初中函數(shù)知識點專題講解

1、知識點 1 函數(shù)及其相關(guān)概念1 、變量與常量在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y,如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。2、函數(shù)解析式用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點（ 1）解析法兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。（ 2）列表法把自變量x的一系列值和函數(shù) y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做

2、列表法。（ 3）圖像法用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟（ 1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值（ 2）描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點（ 3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。知識點四，正比例函數(shù)和一次函數(shù)1 、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念一般地，如果y kx b （k, b是常數(shù)，k 0）,那么y叫做x的一次函數(shù)。特別地，當(dāng)一次函數(shù) y kx b中的b為。時，y kx （k為常數(shù)，k 0）。這時，y叫做x的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)的圖像所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要

3、特征：一次函數(shù)y kx b的圖像是經(jīng)過點（0, b）的直線；正比例函數(shù) y kx的圖像是經(jīng)過原點（0, 0） 的直線。k的符號b的符號函數(shù)圖像圖像特征k>0b>0y/ /。I/ x圖像經(jīng)過一、二、三象限， y隨x 的增大而增大。b<0y .o/圖像經(jīng)過一、三、四象限， y隨x 的增大而增大。K<0b>0yJ0圖像經(jīng)過一、二、四象限，y隨x的增大而減小b<0yb Ax圖像經(jīng)過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。注：當(dāng)b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。4、正比例函數(shù)的性質(zhì)y隨x的增大而增大; y隨x的增大而減小。般地，正比例函數(shù) y

4、kx有下列性質(zhì):(1)當(dāng)k>0時，圖像經(jīng)過第一、三象限,(2)當(dāng)k<0時，圖像經(jīng)過第二、四象限,5、一次函數(shù)的性質(zhì)一般地，一次函數(shù) y kx b有下列性質(zhì)：(1)當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大(2)當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng) kx (k 0)中的常數(shù) ko確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式 y kx b (k 0)中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法知識點五、反比例函數(shù)1、反比例函數(shù)的概念k 一般地，函數(shù)y (k是常數(shù)，k 0)叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可

5、以寫成y kxx的形式。自變量 x的取值范圍是x 0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)。2、反比例函數(shù)的圖像反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x 0,函數(shù)y 0,所以，它的圖像與 x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠達不到坐標(biāo)軸。3、反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例 函數(shù)ky (k 0) xk的符號k>0k<0圖像d y卜LJ1xO性質(zhì)x的取值范圍是x 0,y的取值范圍是y 0;當(dāng)k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在A、三象限。在每個象限內(nèi)， y 隨x的增大而減

6、小。x的取值范圍是x 0,y的取值范圍是y 0;當(dāng)k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。4、反比例函數(shù)解析式的確定k確定及唉是的萬法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)y 中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要X一對對應(yīng)值或圖像上的一個點的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義 k .如下圖，過反比例函數(shù) y (k 0)圖像上任一點 P作x軸、y軸的垂線PM, PN,則所得的矩形 XciIlk.一.PMON 的面積 S=PM?PN= y ? x xy。 y , xy k,S k。 x知識點六、二次函數(shù)的概念和圖像1、

7、二次函數(shù)的概念一般地，如果特y ax2 bx c(a,b,c是常數(shù)，a 0),特別注意 a不為零那么y叫做x的二次函數(shù)。y ax2 bx c(a, b,c是常數(shù)，a 0)叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像b一次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于 x對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。2a拋物線的主要特征：有開口方向；有對稱軸；有頂點。3、二次函數(shù)圖像的畫法五點法：(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點M ,并用虛線畫出對稱軸(2)求拋物線y ax2 bx c與坐標(biāo)軸的交點：當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C,再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左

8、到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與 y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D 三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B,然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。知識點七、二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的解析式有三種形式：口訣-一 一般兩根三頂點(1) 一般一般式：y ax2 bx c(a,b, c是常數(shù)，a 0)(2)兩根當(dāng)拋物線y ax2 bx c與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程 ax2 bx c 0有實根x1和x2存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式ax2 bx c a(x x1)(x

9、x2),二次函數(shù)y ax2 bx c可轉(zhuǎn)化為兩根式 y a(x x1)(x x2)。如果沒有交點，則不能這樣表示。a的絕對值越大，拋物線的開口越小。(3)二頂點頂點式：y a(x h)2 k(a, h,k是常數(shù)，a 0)知識點八、二次函數(shù)的最值如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值)，即當(dāng)x-b-時，2a4ac b2y最值 04ab如果自變量的取值范圍是 xi x x2,那么，首先要看是否在自變量取值范圍 xi x x2內(nèi)，2ab4ac b2若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x= 旦時，y最值 ；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在 x1 x *2范2a4a圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍

