中考數(shù)學壓軸題分類解析匯編十專題專題09 幾何綜合問題

1、專題9：幾何綜合問題1. （2012寧夏區(qū)10分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一點（P與B、C不重合），過點P作APPE，垂足為P，PE交CD于點E.(1)連接AE，當APE與ADE全等時，求BP的長；(2)若設(shè)BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式。當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？(3)若PEBD，試求出此時BP的長.【答案】解：（1）APEADE，AP=AD=3。在RtABP中，AB=2，BP=。（2）APPE，RtABPRtPCE。 ，即。 當時，y的值最大，最大值是。（2）設(shè)BP=x, 由（2）得。PEBD，CPECBD。， 即，化簡得。解得或（

2、不合題意，舍去）。當BP= 時， PEBD?！究键c】矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，平行的性質(zhì)，解一元二次方程?！痉治觥浚?）由APEADE可得AP=AD=3，在RtABP中，應(yīng)用勾股定理即可求得BP的長。（2）由APPE，得RtABPRtPCE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可列式得y與x的函數(shù)關(guān)系式?；癁轫旤c式即可求得當時，y的值最大，最大值是。（3）由PEBD，得CPECBD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可列式可求得BP的長。2. （2012山西省12分）問題情境：將一副直角三角板（RtABC和RtDEF）按圖1所示的方式擺放，其中ACB=9

3、0°，CA=CB，F(xiàn)DE=90°，O是AB的中點，點D與點O重合，DFAC于點M，DEBC于點N，試判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由探究展示：小宇同學展示出如下正確的解法：解：OM=ON，證明如下：連接CO，則CO是AB邊上中線，CA=CB，CO是ACB的角平分線（依據(jù)1）OMAC，ONBC，OM=ON（依據(jù)2）反思交流：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1： 依據(jù)2： （2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程拓展延伸：（3）將圖1中的RtDEF沿著射線BA的方向平移至如圖2所示的位置，使點D落在BA的延長線上，F(xiàn)D的延長線與CA

4、的延長線垂直相交于點M，BC的延長線與DE垂直相交于點N，連接OM、ON，試判斷線段OM、ON的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并寫出證明過程【答案】（1）解：等腰三角形三線合一（或等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合）；角平分線上的點到角的兩邊距離相等。（2）證明：CA=CB，A=B。O是AB的中點，OA=OB。DFAC，DEBC，AMO=BNO=90°。在OMA和ONB中，A=B，OA=OB，AMO=BNO，OMAONB（AAS）。OM=ON。（3）解：OM=ON，OMON。理由如下：連接CO，則CO是AB邊上的中線。ACB=90°，OC=AB=OB。又CA=C

5、B，CAB=B=45，1=2=45°，AOC=BOC=90°。2=B。BNDE，BND=90°。又B=45°，3=45°。3=B。DN=NB。ACB=90°，NCM=90°。又BNDE，DNC=90°。四邊形DMCN是矩形。DN=MC。MC=NB。MOCNOB（SAS）。OM=ON，MOC=NOB。MOCCON=NOBCON，即MON=BOC=90°。OMON?！究键c】等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)等腰三角形和角平分線的性質(zhì)直接作答。（2）利

6、用AAS證明OMAONB即可。（3）利用SAS證明MOCNOB即可得到OM=ON，MOC=NOB。通過角的等量代換即可得MON=BOC=90°，而得到OMON。3. （2012福建廈門10分）已知ABCD，對角線AC與BD相交于點O，點P在邊AD上，過點P分別作PEAC、PFBD，垂足分別為E、F，PEPF（1）如圖，若PE，EO1，求EPF的度數(shù)；（2）若點P是AD的中點，點F是DO的中點，BF BC34，求BC的長【答案】解：（1）連接PO , PEPF，POPO，PEAC、PFBD， RtPEORtPFO（HL）。EPOFPO。在RtPEO中， tanEPO， EPO30

7、76;。 EPF60°。（2）點P是AD的中點， APDP。又 PEPF， RtPEARtPFD（HL）。OADODA。 OAOD。 AC2OA2ODBD。ABCD是矩形。 點P是AD的中點，點F是DO的中點， AOPF。 PFBD， ACBD。ABCD是菱形。ABCD是正方形。 BDBC。 BFBD，BC34BC，解得，BC4?！究键c】平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥浚?）連接PO，利用解直角三角形求出EPO=30°，再利用“HL”證明PEO和PFO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得

