基本不等式教學設計

1、基本不等式一、教學設計理念：注重學生自主、合作、探究學習，用新課程理念打造新的教學模式.二、教學設計思路：1.教學目標確定這節(jié)課的目標定位分為三個層面：第一層面：知識與技能層面，了解兩個正數的算術平均數和幾何平均數的概念；要創(chuàng)設幾何和代數兩個方面的背景，從數形結合的高度讓學生了解基本不等式；引導學生從不同角度去證明基本不等式；用基本不等式來證明一些簡單不等式.第二層面：過程與方法，通過掌握公式的結構特點，適當運用公式的變形，能夠提高學生分析問題和解決問題的能力，加強學生的實踐能力，滲透數學的思想方法.第三層面：情感、態(tài)度與價值觀，通過具體問題的解決，讓學生去感受日常生活中存在大量的不等關系，鼓

2、勵學生用數學觀點進行歸納，抽象，使學生感受到數學美，走進數學，培養(yǎng)學生嚴謹的數學學習習慣和良好的思維方式；通過問題的解決，激發(fā)學生探究精神和科學態(tài)度，同時去感受數學的運用性，體會數學的奧妙，數學的簡潔美，激發(fā)學生學習數學的興趣.2.教學過程本節(jié)課我設計了五個環(huán)節(jié)：第一個環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境，引入新課.我設計了兩個情境：一個是天平測量的問題，另一個是讓學生動手操作折紙試驗，從不同的角度體驗和理解基本不等式，讓學生能夠體會數學與生活緊密了解，激發(fā)學生學習興趣，為后面學習作鋪墊.第二個環(huán)節(jié)：探究交流，發(fā)現規(guī)律.我在問題的情境中，讓學生帶著不同的數據去比較幾何平均數和算術平均數的大小，并通過小組折紙試驗，通

3、過這樣合作交流的方式讓學生初步感受到幾何平均數和算術平均數之間的大小關系.第三個環(huán)節(jié)：啟發(fā)引導、形成結論.本節(jié)課的重要任務就是對基本不等式進行嚴格的證明，包括了比較法，綜合法和分析法，而學生對作差比較法是比較熟悉的，綜合法和分析法的過程要加強引導，并組織學生去探究這兩種方法之間的關系，并規(guī)范證明過程，為今后學習證明方法打下基礎.第四個環(huán)節(jié)：訓練小結，鞏固深化.學習基本不等式最終的目的體現在它的運用上，首先在例題選擇上，注重讓學生充分認識 和 間的關系，給出一般的結論，在練習中我選擇了題組形式，目的是與讓學生強化對基本不等式成立條件包括等號成立的條件.第五個環(huán)節(jié)：研究拓展，提高能力.我設計了一道

4、關于例題的變式題，目的是讓學生感受到，通過適當的變形將其化為例題中出現的形式，體現化歸的思想，最后設計三道思考題，兩道進一步鞏固化歸思想及應用基本不等式的條件，一道需要分類討論，讓學有余力的學生提供更好展示自己能力的機會，得到進一步提高.最后我通過問題式的小結，讓學生自行歸納我們這節(jié)課當中學到的知識，特別是最后一問中，讓學生去總結在使用基本不等式的時候要注意哪些條件.雖然我沒有點出“一正二定三相等”這樣的結論，但已潛移默化為我們下一節(jié)課使用基本不等式求最值問題作了鋪墊，起到承前啟后的作用.三、本節(jié)課重點重點：應用數形結合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并從不同的角度探索不等式的證明過程.

5、難點：靈活使用化歸思想把問題轉化為運用基本不等式，以及基本不等式成立條件中包括等號成立的條件.在這一節(jié)中的主要任務就是讓學生從不同的角度去探索基本不等式的證明過程，包括它的成立條件，在這一節(jié)課中我的總體想法是通過互動，發(fā)現規(guī)律，直接猜想，指定驗證，得出結論，最后靈活運用這個結論來解決問題.四、本節(jié)課亮點：1.積極引導學生自主探究問題，解決問題.2.靈活運用轉化與化歸的思想.3.實現課堂三大轉變：變教學生學會知識為指導學生會學知識；變重視結論的記憶為重視學生獲取結論的體驗和感悟；變模仿式學習為探究式學習.4.課堂小結采取問題式小結給學生留下滿口香.導入新課探究：上圖是在北京召開的第24屆國際數學