10、內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x x2時，y最大 ax2 bx? c,當(dāng)x xi時，y最小ax12bx1c；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)xx1時，y最大ax12bx1c ,當(dāng) x x2 時，y最小 ax2 bx2 c。知識點九、二次函數(shù)的性質(zhì)1、二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)函數(shù)21、，y ax bx c(a,b,c 是吊數(shù)，a 0)性質(zhì)(1)拋物線開口向上，并向上無限延伸；，一，一bb(2)對稱軸是x= 一，頂點坐標(biāo)是(，2a2a4ac b2 、);4a(3)在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng) x< 上-時，y隨x2a的增大而減小；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x> 時，y隨x的增大而增大，簡記左減

11、2a右增；(4)拋物線有取低點，當(dāng) x= 時，y有取小2a,2/擊4ac b值，y最小值 4a(1)拋物線開口向卜，并向卜無限延伸；，一，一bb(2)對稱軸是x=,頂點坐標(biāo)是( 一，2a2a4ac b2 、);4a(3)在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng) x< 上時，y隨2ax的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時，y隨x的增大而減小，簡記左2a增右減；(4)拋物線有取網(wǎng)點，當(dāng) x= 時，y有取2a,2“由4ac b大值，y最大值4a2、二次函數(shù)y ax2 bx c(a,b,c是常數(shù)，a 0)中，a、b、c的含義:a表示開口方向：a>0時，拋物線開口向上a <0時，拋物線開口向下b

12、b與對稱軸有關(guān)：對稱軸為 x= 2ac表示拋物線與y軸的交點坐標(biāo)：(0, c)3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)。因此一元二次方程中的b2 4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與 x軸是否有交點。當(dāng)>0時，圖像與x軸有兩個交點；當(dāng) =0時，圖像與x軸有一個交點；當(dāng)<0時，圖像與x軸沒有交點。知識點十二次函數(shù)壓軸題?？脊?、兩點間距離公式(當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法)斗如圖：點A坐標(biāo)為(x，yi)點B坐標(biāo)為(x2, y2)則AB間的距離，即線段 AB的長度為x x1 x22yly2 2A2,二次函數(shù)圖象的平

13、移2將拋物線解析式車t化成頂點式y(tǒng) a x h k ,確定其頂點坐標(biāo) h, k ;保持拋物線y ax2的形狀不變，將其頂點平移到h, k處，具體平移方法如下:平移|k|個單位y=ax2y=a(x-h)2-向右（h>0）【或左（h<0）】向上（k>0）或下（k<0）】平移|k|個單位H y=a（x-h）2+k向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|個單位 > y=ax 2+ k向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|個單位平移|k|個單位向上（k>0）【或下（k<0）】向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|個

14、單位平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上 h值正右移，負左移； k值正上移，負下移函數(shù)平移圖像大致位置規(guī)律（中考試題中，只占 3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時間）特別記憶- 同左上加異右下減（必須理解記憶）說明函數(shù)中ab值同號，圖彳t頂點在 y軸左側(cè)同左，a b值異號，圖像頂點必在 Y軸右側(cè)異右向左向上移動為加左上力口，向右向下移動為減 右下減3、直線斜率：y2 y1b為直線在y軸上的截距4、直線方程:k tan x2 x14、兩,點由直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩式y(tǒng) yi kx b (tan )x b辿y1x(x x"此公式有多種變形牢記X2

15、 x1點斜 y yi kx(x xi)斜截 直線的斜截式方程，簡稱斜截式：y=kx+b(kw。)截距由直線在x軸和y軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡稱截距式：- y 1a b牢記 口訣一 兩點斜截距 -兩點點斜斜截截距5、設(shè)兩條直線分別為，li： y kix bi 12： y k?x b2 若 li I2，則有 li/12 ki k?且 b1b2。 右 i1vvdli1 2kik 2I|kxo yo blIkxo y° b6、 點 P (xo, yo)至ij直線 y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距離: d , _=-1 .-.k2 ( i)2, k2 i拋物線V aX2

