考數(shù)學壓軸題:函數(shù)相似三角形問題(一)例1直線分別交x軸、y軸于A、B兩點，AOB繞點O按逆時針方向旋轉9

3、0°后得到COD，拋物線yax2bxc經過A、C、D三點(1) 寫出點A、B、C、D的坐標；(2) 求經過A、C、D三點的拋物線表達式，并求拋物線頂點G的坐標；(3) 在直線BG上是否存在點Q，使得以點A、B、Q為頂點的三角形與COD相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11閘北25”， 拖動點Q在直線BG上運動， 可以體驗到，ABQ的兩條直角邊的比為13共有四種情況，點B上、下各有兩種思路點撥1圖形在旋轉過程中，對應線段相等，對應角相等，對應線段的夾角等于旋轉角2用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，用配方法求頂點坐標3第（3）題判斷ABQ9

4、0°是解題的前提4ABQ與COD相似，按照直角邊的比分兩種情況，每種情況又按照點Q與點B的位置關系分上下兩種情形，點Q共有4個滿分解答（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(1，0)（2）因為拋物線yax2bxc經過A(3，0)、C(0，3)、D(1，0) 三點，所以 解得 所以拋物線的解析式為yx22x3(x1)24，頂點G的坐標為(1，4)（3）如圖2，直線BG的解析式為y3x1，直線CD的解析式為y3x3，因此CD/BG因為圖形在旋轉過程中，對應線段的夾角等于旋轉角，所以ABCD因此ABBG，即ABQ90°因為點Q在直線BG上，設點Q的坐標為(x，3x1)

5、，那么RtCOD的兩條直角邊的比為13，如果RtABQ與RtCOD相似，存在兩種情況：當時，解得所以，當時，解得所以， 圖2 圖3考點伸展第（3）題在解答過程中運用了兩個高難度動作：一是用旋轉的性質說明ABBG；二是我們換個思路解答第（3）題：如圖3，作GHy軸，QNy軸，垂足分別為H、N通過證明AOBBHG，根據(jù)全等三角形的對應角相等，可以證明ABG90°在RtBGH中，當時，在RtBQN中，當Q在B上方時，；當Q在B下方時，當時，同理得到，例2 RtABC在直角坐標系內的位置如圖1所示，反比例函數(shù)在第一象限內的圖像與BC邊交于點D（4，m），與AB邊交于點E（2，n），BDE的面

6、積為2（1）求m與n的數(shù)量關系；（2）當tanA時，求反比例函數(shù)的解析式和直線AB的表達式；（3）設直線AB與y軸交于點F，點P在射線FD上，在（2）的條件下，如果AEO與EFP 相似，求點P的坐標圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11楊浦24”，拖動點A在x軸上運動，可以體驗到，直線AB保持斜率不變，n始終等于m的2倍，雙擊按鈕“面積BDE2”，可以看到，點E正好在BD的垂直平分線上，F(xiàn)D/x軸拖動點P在射線FD上運動，可以體驗到，AEO與EFP 相似存在兩種情況思路點撥1探求m與n的數(shù)量關系，用m表示點B、D、E的坐標，是解題的突破口2第（2）題留給第（3）題的隱含條件是FD/x軸3如果A

7、EO與EFP 相似，因為夾角相等，根據(jù)對應邊成比例，分兩種情況滿分解答（1）如圖1，因為點D（4，m）、E（2，n）在反比例函數(shù)的圖像上，所以 整理，得n2m（2）如圖2，過點E作EHBC，垂足為H在RtBEH中，tanBEHtanA，EH2，所以BH1因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m1)已知BDE的面積為2，所以解得m1因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)因為點D（4，1）在反比例函數(shù)的圖像上，所以k4因此反比例函數(shù)的解析式為設直線AB的解析式為ykxb，代入B(4，3)、E(2，2)，得 解得，因此直線AB的函數(shù)解析式為圖2 圖3 圖4（3）如圖3，因為直線與y軸交于