8、FPO=EPO，從而得解。（2）根據(jù)條件證出 ABCD是正方形。根據(jù)正方形的對角線與邊長的關(guān)系列式計算即可得解。4. （2012甘肅白銀10分）如圖，點A，B，C，D在O上，AB=AC，AD與BC相交于點E，延長DB到點F，使，連接AF（1）證明：BDEFDA；（2）試判斷直線AF與O的位置關(guān)系，并給出證明【答案】解:（1）證明：在BDE和FDA中，F(xiàn)BBD，AEED，。又BDEFDA，BDEFDA。（2）直線AF與O相切。證明如下：連接OA，OB，OC，ABAC，BOCO，OAOA，OABOAC（SSS）。OABOAC。AO是等腰三角形ABC頂角BAC的平分線。AOBC。BDEFDA，得EB

9、DAFD，BEFA。AOBE，AOFA。直線AF與O相切。【考點】相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，切線的判定?！痉治觥浚?）因為BDE公共，夾此角的兩邊BD：DF=ED：AD=2：3，由相似三角形的判定，可知BDEFDA。（2）連接OA、OB、OC，證明OABOAC，得出AOBC再由BDEFDA，得出EBD=AFD，則BEFA，從而AOFA，得出直線AF與O相切。5. （2012廣東廣州14分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點，CEAB于E，設(shè)ABC=（60°90°）（1）當=60

10、6;時，求CE的長；（2）當60°90°時，是否存在正整數(shù)k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由連接CF，當CE2CF2取最大值時，求tanDCF的值【答案】解：（1）=60°，BC=10，sin=，即sin60°=，解得CE=。（2）存在k=3，使得EFD=kAEF。理由如下：連接CF并延長交BA的延長線于點G，F(xiàn)為AD的中點，AF=FD。在平行四邊形ABCD中，ABCD，G=DCF。在AFG和CFD中，G=DCF， G=DCF，AF=FD，AFGCFD（AAS）。CF=GF，AG=CD。CEAB，EF=GF。AEF=G。A

11、B=5，BC=10，點F是AD的中點，AG=5，AF=AD=BC=5。AG=AF。AFG=G。在AFG中，EFC=AEF+G=2AEF，又CFD=AFG，CFD=AEF。EFD=EFC+CFD=2AEF+AEF=3AEF，因此，存在正整數(shù)k=3，使得EFD=3AEF。設(shè)BE=x，AG=CD=AB=5，EG=AE+AG=5x+5=10x，在RtBCE中，CE2=BC2BE2=100x2。在RtCEG中，CG2=EG2+CE2=（10x）2+100x2=20020x。CF=GF（中已證），CF2=（CG）2=CG2=（20020x）=505x。CE2CF2=100x250+5x=x2+5x+50=

12、（x）2+50+。當x=，即點E是AB的中點時，CE2CF2取最大值。此時，EG=10x=10，CE=，。【考點】銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，平行四邊形的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理?！痉治觥浚?）利用60°角的正弦值列式計算即可得解。（2）連接CF并延長交BA的延長線于點G，利用“角邊角”證明AFG和CFD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=GF，再根據(jù)AB、BC的長度可得AG=AF，然后利用等邊對等角的性質(zhì)可得A

13、EF=G=AFG，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得EFC=2G，然后推出EFD=3AEF，從而得解。設(shè)BE=x，在RtBCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的長度，在RtCEG中，利用勾股定理表示出CG2，從而得到CF2，然后相減并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答。6. （2012廣東肇慶10分）如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O交AC于點E，交BC于點D，連結(jié)BE、AD交于點P. 求證：（1）D是BC的中點；（2）BEC ADC；（3）AB× CE=2DP×AD【答案】證明：（1）AB是O的直徑，ADB=90°，即ADB

