雙曲線的標準方程推導(dǎo),解析式求解-教師版..

1、© 年級:高二 學科：數(shù)學 教師：王鵬 上課日期：2月5日直利教育2015年寒假名師培優(yōu)一對一教案雙曲線的定義及標準方程1、概念：如果把橢圓定義中的和改成差：IP F卜I PF2I=2a或IP F2I-1 PRAZa,即:IIP FH PF|F2a， 其中a>0動點的軌跡會發(fā)生什么變化呢?若MFi -MF2 =2a = FiF2，則軌跡是線段FiF2的延長線;若MF2 - MFi =2a = F1F2，則軌跡是線段F2F1的延長線;若卩汗2| <2|mf|mf2，則無軌跡;在0<：2a <|F|F21條件下軌跡是存在的，我們把這時得到的軌跡叫做雙曲線說明通過對

2、橢圓定義的類比， 啟發(fā)學生思考并發(fā)現(xiàn) 2a與F1 F2的大小關(guān)系與動點的軌跡的變化規(guī)律.(1 )當2a <2c時，雙曲線 (2)當2a = 2c時，射線(3)當22c時，無軌跡2、概念形成雙曲線定義F1F2 )的點的軌跡叫雙定義：平面內(nèi)到兩定點 F, F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于曲線.這兩個定點F1, F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點間的距離I F1F2 I叫做焦距.雙曲線定義中的注意點在概念的理解中要注意：(1 )是平面內(nèi)到兩定點的距離之差的絕對值是一個非零正常數(shù)，且這個常數(shù)小于FiF2 .(2)當I PFi I -I PF2 F2a時，動點的軌跡是與F2對應(yīng)的雙曲線的一支，|

3、PF2I-I PFi| = 2a時為雙曲線的另一支.3、雙曲線的標準方程的推導(dǎo)可以仿照求橢圓的標準方程的做法，求雙曲線的標準方程.如圖8-12建系，設(shè)F1F2 =2c，取過點Fi、F2的直線為x軸，線段FiF2的中垂線依已知條件有IMF" - MF=±2aMF=J(x + c)2 + y2為y軸，建立直角坐標系，則Fi（-c,0）、F2（c,0），設(shè)M是所求軌跡上的點.木受繩則直，金就礪則利地址：彭州市朝陽中路366號17棟1單元1樓5號 電話：028-838920685mf2移項得：J(x+c)2 +y2=±2a + J(x-c)2 +y2，平方得：±

4、 (a2-cx) = aj(x-c)2 + y2(*)再平方得：（a2 -c2）x2+ a2y22 / 2 2=a (a -c ),即(C2 -a2)x2 -a2y2= a2(c2-a2)，令 b=c22-a (c >b0)=J(x-c)2 +y2，二 J(x +c)2 +y2 -J(x-c)2 + y2 = ±2a ,2則 b2x2 -a2y2 = a2b2，即篤2 丄 "b2=1 ，其中 C2 = a2 +b2(C A a > 0),a2綜上：焦點在x軸上雙曲線的標準方程是 篤a焦點 Fi(c,0)、F2 (c,0).說明對于標準方程的推導(dǎo)可以啟發(fā)學生仿照求

5、橢圓的標準方程的做法來完成，在建立直坐標系之前，可以讓學生初步推斷雙曲線所具有的對稱性，使建系更合理.同樣如果雙曲線的焦點在y軸上（圖8- 13），那么，此時的雙曲線的標準方程又是怎樣的呢？焦點是F1（0，- C）、F2（0 , c）時，a、b的意義同上，那么只要將方程2 2的X、y互換，就可以得到焦點在 y軸上雙曲線的標準方程是 Yy -篤=1 , a2 b2其中 C2 =a2 +b2(c>a >0)，焦點斤(0,c)、F2(0,c).說明雙曲線的標準方程是指雙曲線在標準狀態(tài)下的方程，這里的標準狀態(tài)有兩層含義：（1）雙曲線的兩個焦點均在坐標軸上，（2）這兩個焦點的中心必須與原點重

