中考輔導(dǎo)分類三角形全等中考專題

1、三角形全等【知識要點】1兩個能夠重合的三角形叫做全等三角形，全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等2全等三角形的判定方法有（1）SAS；(2)ASA；(3)AAS；(4)SSS（5）HL3兩個三角形的兩邊和一角對應(yīng)相等，或兩個三角形的三個角對應(yīng)相等，這兩個三角形不一定全等【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1應(yīng)用全等三角形性質(zhì)解決問題的前提是準確地確定全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，其規(guī)律主要有以下幾點：（1）以對應(yīng)頂點為頂點的角是對應(yīng)角；（2）對應(yīng)頂點所對應(yīng)的邊是對應(yīng)邊；（3）公共邊（角）是對應(yīng)邊（角）；（4）對頂角是對應(yīng)角；（5）最大邊（角）是對應(yīng)邊（角），最小邊（角）是對應(yīng)邊（角） 全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角可以依據(jù)字

2、母的對應(yīng)位置來確定，如若ABCDEF，說明A與D，B與E，C與F是對應(yīng)點，則ABC與DEF是對應(yīng)角，邊AC與邊DF是對應(yīng)邊2判定兩個三角形全等的解題思路： 找夾角SAS 已知兩邊找另一邊SSS 邊為角的對邊找任一角AAS 找夾角的另一邊SAS 已知一邊一角 邊為角的鄰邊 找夾邊的另一角ASA 找邊的對角AAS 找夾邊ASA 已知兩角找任一邊AAS3運用三角形全等可以證明兩線段或兩角相等，在直接找不到兩個全等三角形時，可考慮添加輔助線構(gòu)造全等三角形【思想方法】1轉(zhuǎn)化思想：應(yīng)用全等三角形的知識解決測河寬、測池塘寬、測工件內(nèi)徑等實際問題就是轉(zhuǎn)化思想的運用2運動變化思想：在研究三角形全等時，經(jīng)常會出現(xiàn)

3、三角形按照某種特定的規(guī)律變化，需要運用運動變化的思想進行解決3構(gòu)造圖形法：在直接找不到兩個全等三角形時，常常通過平移、對稱、旋轉(zhuǎn)等圖形變換的方法構(gòu)造全等三角形4分析綜合法：從已知條件出發(fā)探索解題途徑的方法叫綜合法；從結(jié)論出發(fā)不斷尋找使結(jié)論成立的條件與已知條件關(guān)系的方法叫分析法；兩頭湊的方法就是綜合運用分析綜合法去尋找證題的一種方法【證明三角形全等】三角形全等是證明線段相等，角相等最基本、最常用的方法。（1）條件充足時直接應(yīng)用在證明與線段或角相等的有關(guān)問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等，而從近年的中考題來看，這類試題難度不大，證明兩個三角形的條件比較充分只要同學(xué)們認真觀察圖形，結(jié)

4、合已知條件分析尋找兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等例1 已知：如圖1，CEAB于點E，BDAC于點D，BD、CE交于點O，且AO平分BAC那么圖中全等的三角形有_對（2）條件不足，會增加條件用判別方法此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補充使三角形全等的條件解這類問題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，逐步分析，探索結(jié)論成立的條件，從而得出答案例2 如圖2，已知AB=AD，1=2，要使ABCADE，還需添加的條件是（只需填一個）_（3）條件比較隱蔽時，可通過添加輔助線用判別方法在證明兩個三角形全等時，當邊或角的關(guān)系不明顯時，可通過添加輔助線作為橋

5、梁，溝通邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運用全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等例3 已知：如圖3，AB=AC，1=2求證：AO平分BAC（4）條件中沒有現(xiàn)成的全等三角形時，會通過構(gòu)造全等三角形用判別方法有些幾何問題中，往往不能直接證明一對三角形全等，一般需要作輔助線來構(gòu)造全等三角形 例4 已知：如圖4，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D為BC的中點，CEAD于E，交AB于F，連接DF求證：ADC=BDF說明：常見的構(gòu)造三角形全等的方法有如下三種：涉及三角形的中線問題時，常采用延長中線一倍的方法，構(gòu)造出一對全等三角形；涉及角平分線問題時，經(jīng)過角平分線上一點向兩邊作垂線，可以得

6、到一對全等三角形；證明兩條線段的和等于第三條線段時，用“截長補短”法可以構(gòu)造一對全等三角形（5）會在實際問題中用全等三角形的判別方法新課標強調(diào)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，注意培養(yǎng)同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，形成解決簡單實際問題的能力在近年中考出現(xiàn)的與全等三角形有關(guān)的實際問題，體現(xiàn)了這一數(shù)學(xué)理念，應(yīng)當引起同學(xué)們的重視例5 要在湖的兩岸A、B間建一座觀賞橋，由于條件限制，無法直接度量A，B兩點間的距離請你用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識按以下要求設(shè)計一測量方案(1)畫出測量圖案(2)寫出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用字母表示） 圖5 (3)計算A、B的距離（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）【三角形全等的應(yīng)用】（1） 證明線段（或角）相

7、等 例1：如圖，已知AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC（2）證明線段平行例2：已知：如圖，DEAC，BFAC，垂足分別為E、F，DE=BF，AF=CE.求證：ABCD（3）證明線段的倍半關(guān)系，可利用加倍法或折半法將問題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等例3：如圖，在 ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，取AB的中點E，連接CD和CE. 求證：CD=2CE(4)證明線段相互垂直例4：已知：如圖，A、D、B三點在同一條直線上，ADC、BDO為等腰三角形，AO、BC的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論?！救热切屋o助線的做法】常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊

