離散型隨機變量的分布列綜合試題整理(帶答案)

1、離散型隨機變量的分布列綜合題1. 某單位舉辦2010 年上海世博會知識宣傳活動，進行現(xiàn)場抽獎，盒中裝有9 張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會會徽”或“海寶”（世博會吉祥物）圖案；抽獎規(guī)則是：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎?？ㄆ煤笕牖睾凶?，下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進行。（）活動開始后，一位參加者問：盒中有幾張“海寶”卡？主持人答：我只知道，從盒中抽取兩張都是“世博會會徽”卡的概率是5 ，求抽獎?wù)攉@獎的概率；18（）現(xiàn)有甲乙丙丁四人依次抽獎，用表示獲獎的人數(shù)，求的分布列及 E ，D 的值。解：（ I ）設(shè)“世博會會徽”卡有n 張，Cn25, 得

2、 n=5，由C9218故“海寶”卡有C4215 分4 張，抽獎?wù)攉@獎的概率為C926（II ） B(4, 1 ) 的分布列為 P(k ) C 4k ( 1) k ( 5) 4k (k0,1,2,3,4)66601234PC40 (1)0(5)4C41(1)1( 5)3C42(1)2(5)2C43(1)3 (5)1C44( 1)4 (5 )06666666666E412 , D4(11)5 .12 分63692. 某運動項目設(shè)置了難度不同的甲、乙兩個系列，每個系列都有K 和 D 兩個動作。比賽時每位運動員自選一個系列完成，兩個動作得分之和為該運動員的成績。假設(shè)每個運動員完成每個系列中的K 和 D

3、兩個動作的得分是相互獨立的。根據(jù)賽前訓(xùn)練的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，某運動員完成甲系列和乙系列中的K 和 D兩個動作的情況如下表：表 1：甲系列表 2：乙系列動K 動D 動作動K 動D 動作作作作作得1841得9520分00000分000概3131概9191率4444率10101010現(xiàn)該運動員最后一個出場，之前其他運動員的最高得分為115 分。（ 1） 若該運動員希望獲得該項目的第一名，應(yīng)選擇哪個系列？說明理由。并求其獲得第一名的概率。（2）若該運動員選擇乙系列，求其成績的分布列及數(shù)學(xué)期望 E .解. （ 1）應(yīng)選擇甲系列，因為甲系列最高可得到140 分，而乙系列最高只可得到110 分，不可能得第一名。該運

4、動員獲得第一名的概率p33133 .44444（ 2） 的可能取值有 50,70,90,110 。p1109981 ; p90919;10101001010100p709 19 ; p501 11.10101001010100110907050P819911001001001003在本次考試中共有12 道選擇題， 每道選擇題有4 個選項， 其中只有一個是正確的。評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定： 每題只選一項，答對得5 分，不答或答錯得0 分。某考生每道題都給出一個答案。 某考生已確定有9 道題的答案是正確的，而其余題中， 有 1 道題可判斷出兩個選項是錯誤的， 有一道可以判斷出一個選項是錯誤的，還有一道因不了解

5、題意只能亂猜。試求出該考生：（）選擇題得 60 分的概率；（）選擇題所得分數(shù)的數(shù)學(xué)期望解：（1）得分為 60 分，12 道題必須全做對 在其余的3 道題中， 有 1 道題答對的概率為1 ，1 ，還有1 ，2有 1 道題答對的概率為1 道答對的概率為34所以得分為60 分的概率為：P1111 . ，。 5 分23424（2）依題意，該考生得分的范圍為45， 50，55， 60 . ，。6 分得分為 45 分表示只做對了9 道題，其余各題都做錯，12361所以概率為P13448. ，。 7 分24得分為 50 分的概率為：P212311312111 . ，。 8 分23423423424同理求得得

