中考數(shù)學(xué)圓精講含答案

1、圓知識點一、圓的定義及有關(guān)概念1、圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。2、有關(guān)概念：弦、直徑;弧、等弧、優(yōu)弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同心圓。圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。連接圓上任意兩點間的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是最長的弦。在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧。例 P為O內(nèi)一點，OP=3cm，O半徑為5cm，則經(jīng)過P點的最短弦長為_；最長弦長為_解題思路：圓內(nèi)最長的弦是直徑，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：10 cm，8 cm.知識點二、平面內(nèi)點和圓的位置關(guān)系平面內(nèi)點和圓的位置關(guān)系有三種：點在圓外、點在圓上、點在圓內(nèi)當點在圓外時，

2、dr；反過來，當dr時，點在圓外。當點在圓上時，dr；反過來，當dr時，點在圓上。當點在圓內(nèi)時，dr；反過來，當dr時，點在圓內(nèi)。例 如圖，在中，直角邊，點，分別是，的中點，以點為圓心，的長為半徑畫圓，則點在圓A的_，點在圓A的_解題思路：利用點與圓的位置關(guān)系，答案：外部，內(nèi)部練習：在直角坐標平面內(nèi)，圓的半徑為5，圓心的坐標為試判斷點與圓的位置關(guān)系答案：點在圓O上知識點三、圓的基本性質(zhì)1圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。2、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對的弧。3、圓具有旋轉(zhuǎn)對稱性，特別的圓是中

3、心對稱圖形，對稱中心是圓心。圓心角定理：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。4、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。圓周角定理推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。圓周角定理推論：直徑所對的圓周角是直角；°的圓周角所對的弦是直徑。例1 如圖，在半徑為5cm的O中，圓心O到弦AB的距離為3cm，則弦AB的長是（ ）A4cm B6cm C8cm D10cm解題思路：在一個圓中，若知圓的半徑為R，弦長為a，圓心到此弦的距離為d，根據(jù)垂徑定理，有R2=d2+（）2，所以三個量知道兩個，就可求出第三

4、個答案C例2、如圖，A、B、C、D是O上的三點，BAC=30°，則BOC的大小是( )A、60° B、45° C、30° D、15°解題思路：運用圓周角與圓心角的關(guān)系定理，答案：A例3、如圖1和圖2，MN是O的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點P，APM=CPM（1）由以上條件，你認為AB和CD大小關(guān)系是什么，請說明理由（2）若交點P在O的外部，上述結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由 (1) (2) 解題思路：（1）要說明AB=CD，只要證明AB、CD所對的圓心角相等，只要說明它們的一半相等 上述結(jié)論仍然成立，它的證明思路與

5、上面的題目是一模一樣的 解：（1）AB=CD 理由：過O作OE、OF分別垂直于AB、CD，垂足分別為E、F APM=CPM 1=2 OE=OF 連結(jié)OD、OB且OB=OD RtOFDRtOEB DF=BE 根據(jù)垂徑定理可得：AB=CD （2）作OEAB，OFCD，垂足為E、F APM=CPN且OP=OP，PEO=PFO=90° RtOPERtOPF OE=OF 連接OA、OB、OC、OD 易證RtOBERtODF，RtOAERtOCF 1+2=3+4 AB=CD例4如圖，AB是O的直徑，BD是O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？ 解題思路：BD=C

6、D，因為AB=AC，所以這個ABC是等腰，要證明D是BC的中點，只要連結(jié)AD證明AD是高或是BAC的平分線即可 解：BD=CD 理由是：如圖2430，連接AD AB是O的直徑 ADB=90°即ADBC 又AC=AB BD=CD知識點四、圓與三角形的關(guān)系1、不在同一條直線上的三個點確定一個圓。2、三角形的外接圓：經(jīng)過三角形三個頂點的圓。3、三角形的外心：三角形三邊垂直平分線的交點，即三角形外接圓的圓心。4、三角形的內(nèi)切圓：與三角形的三邊都相切的圓。5、三角形的內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點，即三角形內(nèi)切圓的圓心。例1 如圖，通過防治“非典”，人們增強了衛(wèi)生意識，大街隨地亂扔生活垃圾的人