6、家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客，你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？?（教師用投影儀給出第24屆國際數學家大會的會標，并介紹此會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客.通過直觀情景導入有利于吸引學生的注意力，激發(fā)學生的學習熱情，并增強學生的愛國主義熱情）?推進新課師 同學們能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？如何找？?【三維目標】：一、知識與技能1.能夠運用基本不等式解決生活中的應用問題2.進一步掌握用基本不等式求函數的最值問題；3.審清題意，綜合運

7、用函數關系、不等式知識解決一些實際問題4.能綜合運用函數關系，不等式知識解決一些實際問題二、過程與方法本節(jié)課是基本不等式應用舉例的延伸。整堂課要圍繞如何引導學生分析題意、設未知量、找出數量關系進行求解這個中心。三、情感、態(tài)度與價值觀1.引發(fā)學生學習和使用數學知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結合的科學態(tài)度和科學道德。2.進一步培養(yǎng)學生學習數學、應用數學的意識以及思維的創(chuàng)新性和深刻性【三維目標】：一、知識與技能1.探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；2.會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}；3.學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義

8、，并掌握定理中的不等號""取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；4.理解兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的證明以及它的幾何解釋；二、過程與方法1.通過實例探究抽象基本不等式；2.本節(jié)學習是學生對不等式認知的一次飛躍。要善于引導學生從數和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進一步突破難點。變式練習的設計可加深學生對定理的理解，并為以后實際問題的研究奠定基礎。兩個定理的證明要注重嚴密性，老師要幫助學生分析每一步的理論依據，培養(yǎng)學生良好的數學品質三、情感、態(tài)度與價值觀1.通過本節(jié)的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣2.培養(yǎng)學生舉一反三的邏輯推理能力，并通過不等

9、式的幾何解釋，豐富學生數形結合的想象力、知識結構解讀1教材對基本不等式 的推導給出了三種證法，即作差法、分析法和綜合法，同時引導同學們探討基本不等式的幾何解釋2基本不等式主要應用于求某些函數的最值及證明不等式應用基本不等式時一定要注意其成立的條件基本不等式的應用過程蘊涵了函數思想、方程思想、數形結合思想、分類討論思想及化歸與轉化等數學思想二、重點、難點解讀本節(jié)的重點內容是掌握"兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數"；掌握"兩個正數的和為定值時積有最大值，積為定值時和有最小值"的結論難點是正確理解和使用基本不等式求某些函數的最值或證明不等式三、知識點

10、精析1基本不等式的定義（詳見課本）基本不等式可表述為：兩個正實數的幾何平均數小于或等于它們的算術平均數注意：不等式 成立的條件是 2基本不等式的幾何證明已知在 中，如右圖所示， 為斜邊 上的高， 為 的外接圓的圓心， 的延長線交 于點 ， ，證明： 一、教學目標 1知識與技能 探究基本不等式的證明過程，初步理解基本不等式 2過程與方法 通過對基本不等式的不同角度的探究，滲透數形結合及轉化的數學思想 3情感、態(tài)度與價值觀： 通過本節(jié)學習，激發(fā)學生學習和應用數學知識的興趣，形成積極探索的學習風氣 二、教學重點 用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程

11、教學難點 對基本不等式 的探究 三、教學資源  普通高中數學課程標準（實驗）  人教A版教材必修5 中學數學周刊2005年第10期   百度 四、教學方法與手段 啟發(fā)學生探究，多媒體輔助教學 五、教學過程 （一）創(chuàng)設情境： 如圖1是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表著中國人民的熱情好客 你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？ 設計意圖：創(chuàng)設問題情境，為問題的引出做鋪墊 （二）新知探究：  

12、60;                                                 

13、60;  圖1 將風車抽象成圖2 設直角三角形的兩條邊長為a、b,那么正方形                                          

14、               的邊長為 .這樣,4個直角三角形的面積和為2ab,正方形面積為 .由于4個直角三角形的面積和小于正方形ABCD的 面積，我們就得到了一個不等式 當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?                  