8、點F（0，1），點D的坐標為（4，1），所以FD/ x軸，EFPEAO因此AEO與EFP 相似存在兩種情況：如圖3，當時，解得FP1此時點P的坐標為（1，1）如圖4，當時，解得FP5此時點P的坐標為（5，1）考點伸展本題的題設部分有條件“RtABC在直角坐標系內的位置如圖1所示”，如果沒有這個條件限制，保持其他條件不變，那么還有如圖5的情況：第（1）題的結論m與n的數(shù)量關系不變第（2）題反比例函數(shù)的解析式為，直線AB為第（3）題FD不再與x軸平行，AEO與EFP 也不可能相似圖52013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)相似三角形問題(二)例3 如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點O（0，0）、A（2，0

9、）、B（6，3）（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標；（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1設梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、 B1的坐標分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代數(shù)式表示x2x1，并求出當S=36時點A1的坐標；（3）在圖1中，設點D的坐標為(1，3)，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發(fā)，以與點P相同的速度沿著線段DM運動P、Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動設P、Q兩點的

10、運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由 圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“10義烏24”，拖動點I上下運動，觀察圖形和圖像，可以體驗到，x2x1隨S的增大而減小雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點Q在DM上運動，可以體驗到，如果GAFGQE，那么GAF與GQE相似思路點撥1第（2）題用含S的代數(shù)式表示x2x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2y13通過代數(shù)變形就可以了2第（3）題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結果的情

11、況下，無法畫出準確的位置關系，因此本題的策略是先假設，再說理計算，后驗證3第（3）題的示意圖，不變的關系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對稱軸的夾角不變變化的直線PQ的斜率，因此假設直線PQ與AB的交點G在x軸的下方，或者假設交點G在x軸的上方滿分解答（1）拋物線的對稱軸為直線，解析式為，頂點為M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面積，由此得到由于，所以整理，得因此得到當S=36時， 解得 此時點A1的坐標為（6，3）（3）設直線AB與PQ交于點G，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E，直線PQ與x軸交于點F，那么要探求相似的GAF與GQE，有一個公共角G在GEQ中，GEQ是直

12、線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定值在GAF中，GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF這時GAFGQEPQD由于，所以解得 圖3 圖4考點伸展第（3）題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的事實上，圖3和圖4都是假設存在的示意圖，實際的圖形更接近圖3例4 如圖1，已知點A (-2，4) 和點B (1，0)都在拋物線上（1）求m、n；（2）向右平移上述拋物線，記平移后點A的對應點為A，點B的對應點為B，若四邊形A ABB為菱形，求平移后拋物線的表達式；（3）記平移后拋物線的對稱軸與直線AB 的

13、交點為C，試在x軸上找一個點D，使得以點B、C、D為頂點的三角形與ABC相似圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“10寶山24”，拖動點A向右平移，可以體驗到，平移5個單位后，四邊形A ABB為菱形再拖動點D在x軸上運動，可以體驗到，BCD與ABC相似有兩種情況思路點撥1點A與點B的坐標在3個題目中處處用到，各具特色第（1）題用在待定系數(shù)法中；第（2）題用來計算平移的距離；第（3）題用來求點B 的坐標、AC和BC的長2拋物線左右平移，變化的是對稱軸，開口和形狀都不變3探求ABC與BCD相似，根據(jù)菱形的性質，BACCBD，因此按照夾角的兩邊對應成比例，分兩種情況討論滿分解答(1) 因為點A (-2

14、，4) 和點B (1，0)都在拋物線上，所以 解得，(2)如圖2，由點A (-2，4) 和點B (1，0)，可得AB5因為四邊形A ABB為菱形，所以A ABB AB5因為，所以原拋物線的對稱軸x1向右平移5個單位后，對應的直線為x4因此平移后的拋物線的解析式為圖2(3) 由點A (-2，4) 和點B (6，0)，可得A B如圖2，由AM/CN，可得，即解得所以根據(jù)菱形的性質，在ABC與BCD中，BACCBD如圖3，當時，解得此時OD3，點D的坐標為（3，0）如圖4，當時，解得此時OD，點D的坐標為（，0） 圖3 圖4考點伸展在本題情境下，我們還可以探求BCD與AB B相似，其實這是有公共底角