6、合.從這一方面理解，雙曲線的標準方程就是在特殊的直角坐標系下的方程.定義及性質(zhì)對比橢-曲線yII1II0r雙平面內(nèi)到兩定點F-I, F2的距離平面內(nèi)到兩定點F1, F2的距離的差的和為常數(shù)2 a （2a >F1F2 ）的動點的絕對值為常數(shù) 2a（ 0 C 2a v的軌跡叫橢圓.即|MF1+ MF2 =2a當2a > 2c時，軌跡是橢圓,當2a=2c時，軌跡是一條線段當2a < 2c時，軌跡不存在焦點在x軸上時：(a > b > 0 )焦點在y軸上時:2y2a的動點的軌跡叫雙曲線.即MFi|-MFd =2a當2a <2c時，軌跡是雙曲線 當2a =2c時，軌跡

7、是兩條射線 當2a >2c時，軌跡不存在2 2焦點在x軸上時： 爲也 =1a2 b22 2焦點在y軸上時：卷-篤=1a2 b2(a Ab >0)注：是根據(jù)項的正負來判斷焦點所 在的位置注：是根據(jù)分母的大小來判斷焦點在哪 一坐標軸上22 丄.2a =c +b （符合勾股定理的結(jié)構(gòu)）22 . 2c =a +b （符合勾股定理的結(jié)構(gòu)）a,b,cc > a >0a最大，可以c 最大，可以 a=b,a<b,aAb© 年級:高二 學科：數(shù)學 教師：王鵬 上課日期：2月5日精題精講a, b,c的值"【例11判斷下列方程是否表示雙曲線，若是，求出三量木受繩則直

8、,366號17棟1單元金就礪則利1 樓 5 號 電話：028-8389206872 2一1424y2 -9x2 =36分析：雙曲線標準方程的格式：平方差，x項的系數(shù)是正的，那么焦點在 x軸上,x2項的分母是a2 ； y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在2 2 y軸上，y項的分母是a .解：是雙曲線，a=2, b =, c = V6 ；是雙曲線,a = V2, b = /2, C = 2 ；是雙曲線，a=5/2, b = 2, C = y6 ；是雙曲線，a=3, b = 2, C = J13 *【例2】已知雙曲線兩個焦點的坐標為Fi（-5,0）, F2（5,O），雙曲線上一點F1（-5,0）, F2（

9、5,0）的距離之差的絕對值等于6,求雙曲線標準方程*解：因為雙曲線的焦點在 x軸上，所以設(shè)它的標準方程為2 2X _y_2. 2a b=1 ( a > 0, b > 0)*/ 2a = 6,2c =10a = 3,c = 5 b2 =52 -32 = 16再所求雙曲線標準方程為2y-=1 *16地址：彭州市朝陽中路® 年級:高二 學科：數(shù)學 教師：王鵬 上課日期：2月5日【例31已知雙曲線的焦點在y軸上，中心在原點，且點p（3,4j5），F(xiàn)2（-,5），在此雙4曲線上，求雙曲線的標準方程 ”分析：由于已知焦點在 y軸上，中心在原點，所以雙曲線的標準方程可用設(shè)出來，進行求解

10、.本題是用待定系數(shù)法來解的，得到的關(guān)于待定系數(shù)a,b的一個分式方程組，并且分a2,b2的倒母的次數(shù)是2,解這種方程組時利用換元法可將它化為二元二次方程組；也可將y軸上，中心在原點，所以設(shè)所求雙曲線的標準方程為數(shù)作為未知數(shù)，直接看作二元一次方程組 解：因為雙曲線的焦點在>0,0)則有(")2a2 b2(9)252(；)L -丄“ a2b2=1132 9即« a kA .a216124木受繩則直，金就礪則利地址：彭州市朝陽中路 366號17棟1單元1樓5號10電話a216'b解關(guān)于 丄，丄的二元一次方程組，得a ' b所以，所求