6、分為 55 分的概率為：P36 . ，。 9 分24得分為 60 分的概率為：P41. ，。 10 分24所以得分的分布列為45505560P111614242424數(shù)學(xué)期望 E45 15011556601605。 12 分4242424124某設(shè)區(qū)舉辦2010 年上海世博會知識宣傳活動，進行現(xiàn)場抽獎，抽獎規(guī)則是：盒中裝有10 張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會會徽”或“海寶”（世博會吉祥物）圖案，參加者每次從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎。（ I ）活動開始后，一位參加者問：盒中有幾張“海寶”卡？主持人笑說：我只知道若從盒總抽兩張都不是“海寶”卡的概率是1 ，求

7、抽獎?wù)攉@獎的概率；3（）現(xiàn)有甲乙丙丁四人依次抽獎，抽后放回，另一個人再抽，用表示獲獎的人數(shù)，求的分布列及E ,D。2解：（ I ）設(shè)“世博會會徽”卡有n 張，由 Cn = 1 ，得 n6 （ 2 分）C1023故“海寶”卡有4 張， （3 分）抽獎?wù)攉@獎的概率為C422 （ 5 分）C10215（） B(4, 2 )，的分布列為 p(k ) C4k ( 2 )k (13 )4k (k 0,1,2,3,4) 13 41213 322213 232313 124(15)C4 15(15)C4 (15) (15)C4 (15 ) (15)(15) E28, D422104（

8、12分）415(1)2251515155某地區(qū)舉辦科技創(chuàng)新大賽，有50 件科技作品參賽，大賽組委會對這50 件作品分別從“創(chuàng)新性”和“實用性”兩項進行評分，每項評分均按等級采用5 分制，若設(shè)“創(chuàng)新性”得分為x ，“實用性”得分為y ，統(tǒng)計結(jié)果如下表：作品數(shù)量y實用性1 分2 分3 分4 分5 分x1 分13101創(chuàng)2 分10751新3 分21093性4 分1b60a5 分00113（）求“創(chuàng)新性為4 分且實用性為3 分”的概率；（）若“實用性”得分的數(shù)學(xué)期望為167 ，求 a 、 b 的值50解：（）從表中可以看出， “創(chuàng)新性為 4 分且實用性為3 分”的作品數(shù)量為6 件，“創(chuàng)新性為 4 分且

9、實用性為3 分”的概率為60.124 分50（）由表可知“實用性”得分y 有 1分、 2分、 3 分、 4 分、 5 分五個等級，且每個等級分別有 5 件， b4件， 15件， 15件， a 8 件5 分“實用性”得分y 的分布列為：y12345p5b41515a85050505050又“實用性”得分的數(shù)學(xué)期望為167 ，5052b415415a 8 16710 分 135055050505050作品數(shù)量共有50件， ab3解得 a1 ， b2 13 分6一個袋中裝有6 個形狀大小完全相同的小球，球的編號分別為1,2,3,4,5,6 .（）若從袋中每次隨機抽取1 個球， 有放回的抽取2 次，求

10、取出的兩個球編號之和為6 的概率；（）若從袋中每次隨機抽取2個球，有放回的抽取3 次，求恰有 2 次抽到 6號球的概率；（）若一次從袋中隨機抽取3個球， 記球的最大編號為 X ，求隨機變量 X 的分布列 .解：（）設(shè)先后兩次從袋中取出球的編號為m, n ，則兩次取球的編號的一切可能結(jié)果(m, n)有 66 36種，2 分其中和為 6 的結(jié)果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共 5種，54 分則所求概率為.36（）每次從袋中隨機抽取C5112 個球 , 抽到編號為 6 的球的概率 p.C6236 分所以， 3 次抽取中，恰有2 次抽到6 號球的概率為C32 p2 (1

11、p) 3(1)2 ( 2)2.8 分339（）隨機變量X 所有可能的取值為3,4,5,6.9 分P( X3)C331，C6320P( X4)C323，C6320P( X5)C4263C320，106P( X6)C5210112 分C6320.2所以，隨機變量X 的分布列為 :X3456P1331202010213 分7甲、乙二人用 4 張撲克牌（分別是紅桃2、紅桃 3、紅桃4、方塊 4）玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張。（ 1）設(shè) (i, j ) 分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字，寫出甲、乙二人抽到的牌的所有情況（ 2）若甲抽到紅桃 3，則乙

