23個經(jīng)典的不等式專題

1、1、 證明：； 2、 若：，求證： ； 3、 若：，求證：； 4、 若：，且，求：的取值范圍 ； 5、 若：是的三邊，求證： ； 6、 當時，求證： ； 7、 若，求的值域 ； 8、 求函數(shù)的最大值和最小值 ； 9、 若，求證： ； 10、 若，且，試求：的取值范圍 11、 若，且，求的最小值 12、 若，且，求的最大值和最小值； 13、 若，且滿足，求：的值；14、 求證： ； 15、 當時，求證：； 16、 求證： ； 17、 求證： ； 18、 已知：,求證： ；19、 已知：，求證： ； 20、 已知：，求證： ； 21、 已知：，求證： ； 22、 設：，求證： ； 23、 已知：，

2、求證： . 【解答】1. 證明： ；1、證明：.從第二項開始放縮后，進行裂項求和.另：本題也可以采用積分法證明.構建函數(shù)：，則在區(qū)間為單調遞減函數(shù).于是：從第二項開始用積分，當函數(shù)是減函數(shù)時，積分項大于求和項時，積分限為；積分項小于求和項時，積分限為.2. 若：，求證：；2、證明：，即：則：，即：，即：.立方和公式以及均值不等式配合.另：本題也可以采用琴生不等式證明.構建函數(shù)：，則在在區(qū)間為單調遞增函數(shù)，且是下凸函數(shù).對于此類函數(shù)，琴生不等式表述為：函數(shù)值得平均值不小于平均值的函數(shù)值.即：對于本題： 即：即：，即：，即：琴生不等式可秒此題.3. 若：，求證：；3、由： 得： ，則：， 即： 故

3、： .從一開始就放縮，然后求和.另：本題也可以采用不等式性質證明.所證不等式中的任何一項如第項，均滿足，當有項累加時，不等式兩個邊界項乘以倍，則不等式依然成立.即：大于最小值得倍，小于最大值的倍. 另外，的最大值是，本題有些松.4.若：，且，求：的取值范圍 ；4、解：，令：，則上式為：. 解之得：.均值不等式和二次不等式. 5. 若：是的三邊，求證： ；5、證明：構造函數(shù)，則在時，為增函數(shù).所以，對于三角形來說，兩邊之和大于第三邊，即：，那么，即： .構造函數(shù)法，利用單調性，再放縮，得到結果.另：不等式的入門證法就是“作差法”和“作商法”. “作差法”即兩項相減得差與0比較；作商法”即同號兩項

4、相除得商與1比較. 本題亦可以采用“作差法”.6. 當時，求證： ；6. 證明：當時，都擴大倍得：，取倒數(shù)得：，裂項：，求和：，即： 先放縮，裂項求和，再放縮.另：本題也可以采用積分證明.OAABDCEFGH構建函數(shù)：，則在區(qū)間為單調遞減函數(shù).由面積關系得到：即：即：本式實際上是放縮法得到的基本不等式，同前面裂項式.后面的證法同前.7、若，求的值域 ；7、解：設：，則：，代入向量不等式：得：，故：.這回用絕對值不等式.本題另解.求函數(shù)的極值，從而得到不等式.求導得：則：，故函數(shù)的極值出現(xiàn)在.函數(shù)為奇函數(shù)，故我們僅討論正半軸就可以了，即在.由于是奇函數(shù)，故在，故：.8、求函數(shù)的最大值和最小值 ；

5、8、解：將函數(shù)稍作變形為： ，設點，點，則，而點N在單位圓上，就是一條直線的斜率，是過點M和圓上點N直線斜率的倍，關鍵是直線過圓上的N點.直線與單位圓的交點的縱坐標范圍就是： .故的最大值是1，最小值是-1.原本要計算一番，這用分析法，免計算了.另：如果要計算.先變形：變形為：；即：；即：，即：；即：，即：，即：，即：如果要計算，需要用到輔助角公式.9、若，求證：9、證明：由柯西不等式：即：即：柯西不等式.本題也可以采用排序不等式證明.首先將不等式變形：；即：，即：.由于對稱性，不妨設：，則：；即：.有排序不等式得：正序和亂序和；正序和亂序和；上兩式相加得：即： 證畢.排序不等式.10、若，且