7、少了，人們自覺地將生活垃圾倒入垃圾桶中，如圖2449所示，A、B、C為市內(nèi)的三個住宅小區(qū)，環(huán)保公司要建一垃圾回收站，為方便起見，要使得回收站建在三個小區(qū)都相等的某處，請問如果你是工程師，你將如何選址解題思路： 連結(jié)AB、BC，作線段AB、BC的中垂線，兩條中垂線的交點即為垃圾回收站所在的位置例2 如圖，點O是ABC的內(nèi)切圓的圓心，若BAC=80°，則BOC=（ ）A130° B100° C50° D65°解題思路：此題解題的關(guān)鍵是弄清三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形內(nèi)角平分線的交點，答案A例3 如圖，RtABC，C=90°，AC=3cm，B

8、C=4cm，則它的外心與頂點C的距離為（ ）A5 cm B2.5cm C3cm D4cm解題思路：直角三角形外心的位置是斜邊的中點，答案 B 知識點五、直線和圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離當直線和圓相交時，dr；反過來，當dr時，直線和圓相交。當直線和圓相切時，dr；反過來，當dr時，直線和圓相切。當直線和圓相離時，dr；反過來，當dr時，直線和圓相離。切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的直徑切線的判定定理：經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。切線長：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點到切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相

9、等，圓心和圓外這點的連線平分兩條切線的夾角。例1、 在中，BC=6cm，B=30°，C=45°，以A為圓心，當半徑r多長時所作的A與直線BC相切？相交？相離？解題思路：作ADBC于D在中，B=30°   在中，C=45° CD=AD   BC=6cm   當時，A與BC相切；當時，A與BC相交；當時，A與BC相離。例2如圖，AB為O的直徑，C是O上一點，D在AB的延長線上，且DCB=A（1）CD與O相切嗎？如果相切，請你加以證明，如果不相切，請說明理由（2）若CD與O相切，且D=30°

10、，BD=10，求O的半徑 解題思路：（1）要說明CD是否是O的切線，只要說明OC是否垂直于CD，垂足為C，因為C點已在圓上 由已知易得：A=30°，又由DCB=A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD與O相切 理由：C點在O上（已知） AB是直徑 ACB=90°，即ACO+OCB=90° A=OCA且DCB=A OCA=DCB OCD=90° 綜上：CD是O的切線 （2）在RtOCD中，D=30° COD=60° A=30° BCD=30° BC=BD=10 AB=20，r=10 答：（1）CD是O

11、的切線，（2）O的半徑是10知識點六、圓與圓的位置關(guān)系重點：兩個圓的五種位置關(guān)系中的等價條件及它們的運用難點：探索兩個圓之間的五種關(guān)系的等價條件及應(yīng)用它們解題外離：兩圓沒有公共點，一個圓上所有的點都在另一個圓的外部相離：內(nèi)含：兩圓沒有公共點，一個圓上所有的點都在另一個圓的內(nèi)部相切：外切：兩圓只有一個公共點，除公共點外一個圓上所有的點都在另一個圓的外部內(nèi)切：兩圓只有一個公共點，除公共點外一個圓上所有的點都在另一個圓的內(nèi)部相交：兩圓只有兩個公共點。設(shè)兩圓的半徑分別為r1、r2，圓心距（兩圓圓心的距離）為d，則有兩圓的位置關(guān)系，d與r1和r2之間的關(guān)系 外離d>r1+r2 外切d=r1+r2

12、相交r1r2<d<r1+r2 內(nèi)切d=r1r2 內(nèi)含0d<r1r2（其中d=0，兩圓同心）例1兩個同樣大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如圖1所示（點O，O是圓心），分隔兩個肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求TPN的大小 （1） (2) 解題思路：要求TPN，其實就是求OPO的角度，很明顯，POO是正三角形，如圖2所示 解：PO=OO=PO POO是一個等邊三角形 OPO=60° 又TP與NP分別為兩圓的切線，TPO=90°，NPO=90° TPN=360°2×90°60°=120