12、抽到的牌面數(shù)字比 3 大的概率是多少？（ 3）甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝；否則，乙勝。你認為此游戲是否公平？請說明你的理由 .解：（ 1）甲、乙二人抽到的牌的所有情況為（2， 3），（ 2， 4），（ 2， 4' ），（ 3，2），（ 3，4），（ 3， 4' ），（ 4， 2），（ 4， 3），（4， 4' ），（ 4' ，2），（ 4' ， 3），（ 4' ， 4），共 12 種不同情況4 分（ 2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2， 4， 4 ' . 因此乙抽到的牌的數(shù)字大于3 的概率為2 .8 分3（ 3）由甲抽

13、到的牌比乙大有（3， 2），（ 4，2），（ 4， 3），（ 4 ' ， 2），（ 4' ，3），共 5 種甲獲勝的概率 P15 , 乙獲勝的概率為 P2712125 712 12此游戲不公平.13分8某地區(qū)教研部門要對高三期中數(shù)學(xué)練習(xí)進行調(diào)研，考察試卷中某道填空題的得分情況. 已知該題有兩空，第一空答對得3 分，答錯或不答得0 分；第二空答對得2 分，答錯或不答得 0 分 . 第一空答對與否與第二空答對與否是相互獨立的. 從所有試卷中隨機抽取 1000份試卷，其中該題的得分組成容量為1000 的樣本，統(tǒng)計結(jié)果如下表：第一空得分第二空得分得分03得分02人數(shù)198802人數(shù)69

14、8302（）求樣本試卷中該題的平均分，并據(jù)此估計這個地區(qū)高三學(xué)生該題的平均分（） 這個地區(qū)的一名高三學(xué)生因故未參加考試，如果這名學(xué)生參加考試，分情況的頻率（精確到0.1 ）作為該同學(xué)相應(yīng)的各種得分情況的概率.以樣本中各種得. 試求該同學(xué)這道題得分的數(shù)學(xué)期望.解：（）設(shè)樣本試卷中該題的平均分為Ex ，則由表中數(shù)據(jù)可得 :MFCD01983802069823023.01，x1000 .3 分BA據(jù)此可估計這個地區(qū)高三學(xué)生該題的平均分為3.01 分 . .4 分（）依題意，第一空答對的概率為 0.8，第二空答對的概率為 0.3，6 分P(0)(10.8)(10.3)0.14P(2)(10.8)0.3

15、0.06P(3)0.8(1 0.3)0.56P(5)0.8 0.3) 0.24則該同學(xué)這道題得分的分布列如下： ks5u0235P0 140 060 560 24所以 E =0× 0.14+2 × 0.06+3 × 0.56+5 × 0.24=312 分9某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測，每一件一等品都能通過檢測，每一件二等品通過檢測的概率為 2 . 現(xiàn)有 10 件產(chǎn)品，其中 6 件是一等品， 4 件是二等品 .3( )隨機選取1 件產(chǎn)品，求能夠通過檢測的概率；( ) 隨機選取 3 件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為X ，求 X 的分布列；( )隨機選取3

16、 件產(chǎn)品，求這三件產(chǎn)品都不能通過檢測的概率.解： ( ) 設(shè)隨機選取一件產(chǎn)品，能夠通過檢測的事件為A1 分事件 A 等于事件“選取一等品都通過檢測或者是選取二等品通過檢測”2分64213p(A)10103154 分( )由題可知 X 可能取值為 0,1,2,3.P( X0)C43C601C42 C613C103, P(X1),30C10310P( X2)C41C621C40C6318C3, P(X3).2C 361010分X01239 分1311P301026( ) 設(shè)隨機選取 3 件產(chǎn)品都不能通過檢測的事件為B10 分事件 B 等于事件“隨機選取3 件產(chǎn)品都是二等品且都不能通過檢測”所以，P