6、，試求：的取值范圍 ；10、解：柯西不等式：；即：，故：；所以：.柯西不等式.另：本題亦可采用求極值的方法證明.構建拉格朗日函數(shù)：由在極值點的導數(shù)為0得：，則：，即：；，則：，即：；，則：，即：.代入得：極值點為：，則：，即：11、若，且，求的最小值 ；11、解：設：，則：；代入得：；即：，故：最小值為4.向量不等式.向量不等式是柯西不等式的特殊形式，本題當然可用柯西不等式.，即：用拉格朗日乘數(shù)法也行.構建拉氏函數(shù)：在極值點的導數(shù)為0，即：，即：；，即：；，即：.代入得：則：，故：求極值時，要判斷是極大值還是極小值，只需用賦值法代一下.12、若，且，求的最大值和最小值；12、解：柯西不等式：即

7、：；故：；于是：.柯西不等式.另：本題也可以采用換元法求解.有人說：是一個橢球面，沒錯. 它是一個不等軸的橢球. 它的三個半軸長分別為：，設：，則這個橢球的方程為： 現(xiàn)在來求的最大值和最小值.采用三角換元法：令：，代入方程檢驗，可知它滿足方程.采用輔助角公式化簡：故：的峰值是：當時，即：而，故：，即：.13、若，且滿足，求：的值 ；13、解：本題滿足：即柯西不等式中等號成立的條件.故有：，即：，.則：；即：，即： 故： .柯西不等式中等號成立.14、求證： ； 14、證明：注意變形為不等式的方法，雖然仍是放縮法.另：本題也可以采用積分法證明.構建函數(shù)：，則在區(qū)間為單調遞減函數(shù).15、當時，求證

8、： ；15、證明： 由二項式定理得： 由二項式定理得：本題由二項式中，保留前兩項進行放縮得到：；本題由二項式中，分子由從n開始的k個遞減數(shù)連乘，分母由k個n連乘，得到的分數(shù)必定小于1. 于是得到：.另：本題也可以利用函數(shù)的基本性質證明.構建函數(shù)：，則在時，函數(shù)為單調遞增函數(shù).故：在時，利用基本不等式：，即：則：.本方法需要運用，該不等式成立的條件是：.16、求證： ；16、證明：，故：；令：， ；則：，即： ；故： 由得：，即：，故：代入式得：則：原式= 本題的關鍵在于把根式或其他式子換成兩個相鄰的根式差，然后利用求和來消去中間部分，只剩兩頭.17、 求證： ；17、證明：由得：；即： 由：得

9、：即：，即：，即：，即：故：，多項求和： 由，本題得證. 本題還是采用級數(shù)求和的放縮法.18、 已知：,求證： ;18、證明：(1)構造函數(shù)：，則：.當時，函數(shù)的導數(shù)為：，即當時，函數(shù)為增函數(shù). 即：；故：，即：.(2) 構造函數(shù)：，則：.當時，其導數(shù)為：.即當時，函數(shù)為增函數(shù). 即：；故：，即：.由(1)和(2)，本題證畢.本題采用構造函數(shù)法，利用函數(shù)單調性來證題.19、 已知：，求證： ；19、證明：先構造函數(shù)：，在函數(shù)圖象上分別取三點A,B,C，即：,我們來看一下這幾個圖形的面積關系：；OAABDCEFGH即： ；即： ；即： ；(1) 求和：；即：；(2) 求和：；即：;由(1)和(2)證畢.本題采用構造函數(shù)法，利用函數(shù)的面積積分來證題.20、 已知：當時，求證： ；20、 證明：當時，.由二項式定理得：證畢.本題利用二項式定理進行放縮得證.21、 已知：，求證： ；21、 證明：設：，則：證畢.將1以后的項數(shù)，按2的次方個數(shù)劃分成n組，每組都大于，這樣放縮得證.22、 設：，求證： ；2