3.2.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義學(xué)案(人教A版選修1-2)

1、3. 2.1 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義課標(biāo)解讀1.熟練掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加減法運(yùn)算法則.（重點(diǎn)）2理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題.（難點(diǎn)）復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算【問題導(dǎo)思】已知復(fù)數(shù) 乙=a+ bi, Z2= c+ di（a, b, c, d R R）.1 多項(xiàng)式的加減實(shí)質(zhì)是合并同類項(xiàng)，類比想一想復(fù)數(shù)如何加減？【提示】 兩個(gè)復(fù)數(shù)相加（減）就是把實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加（減），即（a+ bi） c+ di) = (a + (bl)i.2 復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律嗎？【提示】 滿足.(1) 運(yùn)算法則：設(shè) z1= a + bi, z2= c+ di(a、

2、b、c、d R R)，則1Z1+ Z2= (a + c) + (b + d)i,2Z1一 Z2= (a c) + (b d)i.(2)加法運(yùn)算律：交換律Z+ Z2= Z2+ Z1結(jié)合律(Z1+ Z2)+ Z3= Z+(Zg+ Z3)復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的幾何意義1 .試寫出 OZ1, OZ2及 OZ1+ OZ2, OZ1 OZ2的坐標(biāo).L L 心【問題導(dǎo)思】如圖，OZ1,&2分別與復(fù)數(shù)a + bi, c+ di 對(duì)應(yīng).【提示】 OZ1= (a, b), OZ2= (c, d),OZ1+OZ2= (a+ c,b + d),OZi 0Z2= (a c, b d).2向量 OZi+ OZ2, OZ

3、i-OZ2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是什么?【提示】 OZi+ &2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 a + c+ (b+ d)i,OZi- OZ2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 a- c+ (b d)i.(1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義如圖 3 2 1:設(shè)復(fù)數(shù) zi, Z2對(duì)應(yīng)向量分別為 OZi, OZ2，四邊形 OZ 億 Z2為平行四邊形,則與 z1+ z2對(duì)應(yīng)的向量是 OZ.(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義如圖 3 2 2 所示，設(shè) OZi, OZ2分別與復(fù)數(shù) zi= a+ bi, Z2= c+ di 對(duì)應(yīng)，且 OZi, O?2不共線，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)的差 zi Z2與向量 OZi OZ2(即 Z2Zi)對(duì)應(yīng)，這就是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.這表明兩個(gè)復(fù)

4、數(shù)的差 z zi z z 即 OZOZi OZOZ2) )與連接兩個(gè)終點(diǎn) Z Zi, Z Z2,且指向被減數(shù)的向量對(duì) 應(yīng)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算 例 計(jì)算下列各題:(i)( .2 .3i) + ( 2+m)+ i;(2)(2-(3 - 2)+ i ；(3)(5 6i) + ( 2-2i) (3 + 3i).靜童圧動(dòng)探究碩就我押生工動(dòng)X扣能件作探穽恆I【思路探究】解答本題可根據(jù)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的法則進(jìn)行.【自主解答】原式=(2,；2) + ( 32?)i + i = i 23i.1111八11(2)原式=(3+2 + (2 3+1)i= 6+6i.(3)原式=(5 2 3) + 6+ ( 2) 3i = 11

5、i.I規(guī)律方法I復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部，虛部與虛部分別相加減.m ni &已知復(fù)數(shù) z 滿足 z+ 1 + 2i = 10 3i，求 乙【解】 z+ 1+ 2i= 10 3i,z= (10 3i) (2i + 1) = 9 5i.復(fù)數(shù)加減法的幾何意義例設(shè)衛(wèi)1及 OZ2分別與復(fù)數(shù) Z1= 5 + 3i 及復(fù)數(shù) z2= 4+ i 對(duì)應(yīng)，試計(jì)算 Z1+ Z2,并在復(fù)平面內(nèi)作出OZ1+OZ2.【思路探究】利用加法法則求 Z1+互，利用復(fù)數(shù)的幾何意義作出 OZ1+ OZ2.【自主解答】之1= 5 + 3i, Z2= 4 + i,z1+Z2=(5 + 3i) + (4 + i) =

6、 9+ 4iOZ1=(5,3),OZ2=(4,1),由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，OZ1+應(yīng)2與復(fù)數(shù) Z1+ Z2對(duì)應(yīng),OZ1+OZ2=(5,3)+(4,1)=(9,4).作出向量 0Z1+ OZ2= OZ 如圖所示.1 根據(jù)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義可以把復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算.2 禾 U 用向量進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算時(shí)，同樣滿足平行四邊形法則和三角形法則.3 復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義為應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決復(fù)數(shù)問題提供了可能.在題設(shè)不變的情況下，計(jì)算可一 Z2,并在復(fù)平面內(nèi)作出 OZ2.【解】 Zi Z2= (5 + 3i) (4 + i) = (5 4) + (3 1)i = 1 + 2i.OZ