15、的兩個等腰三角形，容易想象，存在兩種情況我們也可以討論BCD與CB B相似，這兩個三角形有一組公共角B，根據(jù)對應邊成比例，分兩種情況計算2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)相似三角形問題(三)例5 如圖1，拋物線經過點A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與OAC相似？若存在，請求出符合條件的 點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得DCA的面積最大，求出點D的坐標,圖1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“09臨沂26”，拖動點P在拋物線上

16、運動，可以體驗到，PAM的形狀在變化，分別雙擊按鈕“P在B左側”、“ P在x軸上方”和“P在A右側”，可以顯示PAM與OAC相似的三個情景雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動點D在x軸上方的拋物線上運動，觀察DCA的形狀和面積隨D變化的圖象，可以體驗到，E是AC的中點時，DCA的面積最大思路點撥1已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數(shù)法求解析式時，設交點式比較簡便2數(shù)形結合，用解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表示線段的長3按照兩條直角邊對應成比例，分兩種情況列方程4把DCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于OA滿分解答 （1）因為拋物線與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點，設拋物線的解析

17、式為，代入點C的 坐標（0，2），解得所以拋物線的解析式為（2）設點P的坐標為如圖2，當點P在x軸上方時，1x4，如果，那么解得不合題意如果，那么解得此時點P的坐標為（2，1）如圖3，當點P在點A的右側時，x4，解方程，得此時點P的坐標為解方程，得不合題意如圖4，當點P在點B的左側時，x1，解方程，得此時點P的坐標為解方程，得此時點P與點O重合，不合題意綜上所述，符合條件的 點P的坐標為（2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為設點D的橫坐標為m，那么點D的坐標為，點E的坐標為所以因此當時，DCA的面積最大，此時點D的坐標為（2，1） 圖5 圖

18、6考點伸展第（3）題也可以這樣解：如圖6，過D點構造矩形OAMN，那么DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去CDN和ADM的面積設點D的橫坐標為（m，n），那么由于，所以例6 如圖1，ABC中，AB5，AC3，cosAD為射線BA上的點（點D不與點B重合），作DE/BC交射線CA于點E.(1) 若CEx，BDy，求y與x的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域；(2) 當分別以線段BD，CE為直徑的兩圓相切時，求DE的長度；(3) 當點D在AB邊上時，BC邊上是否存在點F，使ABC與DEF相似？若存在，請求出線段BF的長；若不存在，請說明理由 圖1 備用圖 備用圖動感體驗 請打開幾何畫板文件名“0

19、9閘北25”，拖動點D可以在射線BA上運動雙擊按鈕“第（2）題”，拖動點D可以體驗到兩圓可以外切一次，內切兩次雙擊按鈕“第（3）題”，再分別雙擊按鈕“DE為腰”和“DE為底邊”，可以體驗到，DEF為等腰三角形思路點撥1先解讀背景圖，ABC是等腰三角形，那么第（3）題中符合條件的DEF也是等腰三角形2用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）題的先決條件，注意點E的位置不同，DE、MN表示的形式分兩種情況3求兩圓相切的問題時，先羅列三要素，再列方程，最后檢驗方程的解的位置是否符合題意4第（3）題按照DE為腰和底邊兩種情況分類討論，運用典型題目的結論可以幫助我們輕松解題滿分解答 （1）如圖2

20、，作BHAC，垂足為點H在RtABH中，AB5，cosA，所以AHAC所以BH垂直平分AC，ABC 為等腰三角形，ABCB5 因為DE/BC，所以，即于是得到，（）（2）如圖3，圖4，因為DE/BC，所以，即，因此，圓心距 圖2 圖3 圖4在M中，在N中，當兩圓外切時，解得或者如圖5，符合題意的解為，此時當兩圓內切時，當x6時，解得，如圖6，此時E在CA的延長線上，；當x6時，解得，如圖7，此時E在CA的延長線上， 圖5 圖6 圖7（3）因為ABC是等腰三角形，因此當ABC與DEF相似時，DEF也是等腰三角形如圖8，當D、E、F為ABC的三邊的中點時，DE為等腰三角形DEF的腰，符合題意，此時

