參數(shù)估計與假設(shè)檢驗練習題

1、第5章 參數(shù)估計與假設(shè)檢驗練習題1設(shè)隨機變量X的數(shù)學期望為，方差為C2 , （Xi , X2，Xn ）為X的一個樣本,nn試比較E （Xj-）2）與E（丄 （Xi -乂）2）的大小。n i 4n i 丄（前者大于后者 ）2、設(shè)隨機變量 X與丫相互獨立，已知EX = 3, EY = 4, DX = DY =,，試問：k取何值時, Z = k （ X 2 - 丫 2 ） + 丫 2是c2的無偏估計。(16 / 7)3、設(shè)正態(tài)總體 X N （，/ ），參數(shù)，孑均未知，（Xi , X2，,Xn ） （ n 2 ）n為簡單隨機樣本，試確定 C,使得:?2 =C7 （Xjq-Xi）2為C2的無偏估計。i

2、A12(n -1)4、假設(shè)總體X的數(shù)學期望為L ,方差為二2 , （Xi,X2,Xn）為來自總體X的一個樣本,X、S2分別為樣本均值和樣本方差，試確定常數(shù)c ,使得 X2 -CS2為J 2的無偏估計量.（1 / n ）5、設(shè)Xi , X2是取自總體N （，匚2 ）（未知）的一個樣本，試說明下列三個統(tǒng)計量131111?1 J Xi * 3 X2 , ?2 J X1 1 X2 , % 二X1X2 中哪個最有效。442232（?2 ）6、設(shè)某總體X的密度函數(shù)為：f（xe）= w導(dǎo)0”二0 其它,(X1 , X2，Xn )為該總體的樣本,Yn = max ( X1 , X2 ,，Xn )，試比較未知參

3、數(shù)Yn哪3n個更有效?時，畔丫”更有效）7、從某正態(tài)總體取出容量為10的樣本,計算出10Xii =1= 15010,、 X：二 2720i=1求總體期望與方差的矩估計?和:?2。(15 ;47)8設(shè)總體X具有密度f （x;9）=彳Cx10,其中參數(shù)0 - 0,從中抽得一樣本X1 , X2，Xn，求參數(shù)二的矩估計量。8 / 8（1-C廠X ,其中9、設(shè)總體X服從（0,：）上的均勻分布，其中 二 0是未知參數(shù)，（X1 , X2，Xn ）為簡單隨機樣本，求出二的矩估計量 ?，并判斷 ?是否為二的無偏估計量。1 n(2 X ,其中 X = Xi ;是) n i#10、設(shè)（X1 , X2，,Xn ）為總

4、體X的一組樣本，總體X密度函數(shù)為：12r3-的極大似然估計量f(x；9)=9-?！罢?其中令 1且未知。試求該總體未知參數(shù) 0其它 ?M L E= 1丄Inn iXi日(1x)日二(0,1)11、設(shè)總體X的概率密度為 f(x3) =，其中日 0是未知參數(shù),.0,X 更(0,1)(X1 , X2 ,X n )是取自總體X的一個樣本，試求：總體期望EX的最大似然估計量值和最大似然估計量。n 丨 n 1(-Xi)i生nIn (1 - Xi)ynIn (1 -Xj)-ni12、設(shè)樣本 X1 , X2 ,Xn為取自分布密度為(x )的總體，其中Q / Q r -x門f(x) = x e x( r已知)，

5、令 o,求參數(shù)呂的極大似然估計0x 01 n,其中 X = v Xi n imr1 n( 眾le=2，其中x二丄 Xixn i二13、已知某地區(qū)各月因交通事故死亡的人數(shù)為 3, 4, 3, 0, 2, 5, 1, 0, 7, 2, 0, 3。若死 亡人數(shù)X服從參數(shù)為的Poisson分布，求：(1) 的極大似然估計值；(2)利用(1)的結(jié)果 求 P ( X 2 )。(1)?mle =2.5 ;(2) 0.4562)14、設(shè)（Xi ,X2，Xn ）為總體X的一組樣本，總體X密度函數(shù)為:eh（參數(shù)匚未知，且C 0）,（ 1）試求未知參數(shù)C的極大似然估計量；（2）檢驗其無偏性。(1)15、設(shè)總體X密度