13、76;例2如圖1所示，O的半徑為7cm，點A為O外一點，OA=15cm，求：（1）作A與O外切，并求A的半徑是多少？ (1) (2)(2）作A與O相內(nèi)切，并求出此時A的半徑 解題思路：（1）作A和O外切，就是作以A為圓心的圓與O的圓心距d=rO+rA；（2）作OA與O相內(nèi)切，就是作以A為圓心的圓與O的圓心距d=rArO解：如圖2所示，（1）作法：以A為圓心，rA=157=8為半徑作圓，則A的半徑為8cm（2）作法：以A點為圓心，rA=15+7=22為半徑作圓，則A的半徑為22cm例3如圖所示，點A坐標為（0，3），OA半徑為1，點B在x軸上 （1）若點B坐標為（4，0），B半徑為3，試判斷A與

14、B位置關(guān)系；_A_y_x_O （2）若B過M（2，0）且與A相切，求B點坐標（1）AB=5>1+3，外離（2）設(shè)B（x，0）x2，則AB=，B半徑為x+2，設(shè)B與A外切，則=x+2+1，當x>2時，=x+3，平方化簡得：x=0符題意，B（0，0），當x<2時，=x1，化簡得x=4>2（舍），設(shè)B與A內(nèi)切，則=x+21，當x>2時，=x+1，得x=4>2，B（4，0），當x<2時，=x3，得x=0，知識點七、正多邊形和圓重點：講清正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關(guān)系難點：使學(xué)生理解四者：正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關(guān)系

15、正多邊形的中心：所有對稱軸的交點； 正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑。正多邊形的邊心距：正多邊形內(nèi)切圓的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角。正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個全等的等腰三角形，每個等腰三角形又被相應(yīng)的邊心距分成兩個全等的直角三角形。例1如圖，已知正六邊形ABCDEF，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積解題思路：要求正六邊形的周長，只要求AB的長，已知條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長應(yīng)與半徑掛上鉤，很自然應(yīng)連接OA，過O點作OMAB垂于M，在RtAOM中便可求得AM，又應(yīng)用垂徑定理可求得AB的長正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的解：如圖所

16、示，由于ABCDEF是正六邊形，所以它的中心角等于=60°，OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑 因此，所求的正六邊形的周長為6a 在RtOAM中，OA=a，AM=AB=a 利用勾股定理，可得邊心距 OM=a 所求正六邊形的面積=6××AB×OM=6××a×a=a2例2在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形的一邊為AB，頂點C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8，現(xiàn)要建造一個內(nèi)接于ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如圖2494的設(shè)計方案是使AC=8，BC=6（1）求ABC的邊AB

17、上的高h（2）設(shè)DN=x，且，當x取何值時，水池DEFN的面積最大？（3）實際施工時，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點185的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果在，為了保護大樹，請設(shè)計出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹 解題思路：要求矩形的面積最大，先要列出面積表達式，再考慮最值的求法，初中階段，尤其現(xiàn)學(xué)的知識，應(yīng)用配方法求最值（3）的設(shè)計要有新意，應(yīng)用圓的對稱性就能圓滿解決此題 解：（1）由AB·CG=AC·BC得h=4.8 （2）h=且DN=x NF= 則S四邊形DEFN=x·（4.8x）=x2+10x=（x2x）

18、 = （x）2=（x2.4）2+12 （x2.4）20 （x2.4）2+1212 且當x=2.4時，取等號 當x=2.4時，SDEFN最大 （3）當SDEFN最大時，x=2.4，此時，F(xiàn)為BC中點，在RtFEB中，EF=2.4，BF=3 BE=1.8 BM=1.85，BM>EB，即大樹必位于欲修建的水池邊上，應(yīng)重新設(shè)計方案 當x=2.4時，DE=5 AD=3.2，由圓的對稱性知滿足條件的另一設(shè)計方案，如圖所示:此時，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，這樣設(shè)計既滿足條件，又避開大樹知識點八、弧長和扇形、圓錐側(cè)面積面積重點：n°的圓心角所對的弧長L=，扇形面積S扇=、

