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1、二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用【經(jīng)典母題】某超市銷售一種飲料,每瓶進(jìn)價(jià)為9 元,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查表明,當(dāng)售價(jià)在10 元到14 元之間 (含 10 元,14 元 )浮動(dòng)時(shí),每瓶售價(jià)每增加0.5 元,日均銷量減少 40瓶;當(dāng)售價(jià)為每瓶 12 元時(shí),日均銷量為 400 瓶問(wèn)銷售價(jià)格定為每瓶多少元時(shí),所得日均毛利潤(rùn) (每瓶毛利潤(rùn)每瓶售價(jià)每瓶進(jìn)價(jià) )最大?最大日均毛利潤(rùn)為多少元?解:設(shè)售價(jià)為每瓶x 元時(shí),日均毛利潤(rùn)為y 元,由題意,得日均銷售量為400 40(x12) 0.51 360 80x,y(x9)(1 36080x) 80x22 080x12 240(10 x 14) b2 080 13,2a2( 80)

2、101314,當(dāng)x13 時(shí), y 取最大值,y 最大 801322 0801312 240 1 280(元)答:售價(jià)定為每瓶13 元時(shí),所得日均毛利潤(rùn)最大,最大日均毛利潤(rùn)為1 280元【思想方法】 本題是一道復(fù)雜的市場(chǎng)營(yíng)銷問(wèn)題,在建立函數(shù)關(guān)系式時(shí),應(yīng)注意自變量的取值范圍,在這個(gè)取值范圍內(nèi),需了解函數(shù)的性質(zhì)(最大最小值,變化情況,對(duì)稱性,特殊點(diǎn)等)和圖象,然后依據(jù)這些性質(zhì)作出結(jié)論【中考變形】12017 錦州 某商店購(gòu)進(jìn)一批進(jìn)價(jià)為 20 元 /件的日用商品,第一個(gè)月,按進(jìn)價(jià)提高 50%的價(jià)格出售,售出 400 件,第二個(gè)月,商店準(zhǔn)備在不低于原售價(jià)的基礎(chǔ)上進(jìn)行加價(jià)銷售, 根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn), 提高銷售單價(jià)

3、會(huì)導(dǎo)致銷售量的減少 銷售量 y(件)與銷售單價(jià) x(元)的關(guān)系如圖 Z81 所示(1)圖中點(diǎn) P 所表示的實(shí)際意義是 _當(dāng)售價(jià)定為 35 元/件時(shí),銷售量為300 件_;銷售單價(jià)每提高 1 元時(shí),銷售量相應(yīng)減少 _20_件;(2)請(qǐng)直接寫出 y 與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式: _y 20x圖 Z811_000_;自變量 x 的取值范圍為 _30x50_;(3)第二個(gè)月的銷售單價(jià)定為多少元時(shí),可獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?解:(1)圖中點(diǎn) P 所表示的實(shí)際意義是: 當(dāng)售價(jià)定為 35 元/件時(shí),銷售量為 300件;第一個(gè)月的該商品的售價(jià)為20 (150%)30(元),銷售單價(jià)每提高 1 元時(shí),銷售量

4、相應(yīng)減少數(shù)量為 (400300) (3530)20(件)(2)設(shè) y 與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式為y kxb,將點(diǎn) (30, 400),(35,300)代入,40030kb,k 20,得解得30035kb,b 1 000,y 與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式為y 20x 1 000.當(dāng) y 0 時(shí), x50,自變量 x 的取值范圍為 30 x 50.(3)設(shè)第二個(gè)月的利潤(rùn)為W 元,由已知得 W (x20)y(x20)( 20x1 000) 20x2 1 400x20 000 20(x35)2 4 500,20 0,當(dāng)x35 時(shí), W 取最大值 4 500.答:第二個(gè)月的銷售單價(jià)定為35 元時(shí),可獲得最大