6、函數(shù)為:f (x;9) =-x20x 0，其它（參數(shù)二 0且未知），取樣本（2）無偏估計量 ）（X1，X2，Xn ），求總體未知參數(shù)的最大似然估計量和矩估計量(總Me，其中 乂二1 Xi ）兀n y馬 x 0 v x v 116、設(shè)總體X具有密度函數(shù)f（x =八X0二丁1 （其中9為未知參數(shù)，且0其它令 0 ），取自總體X的一組樣本（X1，X2，Xn ），求9的矩估計量和極大似然估計量。?ILE2nnZ In Xi liT丿kxe 兒 x 017、設(shè)隨機變量X f （x）=（未知參數(shù) 丸 0 ），且EX =卩。取樣本（X1 ，0 x0X2，Xn ），求總體期望卩的矩估計量和極大似然估計量，并檢

7、驗其無偏性。(?ME，無偏;n?MLE - 2X2，其中 X =二 Xi ，n yE?mle =2EX2 = 6，有偏 )n扎18、 作n次獨立重復(fù)試驗，觀察到事件 A發(fā)生了 m次，試證明P （ A ） = p的矩估計和極大 似然估計均為m / n。19、 方差二2已知，置信度為1 - :，為使正態(tài)總體均值 的置信區(qū)間長度不大于 L，樣 本容量至少為多少？（ 不小于；2亠2./2的最小正整數(shù) ）20、設(shè)總體X N （,102 ）（未知），若要使的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間的長度 為4，求樣本容量n最小應(yīng)為多少？(97)2 2 21、由總體X N （ ，匚）（-未知）取得一個樣本 Xi，X2

8、，X9，計算出一x = 10, 1 9丄 （xi -10）2 =2，試求的雙側(cè)置信區(qū)間（:-=0.05 ）。9 V（8.847,11.153 ）22、從一批釘子中隨機抽取16枚，測得平均長度為 2.125 cm，樣本標準差為0.01713 cm， 假設(shè)釘子的長度X服從方差為0.012的正態(tài)分布，求總體X的均值的置信度為90%的置信區(qū) 間（計算結(jié)果保留小數(shù)點后三位有效數(shù)字）。（2.121 , 2.129 ）23、從一大批電子元件中隨機抽取100只，測得元件的平均壽命為 1000小時，如果電子元件 的壽命服從正態(tài)分布，且均方差二=40小時，求:-=0.05時，電子元件平均壽命的置信區(qū)間。(992.

9、16,1007.84 )24、設(shè)總體X容量為4的樣本為0.5, 1.25, 0.8, 2.0,已知Y = lnX服從正態(tài)分布 N (,1 ),(1)求總體X的數(shù)學期望；(2)求的置信度為95%的置信區(qū)間。(1)八2；(2)( - 0.98,0.98)25、假設(shè)鋼珠的直徑服從正態(tài)分布，現(xiàn)從鋼珠的生產(chǎn)線中抽取容量為9的樣本(單位：mm),測的直徑的平均值_x = 31.05，s2 = 0.252，試求：總體 和仝 的雙側(cè)置信區(qū)間(:=0.05；t 0. 025 ( 8 ) = 2.306，t 0. 05 ( 9 ) = 1.8333,尤爲5(9) = 3.325,尤爲5(9)=16.919，北 0