14、C。AB=AC，D是BC的中點。（2）AB是O的直徑，AEB=ADB=90°，即CEB=CDA=90°，C是公共角，BECADC。（3）BECADC，CBE=CAD。AB=AC，AD=CD，BAD=CAD。BAD=CBE。ADB=BEC=90°，ABDBCE。BC=2BD，即。BDP=BEC=90°，PBD=CBE，BPDBCE。，即ABCE=2DPAD?！究键c】圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由AB是O的直徑，可得ADBC，又由AB=AC，由三線合一，即可證得D是BC的中點。（2）由AB是O的直徑，AEB=ADB=9

15、0°，又由C是公共角，即可證得BECADC。（3）易證得ABDBCE與BPDBCE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例與BC=2BD，即可證得ABCE=2DPAD。7. （2012貴州畢節(jié)14分）如圖，AB是O的直徑，AC為弦，D是的中點，過點D作EFAC的延長線于E，交AB的延長線于E，交AB的延長線于F。（1）求證：EF是O的切線；（2）若F=，AE=4，求O的半徑和AC的長。【答案】（1）證明：連接OD，D是的中點，BOD=A。ODAC。EFAC，E=90°。ODF=90°。EF是O的切線；（2）解：在AEF中，E=90°，sinF= ，AE=4，。設(shè)O

16、的半徑為R，則OD=OA=OB=R，AB=2R在ODF中，ODF=90°，sinF=，OF=3OD=3R。OF+OA=AF，3R+R=12，R=3。連接BC，則ACB=90°。E=90°，BCEF。AC：AE=AB：AF。AC：4=2R：4R，AC=2。O的半徑為3，AC的長為2。【考點】弧、圓周角和圓心角的關(guān)系，圓周角定理，平行的判定和性質(zhì)，切線的判定，銳角三角函數(shù)定義，平行線分線段成比例定理?！痉治觥浚?）連接OD，根據(jù)圓周角定理，可得BOD=A，則ODAC，從而得出ODF=90°，即EF是O的切線。（2）先解直角AEF，由sinF= ，得出AF=3

17、AE=12，再在RtODF中，由sinF=，得出OF=3OD，設(shè)O的半徑為R，由AF=12列出關(guān)于R的方程，解方程即可求出O的半徑。連接BC，證明BCEF，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出AC：AE=AB：AF，即可求出AC的長。8. （2012江蘇泰州12分）如圖，已知直線l與O相離，OAl于點A，OA=5，OA與O相交于點P，AB與O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C（1）試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若PC=，求O的半徑和線段PB的長；（3）若在O上存在點Q，使QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求O的半徑r的取值范圍【答案】解：（1）AB=AC。理由如下：連接OB。

18、AB切O于B，OAAC，OBA=OAC=90°。OBP+ABP=90°，ACP+CPB=90°。OP=OB，OBP=OPB。OPB=APC，ACP=ABC。AB=AC。（2）延長AP交O于D，連接BD，設(shè)圓半徑為r，則由OA=5得，OP=OB=r，PA=5r。又PC=， 。由（1）AB=AC得，解得：r=3。AB=AC=4。PD是直徑，PBD=90°=PAC。DPB=CPA，DPBCPA。，即，解得。 （3）作線段AC的垂直平分線MN，作OEMN，則OE=AC=AB=。又圓O要與直線MN交點，OE=r，r。又圓O與直線l相離，r5。O的半徑r的取值范圍為

19、r5【考點】切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】（1）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)和垂直得出OBA=OAC=90°，推出OBP+ABP=90°，ACP+CPB=90°，求出ACP=ABC，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可。（2）延長AP交O于D，連接BD，設(shè)圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5r，根據(jù)AB=AC推出，求出r，證DPBCPA，得出 ，代入求出PB即可。（3）根據(jù)已知得出Q在AC的垂直平分線上，作出線段AC的垂直平分線MN，作OEMN，求出OEr，求出r范圍，再根據(jù)相離得出r5，