17、( B13.)113 分130(310某商場進行促銷活動， 到商場購物消費滿100 元就可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤 ( 轉(zhuǎn)盤為十二等分的圓盤)一次進行抽獎， 滿 200 元轉(zhuǎn)兩次，以此類推（獎金累加）；轉(zhuǎn)盤的指針落在 A 區(qū)域中一等獎，獎 10 元，落在 B、 C區(qū)域中二等獎，獎 5 元，落在其它區(qū)域則不中獎一位顧客一次購物消費 268 元，( )求該顧客中一等獎的概率；( )記為該顧客所得的獎金數(shù)，求其分布列；BA( )求數(shù)學(xué)期望E( 精確到 0.01) C解( )設(shè)事件 A 表示該顧客中一等獎P( A)111112312122121442312所以該顧客中一等獎的概率是4 分144（）的可能取值為20，

18、15， 10， 5， 05 分P(11115)2121，20)12， P(12121214436P(222191110)1212127212P(5) 22910)999（每個 1 分） 10 分12， P(121612412所以 的分布列為20151050P111119144367241610 分（）數(shù)學(xué)期望E2011511011513.3314 分1443672411甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約. 乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約. 設(shè)甲面試合格的概率為，乙、丙面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響（）求至

19、少有1 人面試合格的概率；（）求簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望解：（）用 A， B，C分別表示事件甲、乙、丙面試合格. 由題意知A， B， C相互獨立，且.至少有 1人面試合格的概率是（）的可能取值為 0， 1，2， 3.=的分布列是0123的期望12甲，乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2 分或打滿6 局時停止設(shè)甲在每局中獲勝的概率為p( p1 ) ，且各局勝負2相互獨立已知第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為5 9（）求p 的值；（）設(shè)表示比賽停止時比賽的局數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望E解：（）當(dāng)甲連勝2 局或乙連勝2 局時，第二局比賽結(jié)束時比賽停止

20、，故 p2(1 p)25，9解得 p12或 p33又 p126 分，所以 p232 4 6P(2)59P(4)5520(1)9981P(6)15201698181246P5201698181E254206 162661398181811323312.4.X4X.A “ 4 ”.C323P(A)C52C42111.510220X0,1,2,3 .6P( X0)C323617C52C421020P( X1)C21C31C32C31233379C52C4210620P( X3)C32C313 3310C52C4210620P( X2)1 P(X0)P( X1)P( X3)911.20XX0123P1

21、7932020202012 分E(X) 0172931713 分120203.20201014為振興旅游業(yè)， 某省 2009 年面向國內(nèi)發(fā)行了總量為2000 萬張的優(yōu)惠卡， 其中向省外人士發(fā)行的是金卡，向省內(nèi)人士發(fā)行的是銀卡。某旅游公司組織了一個有36 名游客的旅游團到該省旅游，其中3 是省外游客，其余是省內(nèi)游客。在省外游客中有1 持金卡，在省內(nèi)游43客中有 2 持銀卡。3（1）在該團中隨機采訪3 名游客，求至少有1 人持金卡且恰有1 人 持銀卡的概率；(2 ) 在該團的省外游客中隨機采訪3 名游客，設(shè)其中持金卡人數(shù)為隨機變量X，求 X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX。. 解：（ 1）由題意知，省外游客

22、有27 人，其中9 人持有金卡，省內(nèi)游客有9 人，其中6 人持有銀卡。記事件 B 為“采訪該團 3 人中，至少有 1 人持金卡且恰有1 人持銀卡， ”記事件 A1 為“采訪該團3人中，1人持金卡 ,1人持銀卡，”記事件 A2 為“采訪該團3人中，2人持金卡 ,1人持銀卡，”則 P(B)P(A1)C91C61C211C92 C6145P(A2)C363238C363所以在該團中隨機采訪3 名游客，至少有 1 人持金卡且恰有1 人持銀卡的概率為45 。238.6分（ 2） X 的可能取值為 0,1,2,3因為 P(XC183272P( XC91C1821530)，1)325C273975C273P