11、雙曲線的標準方程為2y162 2求心AF1F2【例41點A位于雙曲線 務(wù)一占=1（a > 0,b0）上，F(xiàn)1, F2是它的兩個焦點,a b的重心G的軌跡方程分析：要求重心的軌跡方程，必須知道三角形的三個頂點的坐標，禾U用相關(guān)點法進行 求解*注意限制條件+解：設(shè) MFi F2的重心G的坐標為（x,y），則點A的坐標為（3x,3y）.因為點A位于雙曲線= 1(a A0,b A0)上a2b2"(y H 0)X2(|)22y(b)2= 1（y工0）所以，MF1F2的重心G的軌跡方程為X2(f)22- -1(0)-(b2【例5】 已知MBC的底邊BC長為12 ,且底邊固定，頂點A是動點，

12、使sin B -sin C = -sin A，求點a的軌跡2分析：首先建立坐標系，由于點 A的運動規(guī)律不易用坐標表示，注意條件的運用，可 利用正弦定理將其化為邊的關(guān)系，注意有關(guān)限制條件+解：以底邊BC為x軸，底邊BC的中點為原點建立 xoy坐標系，這時1B(-6,0),C(6,0)，由 sinB-sinC = sin A 得2b -c =1 =6,即 I AC I I AB 1 = 6*所以,點A的軌跡是以 B(-6,0),C(6,0)為焦點，2 a =6的雙曲線的左支,其方程為:點評：求軌跡方程的過程中，有一個重要的步驟就是找出(或聯(lián)想到)軌跡上的動點所滿足的幾何條件，列方程就是根據(jù)這些條件

13、確定的，由于軌跡問題比較普遍，題型多樣，有 些軌跡上的動點滿足的幾何條件可能比較隱蔽和復(fù)雜.解決它需要突出形數(shù)結(jié)合的思考方法，運用邏輯推理，結(jié)合平面幾何的基本知識，分析、歸納，這里安排本例就是針對以上情 況來進行訓練的*【例6】求下列動圓圓心 M的軌跡方程：(1)與O C( x+2) +y =2 內(nèi)切，且過點 A (2, 0)2 2 2 2(2) 與O C： x +(y-1) =1 和 O C2: x+(y+1) =4 都外切.(3) 與O C：( x+3) 2+y2=9 外切，且與O C2:( x-3) 2+y2=1 內(nèi)切.分析：這是圓與圓相切的問題，解題時要抓住關(guān)鍵點，即圓心與切點和關(guān)鍵線

14、段，即半徑與圓心距離.如果相切的O C、OC2的半徑為1、2且12,則當它們外切時，|OO|=r1+r2； 當它們內(nèi)切時，| OQ|=1-2.解題中要注意靈活運用雙曲線的定義求出軌跡方程.解：設(shè)動圓M的半徑為r(1) VO C與OM內(nèi)切，點A在O C外 I M(p=r-J2,|Mr,|M|MC=J2點M的軌跡是以C、A為焦點的雙曲線的左支，且有：, c=2, b2=c2-a2=二雙曲2 2線方程為 2x2- 2=1(x< - J2)7(2) VO M與O C、O C2都外切 |MC=r+1,| MC= r+2,| MC-| MC|=1 點 M的軌跡是以C2、C為焦點的雙曲線的上支，且有：

15、a=-,c=1,b2=c2-a2=3 所求的雙曲線方程為：© 年級:高二 學科：數(shù)學 教師：王鵬 上課日期：2月5日木受繩則直，金就礪則利地址：彭州市朝陽中路 366號17棟1單元1樓5號12電話：028-838920684y2- 4=1(y> -)34 VO M與O C 外切，且與O C2內(nèi)切 |MC=r+3,| MC=r-1,| MQ-I MC=4點M的軌跡是以C、G為焦點的雙曲線的右支，且有：a=2, c=3, b2=c2-a2=5所求雙曲線方程為:2=1(X > 2)52 x【例7】已知雙曲線2L=1的右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線上的左支上且916IPFI

