高等數(shù)學(xué) 習(xí)題冊解答_10.重積分(青島理工大學(xué))

1、第十章 重積分§ 1 二重積分的概念與性質(zhì) 1、由二重積分的幾何意義求二重積分的值dxdy y x I D+=22 其中D 為：422+y x( dxdy y x I D+=22=3162. 4. . 312. 4. =- 2、設(shè)D 為圓域, 0, 222>+a a y x 若積分dxdy y x a D-222=12，求a 的值。解：dxdy y x a D-222=3. 34. 21a 81=a3、設(shè)D 由圓, 2 1( 2(22圍成=-+-y x 求Ddxdy 3解：由于D 的面積為2, 故Ddxdy 3=64、設(shè)D ：10, 53| , (y x y x ，+=+=DD

2、dxdy y x I dxdy y x I 221ln(, ln(，比較1I , 與2I 的大小關(guān)系解：在D 上， ln(y x + 2ln(y x +, 故1I 2I5、 設(shè)f(t連續(xù)，則由平面 z=0，柱面 , 122=+y x 和曲面2(xy f z =所圍的立體的體積，可用二重積分表示為+=1:222(y x D dxdy xy f V6、根據(jù)二重積分的性質(zhì)估計(jì)下列積分的值Dydxdy x 22sin sin y x D 0, 0:(0Dydxdy x 22sin sin 2 7、設(shè)f(x,y為有界閉區(qū)域D ：222a y x +上的連續(xù)函數(shù)，求 Da dxdy y x f a , (

3、1lim20解：利用積分中值定理及連續(xù)性有 0, 0( , (lim , (1lim820f f dxdy y x f a a D a =§ 2 二重積分的計(jì)算法1、設(shè)+=Ddxdy y xI 1，其中D 是由拋物線12+=x y 與直線y=2x，x=0所圍成的區(qū)域，則I=（ ）A ： 212ln 3ln 87+- B ： 212ln 3ln 89-+C ： 212ln 3ln 89- D ： 412ln 3ln 89-2、設(shè)D 是由不等式1+y x 所確定的有界區(qū)域，則二重積分+Ddxdy y x (為（ ）A ：0 B： 31 C ：32D： 13、設(shè)D 是由曲線xy=1與直線x

4、=1,x=2及y=2所圍成的區(qū)域，則二重積分 Dxy dxdy ye 為（ ）A：e e e 212124- B ：21242121e e e e -+-C ：e e 21214+2421e e -4、 設(shè)f(x,y是連續(xù)函數(shù)，則二次積分dy y x f dx x x +-211, (為（ ）A dx y x f dy dx y x f dy y y -+112111102 , ( , ( B dx y x f dy y -1110 , (C dx y x f dy dx y x f dy y y -+112111102 , ( , ( D dx y x f dy y -11202 , (5、

5、設(shè)有界閉域D 1、D 2關(guān)于oy 軸對稱，f 是域D=D1+D2上的連續(xù)函數(shù)，則二重積分Ddxdy y x f (2為（ ）A 1, (22D dxdy y x f B 22 , (4D dxdy y x fC 1, (42D dxdy y x f D22, (21D dxdy y x f 6、設(shè)D 1是由ox 軸、oy 軸及直線x+y=1所圍成的有界閉域，f 是域D:|x|+|y|1上的連續(xù)函數(shù)，則二重積分Ddxdy y x f (22為（ ）A1, (222D dxdy y x f 1, (422D dxdy y x fC 1, (822D dxdy y x f D1, (2122D dx

6、dy y x f7、. 設(shè)f(x,y為連續(xù)函數(shù)，則a xdy y x f dx 0, (為( A a a ydx y x f dy 0, ( B a yadx y x f dy 0, (C a y dx y x f dy 0, ( D a xdx y x f dy 0, (8、求 =Ddxdy yx I 22 ，其中 :D 由x=2,y=x,xy=1所圍成. (499、設(shè)I=31ln 0, (xdy y x f dx , 交換積分次序后I 為：I=31ln 0, (xdy y x f dx =3ln 03, (y edx y x f dy10、改變二次積分的次序： -+4240200 , (