15、;                  圖2                        即 時,正方形EFGH縮為一個點,這時有  此時，a、b代表正方形的邊長，顯然是

16、正數，如果我們推廣到一般情況，對于任意的實數知識與技能：學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等； 2過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式； 3情態(tài)與價值：通過本節(jié)的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣 【教學重點】 應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程； 【教學難點】 基本不等式 等號成立條件 【教學過程】 1.課題導入 基本不等式 的幾何背景： 如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它

17、看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？ 教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系  2.講授新課 1探究圖形中的不等關系 將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為 。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為 。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式： 。 當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有 。 2得到結論：一般的，如果 

18、3思考證明：你能給出它的證明嗎？ 證明：因為       當  所以， ，即  41）從幾何圖形的面積關系認識基本不等式  特別的，如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b ，可得 ， 通常我們把上式寫作：  2）從不等式的性質推導基本不等式  用分析法證明： 要證               &

19、#160;                                     (1) 只要證           

20、                 a+b                              (2) 要證（2），只要證&#

21、160;                 a+b-        0                   （3） 要證（3），只要證  &#

22、160;               （    -    ）                   （4） 顯然，（4）是成立的。當且僅當a=b時，（4）中的等號成立。 3）理解基本

23、不等式 的幾何意義 探究：課本第110頁的基本不等式說課稿 一、 教材分析 1、本節(jié)課的地位、作用和意義 基本不等式又稱為均值不等式，選自普遍高中課程標準實驗教科書(北京師范大學出版社出版) 必修5  ，第3章第3節(jié)內容。學生在初中學習了完全平方公式、圓、初步認識了不等式，同時，在本章前面兩節(jié)學習了比較大小、一元二次不等式等，這些給本節(jié)課提供了堅實的基礎；基本不等式是后面基本不等式與最大（?。┲档幕A，在高中數學中有著比較重要的地位，在工業(yè)生產等有比較廣的實際應用。 2、本節(jié)課的教學重點和難點 我通過解讀新課標和分析教材，認為： 重點：通過對新

24、課程標準的解讀，教材內容的解析，我認為結果固然重要，但數學學習過程更重要，它有利于培養(yǎng)學生的數學思維和探究能力，所以均值不等式的推導是本節(jié)課的重點之一；再者，均值不等式有比較廣的應用，需重點掌握，而掌握均值不等式，關鍵是對不等式成立條件的準確理解，因此，均值不等式以及其成立的條件也是教學重點。 突出重點的方法：我將采用用分組討論，多媒體展示、引導啟發(fā)法來突出均值不等式的推導；用重復法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進行強調均值不等式和其成立的條件），變式教學來突出均值不等式及其成立的條件。 難點：很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻，在應用時候常常出錯誤，所以，均值不等式成立的條件是本節(jié)課

25、的難點。 突破難點的方法：我將采用用重復法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進行強調均值不等式和其成立的條件），變式教學等等來突破均值不等式成立的條件這個難點。 二、教學目標分析 1、知識與技能目標 （1）學會推導基本不等式：  。 （2）理解 的幾何意義。 （3）能3分鐘內寫出基本不等式，并說明其成立的條件，準確率為95% 2、過程方法與能力目標 （1）探索并了解均值不等式的證明過程。 （2）體會均值不等式的證明方法。 3、情感、態(tài)度、價值觀目標 （1）通過探索均值不等式的證明過程，培養(yǎng)探索、研究精神。 （2）通過對均值不等式成立的條件的分析，養(yǎng)成嚴謹的科學態(tài)度，勇

26、于提出問題、分析問題的習慣。 “探究” 基本不等式的證明（1）  【三維目標】： 一、知識與技能 1.探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法； 2.會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}； 3.學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等； 4.理解兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的證明以及它的幾何解釋； 二、過程與方法 1.通過實例探究抽象基本不等式； 2.本節(jié)學習是學生對不等式認知的一次飛躍。要善于引導學生從數和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進一步突破難點。變式練習的設計可加深學生對定理的理解，并為以后實際問題的研究奠定基礎