20、即可得出答案。9. （2012江蘇南京10分）如圖，A、B為O上的兩個定點，P是O上的動點（P不與A、B重合），我們稱APB為O上關(guān)于A、B的滑動角。（1）已知APB是上關(guān)于點A、B的滑動角。 若AB為O的直徑，則APB= 若O半徑為1，AB=，求APB的度數(shù)（2）已知為外一點，以為圓心作一個圓與相交于A、B兩點，APB為上關(guān)于點A、B的滑動角，直線PA、PB分別交于點M、N（點M與點A、點N與點B均不重合），連接AN，試探索APB與MAN、ANB之間的數(shù)量關(guān)系。【答案】解：（1）900。如圖，連接AB、OA、OB在AOB中，OA=OB=1AB=，OA2+OB2=AB2。AOB=90°

21、;。當點P在優(yōu)弧 AB 上時（如圖1），APB=AOB=45°；當點P在劣弧 AB 上時（如圖2），APB=（360°AOB）=135°。（2）根據(jù)點P在O1上的位置分為以下四種情況第一種情況：點P在O2外，且點A在點P與點M之間，點B在點P與點N之間，如圖3，MAN=APB+ANB，APB=MAN-ANB。第二種情況：點P在O2外，且點A在點P與點M之間，點N在點P與點B之間，如圖4，MAN=APB+ANP=APB+（180°ANB），APB=MAN+ANB180°。第三種情況：點P在O2外，且點M在點P與點A之間，點B在點P與點N之間，如圖

22、5，APB+ANB+MAN=180°，APB=180°MANANB。第四種情況：點P在O2內(nèi)，如圖6，APB=MAN+ANB?！究键c】圓周角定理，勾股定理逆定理，三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)。【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°即可得APB=900。根據(jù)勾股定理的逆定理可得AOB=90°，再分點P在優(yōu)弧上；點P在劣弧上兩種情況討論即可。（2）根據(jù)點P在O1上的位置分為四種情況得到APB與MAN、ANB之間的數(shù)量關(guān)系。10. （2012四川宜賓10分）如圖，O1、O2相交于P、Q兩點，其中O1的半徑r1=2，O2的半徑r2=過點Q作CDPQ，分別交O

23、1和O2于點CD，連接CP、DP，過點Q任作一直線AB交O1和O2于點AB，連接AP、BP、ACDB，且AC與DB的延長線交于點E（1）求證：；（2）若PQ=2，試求E度數(shù)【答案】（1）證明：O1的半徑r1=2，O2的半徑r2=，PC=4，PD=2。CDPQ，PQC=PQD=90°。PCPD分別是O1、O2的直徑，在O1中，PAB=PCD，在O2中，PBA=PDC，PABPCD。，即。（2）解：在RtPCQ中，PC=2r1=4，PQ=2，cosCPQ=。CPQ=60°。在RtPDQ中，PD=2r2=2，PQ=2，sinPDQ=。PDQ=45°。CAQ=CPQ=60

24、°，PBQ=PDQ=45°。又PD是O2的直徑，PBD=90°。ABE=90°PBQ=45°。在EAB中，E=180°CAQABE=75°。答：E的度數(shù)是75°?！究键c】相交兩圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理?！痉治觥浚?）求出PC、PD，證PABPCD，得出，從而。（2）由cosCPQ=，求出CPQ=60°，同理求出PDQ=45°。由圓周角定理，得出CAQ=CPQ=60°，PBQ=PDQ=45°，求出PBD

25、=90°，求出ABE=45°根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可。11. （2012四川廣安9分）如圖，在ABC中，ABC=ACB，以AC為直徑的O分別交AB、BC于點M、N，點P在AB的延長線上，且CAB=2BCP（1）求證：直線CP是O的切線（2）若BC=2，sinBCP=，求點B到AC的距離（3）在第（2）的條件下，求ACP的周長【答案】解：（1）ABC=ACB且CAB=2BCP，在ABC中，ABC+BAC+BCA=180°，2BCP+2BCA=180°。BCP+BCA=90°，即PCA=90°。又AC是O的直徑，直線CP是O的切線。

26、（2）如圖，作BDAC于點D，PCAC，BDPC。PCB=DBC。C=2，sinBCP=，解得：DC=2。由勾股定理得：BD=4。點B到AC的距離為4。（3）如圖，連接AN，在RtACN中，又CD=2，AD=ACCD=52=3。BDCP，ABDACP。，即。在RtACP中，。ACP的周長為?！究键c】切線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥浚?）根據(jù)ABC=AC且CAB=2BCP，在ABC中ABC+BAC+BCA=180°，得到2BCP+2BCA=180°，從而得到BCP+BCA=90°，證得