21、BF2.5根據(jù)對稱性，當F在BC邊上的高的垂足時，也符合題意，此時BF4.1如圖9，當DE為等腰三角形DEF的底邊時，四邊形DECF是平行四邊形，此時 圖8 圖9 圖10 圖11考點伸展第（3）題的情景是一道典型題，如圖10，如圖11，AH是ABC的高，D、E、F為ABC的三邊的中點，那么四邊形DEHF是等腰梯形例 7 如圖1，在直角坐標系xOy中，設點A（0，t），點Q（t，b）平移二次函數(shù)的圖象，得到的拋物線F滿足兩個條件：頂點為Q；與x軸相交于B、C兩點（OB<OC），連結A，B（1）是否存在這樣的拋物線F，使得？請你作出判斷，并說明理由；（2）如果AQBC，且tanABO，求拋物

22、線F對應的二次函數(shù)的解析式圖1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“08杭州24”，拖動點A在y軸上運動，可以體驗到，AQ與BC保持平行，OAOB與OAOB保持32雙擊按鈕“t3”，“t06”，“t06”，“t3”，拋物線正好經過點B（或B）思路點撥1數(shù)形結合思想，把轉化為 2如果AQBC，那么以OA、AQ為鄰邊的矩形是正方形，數(shù)形結合得到tb3分類討論tanABO，按照A、B、C的位置關系分為四種情況A在y軸正半軸時，分為B、C在y軸同側和兩側兩種情況；A在y軸負半軸時，分為B、C在y軸同側和兩側兩種情況滿分解答（1）因為平移的圖象得到的拋物線的頂點為（t，b），所以拋物線對應的解析式為因為拋物線

23、與x軸有兩個交點，因此令，得，所以)( )| 即所以當時，存在拋物線使得（2）因為AQ/BC，所以tb，于是拋物線F為解得當時，由，得如圖2，當時，由，解得此時二次函數(shù)的解析式為如圖3，當時，由，解得此時二次函數(shù)的解析式為 圖2 圖3如圖4，如圖5，當時，由，將代,可得，此時二次函數(shù)的解析式為或 圖4 圖5考點伸展第（2）題還可以這樣分類討論：因為AQ/BC，所以tb，于是拋物線F為由，得把代入，得（如圖2，圖5）把代入，得（如圖3，圖4）2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)等腰三角形問題(一)例1 如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點P(0,m)是線

24、段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D（1）求點D的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當APD是等腰三角形時，求m的值；（3）設過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2）當點P從O向C運動時，點H也隨之運動請直接寫出點H所經過的路長（不必寫解答過程）圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“11湖州24”，拖動點P在OC上運動，可以體驗到，APD的三個頂點有四次機會可以落在對邊的垂直平分線上雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動點P由O向C運動，可以體驗到，點H在以OM為直徑的圓上運動雙擊按鈕“第(2)題”可以切換思路點撥1用含m的代數(shù)式表

25、示表示APD的三邊長，為解等腰三角形做好準備2探求APD是等腰三角形，分三種情況列方程求解3猜想點H的運動軌跡是一個難題不變的是直角，會不會找到不變的線段長呢？RtOHM的斜邊長OM是定值，以OM為直徑的圓過點H、C滿分解答（1）因為PC/DB，所以因此PMDM，CPBD2m所以AD4m于是得到點D的坐標為(2，4m)（2）在APD中，當APAD時，解得（如圖3）當PAPD時，解得（如圖4）或（不合題意，舍去）當DADP時，解得（如圖5）或（不合題意，舍去）綜上所述，當APD為等腰三角形時，m的值為，或圖3 圖4 圖5（3）點H所經過的路徑長為考點伸展第（2）題解等腰三角形的問題，其中、用幾何

