知識講解離散型隨機(jī)變量的均值與方差

1、離散型隨機(jī)變量的均值與方差【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值或期望的概念，會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望，并能解決一些實(shí)際問題；2. 理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念，會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差，并能解決一些實(shí)際問題；【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、離散型隨機(jī)變量的期望1.定義：一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為X1X2XiPp-P:> p則稱EX1P1 X2P2XnPn為 的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望.要點(diǎn)詮釋：(1) 均值(期望)是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù)，它反映或刻畫的是隨機(jī)變量取值的平均水平.(2) 一般地，在有限取值離散型

2、隨機(jī)變量的概率分布中，令 p1p2 Pn ,則有Pi P211Pn, E(X1 X2 Xn) ，所以 的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值。nn(3) 隨機(jī)變量的均值與隨機(jī)變量本身具有相同的單位.2. 性質(zhì)： E( ) E E ; 若a b(a、b是常數(shù))， 是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，有 E(a b) aE b ；E(a b) aEb的推導(dǎo)過程如下：的分布列為X1X2XiaX1bax2 baX bPRP2R于是 E (ax b) P1 (ax2 b)p2 (axi b)pipi )=aE b=a(X1P1X2P2 XP )b(p1P2 E(a b) aE b。要點(diǎn)二：離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差1.

3、 一組數(shù)據(jù)的方差的概念：已知一組數(shù)據(jù)洛，X2，Xn ,它們的平均值為 X，那么各數(shù)據(jù)與 X的差的平方的平均數(shù)2 1 2 2 2S- (Xi x) + (X2 X ) + (Xn x)叫做這組數(shù)據(jù)的方差。n2. 離散型隨機(jī)變量的方差：般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為XiX2XiPPiP2Pi2 2 2則稱D = (Xi E ) Pi + (X2 E ) P2 + (Xn E ) Pi +稱為隨機(jī)變量的方差，式中的E是隨機(jī)變量 的期望.D的算術(shù)平方根D叫做隨機(jī)變量 的標(biāo)準(zhǔn)差，記作要點(diǎn)詮釋：隨機(jī)變量 的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；隨機(jī)變量 的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量E的特征數(shù)，它們

4、都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；方差(標(biāo)準(zhǔn)差)越小，隨機(jī)變量的取值就越穩(wěn)定(越靠近平均值)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛。3. 期望和方差的關(guān)系：2 2D E( ) (E )4. 方差的性質(zhì)：若 a b (a、b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則 也是隨機(jī)變量，D D(a b) a2D ；要點(diǎn)三：常見分布的期望與方差1、二點(diǎn)分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為p的二點(diǎn)分布，則期望E p方差 D P(i P).證明： P( 0) q , P( 1) p, 0 p 1, p q1 E0 q 1 p pD(0 p)2 q (1 p)2 p p(1 p).2、二項(xiàng)分

5、布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布，即B(n, P),則期望E nP方差 D np(1- p)期望公式證明：./I /kk nk /k k nk-P(k)CnP (1 p) CnP q,n n 0 n Cn p q ,OOn11n122n2kknk E 0 Cn p q 1 CnPq2 Cn p q . k Cn p q又.叱k土衛(wèi)nC：；,k!( n k)! (k 1)!(n1) (k 1)!00 n 111 n 2k 1 k 1 (n 1) (k 1)n 1 n 10X- Enp(Cn1pq+ Cn1pq + Cn 1 p q+ Cn 1 p q )np(p q)n 1 np

6、 .3、幾何分布：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中， 若事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都為p ,事件A第一次發(fā)生時(shí)所做的試驗(yàn)次數(shù)服從幾何分布，記是隨機(jī)變量，且P( k) (1 p)k 1p , k 0,1,2,3, L,n丄，稱離散型隨機(jī)變量作： P( k) g(k, P)。若離散型隨機(jī)變量服從幾何分布，且 P( k) g(k, P),則期望E1p方差D1- p2 p要點(diǎn)詮釋：隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布或者幾何分布，要從取值和相應(yīng)概率兩個(gè)角度去驗(yàn)證。4、超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為N , M , n的超幾何分布，則nM期望E()N要點(diǎn)四：離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求法及應(yīng)用1求離散型隨機(jī)變量的期望、方