27、直線CP是O的切線。（2）作BDAC于點D，得到BDPC，從而利用求得DC=2，再根據(jù)勾股定理求得點B到AC的距離為4。（3）先求出AC的長度，然后由BDPC求得ABDACP，利用比例線段關(guān)系求得CP的長度，再由勾股定理求出AP的長度，從而求得ACP的周長。12. （2012四川達州7分）如圖，C是以AB為直徑的O上一點，過O作OEAC于點E，過點A作O的切線交OE的延長線于點F，連結(jié)CF并延長交BA的延長線于點P.（1）求證：PC是O的切線.（2）若AF=1，OA=，求PC的長. 【答案】解：（1）證明：連結(jié)OC， OEAC，AE=CE。FA=FC。FAC=FCA。OA=OC，OAC=OCA

28、。OAC+FAC=OCA+FCA，即FAO=FCO。FA與O相切，且AB是O的直徑，F(xiàn)AAB。FCO=FAO=90°。又OC是O的半徑，PC是O的切線。（2）PC是O的切線，PCO=90°。而FPA=OPC，PAF=90°，PAFPCO 。CO=OA=，AF=1，PC=PA 。設(shè)PA=x，則PC=在RtPCO中，由勾股定理得， ，解得：。PC。【考點】切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥浚?）連接OC，根據(jù)垂徑定理，利用等角代換可證明FAC=FCA，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得出FAO=90°，然后即可證明結(jié)論。 （

29、2）先證明PAFPCO，利用相似三角形的性質(zhì)得出PC與PA的關(guān)系，在RtPCO中，利用勾股定理可得出x的值，從而也可得出PC得長。13. （2012四川德陽14分） 如圖，已知點C是以AB為直徑的O上一點，CHAB于點H，過點B作O 的切線交直線AC于點D，點E為CH的中點，連結(jié)并延交BD于點F，直線CF交AB的延長線于G.求證：AE·FD=AF·EC；求證：FC=FB；若FB=FE=2，求O 的半徑r的長.【答案】（1）證明：BD是O的切線，DBA=90°。CHAB，CHBD。AECAFD。AEFD=AFEC。（2）證明：CHBD，AECAFD，AHEABF。C

30、E=EH（E為CH中點），BF=DF。AB為O的直徑，ACB=DCB=90°。CF=DF=BF，即CF=BF。（3）解：BF=CF=DF（已證），EF=BF=2，EF=FC。FCE=FEC。AHE=CHG=90°，F(xiàn)AH+AEH=90°，G+GCH=90°。AEH=CEF，G=FAG。AF=FG。FBAG，AB=BG。連接OC，BC，BF切O于B，F(xiàn)BC=CAB。OC=OA，CF=BF，F(xiàn)CB=FBC，OCA=OACFCB=CAB。ACB=90°，ACO+BCO=90°。FCB+BCO=90°，即OCCG。CG是O切線。GB

31、A是O割線，F(xiàn)B=FE=2，由切割線定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2，【注，沒學切割線定理的可由AGCCGB求得】在RtBFG中，由勾股定理得：BG2=FG2BF2，F(xiàn)G24FG12=0。解得：FG=6，F(xiàn)G=2（舍去）。由勾股定理得：AB=BG=。O的半徑r是。【考點】切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形判定和的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，切割線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由BD是O的切線得出DBA=90°，推出CHBD，證AECAFD，得出比例式即可。（2）證AECAFD，AHEABF，推出BF=DF，根據(jù)直角三角形斜邊上

32、中線性質(zhì)得出CF=DF=BF即可。（3）求出EF=FC，求出G=FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，連接OC，BC，求出FCB=CAB推出CG是O切線，由切割線定理（或AGCCGB）得出（2+FG）2=BG×AG=2BG2，在RtBFG中，由勾股定理得出BG2=FG2BF2，推出FG24FG12=0，求出FG即可，從而由勾股定理求得AB=BG的長，從而得到O的半徑r。14. （2012四川資陽9分）如圖，在ABC中，ABAC，A30°，以AB為直徑的O交B于點D，交AC于點，連結(jié)DE，過點B作BP平行于DE，交O于點P，連結(jié)EP、CP、OP（1）(3分)BDDC嗎？說明