7、i OZ2= Z2Z1,故 OZi OZ2即為圖中 Z2Z1.|土_由復(fù)數(shù)加減法的綜合問題例已知|z+ 1 i|= 1，求|z 3 + 4i|的最大值和最小值.【思路探究】利用復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，以及數(shù)形結(jié)合的思想解題.【自主解答】法一一設(shè) w = z 3 + 4i,z= w + 3 4i,z+ 1 i = w + 4 5i.又 |z+ 1 i| = 1,(w + 4 5i|= 1.可知 w 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(一 4,5)為圓心，1 為半徑的圓.如圖(1)所示max= .41 + 1，|w|min= 41 - 1.而|z 3+ 4i| = |z (3 4i)|表示復(fù)數(shù) z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)(3

8、, 4)的距離，在圓上與(3, 4)距離最大的點(diǎn)為 A,距離最小的點(diǎn)為B,如圖所示,所以 |z 3+ 4i|max= 41 + 1, |z 3+ 4i|min= 41 1.I規(guī)律方法I|Z1引表示復(fù)平面內(nèi) Z1, Z2對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離.利用此性質(zhì)，可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離問題，從而進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題求解.卜變武訓(xùn)塔設(shè)z1,z2 C C ,已知|z1|= |z2|= 1 , |Z1+z2|=2，求 |Z1z2|.【解】 法一 設(shè) Z1= a+ bi, z2= c+ di(a, b, c, d R R).由題意，知 a2+ b2= 1, c2+ d2=

9、1.(a + c)2+ (b+ d)2= 2,2ac+ 2bd= 0.z1 Z2#= (a c)2 + (b d)22 2 2 2=a2+ c2+ b2+ d2 2ac 2bd = 2.|Z1 Z2|= _ 2.法二 設(shè)復(fù)數(shù) Z1, z2, Z1+ z2分別對(duì)應(yīng)向量 OZ1, O)Z2,OZ.Iz1|= |Z2|= 1 , |Z1+ Z2|= ,2,平行四邊形 OZ1ZZ2為正方形.由條件知復(fù)數(shù) z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(1,1)為圓心，1 為半徑的圓,(1) (2)|z|ziZ Z2| |=|z|zl，Z Zi| |=|(DZ|(DZ|=2.2.序作？ABCD，則|BD|等于(解出點(diǎn) D 的坐

10、標(biāo).如圖，設(shè) D(x, y), F 為?ABCD 的對(duì)角線的交點(diǎn)，則點(diǎn)F 的坐標(biāo)為(2,33)，x+ 1 = 4,所以y+o=3,x= 3, 即叫I 尸 3.所以點(diǎn) D 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 z= 3 + 3i,所以 BD = OD OB = 3 + 3i 1= 2+ 3i,所以 |BD=13.【答案】B思維啟迪數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老、也是最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)理思路新題蒂法冇”技巧升憂I數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用典例復(fù)平面內(nèi)點(diǎn) A,B, C對(duì)應(yīng)的復(fù)B. ,13C. ,15D.17【思路點(diǎn)撥】首先由A、C 兩點(diǎn)坐標(biāo)求解出 AC 的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后再由點(diǎn) B 的坐標(biāo)求1隧0(04)

11、40覽1【規(guī)范解答】化.數(shù)形結(jié)合，不僅是一種重要的解題方法，而且也是一種重要的思維方法.本章中有關(guān)復(fù)數(shù)的幾何意義包括三個(gè)方面：復(fù)數(shù)的表示（點(diǎn)和向量）、復(fù)數(shù)的模的幾何意義及復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義.復(fù)數(shù)的幾何意義充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想方法, 研究代數(shù)問題.解決此類問題的關(guān)鍵是由題意正確地畫出圖形，然后根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則借助復(fù)數(shù)相等即可求解.1 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法滿足交換律、結(jié)合律，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算.2復(fù)數(shù)加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則復(fù)數(shù)減法的幾何意義就是向 量減法的三角形法則.陵堂鈿生生工動(dòng)達(dá)”改捋 F1. (2013 濰坊市高二檢測(cè))(2 2i) -

12、 ( 3i + 5)等于()A . 2 iB. 3+ iC. 5i 7D. 2+ 3i【解析】(2 2i) ( 3i + 5) = (2 5)+ ( 2+ 3)i = 3+ i.【答案】B2在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn) A 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 2+ 3i,向量 oB 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為一 1+ 2i,則向量 BA 對(duì) 應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A . 1 + 5iB. 3+ iC. 3 iD. 1 + i【解析】-.BA=OAOB ,BA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2 + 3i) ( 1 + 2i) = (2 + 1) + (3 2)i = 3 + i.故選 B.【答案】B即通過幾何圖形來(lái)諜堂小結(jié)3. 實(shí)數(shù) x, y 滿足(1 + i)x+ (