8、上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的

9、和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答一、倍長中線（線段）造全等例1、已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.例2、如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.例3、如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分BAE.二、截長補短1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC2、如圖，ACBD，EA,EB分別平分CAB,DBA，CD過點E，求證;ABAC+BD3、如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別

10、在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證： 三、平移變換例1 AD為ABC的角平分線，直線MNAD于A.E為MN上一點，ABC周長記為，EBC周長記為.求證.例2 如圖，在ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+ACAD+AE.四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD2、如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE

11、、BE的長.五、旋轉(zhuǎn)例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 例2 D為等腰斜邊AB的中點，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。（1） 當繞點D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF。（2） 若AB=2，求四邊形DECF的面積?！净A(chǔ)練習(xí)】判斷題1. 兩邊和其中一邊所對的角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定是全等三角形( )2. 有三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 ( )單選題1. 已知：如圖 , BAC=EDF , C=F , 要使ABCDEF , 所缺條件是 A.B=E B.1=2 C.AC=DF D.C=F2. 已知：如圖 , AC=CD , B=

12、E=90 , ACCD , 則不正確的結(jié)論是 A.A與D互為余角 B.A=2 C.ABCCED D.1=23. 下列條件：已知兩腰;已知底邊和頂角;已知頂角與底角;已知底邊和底邊上的高 , 能確定一個等腰三角形的是 A.和 B.和 C.和 D.和填空題4. 如圖, 已知：1=2 , 3=4 , 要證BD=CD , 需先證AEBA EC , 根據(jù)是_再證BDE_ , 根據(jù)是_5. 已知：如圖 , AC?BC于C , DE?AC于E , AD?AB于A , BC=AE若AB=5 , 則AD=_證明題6. 已知：如圖 , 四邊形ABCD中 , ABCD , ADBC求證：ABDCDB7. 如圖,已知

13、:ADBC,AD=BC求證:ABCD8. 如圖,已知:AC=DF,ACFD,AE=DB,求證:ABCDEF【綜合測試】DCAB一、 選擇題1、如圖，ABCBAD，點A點B，點C和點D是對應(yīng)點。如果AB=6厘米，BD=5厘米，AD=4厘米，那么BC的長是（ ）。 (A)4 厘米 (B)5厘米 (C) 6 厘米 (D)無法確定 2、如圖，ABNACM，AB=AC，BN=CM，B=50，ANC=120，則MAC的度數(shù)等于（ ）A120 B.70 C.60 D.50.3.使兩個直角三角形全等的條件是（）.一銳角對應(yīng)相等.兩銳角對應(yīng)相等.一條邊對應(yīng)相等.兩條邊對應(yīng)相等4.在BC和ABC中，已知A=A，A

14、B=AB，在下面判斷中錯誤的是（ ）BCDA. 若添加條件AC=AC，則ABCABCB. 若添加條件BC=BC，則ABCABCC. 若添加條件B=B，則ABCABCD. 若添加條件 C=C ，則ABCABC 5. 某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了3塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事方法是（ ）A帶去 B帶去 C帶去 D都帶去6將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，為折痕，則的度數(shù)為（）A60B75C90D957. 下列說法中不正確的是（ ）A.全等三角形一定能重合 B.全等三角形的面積相等C.全等三角形的周長相等 D.周長相等的兩個三角形全等8（2004山東濰坊市）如圖,已知

15、ABC的六個元素,則下面甲、乙、丙三個三角形中和ABC全等的圖形是（ ） A甲和乙 乙和丙 只有乙 只有丙A 99.根據(jù)圖中所給條件 , 判定_這兩個三角形全等 （ ）A. 和 B.和 C.和 D.和10. 如右圖所示，已知ABC和BDE都是等邊三角形。則下列結(jié)論： AE=CD；BF=BG；HB平分AHD；AHC=600,BFG是等邊三角形； FGAD。其中正確的有（ ）A 3個 B 4個 C 5個 D 6個二填空題11如圖示，AC，BD相交于點O，AOBCOD，A=C，則其它對應(yīng)角分別為_，對應(yīng)邊分別為_.圖5ADCB第12題圖 ADBCO第11題圖第13題圖12如圖示，ABC中，C90，A

16、D平分BAC，AB5，CD2，則ABD的面積是_；13.如圖示,點B在AE上,CBE=DBE,要使ABCABD, 還需添加一個條件是_.（填上你認為適當?shù)囊粋€條件即可） 14如圖5，于O，BO=OD，圖中共有全等三角形 對。15.如右圖示,正方形ABCD中,E、F分別在AB、BC上，AC、BD交于O點且ACBD,EOF90o,已知AE3,CF4,則SBEF為.ABDC16.如右圖示，AD是ABC中BC邊上的中線，若AB=2，AC=4，則AD的取值范圍是 17.如果兩個三角形的兩條邊和其中一條邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個三角形的第三邊所對的角的關(guān)系是_.ADCB第19題圖E18.如圖10，E點為ABC的邊AC中點，CNAB，過E點作直線交AB與M點，交CN于N點，若MB=6cm，CN=4cm，則AB=_.19.如圖示，直線AEBD，點C在BD上，若AE4，BD8，ABD的面積為16，則的面積為_ 20如右圖示，ABE和ADC是ABC分別沿著AB，AC邊翻折180形成的，若123=2853，則的度 數(shù)為（ ）A80B100C60D45三、證明題21. 如圖示，已知