33、理由；（2）(3分)求BOP的度數(shù)；（3）(3分)求證：CP是O的切線；如果你解答這個問題有困難，可以參考如下信息：為了解答這個問題，小明和小強做了認真的探究，然后分別用不同的思路完成了這個題目在進行小組交流的時候，小明說：“設(shè)OP交AC于點G，證AOGCPG”；小強說：“過點C作CHAB于點H，證四邊形CHOP是矩形”【答案】解：（1）BD=DC。理由如下：連接AD，AB是直徑，ADB=90°。AB=AC，BD=DC。（2）AD是等腰ABC底邊上的中線， BAD=CAD 。BD=DE。BD=DE=DC。DEC=DCE。 ABC中，AB=AC，A=30°，DCE=ABC=

34、(180°30°)=75°。DEC=75°。EDC=180°75°75°=30°。BPDE，PBC=EDC=30°。ABP=ABCPBC=75°30°=45°。OB=OP，OBP=OPB=45°。BOP=90°。（3）設(shè)OP交AC于點G，則AOG=BOP =90°。在RtAOG中，OAG=30°，。又，。又AGO=CGP，wAOGCPG。GPC=AOG=90°。CP是的切線。【考點】圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定

35、理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定?！痉治觥浚?）連接AD，由圓周角定理可知ADB=90°，再由AB=AC可知ABC是等腰三角形，故BD=DC。（2）由于AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，所以BAD=CAD，故，從而可得出BD=DE，故BD=DE=DC，所以DEC=DCE，ABC中由等腰三角形的性質(zhì)可得出ABC=75°，故DEC=75°由三角形內(nèi)角和定理得出EDC的度數(shù)，再根據(jù)BPDE可知PBC=EDC=30°，進而得出ABP的度數(shù)，再由OB=OP，可知OBP=OPB，由三角形內(nèi)角和定理即可得出BOP=90°。（3）設(shè)OP交AC于點G，由

36、BOP=90°可知AOG=90°在RtAOG中，由OAG=30°，可知，由得， ，由AGO=CGP可得出AOGCPG，由相似三角形形的性質(zhì)可知GPC=AOG=90°，故可得出CP是O的切線。 15. （2012山東濱州12分）如圖1，l1，l2，l3，l4是一組平行線，相鄰2條平行線間的距離都是1個單位長度，正方形ABCD的4個頂點A，B，C，D都在這些平行線上過點A作AFl3于點F，交l2于點H，過點C作CEl2于點E，交l3于點G（1）求證：ADFCBE；（2）求正方形ABCD的面積；（3）如圖2，如果四條平行線不等距，相鄰的兩條平行線間的距離依次為

37、h1，h2，h3，試用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面積S【答案】解：（1）證明：在RtAFD和RtCEB中，AD=BC，AF=CE，RtAFDRtCEB（HL）。（2）ABH+CBE=90°，ABH+BAH=90°，CBE=BAH。又AB=BC，AHB=CEB=90°，ABHBCE（AAS）。同理可得，ABHBCECDGDAF。S正方形ABCD=4SABH+S正方形HEGF=4××2×1+1+1=5。（3）由（1）知，AFDCEB，故h1=h3，由（2）知，ABHBCECDGDAF，S正方形ABCD=4SABH+S正方形HEG

38、F=4×（h1+h2）h1+h22=2h12+2h1h2+h22【考點】全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線之間的距離，正方形的性質(zhì)?！痉治觥浚?）直接根據(jù)HL定理得出RtAFDRtCEB。（2）由AAS定理得出ABHBCECDGDAF，再根據(jù)S正方形ABCD=4SABH+S正方形HEGF即可得出結(jié)論。（3）由AFDCEB可得出h1=h3，再根據(jù)（2）中ABHBCECDGDAF，可知S正方形ABCD=4SABH+S正方形HEGF，從而得出結(jié)論。16. （2012山東泰安10分）如圖，E是矩形ABCD的邊BC上一點，EFAE，EF分別交AC，CD于點M，F(xiàn)，BGAC，垂足為C，BG交AE于點