16、bx c中，a b c，的作用 y ax x c(1) a決定開口方向及開口大小，這與y ax2中的a完全一樣.(2) b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y ax2 bx c的對稱軸是直線bbx故：b 0時，對稱軸為 y軸；一 0 (即a、b同號)時，對稱軸在 y軸左側(cè)；2aab 0 (即a、b異號)時，對稱軸在 y軸右側(cè). 口訣- 同左 異右 a(3) c的大小決定拋物線 y ax2 bx c與y軸交點的位置.當(dāng)x 0時，y c,，拋物線y ax2 bx c與y軸有且只有一個交點(0, c)：c 0 ,拋物線經(jīng)過原點；c 0,與y軸交于正半軸；c 0,與y軸交于負半軸.以上三點中，

17、當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在 y軸右側(cè)，則 為 0.a十二，初中數(shù)學(xué)助記口訣(函數(shù)部分)特殊點坐標(biāo)特征：坐標(biāo)平面點(x,y),橫在前來縱在后；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四個象限分前后；X軸上y為0,x為0在Y軸。對稱點坐標(biāo)：對稱點坐標(biāo)要記牢，相反數(shù)位置莫混淆，X軸對稱y相反,Y軸對稱，x前面添負號；原點 對稱最好記, 橫縱坐標(biāo)變符號。自變量的取值范圍：分式分母不為零，偶次根下負不行；零次冪底數(shù)不為零，整式、奇次根全能行。函數(shù)圖像的移動規(guī)律：若把一次函數(shù)解析式寫成y=k (x+0) +b、二次函數(shù)的解析式寫成y=a (x+h)2+k 的形式，則用下面后的口

18、訣“左右平移在括號 , 上下平移在末稍, 同左上加異右下減一次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣: 一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡單, 經(jīng)過原點一直線；兩個系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角，b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為 負來左下展, 變化規(guī)律正相反；k 的絕對值越大, 線離橫軸就越遠。二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣: 二次函數(shù)拋物線，圖象對稱是關(guān)鍵；開口、頂點和交點, 它們確定圖象現(xiàn)；開口、大小由a斷,c與Y軸來相見,b的符號較特別，符號與 a相關(guān)聯(lián)；頂點位置先找見，Y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；頂點坐標(biāo)最重要, 一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對稱軸, 縱

19、標(biāo)函數(shù)最值見。若求對稱軸位置, 符號反 , 一般、頂點、交點式，不同表達能互換。反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣: 反比例函數(shù)有特點, 雙曲線相背離的遠;k 為正 , 圖在一、三( 象 )限 ,k 為負 , 圖在二、四( 象 ) 限 ; 圖在一、三函數(shù)減, 兩個分支分別減。圖在二、四正相反, 兩個分支分別添; 線越長越近軸 , 永遠與軸不沾邊。正比例函數(shù)是直線，圖象一定過圓點，k 的正負是關(guān)鍵，決定直線的象限，負k 經(jīng)過二四限，x 增大y 在減，上下平移k 不變，由引得到一次線，向上加b 向下減，圖象經(jīng)過三個限，兩點決定一條線，選定系數(shù)是關(guān)鍵。反比例函數(shù)雙曲線，待定只需一個點，正k 落在一三限，x 增

20、大 y 在減，圖象上面任意點，矩形面積都不變，對稱軸是角分線x、 y 的順序可交換。二次函數(shù)拋物線，選定需要三個點，a的正負開口判，c的大小y軸看，的符號最簡便，x軸上數(shù)交點，a、 b 同號軸左邊拋物線平移a 不變，頂點牽著圖象轉(zhuǎn)，三種形式可變換，配方法作用最關(guān)鍵。對稱點坐標(biāo):對稱點坐標(biāo)要記牢, 相反數(shù)位置莫混淆，X 軸對稱 y 相反 , Y 軸對稱 ,x 前面添負號；原點對稱最好記, 橫縱坐標(biāo)變符號。關(guān)于x軸對稱22y ax bx c關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y ax bx c；22y a x h k 關(guān)于 x 軸對稱后，得到的解析式是y a x h k ；關(guān)于y軸對稱22y ax bx

21、 c關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y ax bx c ；2y a x h k關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是關(guān)于原點對稱22y ax bx c關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是y ax bx c；2y a x h k關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是關(guān)于頂點對稱22b2y ax2 bx c關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是yax2 bx c ；2a22y a x h k關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是y a x h k .關(guān)于點m, n對稱2a x h 2m 2n k2y a x h k關(guān)于點 m, n對稱后，得到白解析式是 y根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此a永遠不