5、利潤(rùn),最大利潤(rùn)是4 500元22016 寧波一模 大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè),集資5 萬(wàn)元開(kāi)品牌專賣店,已知該品牌商品成本為每件a 元,市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)日銷售量y(件)與銷售價(jià) x(元/件)之間存在一次函數(shù)關(guān)系,如下表所示:銷售價(jià) x(元/件 )110115120125130銷售量 y(件)5045403530若該店某天的銷售價(jià)定為110 元/件,雇有 3 名員工,則當(dāng)天正好收支平衡 (即支出商品成本員工工資應(yīng)支付的其他費(fèi)用)已知員工的工資為每人每天 100 元,每天還應(yīng)支付其他費(fèi)用200 元 (不包括集資款 )(1)求日銷售量 y(件 )與銷售價(jià) x(元/件 )之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)該店現(xiàn)有 2 名員工,

6、試求每件服裝的銷售價(jià)定為多少元時(shí),該服裝店每天的毛利潤(rùn)最大 ( 毛利潤(rùn)銷售收入商品成本員工工資應(yīng)支付的其他費(fèi)用);(3)在(2)的條件下,若每天毛利潤(rùn)全部積累用于一次性還款,而集資款每天應(yīng)按其萬(wàn)分之二的利率支付利息, 則該店最少需要多少天 (取整數(shù) )才能還清集資款?解: (1)由表可知, y 是關(guān)于 x 的一次函數(shù),設(shè) ykx b,將 x 110, y 50;x115,y45 分別代入,110k b 50,k 1,得解得115k b 45,b 160,y x160(0x160);(2)由已知可得 5011050a 3 100 200,解得 a100.設(shè)每天的毛利潤(rùn)為W 元,則 W (x100

7、)( x160)2100200 x2260x16 400 (x130)2500,當(dāng)x130 時(shí), W 取最大值 500.答:每件服裝的銷售價(jià)定為130 元時(shí),該服裝店每天的毛利潤(rùn)最大,最大毛利潤(rùn)為 500 元;(3)設(shè)需 t 天才能還清集資款,則 500t50 0000.000 250 000t,2解得 t 10249.t 為整數(shù),t 的最小值為 103 天答:該店最少需要103 天才能還清集資款32017 青島 青島市某大酒店豪華間實(shí)行淡季、旺季兩種價(jià)格標(biāo)準(zhǔn),旺季每間1價(jià)格比淡季上漲 3.下表是去年該酒店豪華間某兩天的相關(guān)記錄:淡季旺季未入住房間數(shù)100日總收入 (元)24 00040 00

8、0(1)該酒店豪華間有多少間?旺季每間價(jià)格為多少元?(2)今年旺季來(lái)臨,豪華間的間數(shù)不變,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果豪華間仍舊實(shí)行去年旺季的價(jià)格, 那么每天都客滿; 如果價(jià)格繼續(xù)上漲, 那么每增加 25 元,每天未入住房間數(shù)增加1 間不考慮其他因素,該酒店將豪華間的價(jià)格上漲多少元時(shí),豪華間的日總收入最高?最高日總收入是多少元?(注:上漲價(jià)格需為 25 的倍數(shù) )解: (1)設(shè)淡季每間的價(jià)格為 x 元,依題意得40 00024 000x 11 x10,解得 x600,340 00040 000酒店豪華間有x1 1 11 50(間),3600311旺季每間價(jià)格為 x3x 6003600800(元)答:該

9、酒店豪華間有50 間,旺季每間價(jià)格為800 元;(2)設(shè)該酒店豪華間的價(jià)格上漲x 元,日總收入為y 元,x12y(800 x) 50 2525(x225)42 025,當(dāng)x225 時(shí), y 取最大值 42 025.答:該酒店將豪華間的價(jià)格上漲225 元時(shí),豪華間的日總收入最高,最高日總收入是 42 025 元4某公司經(jīng)營(yíng)楊梅業(yè)務(wù),以 3 萬(wàn)元 /t 的價(jià)格向農(nóng)戶收購(gòu)楊梅后,分揀成 A,B 兩類,A 類楊梅包裝后直接銷售, B 類楊梅深加工再銷售 A 類楊梅的包裝成本為 1 萬(wàn)元 /t,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,它的平均銷售價(jià)格 y(萬(wàn)元 /t) 與銷售數(shù)量 x(x2)(t) 之間的函數(shù)關(guān)系式如圖 Z82,