7、, (xxdy y x f dx dy y x f dx = 201221xxdx y dx x11、設(shè) D=(x,y|0x 1,0y 1 ,求+Dy x dxdy e 的值解：+Dyx dxdy e=-=+1211011( (e dy e dx e dy edx y xl yx12設(shè) I=-Ddxdy y x R 222, 其中D 是由x 2+y2=Rx所圍城的區(qū)域，求I (331R 13、計(jì)算二重積分-+Ddxdy y x |4|22，其中D 是圓域922+y x解：-+Ddxdy y x |4|22=-+-rdr r d rdr r d 2032220202 4( 4(241 14、計(jì)算

8、二重積分Dy x dxdy e, max22，其中D=(x,y| 0x 1,0y 1解： Dy xdxdy e 22, max=1101022-=+e dx e d dy e dx yy xx y15、計(jì)算二重積分+Ddxdy yx yx 22，D ：. 1, 122+y x y x 解：+D dxdy yx y x 22=24 sin (cos201sin cos 12-=+r r d§ 3 三重積分1、設(shè)是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所圍成的空間有界域，則xdxdydz 為( A -12101y x y xdz d dx B -2102101y yx xdy dz

9、dxC -2102101x yx xdz dy dx D 10110xdz dy dx2、設(shè)是由曲面x 2+y2=2z, 及z=2所圍成的空間有界域，在柱面坐標(biāo)系下將三重積分dxdydz z y x f , , (表示為累次積分，I=（ ）A 120202zdz , sin , cos f(d d B 220202dz z , sin , cos f(d dC 2022202dz z , sin , cos f(d d D 20220dz z , sin , cos f(d d 3、設(shè)是由1222+z y x 所確定的有界閉域，求三重積分dv e z |解：dv e z |=-+111|222

10、 (z y x z dz dxdy e =2=-122 1(dz z e z 4、設(shè)是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所圍成的空間區(qū)域，求dxdydz z xy 32(1/3645、設(shè)是球域：1222+z y x ，求+dxdydz z y x z y x z 11ln(222222 (0 6、計(jì)算+Qdxdydz y x (22 其中為：平面z=2與曲面2222z y x =+所圍成的區(qū)域 (5647、計(jì)算Qzdxdydz x 2其中是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所圍成的閉區(qū)域(2/278、設(shè)函數(shù)f(u有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0=0,求dxdydz z y x f t tz

11、 y x t (1lim 222222240+解：dxdydz z y x f tt z y x t +222222240(1lim = 0(' (4limsin (1lim 42022040f t drr f r dr r r f d d ttt tt =§4 重積分的應(yīng)用1、(1、由面積22y x +=2x, 22y x +=4x,y=x,y=0所圍成的圖形面積為（ ）A 2(41+ B 2(21+ 2(43+ D 2+(2 、位于兩圓sin 2=與sin 4=之間，質(zhì)量分布均勻的薄板重心坐標(biāo)是( A (0,35 B (0,36 C (0,37 D (0,38(3、由拋物

12、面x y z 422=+和平面x=2所圍成的質(zhì)量分布均勻的物體的重心坐標(biāo)是 （ ）A (0, 0, 34 B (0, 0, 35 C (0, 0, 45 D (0, 0, 47(4、 質(zhì)量分布均勻(密度為 的立方體所占有空間區(qū)域:10, 10, 10| , , (=z y x z y x , 該立方體到oz 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I Z =( A 3132 C D 342、求均勻上半球體(半徑為R 的質(zhì)心解：顯然質(zhì)心在z 軸上，故x=y=0,z=831Rzdv V 故質(zhì)心為(0,0,R 384、 曲面2213y x z -=將球面25222=+z y x 分割成三部分，由上至下依次記 這三部分曲面的面積

13、為 s 1, s2, s3, 求s 1:s2:s3解：102559222=-=+y x y x 1S 2025516222=-=+y x y x 3S70=2S5、求曲面xy Rz =包含在圓柱222R y x =+內(nèi)部的那部分面積 解：3122(2222222R R y x R R y x -=+=+S6、求圓柱體Rx y x 222+包含在拋物面Rz y x 222=+和xoy 平面之間那部分立體的體積解：43 (2132222R dxdy y x R Rx y x =+=+V 第九章 自測題一、選擇題: （40分） 1、-x dy y x f dx 1010 , (=( A-1010,