26、說理的方法，計算更簡單：如圖3，當APAD時，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，如圖4，當PAPD時，P在AD的垂直平分線上所以DA2PO因此解得第（2）題的思路是這樣的：如圖6，在RtOHM中，斜邊OM為定值，因此以OM為直徑的G經過點H，也就是說點H在圓弧上運動運動過的圓心角怎么確定呢？如圖7，P與O重合時，是點H運動的起點，COH45°，CGH90°圖6 圖7例2 如圖1，已知一次函數(shù)yx7與正比例函數(shù) 的圖象交于點A，且與x軸交于點B（1）求點A和點B的坐標；（2）過點A作ACy軸于點C，過點B作直線l/y軸動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿OC

27、A的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q當點P到達點A時，點P和直線l都停止運動在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由 圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“11鹽城28”，拖動點R由B向O運動，從圖像中可以看到，APR的面積有一個時刻等于8觀察APQ，可以體驗到，P在OC上時，只存在APAQ的情況；P在CA上時，有三個時刻，APQ是等腰三角形思路點撥1把圖1復制若干個，在每一個

28、圖形中解決一個問題2求APR的面積等于8，按照點P的位置分兩種情況討論事實上，P在CA上運動時，高是定值4，最大面積為6，因此不存在面積為8的可能3討論等腰三角形APQ，按照點P的位置分兩種情況討論，點P的每一種位置又要討論三種情況滿分解答（1）解方程組 得 所以點A的坐標是(3，4)令，得所以點B的坐標是(7，0)（2）如圖2，當P在OC上運動時，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如圖3，當P在CA上運動時，APR的最大面積為6因此，當t2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8圖2 圖3 圖4我們先討論P在OC上運動時的情形，0t4如圖1，在AOB中，B45°，AOB45

29、°，OB7，所以OBAB因此OABAOBB如圖4，點P由O向C運動的過程中，OPBRRQ，所以PQ/x軸因此AQP45°保持不變，PAQ越來越大，所以只存在APQAQP的情況此時點A在PQ的垂直平分線上，OR2CA6所以BR1，t1我們再來討論P在CA上運動時的情形，4t7在APQ中， 為定值，如圖5，當APAQ時，解方程，得如圖6，當QPQA時，點Q在PA的垂直平分線上，AP2(OROP)解方程，得如7，當PAPQ時，那么因此解方程，得綜上所述，t1或或5或時，APQ是等腰三角形 圖5 圖6 圖7考點伸展當P在CA上，QPQA時，也可以用來求解2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)等

30、腰三角形問題(二)例3 如圖1，在直角坐標平面內有點A(6, 0)，B(0, 8)，C(4, 0)，點M、N分別為線段AC和射線AB上的動點，點M以2個單位長度/秒的速度自C向A方向作勻速運動，點N以5個單位長度/秒的速度自A向B方向作勻速運動，MN交OB于點P(1)求證：MNNP為定值；(2)若BNP與MNA相似，求CM的長；(3)若BNP是等腰三角形，求CM的長圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“10閘北25”，拖動點M在CA上運動，可以看到BNP與MNA的形狀隨M的運動而改變雙擊按鈕“BNPMNA”，可以體驗到，此刻兩個三角形都是直角三角形分別雙擊按鈕“BPBN，N在AB上”、“NBNP”

31、和“BPBN，N在AB的延長線上”，可以準確顯示等腰三角形BNP的三種情況思路點撥1第（1）題求證MNNP的值要根據(jù)點N的位置分兩種情況這個結論為后面的計算提供了方便2第（2）題探求相似的兩個三角形有一組鄰補角，通過說理知道這兩個三角形是直角三角形時才可能相似3第（3）題探求等腰三角形，要兩級（兩層）分類，先按照點N的位置分類，再按照頂角的頂點分類注意當N在AB的延長線上時，鈍角等腰三角形只有一種情況4探求等腰三角形BNP，N在AB上時，B是確定的，把夾B的兩邊的長先表示出來，再分類計算滿分解答(1)如圖2，圖3，作NQx軸，垂足為Q設點M、N的運動時間為t秒在RtANQ中，AN5t，NQ4t