22、變.求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原 拋物線(或表達式已知的拋物線)的頂點坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向， 然后再寫出其對稱拋物線的表達式.口訣丫 反對X, X反對Y,都反對原點2自變量的取值范圍：分式分母不為零，偶次根下負不行；零次哥底數(shù)不為零, 函數(shù)圖像的移動規(guī)律：若把一次函數(shù)解析式寫成y=k (x+0) +b,二次函數(shù)的解析式寫成 y=a (x+h) 2+k的形式, 則用下面后的口訣：“左右平移在括號，上下平移在末稍，左正右負須牢記，上正下負錯不了”。一次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過任象限

23、；正比例函數(shù)更簡單，經(jīng)過原點一直線；兩個系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜，x增減y增減；k為負來左下展，變化規(guī)律正相反;k的絕對值越大，線離橫軸就越遠。二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣：二次函數(shù)拋物線，圖象對稱是關(guān)鍵；開口、頂點和交點，它們確定圖象限；開口、大小由a斷,c與Y軸來相見,b的符號較特別，符號與 a相關(guān)聯(lián)；頂點位置先找見， Y軸作為參考 線，左同右異中為0,牢記心中莫混亂；頂點坐標(biāo)最重要 ，一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對稱軸 ，縱標(biāo)函數(shù) 最值見。若求對稱軸位置，符號反，一般、頂點、交點式，不同表達能互換。反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣：反比例函數(shù)有特點，雙曲

24、線相背離的遠；k為正，圖在一、三（象）限；k為負，圖在二、四（象）限；圖在一、三函數(shù)減，兩個分支分別減；圖在二、四正相反，兩個分支分別添；線越長越近軸，永遠與軸不沾邊。函數(shù)學(xué)習(xí)口決：正比例函數(shù)是直線，圖象一定過原點，k的正負是關(guān)鍵，決定直線的象限，負 k經(jīng)過二四限，x增大y在減，上下平移k不變，由引得到一次線，向上加 b向下減，圖象經(jīng)過三個限，兩點決定一條線，選定系數(shù)是關(guān)鍵；反比例函數(shù)雙曲線，待定只需一個點，正k落在一三限，x增大y在減，圖象上面任意點，矩形面積都不變，對稱軸是角分線 x、y的順序可交換；二次函數(shù)拋物線，選定需要三個點，a的正負開口判，c的大小y軸看，的符號最簡便，x軸上數(shù)交點

25、,a、b同號軸左邊拋物線平移 a不變，頂點牽著圖象轉(zhuǎn)，三種形式可變換，配方法作用最關(guān)鍵。求定義域：求定義域有講究，四項原則須留意。 負數(shù)不能開平方，分母為零無意義。 指是分數(shù)底正數(shù)，數(shù)零沒有零次哥。 限制條件不唯一，滿足多個不等式。求定義域要過關(guān)，四項原則須注意。 負數(shù)不能開平方，分母為零無意義。 分數(shù)指數(shù)底正數(shù)，數(shù)零沒有零次哥。 限制條件不唯一，不等式組求解集。解一元一次不等式：先去分母再括號，移項合并同類項。系數(shù)化“1”有講究，同乘除負要變向。先去分母再括號，移項別忘要變號。同類各項去合并，系數(shù)化“1”注意了。同乘除正無防礙，同乘除負也變號。解一元二次不等式：首先化成一般式，構(gòu)造函數(shù)第二站

26、。 判別式值若非負，曲線橫軸有交點。a 正開口它向上，大于零則取兩邊。代數(shù)式若小于零，解集交點數(shù)之間。方程若無實數(shù)根，口上大零解為全。小于零將沒有解，開口向下正相反。13.1用公式法解一元二次方程要用公式解方程，首先化成一般式。調(diào)整系數(shù)隨其后，使其成為最簡比。 確定參數(shù)abc,計算方程判別式。判別式值與零比，有無實根便得知。有實根可套公式，沒有實根要告之。用常規(guī)配方法解一元二次方程：左未右已先分離，二系化“1”是其次。一系折半再平方，兩邊同加沒問題。左邊分解右合并，直接開方去解題。該種解法叫配方，解方程時多練習(xí)。用間接配方法解一元二次方程:已知未知先分離，因式分解是其次。 調(diào)整系數(shù)等互反，和差積套恒等式。 完全平方等常數(shù)，間接配方顯優(yōu)勢【注】恒等式解一兀二次方程：方程沒有一次項，直接