14、(dx y x f dy x B -xdx y x f dy 1010 , ( C 11, (dx y x f dy -ydx y x f dy 101, (.2、設(shè)D 為222a y x +, 當(dāng)=a ( 時(shí), =-Ddxdy y x a 222. A 1 B 23 C 43 D 21 3、設(shè)+=Ddxdy y x I (22, 其中D 由222a y x =+所圍成, 則I =( B .A ò dq ò a 2rdr = pa 4 0 0 2p a B ò dq ò r 2 × rdr = 0 0 2p a 1 4 pa ; 2 2p a

15、2p a 2 C ò dq ò r 2 dr = pa 3 D ò dq ò a 2 × adr = 2pa 4 . 0 0 0 0 3 4、設(shè) W 是由三個(gè)坐標(biāo)面與平面 x + 2 y - z =1 所圍成的空間區(qū)域,則 òòò xdxdydz=( W . - 1 1 1 C D - . 24 48 24 z 2 x2 y2 W 是錐面 2 = 2 + 2 (a > 0, b > 0, c > 0 與平面 x = 0, y = 0, z = c 所圍成的 5 、設(shè) c a b xy 空間區(qū)域在第

16、一卦限的部分,則 òòò . dxdydz=( z W 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 ab b bc a c ab . A ab c B C D 36 36 36 36 6、計(jì)算 I = òòò zdv , W為z 2 = x 2 + y 2 , z = 1 圍成的立體,則正確的為( 和（） A 1 48 B W A C I = ò dq ò rdr ò zdz I = ò dq ò dzò rdr 0 0 r 2p 1 1 B D 0 2p 0 1 0 1 I =

17、 ò dq ò rdr ò zdz 0 2p 1 1 I = ò dzò dq ò zrdr . 0 0 0 1 0 2p r z 7、曲面 z = x 2 + y 2 包含在圓柱 x 2 + y 2 = 2 x 內(nèi)部的那部分面積 s = ( A 3p B 2p C 5p D 2 2p . 8、由直線 x + y = 2, x = 2, y = 2 所圍成的質(zhì)量分布均勻(設(shè)面密度為 m 的平面薄 板,關(guān)于 x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I x =( . A 3m B 5m C 4m D 6m 二、計(jì)算下列二重積分:（20 分） 1、 ò

18、ò ( x 2 - y 2 ds ,其中 D 是閉區(qū)域: 0 £ y £ sin x,0 £ x £ p . D (p 2 - 40 9 2、 òò arctan ds ,其中 D 是由直線 y = 0 及圓周 x 2 + y 2 = 4, x 2 + y 2 = 1 , y = x 所圍 D y x 成的在第一象 限內(nèi)的閉區(qū)域 . ( 3 2 p 64 3、 òò ( y 2 + 3x - 6 y + 9ds ,其中 D 是閉區(qū) 域: x 2 + y 2 £ R 2 D ( p 4 R 4 +

19、 9pR 2 4、 òò x 2 + y 2 - 2 ds ,其中 D : x 2 + y 2 £ 3 . D ( 5 p. 2 三、作出積分區(qū)域圖形并交換下列二次積分的次序: （15 分） 1、 ò dyò 0 1 2y 0 f ( x, ydx + ò dyò 1 3 3- y 0 f ( x, ydx ( ò dx òx 0 2 3- x f ( x, y dy 2 2 y- y2 2 2、 ò dx ò 0 1 1+ 1- x 2 x f ( x, y dy ( ò dyò f ( x, ydx + ò dyò 0 0 1 a 1 y2 0 f ( x, ydx 3、 ò dq ò f (r cosq , r sin q rdr 0 0 a q ( ò dq ò f (r cosq , r sin q rdr 0 0 q 四、計(jì)算下列三重積分:（15 分） 1、 òòò y cos(x + zdxdydz W :拋物柱面 y = x 及平