32、 ，AQ3t在圖2中，QO63t，MQ105t，所以MNNPMQQO53在圖3中，QO3t6，MQ5t10，所以MNNPMQQO53(2)因為BNP與MNA有一組鄰補角，因此這兩個三角形要么是一個銳角三角形和一個鈍角三角形，要么是兩個直角三角形只有當這兩個三角形都是直角三角形時才可能相似如圖4，BNPMNA，在RtAMN中，所以解得此時CM 圖2 圖3 圖4(3)如圖5，圖6，圖7中，即所以當N在AB上時，在BNP中，B是確定的，()如圖5，當BPBN時，解方程，得此時CM()如圖6，當NBNP時，解方程，得此時CM()當PBPN時，解方程，得t的值為負數(shù)，因此不存在PBPN的情況如圖7，當點

33、N在線段AB的延長線上時，B是鈍角，只存在BPBN的可能，此時解方程，得此時CM 圖5 圖6 圖7考點伸展如圖6，當NBNP時，NMA是等腰三角形，這樣計算簡便一些例4 如圖1，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常數(shù)），BC8，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）連結DE，作EFDE，EF與射線BA交于點F，設CEx，BFy（1）求y關于x的函數(shù)關系式； （2）若m8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF為等腰三角形，m的值應為多少？圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“10南通27”，拖動點E在BC上運動，觀察y隨x變化的函數(shù)圖像，可以體驗到，y是x的二次函數(shù)，拋物

34、線的開口向下對照圖形和圖像，可以看到，當E是BC的中點時，y取得最大值雙擊按鈕“m8”，拖動E到BC的中點，可以體驗到，點F是AB的四等分點拖動點A可以改變m的值，再拖動圖像中標簽為“y隨x” 的點到射線yx上，從圖形中可以看到，此時DCEEBF思路點撥1證明DCEEBF，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可以得到y(tǒng)關于x的函數(shù)關系式2第（2）題的本質是先代入，再配方求二次函數(shù)的最值3第（3）題頭緒復雜，計算簡單，分三段表達一段是說理，如果DEF為等腰三角形，那么得到xy；一段是計算，化簡消去m，得到關于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前兩段結合，代入求出對應的m的值滿分解答(1)因為EDC

35、與FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因為CB90°，所以DCEEBF因此，即整理，得y關于x的函數(shù)關系為(2)如圖2，當m8時，因此當x4時，y取得最大值為2(3) 若，那么整理，得解得x2或x6要使DEF為等腰三角形，只存在EDEF的情況因為DCEEBF，所以CEBF，即xy將xy 2代入，得m6（如圖3）；將xy 6代入，得m2（如圖4） 圖2 圖3 圖4考點伸展本題中蘊涵著一般性與特殊性的辯證關系，例如：由第（1）題得到，那么不論m為何值，當x4時，y都取得最大值對應的幾何意義是，不論AB邊為多長，當E是BC的中點時，BF都取得最大值第（2）題m8是第（1）題一般性結論

36、的一個特殊性再如，不論m為小于8的任何值，DEF都可以成為等腰三角形，這是因為方程總有一個根的第（3）題是這個一般性結論的一個特殊性2013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)相似三角形問題(三)例5 已知：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA2，OC3，過原點O作AOC的平分線交AB于點D，連接DC，過點D作DEDC，交OA于點E（1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；（2）將EDC繞點D按順時針方向旋轉后，角的一邊與y軸的正半軸交于點F，另一邊與線段OC交于點G如果DF與（1）中的拋物線交于另一點M，點M的橫坐標為，那么EF2GO是否成立？若成立

37、，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）對于（2）中的點G，在位于第一象限內的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構成的PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在成立，請說明理由圖1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“09重慶26”，拖動點G在OC上運動，可以體驗到，DCG與DEF保持全等，雙擊按鈕“M的橫坐標為1.2”，可以看到，EF2，GO1拖動點P在AB上運動的過程中，可以體驗到，存在三個時刻，PCG可以成為等腰三角形思路點撥1用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，這個解析式在第（2）、（3）題的計算中要用到2過點M作MNAB，根據(jù)對應線段成比例可以求FA的長3