10、.025 (8) = 17.535，0.975(8) =2.18 )。(30.858,31.242 )；( 0.0285,0.2294 )26、設(shè)總體X N (，/ )，參數(shù) ，均未知，(X1 , X2，Xn )為簡單隨機樣本,nnX = Xi , W2八，(Xi -X)2，若假設(shè)H0 :=0, H1 :- 0。試寫出假設(shè)檢驗時使用的統(tǒng)n i mi 呂計量的表達式。X1 nn_( T ，其中 X 二7 Xi , W2 二為(Xi -x)2)W/Jn(n1)n yim27、 設(shè)某批產(chǎn)品的某項質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，并且方差根為150,從該批產(chǎn)品中抽取容量為25的一組樣本，并測得該項指標的平均值為1

11、645 (單位)，問是否可以認為這批產(chǎn)品得該項指標值為 1600 (單位)？ ( : = 0.05 ； t :. / 2 ( 24 ) = 2.064，門 0 ( 1.96 ) = 0.975 , t： ( 25 ) = 1.708 )(U -檢驗法，雙側(cè)，接受H。，可以)28、 某燈泡廠所生產(chǎn)的燈泡的使用壽命N ( J ,二2 )，如果生產(chǎn)正常時，J = 2000 (小時)， 現(xiàn)在抽檢25個燈泡后，得x = 1832, s = 498,試問生產(chǎn)是否正常（:=0.05 ）?（t -檢驗法，雙側(cè)，接受 Ho，正常）29、 某食品廠用自動裝罐機裝罐頭食品，規(guī)定當標準重量為 250克，標準差不超過3

12、克時，機 器工作正常。每天定時檢查機器情況。 現(xiàn)抽取16罐，測的平均重量為252克，樣本標準差為4克， 假定罐頭重量服從正態(tài)分布，試問該機工作是否正常（:=0.05）？（不正常 ）30、 設(shè)某次考試的考生成績服從正態(tài)分布，從中隨機地抽取 25位考生的成績，算得平均成績 為81.5分，標準差為15分。試問：在顯著水平0.05下，是否可以認為這次考試全體考生的平均成 績?yōu)?5分？并寫出檢驗過程。（t -檢驗法，雙側(cè)，接受 H。，可以）31、 設(shè)某校高中二年級的數(shù)學考試成績服從正態(tài)分布，第一學期全年級數(shù)學考試平均分為80 分，第二學期進行了教改，隨機抽取25名學生的數(shù)學成績，算得平均分為 85分，標

13、準差為10分。 問：教改是否有效果（:=0.05）？（t -檢驗法，右側(cè)，否定H。，接受H1，有效果）32、 某工廠生產(chǎn)一種金屬線，抗拉強度的測量值X N （ J ,子），且知J = 105.6 kg / mm2，現(xiàn)經(jīng)過改進生產(chǎn)了一批新的金屬線，從中隨機地取10根作實驗，測出抗拉強度值，并計算得均值 2 2x = 106.3 kg / mm ，標準差s = 0.8 kg / mm，問這批新線的抗拉強度是否比原來金屬線的抗拉 強度高（:=0.05）？（t -檢驗法，右側(cè)，否定H。，接受H1，是 ）33、 某工廠采用一種新的方法處理廢水。對處理后的水測量所含某種有毒物質(zhì)的濃度X （ N （J ,3），測量10個水樣，得到以下數(shù)據(jù)：_x = 17.10，s2 = 2.902。而以往用老方法處理廢水后，該種有毒物質(zhì)的平均濃度為19。問新方法是否比老方法好（:=0.05，計算結(jié)果保留小數(shù)點 后一位有效數(shù)字即可）？（t -檢驗法，左側(cè)，否定Ho ,接受Hi，是 ）34、某廠生產(chǎn)的電子元件壽命服從方差為-0 =10 000 （小時2 ）的正態(tài)分布?，F(xiàn)采用一種能提高元件效率的新工藝進行生產(chǎn)，并從生產(chǎn)線隨機抽取26只元件測出其壽命的樣本方差為s2 = 12 000 （小時2 ），試根據(jù)顯著性水平:-=0.05，作如下顯著性檢驗 H0 :二2 = -0 ，Hi :齊