39、H（1）求證：ABEECF；（2）找出與ABH相似的三角形，并證明；（3）若E是BC中點，BC=2AB，AB=2，求EM的長【答案】解：（1）證明：四邊形ABCD是矩形，ABE=ECF=90°AEEF，AEB+FEC=90°，AEB+BEA=90°。BAE=CEF。ABEECF。（2）ABHECM。證明如下：BGAC，ABG+BAG=90°。ABH=ECM。由（1）知，BAH=CEM，ABHECM。（3）作MRBC，垂足為R，AB=BE=EC=2，AB：BC=MR：RC=2，AEB=45°。MER=45°，CR=2MR。MR=ER=。

40、EM=。【考點】矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）由四邊形ABCD是矩形，可得ABE=ECF=90°，又由EFAE，利用同角的余角相等，可得BAE=CEF，然后利用有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，即可證得：ABEECF。（2）由BGAC，易證得ABH=ECM，又由（1）中BAH=CEM，即可證得ABHECM。（3）首先作MRBC，垂足為R，由AB：BC=MR：RC=2，AEB=45°，即可求得MR的長，又由EM= 即可求得答案。17. （2012山東聊城10分）如圖，O是ABC的外接圓，AB=AC=10，BC

41、=12，P是上的一個動點，過點P作BC的平行線交AB的延長線于點D（1）當點P在什么位置時，DP是O的切線？請說明理由；（2）當DP為O的切線時，求線段DP的長【答案】解：（1）當點P是的中點時，DP是O的切線。理由如下：連接AP。AB=AC，。又，。PA是O的直徑。，1=2。又AB=AC，PABC。又DPBC，DPPA。DP是O的切線。（2）連接OB，設(shè)PA交BC于點E。由垂徑定理，得BE=BC=6。在RtABE中，由勾股定理，得：AE=。設(shè)O的半徑為r，則OE=8r，在RtOBE中，由勾股定理，得：r2=62+（8r）2，解得r=。DPBC，ABE=D。又1=1，ABEADP，即，解得：。

42、【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，切線的判定，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)當點P是的中點時，得出，得出PA是O的直徑，再利用DPBC，得出DPPA，問題得證。（2）利用切線的性質(zhì)，由勾股定理得出半徑長，進而得出ABEADP，即可得出DP的長。18. （2012山東東營10分）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DFBE求證：CECF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果GCE45°，請你利用（1）的結(jié)論證明：GEBEGD（3）運用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成

43、下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90°，ABBC，E是AB上一點，且DCE45°，BE4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面積【答案】解：（1）證明：在正方形ABCD中，BCCD，BCDF，BEDF，CBECDF（SAS）。CECF。（2）證明： 如圖，延長AD至F，使DF=BE連接CF。 由（1）知CBECDF，BCEDCF。BCEECDDCFECD，即ECFBCD90°。又GCE45°，GCFGCE45°。CECF，GCEGCF，GCGC，ECGFCG（SAS）。GEGF，GEDFGDBEGD。（3）如圖，過C

44、作CGAD，交AD延長線于G在直角梯形ABCD中，ADBC，AB90°。又CGA90°，ABBC，四邊形ABCD 為正方形。 AGBC。已知DCE45°，根據(jù)（1）（2）可知，EDBEDG。10=4+DG，即DG=6。設(shè)ABx，則AEx4，ADx6，在RtAED中，DE2=AD2AE2，即102=（x6）2（x4）2。解這個方程，得：x=12或x=2（舍去）。AB=12。梯形ABCD的面積為108?！究键c】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角梯形?！痉治觥浚?）由四邊形是ABCD正方形，易證得CBECDF（SAS），即可得CE=CF。（2）延長AD

45、至F，使DF=BE，連接CF，由（1）知CBECDF，易證得ECF=BCD=90°，又由GCE=45°，可得GCF=GCE=45°，即可證得ECGFCG，從而可得GE=BE+GD。（3）過C作CGAD，交AD延長線于G，易證得四邊形ABCG為正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的長，設(shè)AB=x，在RtAED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的長，從而求得直角梯形ABCD的面積。19. （2012廣西來賓10分）如圖，AB是O的直徑，點C是O上一點，BAC的平分線AD交O于點D，過點D垂直于AC的直線交AC的延長

