311 特征值與特征向量習(xí)題2

1、3.1.1-特征值與特征向量習(xí)題2量1求矩陣 M60的特征值和特征向2.已知矩陣M = 1x2 的一個(gè)特征值為 3，求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量3. 已知矩陣 M1 21_ 3，向量a35，(1) 求向量2 a+ 3卩在矩陣M表示的變換作用的象；1Y 2是矩陣M 的特征向量嗎？為什么？4. 已知矩陣 A24，設(shè)向量 A試計(jì)算a53的值.1 15.已知矩陣A = a 1，其中a R，若點(diǎn)P(1,1)在矩陣A的變換下得到點(diǎn)P' (, 3)(1) 求實(shí)數(shù) a 的值；(2) 求矩陣 A 的特征值及特征向量6. 已知矩陣 A33c3 d3 ，若矩陣 A 屬于特征值 6 的一個(gè)特征向量11

2、1 ，屬于特征值 1 的個(gè)特征向量a32，求矩陣A，并寫出A的逆矩陣7. 已知矩陣 A 對(duì)應(yīng)的變換是先將某平面圖形上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變， 縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2 倍，再將所得圖形繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90°.(1)求矩陣A及A的逆矩陣B;(2)已知矩陣 M332 4 ，求 M 的特征值和特征向量；若a81在矩陣B的作用下變換為卩求M50 B(結(jié)果用指數(shù)式表示)8. 已知二階矩陣M的一個(gè)特征值/= 8及與其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量 a11 '并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1,2)變換成(2,4).(1) 求矩陣M ;(2) 求矩陣M的另一個(gè)特征值及與其對(duì)應(yīng)的 另一個(gè)特征向量a的坐標(biāo)之間

3、的關(guān)系；(3) 求直線I: x y+ 1 = 0在矩陣M的作用 下的直線I 的方程.9.給定矩陣M2313132,N =213向量a(1)求證M和N互為逆矩陣;求證a和a都是矩陣M的特征向量.2 5 210.給定矩陣M = 61及向量a= 9(1) 求矩陣M的特征值及與其對(duì)應(yīng)的特征向 量 ai ， a2；a可以表示為aa ai(2) 確定實(shí)數(shù)a, b,使向量ba2；(3) 利用(2)中的表達(dá)式計(jì)算 M3a, Mna；(4) 從(3)中的運(yùn)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么？參考答案1.【解】 矩陣 M 的特征多項(xiàng)式105 X- 6(H 1)( X- 6)令f( X = 0,解得矩陣M的特征值X = 1,=

4、6.將?1=- 1代入方程組U 1 x+ Oy= 0,5xA 6 y= 0,1易求得7為屬于X = 1的一個(gè)特征向量.將6代入方程組/+ 1 X+ 0y= 0,5xy= 0,易求得1為屬于"6的一個(gè)特征向量.1 0綜上所述，M =1056的特征值為?i=- 1,?2= 6,屬于X= 1的一個(gè)特征向量為7，屬于X= 6的一個(gè)特征向量為52【解】 矩陣M的特征多項(xiàng)式為f( X = 21二=(X 1)( X X) 4 因?yàn)?1= 3為方程f( ?)= 0的一根，所以 由(A 1)( X- 1) 4= 0 得?2=- 1,設(shè)?2= 1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為xa=y則由2x 2y= 0,泊2x

5、2y= 0得 X 一 y令 x = 1,則 y= 1.所以矩陣 M 的另一個(gè)特征值為 1，對(duì)應(yīng)的個(gè)特征向量為a= 2 1 = 3，向量 .3解】(1)因?yàn)?2a122，所以M(2 a1 2 123A 1 32818，所以向量 2a3卩在矩陣M表示的變換作用下的象為818 .(2)向量 Y12 不是矩陣 M 的特征向量理由如下：MY與向量i尸2不共線，所以向量i尸2不是矩陣M 的特征向量4 【解】 矩陣 A 的特征多項(xiàng)式為 f(A)A 1 21 A 4於一5 入+ 6= 0,解得?1 = 2, h= 3.A = 2時(shí)，得ai h = 3 時(shí),ia2= i3= m ain a,2m+ n= 7n=

