函數(shù)單調(diào)性、極值B班講義

1、標(biāo)題：函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值教學(xué)目標(biāo): 1.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 2.掌握極值的第一判定定理判定函數(shù)的極值； 3.了解極值的第二判定定理判定函數(shù)的極值；4.會(huì)求簡單函數(shù)的最值。教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)： 1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法；2.函數(shù)極值的判定。教學(xué)難點(diǎn)：1.函數(shù)的極值的判定。教 學(xué) 內(nèi) 容 （教 學(xué) 時(shí) 數(shù)： 4課時(shí) ）1、 內(nèi)容精講一.函數(shù)的單調(diào)性如果函數(shù)在上單調(diào)增加（單調(diào)減少），那么它的圖形是一條沿軸正向上升（下降）的曲線,如圖a，這時(shí)曲線各點(diǎn)處的切線斜率是非負(fù)的（是非正的），即（或). 圖a圖形上升時(shí)切線斜率非負(fù) 圖b圖形下降時(shí)切線斜率非正定理1 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可

2、導(dǎo)，則有:(1) 如果在內(nèi),，那么一函數(shù)在a.b上嚴(yán)格單調(diào)增加；(2) 如果在內(nèi)，那么，函數(shù)在a.b上嚴(yán)格單調(diào)減少.其中，單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，a,b 稱為單調(diào)區(qū)間.備注： 例1. 討論函數(shù)的單調(diào)性.解 函數(shù)的定義域?yàn)?且， 令得 在區(qū)間內(nèi)，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加；又在區(qū)間內(nèi)，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少.例2. 討論函數(shù)的單調(diào)性.解 所給函數(shù)的定義域?yàn)?,)，列表如下（）（1,+）+-+由此可知，在內(nèi)及內(nèi)函數(shù)單調(diào)增加；在內(nèi)函數(shù)單調(diào)減少. 例3. 討論函數(shù)的單調(diào)性.解 函數(shù)的定義域是,故函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)增加的.說明：確定函數(shù)如的單調(diào)步驟是：(1)確定函數(shù)定義域，求出及不存在的點(diǎn)備

3、注：(2)用導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)分割的定義域(3)討論每個(gè)分割區(qū)間上符號(hào)，根據(jù)的符號(hào)確定的單調(diào)性. 例4. 討論函數(shù)的單調(diào)性。解 函數(shù)在上有定義，.令，得.因?yàn)樵谏?，所以函?shù)在單調(diào)增加；在上，所以函數(shù)在單調(diào)減少.例5. 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 解 函數(shù)的定義域?yàn)?-¥, +¥). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有兩個(gè): ， . 列表分析: (-¥, 11, 22, +¥)+-+函數(shù)在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)增加, 在區(qū)間1, 2上單調(diào)減少. 二、函數(shù)的極值定義1 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)該鄰域內(nèi)任一點(diǎn)恒有：（1）,則稱是函數(shù)的極大值，并稱為的極大值點(diǎn)；（2）,則稱

4、是函數(shù)的極小值，并稱為的極小值點(diǎn).函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).備注：圖c關(guān)于極值的概念，還需注意如下幾點(diǎn)：（1）函數(shù)在同一區(qū)間上可能有幾個(gè)極小值，如圖c所示，均是的極小值，均是的極大值.（2）函數(shù)的極大值未必比極小值大，如圖c,的極小值大于極大值.（3）函數(shù)的極值一定出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部，在區(qū)間端點(diǎn)不能取得極值.觀察圖c，我們可以發(fā)現(xiàn)，可導(dǎo)函數(shù)在取得極值處的切線是水平的，即極值點(diǎn)處必有，于是得出如下定理：定理2（極值的必要條件） 設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在點(diǎn)處取得極值，則必有.使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)叫做函數(shù)的駐點(diǎn).定理7可以簡記為:可導(dǎo)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn).關(guān)于定理7，需要注

5、意幾點(diǎn)：（1） 駐點(diǎn)不一定是的極值點(diǎn).如是函數(shù)的駐點(diǎn)，但不是極小值點(diǎn)；（2） 函數(shù)的極值點(diǎn)未必是駐點(diǎn).如是函數(shù)的極小值點(diǎn)，但不存在.備注：定理3（極值的第一充分條件） 設(shè)在點(diǎn)連續(xù),在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且（或不存在)，如果在該鄰域內(nèi)（1）當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，則為的極大值點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，,則為的極小值點(diǎn).如果在的兩側(cè)保持相同符合，則不是的極值點(diǎn).如圖5.4. 圖5.4例1. 求的極值與極值點(diǎn).解 函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?令得函數(shù)的駐點(diǎn)，在（）內(nèi)存在列表分析：（）01（1,+）0+0+極小值非極值為所給函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值.例2. 求的極值與極值點(diǎn).解 函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?，?得到不可導(dǎo)點(diǎn),列表分

6、析：（）0（）不存在+極小值所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值.定理4（判定極值的第二充分條件） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處是有二階導(dǎo)數(shù)，且，則（1） 當(dāng)時(shí)，為的極大值點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí), 為的極小值點(diǎn).例3. 求函數(shù)=的極值.解 的定義域?yàn)椋?,= ，=,令=0得駐點(diǎn)，因, 故 為極大值；又因 故為極小值.例4. 求函數(shù)=的極值.解 的定義域?yàn)椋ǎ?，,令 得駐點(diǎn), 所以 為極小值.三.函數(shù)的最值 求函數(shù)的最值問題也就是求函數(shù)在一定范圍內(nèi)的最大值或最小值問題.在生產(chǎn)實(shí)踐中，為了提高經(jīng)濟(jì)效益，必須考慮在一定的條件下，怎樣才能使用料最省，費(fèi)用最低，收益最大等問題，這類問題都?xì)w結(jié)為最值問題.定義1 設(shè)函數(shù)=在閉區(qū)間上連續(xù)

7、，若存在,使對(duì)任意,均有（）成立，則稱為函數(shù)在區(qū)間上的最大（?。┲?，點(diǎn)稱為在區(qū)間上的最大（?。┲迭c(diǎn)，最大值和最小值統(tǒng)稱為最值.前面我們已經(jīng)知道：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在著最大值和最小值，顯然連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值是能在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處達(dá)到，因此可直接求一切可能的極值點(diǎn)，（包括駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)）和端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值的大小，即可得出函數(shù)的最大值和最小值.例5. 求函數(shù)=在上的最大值和最小值.解 因?yàn)?在上連續(xù)，所以在上存在著最大值和最小值，又因?yàn)?=,令得駐點(diǎn),由于比較各值可得函數(shù)的最大值為，最小值為. 例6.（利潤問題） 某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：每漲價(jià)1元，每星期少賣10件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤最大？解 設(shè)每件漲價(jià)元，利潤為元，則，令駐點(diǎn)是,所以時(shí)，利潤取得極大值，即最大值，即定價(jià)定為65元時(shí)，利潤最大.三、同步練習(xí)：1.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（1） （2） （3） （4）