16、I PF2|=32，求/ RPR的大小.分析：一般地，求一個角的大小，通常要解這個角所在的三角形 解：V點P在雙曲線的左支上|PF|-| PF2|=62 2|PF| +|P冋-2| PF| PR|=36|PF|2+|PFd2=1002 2 2 2/ I F1F2I =4c =4(a+b )=100/ F1PF=90°評述：(1)巧妙地將雙曲線的定義應(yīng)用于解題當中，使問題得以簡單化 (2)題目的這一條件改為"點“點P在雙曲線的左支上”這個條件非常關(guān)鍵，應(yīng)引起我們的重視，若將 P在雙曲線上”結(jié)論如何改變呢？請讀者試探索.【例8】已知Fi、F2是雙曲線42X -y2=1的兩個焦點

17、，點 P在雙曲線上且滿足/ RPF=90°,求 F1PF2的面積.分析：利用雙曲線的定義及FiPF2中的勾股定理可求 FiPF2的面積.2解：V P為雙曲線-y42 =1上的一個點且F1、F2為焦點. II PF|-| PF2|=2 a=4 | FiF2|=2c=2d百 v/ FiPF2=9O° 在 Rt PFF2中 I PFi| 2+| PF2| 2=| F1F2I 2=2Ov( I PF|-| PB| ) 2=| PFi|2+| PF2|2-2| PF| P可=16 20-2| PFII P國=16 I PF1I I PB|=21 2S缶PF2 弓 PF| I PFd=

18、1 由此題可歸納出 S“1PF2=b2cot /旦生評述：雙曲線定義的應(yīng)2用在解題中起了關(guān)鍵性的作用© 年級:高二 學科：數(shù)學 教師：王鵬 上課日期：2月5日169木受繩則直，金就礪則利366號17棟1單元1樓5號14電話合發(fā)展:1.已知點F1 （0,-13）、F2 （ 0, 13）,動點P到F1與F2的距離之差的絕對值為26,則動點的軌跡方程為（)B.y=0(x < -13 或 X > 13)C.x=0(|y| > 13) D.以上都不對IIPF1|-|PF2|=|F1F2|,.P點的軌跡為分別以 F1、F?為端點的兩條射線.A.y=0

19、【解析】【答案】C2.在方程mx2 my2=n中，若mnv 0,則方程的曲線是（A.焦點在C.焦點在【解析】）B.焦點在x軸上的雙曲線 D.焦點在y軸上的雙曲線2 把方程mx2 my2 =n寫成標準方程X軸上的橢圓 y軸上的橢圓2丄=1nmnv 0, - V 0,m方程表示焦點在【答案】D> 0. my軸上的雙曲線.3.已知點P (x, y)的坐標滿足 J(x-1)2 +(y-1)2J(x + 3)2 +(y + 3)2 =± 4,則動點的軌跡是（A.橢圓B.雙曲線C.兩條射線D.以上都不對【解析】點（1,1 ）與（-3,-3）的距離為42>4, P的軌跡是雙曲線.【答案

20、】2 2篤-=1,點A、B在雙曲線的右支上，線段 a b點F2, |AB|=m,F1為另一焦點，則 ABF1的周長為()A.2a+2mB.4a+2mC.a+m【解析】 A、B在雙曲線的右支上，- |BF1 |BF2|=2a,|AF1| |AF2|=2a,IBF1I+AF1I (|BF2|+|AF2|)=4a IBF1 |+|AF1|=4a+m ABF1 的周長為 4a+m+m=4a+2m.【答案】B4.已知雙曲線的方程為AB經(jīng)過雙曲線的右焦D.2a+4m5.已知雙曲線的焦距為26,a-=25-,則雙曲線的標準方程是（c 132 2A251692B.L252=1地址：彭州市朝陽中路®

21、年級:高二 學科：數(shù)學 教師：王鵬 上課日期：2月5日木受繩則直，金就礪則利地址：彭州市朝陽中路366號17棟1單元1樓5號 電話：028-83892068202 2x yC. =1251442xD.252 2y y -=1或1442x =1 25144a225【解析】/ 2c=26,=25 c- c= 13, a2= 25. b2=13225=144.13雙曲線的標準方程為2 x25【答案】D26.F1、F2為雙曲線y2=4的面積是（2丄=1或丫144252=1.144A.22雙曲線4B.4C.8D.16【解析】y2=1的兩個焦點是F1（0,-J5卜F2(O ,75),/ F1PF2=9O