19、圓錐側(cè)面積面積及其它們的應(yīng)用難點：公式的應(yīng)用1n°的圓心角所對的弧長L=2圓心角為n°的扇形面積是S扇形=3.全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的，所以全面積=rL+r2例1操作與證明：如圖所示，O是邊長為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O處，并將紙板繞O點旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a解題思路：如圖所示，不妨設(shè)扇形紙板的兩邊與正方形的邊AB、AD分別交于點M、N，連結(jié)OA、OD 四邊形ABCD是正方形 OA=OD，AOD=90°，MAO=NDO， 又MON=90°，AOM=DON

20、 AMODNO AM=DN AM+AN=DN+AN=AD=a特別地，當點M與點A（點B）重合時，點N必與點D（點A）重合，此時AM+AN仍為定值a故總有正方形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a例2已知扇形的圓心角為120°，面積為300cm2 （1）求扇形的弧長； （2）若將此扇形卷成一個圓錐，則這個圓錐的軸截面面積為多少？ 解題思路：（1）由S扇形=求出R，再代入L=求得（2）若將此扇形卷成一個圓錐，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長，就可求圓的半徑，其截面是一個以底是直徑，圓錐母線為腰的等腰三角形解：（1）如圖所示： 300= R=30 弧長L=20（cm）（2）如圖所示： 20=2

21、0r r=10，R=30 AD=20 S軸截面=×BC×AD =×2×10×20=200（cm2） 因此，扇形的弧長是20cm卷成圓錐的軸截面是200cm2最新考題中考要求及命題趨勢 1、理解圓的基本概念與性質(zhì)。2、求線段與角和弧的度數(shù)。3、圓與相似三角形、全等三角形、三角函數(shù)的綜合題。4、直線和圓的位置關(guān)系。5、圓的切線的性質(zhì) 和判定 。6、三角形內(nèi)切圓以及三角形內(nèi)心的概念。7、圓和圓的五種位置關(guān)系。8、兩圓的位置關(guān)系與兩個圓半徑的和或差與圓心距之間的關(guān)系式。兩圓相切、相交的性質(zhì)。9、掌握弧長、扇形面積計算公式。10、理解圓柱、圓錐的側(cè)面展開

22、圖。11、掌握圓柱、圓錐的側(cè)面積和全面積計算。2010年中考將繼續(xù)考查圓的有關(guān)性質(zhì)，其中圓與三角形相似（全等）。三角函數(shù)的小綜合題為考查重點；直線和圓的關(guān)系作為考查重點，其中直線和圓的位置關(guān)系的開放題、探究題是考查重點；繼續(xù)考查圓與圓的位置五種關(guān)系。對弧長、扇形面積計算以及圓柱、圓錐的側(cè)面積和全面積的計算是考查的重點。應(yīng)試對策 圓的綜合題，除了考切線必須的問題。一般圓主要和前面的相似三角形，和前面大的知識點接觸。就是說幾何所有的東西都是通的，你學(xué)后面的就自然牽扯到前面的，前面的忘掉了，簡單的東西忘掉了，后面要用就不會用了，所以幾何前面學(xué)到的知識、常用知識，后面隨時都在用。直線和圓以前的部分是重

23、點內(nèi)容，后面扇形的面積、圓錐、圓柱的側(cè)面積，這些都是必考的，后面都是一些填空題和選擇題，對于扇形面積公式、圓錐、圓柱的側(cè)面積的公式記住了就可以了。圓這一章，特別是有關(guān)圓的性質(zhì)這兩個單元，重要的概念、定理先掌握了，你首先要掌握這些，題目就是定理的簡單應(yīng)用，所以概念和定理沒有掌握就談不到應(yīng)用，所以你首先應(yīng)該掌握。掌握之后，再掌握一些這兩章的解題思路和解題方法就可以了。你說你已經(jīng)把一些這個單元的基本定理都掌握了，那么我可以在這里面介紹一些掌握的解題思路，這樣你把這些都掌握了，解決一些中等難題。都是哪些思路呢？我暫認為你基本知識掌握了，那么，在圓的有關(guān)性質(zhì)這一章，你需要掌握哪些解題思路、解題方法呢？第