46、線于點E（1）求證：DE是O的切線；（2）如圖AD=5，AE=4，求O的直徑【答案】（1）證明：如圖，連接OD， AD為CAB的平分線，CAD=BAD。又OA=OD，BAD=ODA。CAD=ODA。ACOD。E+EDO=180°。又AEED，即E=90°，EDO=90°。OD為圓O的切線。 （2）解：如圖，連接BD，AB為圓O的直徑，ADB=90°。在RtAED中，AE=4，AD=5，。又EAD=DAB，在RtABD中，。，即圓的直徑為?！究键c】等腰三角形的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?

47、）連接OD，由AD為角平分線，得到一對角相等，再由OA=OD，得到一對角相等，等量代換得到一對內(nèi)錯角相等，根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行可得ACOD，由兩直線平行同旁內(nèi)角互補，得到E與EDO互補，再由E為直角，可得EDO為直角，即DE為圓O的切線。（2）連接BD，由AB為O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角的性質(zhì)，得到ADB=90°。在RtAED中，由AE和AD的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出cosEAD。又在RtABD中，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得到 ，即可求出直徑AB的長。20. （2012廣西柳州10分）如圖，AB是O的直徑，AC是弦（1）請你按下面步驟畫圖（畫圖或作輔助線時先使用鉛筆畫出

48、，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆描黑）；第一步，過點A作BAC的角平分線，交O于點D；第二步，過點D作AC的垂線，交AC的延長線于點E第三步，連接BD（2）求證：AD2=AEAB；（3）連接EO，交AD于點F，若5AC=3AB，求的值【答案】解：（1）如圖：（2）證明：AB是O的直徑，ADB=90°。 又DEAC，AED=90°。AD平分CAB，CAD=DAB。RtADERtABD。AD：AB=AE：AD，AD2=AEAB。（3）如圖，連接OD、BC，它們交于點G， 5AC=3AB，即AC：AB=3：5，不妨設(shè)AC=3x，AB=5x，AB是O的直徑，ACB=90°

49、。ECG=90°。又CAD=DAB，。OD垂直平分BC。ODAE，OG=AC=x。四邊形ECGD為矩形。CE=DG=ODOG=xx =x。AE=AC+CE=3x+x=4x。AEOD，AEFDOF。AE：OD=EF：OF，EF：OF=4x：x=8：5?！究键c】圓的綜合題，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)基本作圖作出BAC的角平分線AD交O于點D；點D作AC的垂線，垂足為點E。（2）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到ADB=90°，DEAC，則AED=90°，又由AD平分CAB得到CAD=DAB，根據(jù)相似三角形的判定得到R

50、tADERtABD，根據(jù)相似的性質(zhì)得到AD：AB=AE：AD，利用比例的性質(zhì)即可得到AD2=AEAB。（3）連接OD、BC，它們交于點G，由5AC=3AB，則不妨設(shè)AC=3x，AB=5x，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到ACB=90°，由CAD=DAB得到，根據(jù)垂徑定理的推論得到OD垂直平分BC，則有ODAE，OG=AC=x，并且得到四邊形ECGD為矩形，則可求出CE，從而計算出AE，利用AEOD可得到AEFDOF，則AE：OD=EF：OF，即EF：OF=4x：x=8：5，然后根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到 的值。21. （2012廣西桂林10分）如圖，等圓O1和O2相交于A、B兩點，O1經(jīng)過O2的圓心，順次連接A、O1、B、O2(1)求證：四邊形AO1BO2是菱形；(2)過直徑AC的端點C作O1的切線CE交AB的延長線于E，連接CO2交AE于D，求證：CE2O2D；(3)在(2)的條件下，若AO2D的面積為1，求BO2D的面積【答案】解：（1）證明：O1與O2是等圓，AO1=O1B=BO2=O2A。四邊形AO1BO2是菱形。（2）證明：四邊形AO1BO2是菱形，O1AB=O2AB。CE是O1的切線，AC是O1的直徑，ACE=AO2C=90°。ACEAO2D。