22、° ,!P F112222+ I PF2 I 2= I F1F2 I .即 1 PF11 2+ 1 PF2 12=2O1 PF11 1 PF2I=± 2,1 PF11 2 2 I PF2I-IPF1 I + I PF2 I 2=4得2 I PF1I I PF；12 I =16， S吿P F2 = - IPF1 I IPF21 =4.【答案】B1的兩個焦點，點P在雙曲線上，且/ FiP F2=9O ° ,則 FiPF25x 2y+20=0上，兩焦點關(guān)于原點對稱,7.雙曲線的焦點在 y軸上，且它的一個焦點在直線 C = 5，則此雙曲線的方程是（a 3)x2 y2x2A

23、.=1B.3664642乙=1362 2x yC. - = 1 36642 2x yD.-=16436【解析】在方程5x 2y+20=0中，令x=0得：y=10,雙曲線的一個焦點在直線5x 2y+20=0上又在y軸上，且兩焦點關(guān)于原點對稱, c=10,.C 5222一= -, a=6, b =c a =100 36=64.a 3雙曲線的方程為2 2即 X- = 1.6436【答案】1 并且sinB-sinC= sinA ,則頂點A的軌跡方程是（）2C.雙曲線的一部分18.已知 ABCA.雙曲線中,C是兩個定點，B.橢圓D.橢圓的一部分【解析】由正弦定理得IACHABF |BC|. B、C為定點

24、， |BC|為常數(shù).2點A的軌跡是雙曲線的一部分.【答案】C9雙曲線2x2 y2=k的焦距是6,求k的值.【解】把雙曲線的方程寫成標準形式,2xy22丄=1.kO k Ok當 k> 0 時，a= ,b=k,由題知一+k=92 2即 k=6.2k-=9 即 k= 6 2k當 k< 0 時，a2= k,b2=,k2綜上所述k= ± 6為所求.2 210.過雙曲線 -Z=1的一個焦點作x軸的垂線,14425求垂線與雙曲線的交點到兩焦點的距離2【解】雙曲線方程為1442丄=125 c= J144 +25=13,于是焦點Fi ( 13，0)、F2( 13, 0)，設(shè)過點Fi的垂直于

25、x軸的直-2531312 ' 1225 十 31312 12故垂線與雙曲線的交點到兩焦點的距離為線I交雙曲線于a( 13,y)(y>0).y213'252525=-1 =,y=，即 |AF1|=25 144144121211.一雙曲線中心為原點，對稱軸為坐標軸，且過點a (-2J7 , -3 )、(7,血),求雙曲線的方程.【解】當雙曲線的焦點在x軸上時，設(shè)雙曲線的方程為 mx2-ny2=1(m>0,n>0),則由題知卜(-2V7)2 -n(-3) Im T2 -門(6血)2 =1,27p8m 9n7解之得 49m-72 n =1.1m = ，251n = 一

26、.752雙曲線的方程為252752 2py -qx =1(p>0,q>0)，則當雙曲線的焦點在 y軸上時，設(shè)雙曲線的方程為p (-3) 2 - q()2=1r '此方程組的解使P、q都為負值，故應(yīng)舍去.Ip(6J2)2 -q 71,又 |AF2| |AF1|=2a=24,. |AF2|=24+|AF1|=24+ = =2 2 綜上所述，所求雙曲線的方程為-=1.257512.已知曲線C： X2 y2= 1及直線I: y=kx 1.（1）若I與C有兩個不同的交點，求實數(shù) k的取值范圍;若I與C交于A、B兩點，O是坐標原點，且 AOB的面積為，求實數(shù)k的值.消 y,得(1 k2)x2 + 2kx 2= 0,1 -k2 H0由«229= 4k2 + 8(1 -k2)0得k的取值范圍為（一U (- 1, 1)(2)設(shè) A (X1, y1),由(1)得 X1+ X2= B ( X2,2k1 k2y2)