38、將EDC繞點D旋轉的過程中，DCG與DEF保持全等4第（3）題反客為主，分三種情況討論PCG為等腰三角形，根據(jù)點P的位置確定點Q的位置，再計算點Q的坐標滿分解答（1）由于OD平分AOC，所以點D的坐標為（2，2），因此BCAD1由于BCDADE，所以BDAE1，因此點E的坐標為（0，1）設過E、D、C三點的拋物線的解析式為，那么 解得，因此過E、D、C三點的拋物線的解析式為（2）把代入，求得所以點M的坐標為如圖2，過點M作MNAB，垂足為N，那么，即解得圖2因為EDC繞點D旋轉的過程中，DCGDEF，所以CGEF2因此GO1，EF2GO（3）在第（2）中，GC2設點Q的坐標為如圖3，當CPCG

39、2時，點P與點B（3，2）重合，PCG是等腰直角三角形此時，因此。由此得到點Q的坐標為如圖4，當GPGC2時，點P的坐標為（1，2）此時點Q的橫坐標為1，點Q的坐標為如圖5，當PGPC時，點P在GC的垂直平分線上，點P、Q與點D重合此時點Q的坐標為（2，2） 圖3 圖4 圖5考點伸展在第（2）題情景下，EDC繞點D旋轉的過程中，F(xiàn)G的長怎樣變化？設AF的長為m，那么點F由E開始沿射線EA運動的過程中，F(xiàn)G先是越來越小，F(xiàn)與A重合時，F(xiàn)G達到最小值；F經過點A以后，F(xiàn)G越來越大，當C與O重合時，F(xiàn)G達到最大值4例6 在平面直角坐標系內，O為原點，點A的坐標為（1，0），點C的坐標為（0，4），直

40、線CM/x軸（如圖1所示）點B與點A關于原點對稱，直線yxb（b為常數(shù)）經過點B，且與直線CM相交于點D，聯(lián)結OD（1）求b的值和點D的坐標；（2）設點P在x軸的正半軸上，若POD是等腰三角形，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，如果以PD為半徑的圓與圓O外切，求圓O的半徑圖1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“09上海24”，拖動點P在x軸正半軸上運動，可以體驗到，POD的形狀可以成為等腰三角形，分別雙擊按鈕“PDPO”、“ODOP”和“DODP”可以顯示三個等腰三角形在點P運動的過程中，兩個圓保持相切，可以體驗到，當PDPO時，圓O不存在思路點撥1第（1）題情景簡單，內容豐富，考查了對稱點的

41、坐標特征、待定系數(shù)法、代入求值、數(shù)形結合2分三種情況討論等腰三角形POD的存在性，三個等腰三角形的求解各具特殊性3圓O與圓P的半徑、圓心距都是隨點P而改變，但是兩圓外切，圓心距等于半徑和的性質不變滿分解答（1）因為點A的坐標為（1，0），點B與點A關于原點對稱，所以點B的坐標為（1，0）將B（1，0）代入yxb，得b1將y4代入yx1，得x3所以點D的坐標為（3，4）（2）因為D（3，4），所以OD5，如圖2，當PDPO時，作PEOD于E在RtOPE中，所以此時點P的坐標為如圖3，當OPOD5時，點P的坐標為如圖4，當DODP時，點D在OP的垂直平分線上，此時點P的坐標為 圖2 圖3 圖4（3

42、）圓P的半徑，兩圓的圓心距為OP當兩圓外切時，圓O的半徑如圖2，當PDPO時，此時圓O不存在如圖3，當OPOD5時，作DHOP于H在RtDHP中，DH4，HP2，所以此時如圖4，當DODP時，考點伸展如圖5，在本題情景下，如果圓P與圓C外切，那么點P的變化范圍是什么？如圖6，當圓P經過點C時，點P在CD的垂直平分線上，點P的坐標為因此當點P在x軸上點的右邊時，圓P與圓C外切 圖5 圖62013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)直角三角形問題(一)例1 如圖1，已知拋物線yx2bxc與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C(0，3)，對稱軸是直線x1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D（1）求拋物線