7、差、標(biāo)準(zhǔn)差的基本步驟: 理解 的意義，寫出可能取的全部值; 求 取各個(gè)值的概率，寫出分布列;XixXiPPiP2Pi根據(jù)分布列，由期望、方差的定義求出E 、D、E為 PiX2P2LXnPnLD2xiEp1x2 E21P2LxnE 2PnL注意:常見分布列的期望和方差，不必寫出分布列，直接用公式計(jì)算即可.2.離散型隨機(jī)變量的期望與方差的實(shí)際意義及應(yīng)用 離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平； 隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度。方差越大數(shù)據(jù)波 動(dòng)越大。 對于兩個(gè)隨機(jī)變量 1和2，當(dāng)需要了解他們的平均水平時(shí)，可比較 E 1和E 2的大小。 E i和

8、E 2相等或很接近，當(dāng)需要進(jìn)一步了解他們的穩(wěn)定性或者集中程度時(shí)，比較D i和D 2,方差值大時(shí)，則表明E比較離散，反之，則表明E比較集中品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確與否、武器的性能等很多指標(biāo)都與這兩個(gè)特征數(shù)(數(shù)學(xué)期望、方差)有關(guān).【典型例題】類型一、離散型隨機(jī)變量的期望 例1 某射手射擊所得環(huán)數(shù) E的分布列如下:E78910Pxy已知E的期望EE=，貝U y的值為【思路點(diǎn)撥】分布列中含有字母x、y,應(yīng)先根據(jù)分布列的性質(zhì)，求出x、y的值，再利用期望的定義求解;【解析】x+ + + y = 1，即x + y=.又 7x+ + + 10y =，化簡得 7x + 10y =. 由聯(lián)立解得x =,

9、 y =.【總結(jié)升華】求期望的關(guān)鍵是求出分布列，只要隨機(jī)變量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解,).舉一反三:【變式1】某一離散型隨機(jī)變量E的概率分布如下，且E (E)=則a b為(E0123PabAB . 0 C . D .【答案】B由分布列的性質(zhì)知：+a+b+=1,/ a+b=.又 E(E) =0X +1 x a+2x b+3 x =,即 卩 a+2b=.解得 a=, b=,. a b=0.【變式2】隨機(jī)變量E的分布列為E024PD.，貝U E(5 E + 4)等于()A. 13 B. 11 C【答案】A由已知得：E( E ) = Ox + 2x + 4X = ,E(5 E+ 4) =

10、 5E( E ) + 4= 5X +【變式3】節(jié)日期間，某種鮮花進(jìn)貨價(jià)是每束元，銷售價(jià)每束4= 13.5元；節(jié)后賣不出去的鮮花以每束元價(jià)格處理.根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測, 則期望利潤是若進(jìn)這種鮮花500束,E200300400500P節(jié)日期間這種鮮花的需求量服從如下表所示的分布,B. 690 元D. 720 元元C. 754 元【答案】A節(jié)日期間預(yù)售的量:EE= 200X + 300X + 400X + 500X= 40 + 105+ 120+ 75= 340(束),則期望的利潤：n= 5 E+ (500 E ) 500X=E 450,二 En = E 450=x 340 450 = 706.期

11、望利潤為706元.【變式4】設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為1,2,3, 4,且P( k) ak b( k 1,2,3,4 ) , E 3 ,則 a b ；【答案】0.1 ；由分布列的概率和為1,有(a b) (2a b) (3a b) (4a b) 1 ,又 E3，即 1 (a b) 2 (2a b) 3 (3a b) 4 (4a b) 3,解得 a 0.1, b 0，故 a b 0.1。例2.某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答三個(gè)問題，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得一100分假設(shè)這名同學(xué)回答正確的概率均為，且各題回答正確與否相互之間沒有影響.(1 )求這名同學(xué)回答這三個(gè)問題的總