13、1 i)y= 2,則 xy 的值是_ .【解析】pl + i)x+ (1 i)y = 2,x+ y= 2,x= 1,解得x y= 0.y= 1.xy= 1.【答案】14.設(shè) Z1= 2+ bi, Z2= a + i，當(dāng) Z1+ Z2= 0 時(shí)，求復(fù)數(shù) a+ bi.【解】-Z1+ Z2= o,(2+ a)+ (b+ 1)i = 0,2+ a= 0,a= 2,b+ 1 = 0,b= 1.復(fù)數(shù)a a+bibi=2 2i.i.靜広知能檢測(cè)課下測(cè)白我評(píng)估拽“專能”需費(fèi)節(jié)一、選擇題1.設(shè)復(fù)數(shù) Z1= 2 + i, Z2= 1 + 2i，則復(fù)數(shù) Z1 Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限是()A.第一象限B.第二

14、象限C.第三象限D(zhuǎn) .第四象限【解析】Z1 Z2= ( 2+ i) (1 + 2i) = ( 2 1) + (i 2i) = 3 i，故乙一互對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3, 1)在第三象限.【答案】 C2.向量 0Z1對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 5 4i，向量 OZ2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是數(shù)是()A . 10+ 8iC. 0D. 10 + 8i【解析】由題意可知 0Z1= (5, 4), 0Z2= ( 5,4),5+ 4i，則 OZ1+ 0Z2對(duì)應(yīng)的復(fù)B. 10 8i4) + ( 5,4) = (5 5, 4+ 4) = (0,0).0Z1+ 0Z2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 0.【答案】 C3.復(fù)數(shù)滿足 1 z+ 2i - (3- i)

15、= 2i，貝 Uz=()A . 1-iB.- 2+ iC.- 2+ 2iD. - 2+ i【解析】 z= 1 + 2i - 3+ i - 2i = - 2 + i.【答案】B4.已知復(fù)平面內(nèi)的平面向量 0A，AB 表示的復(fù)數(shù)分別是一 2+ i,3 + 2i，則向量 OB 所表示的復(fù)數(shù)的模為 ( )A. . 5B. 13 C. ,10D. 26【解析】ffOB=OA+AB，向量 0B 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（一 2 + i）+(3 + 2i) = 1 + 3i，且 |1+ 3i| =1+ 9= . 10.【答案】C5.復(fù)數(shù)z-i=a+4i，Z2=3+bi，若它們的和為實(shí)數(shù)，差為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a，b 的值為

16、（）A. a=-3，b=4B. a= 3， b = 4C. a = 3，b= 4D. a= 3， b = 4【解析】 由題意可知 Zi+ Z2= (a 3) + (b+ 4)i 是實(shí)數(shù)，zi Z2= (a+ 3) + (4 b)i 是純虛b+ 4 = 0,a+ 3 = 0, 解得 a=- 3, b=- 4.4 b豐0,【答案】 A二、填空題6.復(fù)數(shù) zi、Z2分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) Mi、M2,且|zi+ Z2|= |zi- Z2|，線段 M1M2的中點(diǎn)M 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 4+ 3i，則|zi|2+等于=_ .【解析】 根據(jù)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，由|zi+ z2| = |zi- Z2|知，以 O）

17、Ml、端2為鄰邊的平行四邊形是矩形（對(duì)角線相等），即ZM1OM2為直角，M 是斜邊 MiM2的中點(diǎn)，0Z1+ OZ2= (5,|0M|= ；42+32=5，|MiM2|= 10.|zi2+ |Z2|2= |O)Mi|2+ |OM2|2= |M1M2|2= 100.【答案】 100圖 3- 2-37. （2013 大連高二檢測(cè)）在平行四邊形 OABC 中，各頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為zo= 0,ZA=2 +,ZB=2a + 3i, zc= b + ai，則實(shí)數(shù) a b 為_ .2 b = 2a,【解析】因?yàn)?OA + OC = O)B,所以 2 +ai + ( b+ ai) = 2a + 3i，所以

18、*a2+ a = 3,得 a b = 4.【答案】 4& A、B 分別是復(fù)數(shù) zi、Z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)， O 是原點(diǎn)，若|乙+ Z2|= |zi Z2|,則 AOB 的形狀是_.【解析】 由憶+ z2|= zi互|知，以 OA、OB 為鄰邊的平行四邊形是矩形，即OA1OB,故AAOB 是直角三角形.【答案】 直角三角形三、解答題9.計(jì)算：(1) (1 + 2i) + (3 4i) (5 + 6i);(2) 5i (3 + 4i) ( 1 + 3i);(3) (a+ bi) (2a 3bi) 3i(a、b R R).【解】(1)(1 + 2i) + (3 4i) (5 + 6i)=(1 + 3 5) + (2 4 6)i = 1 8i.(2) 5i (3 + 4i) ( 1 + 3i) = 5i (4 + i) = 4 + 4i.(3) (a+ bi) (2 a 3bi) 3i = (a 2a) + b ( 3b) 3i=a+ (4b 3)