24、一，這兩章有三條常用輔助線，一章是圓心距，第二章是直徑圓周角，第三條是切線徑，就是連接圓心和切點的，或者是連接圓周角的距離，這是一條常用的輔助線。有幾個分析題目的思路，在圓中有一個非常重要，就是弧、常與圓周角互相轉(zhuǎn)換，那么怎么去應(yīng)用，就根據(jù)題目條件而定?？疾槟繕艘弧⒅饕侵笀A的基礎(chǔ)知識，包括圓的對稱性，圓心角與弧、弦之間的相等關(guān)系，圓周角與圓心角之間的關(guān)系，直徑所對的圓周角是直角，以及垂徑定理等內(nèi)容。這部分內(nèi)容是圓的基礎(chǔ)知識，學(xué)生要學(xué)會利用相關(guān)知識進行簡單的幾何推理和幾何計算例1、如圖，AB是O的直徑，BC是弦，ODBC于E，交于D (1)請寫出五個不同類型的正確結(jié)論； (2)若BC=8，ED

25、2，求O的半徑解題思路：運用圓的垂徑定理等內(nèi)容解：(1)不同類型的正確結(jié)論有： BE=CE ;弧BD=弧CD BED=90°BOD=A;ACOD，ACBC; OE2+BE2=OB2;SABCBC·OE;BOD是等腰三角形，BOEBAC; (2)ODBC， BECE=BC=4設(shè)O的半徑為R，則OE=ODDE=R2 在RtOEB中，由勾股定理得 OE2BE2=OB2，即(R2)242=R2解得R5 O的半徑為5例2.已知：如圖等邊內(nèi)接于O，點是劣弧PC上的一點（端點除外），延長至，使，連結(jié)（1）若過圓心，如圖，請你判斷是什么三角形？并說明理由（2）若不過圓心，如圖，又是什么三角

26、形？為什么？AOCDPB圖AOCDPB圖解題思路：（1）為等邊三角形 理由：為等邊三角形，又在O中又 又過圓心， ， 為等邊三角形 （2）仍為等邊三角形理由：先證（過程同上） 又， 又 為等邊三角形例3.(1)如圖OA、OB是O的兩條半徑，且OAOB，點C是OB延長線上任意一點：過點C作CD切O于點D，連結(jié)AD交DC于點E求證：CD=CE (2)若將圖中的半徑OB所在直線向上平行移動交OA于F，交O于B，其他條件不變，那么上述結(jié)論CD=CE還成立嗎?為什么?(3)若將圖中的半徑OB所在直線向上平行移動到O外的CF，點E是DA的延長線與CF的交點，其他條件不變，那么上述結(jié)論CD=CE還成立嗎?為

27、什么 解題思路：本題主要考查圓的有關(guān)知識，考查圖形運動變化中的探究能力及推理能力 解答：(1)證明：連結(jié)OD 則ODCD，CDE+ODA=90° 在RtAOE中，AEO+A=90° 在O中，OA=ODA=ODA， CDE=AEO 又AEO=CED，CDE=CED CD=CE (2)CE=CD仍然成立 原來的半徑OB所在直線向上平行移動CFAO于F， 在RtAFE中，A+AEF=90° 連結(jié)OD，有ODA+CDE=90°，且OA=OD A=ODA AEF=CDE 又AEF=CED CED=CDECD=CE (3)CE=CD仍然成立 原來的半徑OB所在直線向

28、上平行移動AOCF 延長OA交CF于G，在RtAEG中，AEG+GAE=90° 連結(jié)OD，有CDA+ODA=90°，且OA=ODADO=OAD=GAECDE=CED CD=CE考查目標二、主要是指點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系以及圓與圓的位置關(guān)系的相關(guān)內(nèi)容。學(xué)生要學(xué)會用動態(tài)的觀點理解和解決與圓有關(guān)的位置關(guān)系的問題。例1、是O的直徑，切O于，交O于，連ABCPO若，求的度數(shù)解題思路：運用切線的性質(zhì) .切O于是O的直徑， ，例2.如圖，四邊形內(nèi)接于O，是O的直徑，垂足為，平分（1）求證：是O的切線；DECBOA（2）若，求的長解題思路：運用切線的判定（1）證明：連接，平分， DECBOA，是O的切線 （2