10、B 類楊梅深加工總費(fèi)用 s(單位:萬(wàn)元 )與加工數(shù)量 t(單位: t)之間的函數(shù)關(guān)系是 s123t,平均銷售價(jià)格為 9 萬(wàn)元 /t.圖 Z82(1)直接寫出 A 類楊梅平均銷售價(jià)格y 與銷售量 x 之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)第一次該公司收購(gòu)了 20 t 楊梅,其中 A 類楊梅 x t,經(jīng)營(yíng)這批楊梅所獲得的毛利潤(rùn)為 W 萬(wàn)元 (毛利潤(rùn)銷售總收入經(jīng)營(yíng)總成本 )求 W 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式;若該公司獲得了30 萬(wàn)元毛利潤(rùn), 問(wèn):用于直接銷售的A 類楊梅有多少噸?(3)第二次該公司準(zhǔn)備投人132 萬(wàn)元資金,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種經(jīng)營(yíng)方案,使公司獲得最大毛利潤(rùn),并求出最大毛利潤(rùn) x14( 2x8),解: (1)y6

11、( x 8);(2)銷售 A 類楊梅 x t,則銷售 B 類楊梅 (20x)t.當(dāng) 2x8 時(shí),Wx( x 14) 9(20x) 3 20x123(20x) x27x48,當(dāng) x 8 時(shí), W 6x9(20 x)320 x 12 3(20x) x48, x2 7x48( 2 x 8),函數(shù)表達(dá)式為 W x48(x 8);當(dāng) 2x8 時(shí), x27x 4830,解得 x1 9,x2 2,均不合題意,當(dāng) x 8 時(shí), x4830,解得 x18.答:當(dāng)毛利潤(rùn)達(dá)到30 萬(wàn)元時(shí),直接銷售的A 類楊梅有 18 t;(3)設(shè)該公司用 132 萬(wàn)元共購(gòu)買 m t 楊梅,其中 A 類楊梅為 x t,B 類楊梅為

12、(mx)t,購(gòu)買費(fèi)用為 3m 萬(wàn)元由題意,得 3mx 12 3(mx) 132,化簡(jiǎn),得 3m x 60.當(dāng) 2x8 時(shí), Wx(x14)9(mx) 132,把 3m x60 代入,得W (x4)264,當(dāng) x 4 時(shí),有最大毛利潤(rùn)64 萬(wàn)元6452此時(shí), m 3 ,mx3 ;當(dāng) x8 時(shí),W 6x9(m x)132,由 3mx60,得 W 48,當(dāng) x 8時(shí),毛利潤(rùn)總為 48 萬(wàn)元6452答:綜上所述,購(gòu)買楊梅共3 t,且其中直銷A 類楊梅 4 t,B 類楊梅3t,公司能獲得最大毛利潤(rùn)64 萬(wàn)元【中考預(yù)測(cè)】某襯衣店將進(jìn)價(jià)為 30 元的一種襯衣以 40 元售出,平均每月能售出 600 件,調(diào)查

13、表明:這種襯衣售價(jià)每上漲 1 元,其銷售量將減少 10 件(1)寫出月銷售利潤(rùn)y(元 )與售價(jià) x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)銷售價(jià)定為 45 元時(shí),計(jì)算月銷售量和銷售利潤(rùn);(3)襯衣店想在月銷售量不少于300 件的情況下,使月銷售利潤(rùn)達(dá)到10 000 元,銷售價(jià)應(yīng)定為多少?(4)當(dāng)銷售價(jià)定為多少元時(shí)會(huì)獲得最大利潤(rùn)?求出最大利潤(rùn)解: (1)由題意可得月銷售利潤(rùn)y 與售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式為y(x30)600 10(x40) 10x2 1 300x 30 000;(2)當(dāng) x45 時(shí), 600 10(x40)550(件),y 104521 30045 30 000 8 250(元);(3)令

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