6、 4a)得 m= 3, n= i, A5 3= A5(3ai + =3(A5ai) + A a =3( A ai) + A a2-3X25 , +35 143511339 .1 15【解】a11 0 ,13 ,00,a+ 13,a 4.11(2)A 41k11f(k4 k1k2 2k 3.令 f( k 0,得 k1 1,k2 3,對(duì)于特征值k1 1 ,解相應(yīng)的線性方程組2x + y= 04x 2y=0得一個(gè)非零解的一個(gè)特征向量x = 1 y= 2因此a12是矩陣A的屬于特征值入對(duì)于特征值 h = 3,解相應(yīng)的線性方程組2x + y= 04x + 2y=0得一個(gè)非零解x = 1 y=- 2因此a

7、12是矩陣A的屬于特征值3的一個(gè)特征向量矩陣A的特征值為k= 1,3,屬于特征值入=一 1, ?2= 3的特征向量分別為1212.6 【解】由矩陣 A 屬于特征值 6 的一個(gè)特征向量ai33 11，可知cd 1 =61，所以cd = 6,由矩陣A屬于特征值1的一個(gè)特征向量 a32,可知32 ,所以 3c2d2.聯(lián)立可得c3c 2dd= 6,2,c= 2解得d = 4,7【解】34 A的逆矩陣0（1）A = 12313(2) 設(shè)M的特征值為入則由條件得A 3 32X- 4 = 0即（13）（入一4） 6=染一7 入+ 6= 0.解得入=1, ?2= 6.當(dāng)?1 = 1時(shí)，丄 33 X x由 2

8、4y = y得M屬于1的特征向量為a. 33 x當(dāng)“6時(shí)，由24 y6y得M屬于6的特征向量為0201810121ma-卜n a43m -+ n2m -+ n，3m+ n1,2m+n4.m一 1,n2.Aa +-2 a2.M50A50(3,得0設(shè)m則由解得所以所以a + 2 a)14由Baa十32030+22 02 02>50 X；12M50a>8【解】(1)設(shè)矩陣b= 8, d = 8.ab 則 ca db由題意得1224a+ 2b= c+ 2d = 4.2，聯(lián)立以上兩方程組可解得a= 6,b= 2,c= 4,d = 4,故 M = 6 2 -44由知矩陣M的特征多項(xiàng)式f(為A

9、6 24 A 4(A 6)( A4) 8=10 H 16.令f( ?)= 0,解得矩陣M的另一個(gè)特征值 入=2.設(shè)矩x陣M的屬于特征值2的一個(gè)特征向量 a =y6x+ 2yx=2 ，解得 2x + y= 0. 4x + 4yy(3) 設(shè)點(diǎn)(x, y)是直線I上的任一點(diǎn)，其在矩 陣M的作用下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(X, y'J則1,1,即X=4x 8y，代入直線8y，I的方程并化簡(jiǎn)得x y'+ 2= 0,即直線1的方程1 ,丄 3 ,y= 4x +2= 0.9【證明】(1)因?yàn)镸N231313232001 ,所以(2)向量共線,2即31311在矩陣2133123征向量3征向量10.【解】25-6入11其10210213.，NM =,C.11213M和N互為逆矩陣.1a= 1在矩陣132313131323M的作用下，其象與, 向量 a的作用下，其象與其共線，即11，所以a和a都是M的矩陣M的特征多項(xiàng)式f(為(12)( 11) 30=(入一7)( k4).令f(耳=0,解得矩陣M的特征值?1= 4,h= 7.易求得屬于特征值?i = 4的一個(gè)特征向量ai5c,屬于特征值?2= 7的一個(gè)特征向量6由可知-2 5=a9611，解得a1, b= 3,所以 a= a3 a.(3)M3a= M3( a3 02)= M 3 ai3M3a3 5(-