12、得分X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；(2)求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分(即X> 0)的概率.【思路點(diǎn)撥】本題顯然為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的問題，因此求各個(gè)情況的概率直接用公式即可。(1)求X的可能取值，即求得分，答對0道題得300分，答對1道題得100- 200= 100分，答對2道題得2X 100 100=100分，答對3道題得300分；(2)總分不為負(fù)分包括 100分和300分兩種情況.【解析】(1) X 的可能取值為300, 100, 100, 300.P (X= 300)=。P (X= 100) =c3 xx =,P (X=100) =C； xx =,P (X=300)=.所以X的概率分布為X3001

13、00100300P E ( X) =( 300) x +( 100) x +100X +300X =180.(2)這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為P(X> 0) =P (X=100) +P (X=300) =+=.【總結(jié)升華】求離散型隨機(jī)變量均值的關(guān)鍵在于列出概率分布表.舉一反三：【變式1】籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為，求他罰球一次得分的期望+【答案】因?yàn)镻( 1)0.7, P( 0)0.3 ,所以 E 1 0.70 0.30.7.【變式2】一盒中裝有零件12個(gè)，其中有9個(gè)正品，3個(gè)次品，從中任取一個(gè)，如果每次取出次品就不 再放回去，再取一個(gè)零件，

14、直到取得正品為止.求在取得正品之前已取出次品數(shù)的期望.【答案】設(shè)取得正品之前已取出的次品數(shù)為，顯然所有可能取的值為0, 1 , 2, 3當(dāng)0時(shí)，即第一次取得正品，試驗(yàn)停止，則p(0)12當(dāng)1時(shí)，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗(yàn)停止，則P(1)12 1144當(dāng)2時(shí)，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗(yàn)停止，則P(2) 9 2 2 212 11 10 220當(dāng) 3時(shí)，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗(yàn)停止，則P(c、 32191可1211109220分布列為44 2220 3 2203100123P3991444220220【變式3】某城市出租汽車的起步價(jià)為10元，行駛路程

15、不超出4km時(shí)租車費(fèi)為 10元，若行駛路程超出 4km,則按每超出lkm加收2元計(jì)費(fèi)(超出不足lkm的部分按lkm計(jì)).從這個(gè)城市的民航機(jī)場到某賓館的路程為15km .某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī)場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個(gè)城市規(guī)定，每停車5分鐘按lkm路程計(jì)費(fèi))，這個(gè)司機(jī)一次接送旅客的行車路程E是一個(gè)隨機(jī)變量.設(shè)他所收租車費(fèi)為n +(I )求租車費(fèi) n關(guān)于行車路程 E的關(guān)系式；(n)若隨機(jī)變量 E的分布列為E15161718P求所收租車費(fèi)n的數(shù)學(xué)期望.(川)已知某旅客實(shí)付租車費(fèi)38元，而出租汽車實(shí)際行駛了15km，問出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多幾分鐘

16、【答案】(I )依題意得 n =2( E -4)十 10，即 n =2E +2；(n ) E 15 0.1 16 0.5 17 0.3 18 0.1 16.4n =2 E +2E 2E E +2=（元）故所收租車費(fèi) n的數(shù)學(xué)期望為元.(川)由 38=2 E +2,得 E =18,5 (18-15)=15所以出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多15分鐘+*例3.若某批產(chǎn)品共100件，其中有20件二等品，從中有放回地抽取3件，求取出二等品的件數(shù)的期望、方差?！舅悸伏c(diǎn)撥】3次有放回的抽取就是 3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，取出二等品的件數(shù)這一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分 布?！窘馕觥坑深}知一次取出二等品的概率為0.2，有放回地抽

17、取 3件，可以看作3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),即取出二等品的件數(shù) B(3,0.2),所以 E np 3 0.20.6 ,D np(1 p) 3 0.2 (1 0.2)0.48.【總結(jié)升華】在確定隨機(jī)變量服從特殊分布以后，可直接運(yùn)用公式求其均值.舉一反三：【變式1】 英語考試有100道選擇題，每個(gè)題有 4個(gè)選項(xiàng)，選對得1分，否則得0分，學(xué)生甲會其中的20道，學(xué)生乙會其中的 80道，不會的均隨機(jī)選擇，求甲、乙在這次測驗(yàn)中得分的數(shù)學(xué)期望.【答案】設(shè)甲、乙不會的題的得分分別為隨機(jī)變量X和Y,由題意知XB( 80,), 丫B (20,), E (X)=80X =20, E (Y) =20X =5.故甲、乙的數(shù)學(xué)期