43、的函數(shù)表達式；（2）求直線BC的函數(shù)表達式；（3）點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交CE于點F，交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限當線段時，求tanCED的值；當以C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，請直接寫出點P的坐標溫馨提示：考生可以根據(jù)第（3）問的題意，在圖中補出圖形，以便作答圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11沈陽25”，拖動點E或F在y軸上運動，可以體驗到，CDE有兩次機會成為等腰直角三角形雙擊按鈕“PQ3”可以準確顯示時的位置思路點撥1第（1）、（2）題用待定系數(shù)法求解析式，它們的結果直接影響后續(xù)的解題2第（3）題的關鍵是求點E的坐標，反復用到數(shù)形結合，注意y軸負半軸

44、上的點的縱坐標的符號與線段長的關系3根據(jù)C、D的坐標，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，這樣寫點E的坐標就簡單了滿分解答（1）設拋物線的函數(shù)表達式為，代入點C(0，3)，得所以拋物線的函數(shù)表達式為（2）由，知A(1，0)，B(3，0)設直線BC的函數(shù)表達式為，代入點B(3，0)和點C(0，3)，得 解得，所以直線BC的函數(shù)表達式為（3）因為AB4，所以因為P、Q關于直線x1對稱，所以點P的橫坐標為于是得到點P的坐標為，點F的坐標為所以，進而得到，點E的坐標為直線BC:與拋物線的對稱軸x1的交點D的坐標為（1，2）過點D作DHy軸，垂足為H在RtEDH中，DH1，所以tanCED，圖2

45、圖3 圖4考點伸展第（3）題求點P的坐標的步驟是：如圖3，圖4，先分兩種情況求出等腰直角三角形CDE的頂點E的坐標，再求出CE的中點F的坐標，把點F的縱坐標代入拋物線的解析式，解得的x的較小的一個值就是點P的橫坐標例2 設直線l1：yk1xb1與l2：yk2xb2，若l1l2，垂足為H，則稱直線l1與l2是點H的直角線（1）已知直線；和點C(0，2)，則直線_和_是點C的直角線（填序號即可）；（2）如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的頂點A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P為線段OC上一點，設過B、P兩點的直線為l1，過A、P兩點的直線為l2，若l1與l2是點P的直角線，求直線

46、l1與l2的解析式圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11浙江23”，拖動點P在OC上運動，可以體驗到，APB有兩個時刻可以成為直角，此時BCPPOA答案（1）直線和是點C的直角線（2）當APB90°時，BCPPOA那么，即解得OP6或OP1如圖2，當OP6時，l1：， l2：y2x6如圖3，當OP1時，l1：y3x1， l2：圖2 圖32013中考數(shù)學壓軸題函數(shù)直角三角形問題(三)例 5 如圖1，直線和x軸、y軸的交點分別為B、C，點A的坐標是（-2，0）（1）試說明ABC是等腰三角形；（2）動點M從A出發(fā)沿x軸向點B運動，同時動點N從點B出發(fā)沿線段BC向點C運動，運動的速度均為每秒

47、1個單位長度當其中一個動點到達終點時，他們都停止運動設M運動t秒時，MON的面積為S 求S與t的函數(shù)關系式； 設點M在線段OB上運動時，是否存在S4的情形？若存在，求出對應的t值；若不存在請說明理由；在運動過程中，當MON為直角三角形時，求t的值圖1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“08河南23”，拖動點M從A向B運動，觀察S隨t變化的圖象，可以體驗到，當M在AO上時，圖象是開口向下的拋物線的一部分；當M在OB上時，S隨t的增大而增大觀察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4觀察MON的形狀，可以體驗到，MON可以兩次成為直角三角形，不存在ONM90°的可能思路點撥1第（1）題說明ABC是等腰三角形，暗示了兩個動點M、N同時出發(fā)，同時到達終點2不論M在AO上還是在OB上，用含有t的式子表示OM邊上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分類討論3將S4代入對應的函數(shù)解析式，解關于t的方程4分類討論MON為直角三角形，不存在ONM90°的可能滿分解答（1）直線與x軸的交點為B（3，0）、與y軸的交點C（0，4）RtBOC中，OB3，OC4，所以BC5點A的坐標是（-2，0），所以BA5因此BCBA，所以ABC是等腰三