23、( XC92C18172， P(XC93282)3253)975C273C273所以 X 的分布列為X0123P272153722897532532597510 分故2721537228EX0123113分97532532597515張先生家住H小區(qū)，他工作在C科技園區(qū)，從家開車到公司上班路上有L1，L2 兩條路線（如圖），L1 路線上有 A1， A2， A3 三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為1 ； L2 路線上有 B1，332B 兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，A1A2245（）若走 L1 路線，求最多遇到 1 次紅燈的概率；L1（）若走 L路線，求遇到紅燈次數(shù)X 的數(shù)學(xué)期望；HL2

24、2（） 按照 “平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請你幫助張先生從上B1述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由解：（）設(shè)走L1 路線最多遇到1 次紅燈為A 事件，則P( A)= C30 ( 1) 3C311(1)214 分2222所以走 L 路線，最多遇到1 次紅燈的概率為112X 的可能取值為0， 1， 25 分（）依題意，P( X =0)=(13)(13)1，4510P( X =1)= 3(13)(13)39，454520P( X =2)= 3398 分4520隨機變量 X 的分布列為：X012P199102020191922710 分EX020202010Y B(3,1) ，（）設(shè)選

25、擇L1 路線遇到紅燈次數(shù)為Y ，隨機變量 Y 服從二項分布，2所以 EY31312 分22因為 EXEY ，所以選擇 L2 路線上班最好14 分A3CB216在某次抽獎活動中，一個口袋里裝有5 個白球和5 個黑球，所有球除顏色外無任何不同，每次從中摸出2 個球，觀察顏色后放回，若為同色，則中獎。（）求僅一次摸球中獎的概率；（）求連續(xù)2 次摸球，恰有一次不中獎的概率；（）記連續(xù)3 次摸球中獎的次數(shù)為，求的分布列。2解：（）設(shè)僅一次摸球中獎的概率為 P1, 則 P1= 2C25 = 4 3分C109（）設(shè)連續(xù)2 次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中獎的概率為P2，則1(1 P1)P140 7分P

26、=C2281（）的取值可以是0， 1，2， 3P(0)=(1-P )3= 125 ,1729300=100,P(1)1(12P= CP )311729243P(2) = C32 (1P1)P12=240= 80 ,64729243P(3)3= P1=729所以的分布列如下表0123P125100806472924324372913 分17在一次考試中共有8 道選擇題， 每道選擇題都有4 個選項， 其中有且只有一個選項是正確的 . 某考生有4 道題已選對正確答案，其余題中有兩道只能分別判斷2 個選項是錯誤的，還有兩道題因不理解題意只好亂猜.( )求該考生8 道題全答對的概率；( )若評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定

27、： “每題只選一個選項，選對得5 分，不選或選錯得0 分”，求該考生所得分數(shù)的分布列.解： ( ) 說明另四道題也全答對，相互獨立事件同時發(fā)生，即：( ) 答對題的個數(shù)為4，5， 6， 7， 8，其概率分別為：1111122445 分64P411339224464P51133211132242244224464P622P78P8111116464224464分布列為：52025303540P9242281646464646413 分18為保護水資源，宣傳節(jié)約用水，某校4 名志愿者準(zhǔn)備去附近的甲、乙、丙三家公園進行宣傳活動，每名志愿者都可以從三家公園中隨機選擇一家，且每人的選擇相互獨立.（）求

28、4 人恰好選擇了同一家公園的概率；（）設(shè)選擇甲公園的志愿者的人數(shù)為X ，試求 X 的分布列及期望解：（）設(shè)“4 人恰好選擇了同一家公園”為事件A.1 分每名志愿者都有3 種選擇， 4 名志愿者的選擇共有4.2 分3 種等可能的情況事件 A所包含的等可能事件的個數(shù)為3，3 分所以， PA31.3427即： 4 人恰好選擇了同一家公園的概率為1 .5 分27（）設(shè)“一名志愿者選擇甲公園”為事件C，則PC16 分.34 人中選擇甲公園的人數(shù)X 可看作 4 次獨立重復(fù)試驗中事件C發(fā)生的次數(shù)， 因此，隨機變量 X 服從二項分布 .X 可取的值為0， 1， 2， 3， 4.8 分P X ii1 i2 4i， i0,1,2,3,4 .10 分C4 () ()33X 的分布列為 :X01234