18、望成績分別為40分和85分.12【變式2】 甲、乙兩人各進(jìn)行 3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為，記23甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為 X,乙擊中目標(biāo)的次數(shù)為 Y,(1 )求X的概率分布；(2 )求X和Y的數(shù)學(xué)期望.【答案】甲、乙擊中目標(biāo)的次數(shù)均服從二項(xiàng)分布.1 3 1(1) P(X 0) C°2 83113P(X1)C3-,283P(X2)C|12 831 1P(X 3) c32 8所以X的概率分布如下表：X0123P133188881331(2)由(1 )知 E(X) 0 1 2 - 3 - 1.5,8 8 8 81 2或由題意 X : B 3, , Y : B 3,。

19、2312二 E(X) 31.5, E(Y) 32。23【變式3】一次單元測驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分+學(xué)生甲選對任一題的概率為,學(xué)生乙則在測驗(yàn)中對每題都從4個(gè)選擇中隨機(jī)地選擇一個(gè)，求學(xué)生甲和乙在這次英語單元測驗(yàn)中的成績的期望【答案】設(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語測驗(yàn)中正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是，貝U : B(20,0.9), B(20,0.25),E 20 0.918,E20 0.255 +5和5.所以，他們在測驗(yàn)中由于答對每題得5分，學(xué)生甲和乙在這次英語測驗(yàn)中的成績分別是 的成績的期望分別是

20、:E(5 )5E( )5 1890, E(5 )5E( )5 525 *類型二、離散型隨機(jī)變量的方差例4.設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其概率分布如下表，試求E (X)和D (X).X-101P121- 2q2 q【思路點(diǎn)撥】由概率分布的性質(zhì)求出 q的值后，再計(jì)算 E (X), D (X).【解析】由概率分布的性質(zhì)，得:1 22 (1 2q) q2 10 1 2q 1，得 q0 q2 121 _.3二 E(X) 1 - 0 ( jl 1) 121.2 ,2 2D(X) (2 猗2 1 (3 G2 1)(方 32.，2 1?！究偨Y(jié)升華】求隨機(jī)變量的方差，應(yīng)先明確隨機(jī)變量的概率分布。然后利用均值與方差

21、的定義列式計(jì)算.舉一反三:X12nP111nnn【變式1設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為X的期望E (X),再利用方差的定義求之也可直求 D(X)。解法一：E(X) 11 2丄Ln1 n(1 2 Lnnn(n 1)1n 12n2，212D(X)n 1n 111-22n2n*22L n2)(n 1)(1 2 Ln解法二：由解法一可求得E(X)n 1o2又 E(X2)121 22丄L2 1 n _nnn1 2 2(12 22L n2)(n 1)(2n1)n6【答案 本題考查方差的求法可由分布列先求出 接利用公式D(X) =E (X2)- E (X) 2來解.n)- n2,n 11L n 2n22、 (n

22、1) n 1 n) n4122 2(n 1) n 1412D(X) E(X2) E(X)2 (n 1)(2n J6【變式21 .已知隨機(jī)變量E的分布列如下表:E-101P111236(1 )求 E (E) , D(E) ,n；(2)設(shè)耳=2E +3,求 E (n) , D (n) 【答案】(1) E( ) x-i p-iX2P2X3P31(1) 210 13161;3D( ) X1E( )2P1 X2E()2 P2X3E( )2P359D()弓720(2) E()2E()3D()4D()039例5.設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投籃投中的概率為p=.(1) 求一次投籃時(shí)，投中次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差；(2) 求重復(fù)

23、5次投籃時(shí)，投中次數(shù) Y的數(shù)學(xué)期望和方差.【思路點(diǎn)撥】(1 )投籃一次可能中，也可能不中，投中次數(shù)X服從兩點(diǎn)分布；(2)重復(fù)投籃5次的投中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布.【解析】(1) X服從兩點(diǎn)分布，其分布列如下：X01P所以 E (X) =p=, D( X) =p ( 1 - p)=.(2)由題設(shè)，丫B (5,).所以 E (Y) =np=5X =3,D (Y) =np (1 p) =5XX =.【總結(jié)升華】對于兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布，可直接運(yùn)用公式計(jì)算.舉一反三：【變式1】籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為，求他罰球三次得分的期望和方差?！敬鸢浮苛P球三次可以看作3次獨(dú)

24、立重復(fù)試驗(yàn)，即罰球三次得分 B(3,0.7),所以 E np 3 0.72.1D np(1 p) 3 0.7 (1 0.7)0.63.【變式2】有10件產(chǎn)品，其中3件是次品.從中任取2件,若抽到的次品數(shù)為 X,求X的分布列，期望和方差 【答案】10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取兩件次品數(shù)x可 能取值為01r2.X旳分布列為X012P71571511S2875X的數(shù)學(xué)期望是糾北)二“丄+尊丄+齢丄丄 丄j55屠下1111方差為 D(X = (0-)_ + (1- )_ + (1-)± = 515515515類型三、離散型隨機(jī)變量的期望和方差的應(yīng)用例6.甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分是兩

25、個(gè)隨機(jī)變量，分別記為Xi和,它們的概率分布分別為X012PaX2012Pb(1 )求a，b的值;(2)計(jì)算Xi和X2的數(shù)學(xué)期望和方差，并以此分析甲、乙兩射手的技術(shù)狀況.【思路點(diǎn)撥】本題考查分布列的性質(zhì)、期望與方差的求法及對期望與方差的理解.(1)可直接由分布列的性質(zhì)列式求解.(2)利用定義求期望與方差.【解析】(1)由分布列的性質(zhì)知，+a+=1, +b=1,即 a=, b=。(2) E ( X) =0X +1X +2X =,E (X2) =0X +1 X +2X =,D (X) =(0 - 2X +(1 - 2X +(2 - 2X =,D ( Xa) =(0 - 2X +(1 - 2X +(2

26、 - 2X =。由上述計(jì)算的結(jié)果可知，乙的平均水平較甲好一點(diǎn)，但乙的穩(wěn)定性不如甲.【總結(jié)升華】離散型隨機(jī)變量的期望與方差分別反映了隨機(jī)變量的取值的平均水平和波動(dòng)大小(或離散 程度).舉一反三：【變式1】A、B兩臺機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率如下表所示：問哪一臺機(jī)床加工質(zhì)量較好 機(jī)床B機(jī)床次品數(shù)E 10123概率P次品數(shù)E 10123概率P【答案】E E i=0X +1 X +2X +3X =,E E 2=0X +1 X +2X +3 X =.它們的期望相同，再比較它們的方差2222DE 1=()X + ()X + ()X + ( )X =,2222DE 2=()X

27、 + ()X + ()X + ()X =. DE i< D E 2 故A機(jī)床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好【變式2】有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息:甲單位不同職位月工資 X/兀1 2001 4001 6001 800獲得相應(yīng)職位的概率 P1乙單位不同職位月工資 X兀1 0001 4001 8002 200獲得相應(yīng)職位的概率 P2根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位【答案】根據(jù)月工資的分布列，利用計(jì)算器可算得E(Xi) = 1 200 X + 1 400 X + 1 600 X + 1 800 X= 1 400 ,2 2 2 2D(X1)= (1 200 1 400) X + (1 400 1 400) X + (1 600 1 400) X+ (1 800 1 400) X= 40 000 ;E(X2)= 1 000 X + 1 400 X + 1 800 X + 2 200 X= 1 400 ,2 2 2 2D(X2)= (1 000 1 400) X+ (1 400 1 400) X+ (1 800 1 400) X+ (2 200 1 400) X= 160 000.因?yàn)镋(XJ = E(X2) , D(X1)<D(X2),所以兩家單位的工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相對集中，乙單位不同職位的工資相對分散這樣，如果你希望不同職位的工資