等差數(shù)列及其應(yīng)用

1、等差數(shù)列及其應(yīng)用 許多同學(xué)都知道這樣一個(gè)故事：大數(shù)學(xué)家高斯在很小的時(shí)候，就利用巧妙的算法迅速計(jì)算出從1到100這100個(gè)自然數(shù)的總和.大家在佩服贊嘆之余，有沒(méi)有仔細(xì)想一想，高斯為什么算得快呢？當(dāng)然，小高斯的聰明和善于觀察是不必說(shuō)了，往深處想，最基本的原因卻是這100個(gè)數(shù)及其排列的方法本身具有極強(qiáng)的規(guī)律性每項(xiàng)都比它前面的一項(xiàng)大1，即它們構(gòu)成了差相等的數(shù)列，而這種數(shù)列有極簡(jiǎn)便的求和方法.通過(guò)這一講的學(xué)習(xí)，我們將不僅掌握有關(guān)這種數(shù)列求和的方法，而且學(xué)會(huì)利用這種數(shù)列來(lái)解決許多有趣的問(wèn)題.一、等差數(shù)列什么叫等差數(shù)列呢？我們先來(lái)看幾個(gè)例子：l，2，3，4，5，6，7，8，9，1，3，5，7，9，11，13

2、. 2，4，6，8，10，12，14 3，6，9，12，15，18，21.100，95，90，85，80，75，70.20，18，16，14，12，10，8.這六個(gè)數(shù)列有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即相鄰兩項(xiàng)的差是一個(gè)固定的數(shù)，像這樣的數(shù)列就稱(chēng)為等差數(shù)列.其中這個(gè)固定的數(shù)就稱(chēng)為公差，一般用字母d表示，如：數(shù)列中，d=2-1=3-2=4-3=1；數(shù)列中，d=3-1=5-3=13-11=2；數(shù)列中，d=100-95=95-90=75-70=5；數(shù)列中，d=20-18=18-16=10-8=2.例1下面的數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列？若是，請(qǐng)指明公差，若不是，則說(shuō)明理由.6，10，14，18，22，98；1，2，1，

3、2，3，4，5，6； 1，2，4，8，16，32，64； 9，8，7，6，5，4，3，2；3，3，3，3，3，3，3，3；1，0，1，0，l，0，1，0；解：是，公差d=4.不是，因?yàn)閿?shù)列的第3項(xiàng)減去第2項(xiàng)不等于數(shù)列的第2項(xiàng)減去第1項(xiàng).不是，因?yàn)?-22-1.是，公差d=l.是，公差d=0.不是，因?yàn)榈?項(xiàng)減去第2項(xiàng)不等于第2項(xiàng)減去第3項(xiàng).一般地說(shuō)，如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，那么這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)或者都不小于前面的項(xiàng)，或者每一項(xiàng)都大于前面的項(xiàng)，上述例1的數(shù)列中，第1項(xiàng)大于第2項(xiàng)，第2項(xiàng)卻又小于第3項(xiàng)，所以，顯然不符合等差數(shù)列的定義.為了敘述和書(shū)寫(xiě)的方便，通常，我們把數(shù)列的第1項(xiàng)記為a1，第2項(xiàng)記為

4、a2，第n項(xiàng)記為an。an又稱(chēng)為數(shù)列的通項(xiàng)。a1，又稱(chēng)為數(shù)列的首項(xiàng)，最后一項(xiàng)又稱(chēng)為數(shù)列的末項(xiàng).二、通項(xiàng)公式對(duì)于公差為d的等差數(shù)列a1，a2，an來(lái)說(shuō)，如果a1小于a2，則由此可知： (1)an=a1+(n-1) d若a1大于a2，則同理可推得：(2) an=a1-(n-1) d公式（1）（2）叫做等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式，在已知首項(xiàng)和公差的情況下可以求出等差數(shù)列中的任何一項(xiàng).例2 求等差數(shù)列1，6，11，16的第20項(xiàng).解：首項(xiàng)a1 =1，又因?yàn)閍2；大于a1；，公差d=6-1=5，所以運(yùn)用公式（1）可知：第20項(xiàng)a20=a1=（20-1）5=1+195=96.一般地，如果知道了通項(xiàng)公

5、式中的兩個(gè)量就可以求出另外一個(gè)量，如：由通項(xiàng)公式，我們可以得到項(xiàng)數(shù)公式：如果a1小于a2，則n=(an-a1) d+1 若a1大于a2，則同理可推得：n=(a1-an) d+1例3 已知等差數(shù)列2，5，8，11，14，問(wèn)47是其中第幾項(xiàng)？解：首項(xiàng)a1=2，公差d=5-2=3令an=47則利用項(xiàng)數(shù)公式可得：n=（47-2）3+1=16.即47是第16項(xiàng).例4 如果一等差數(shù)列的第4項(xiàng)為21，第6項(xiàng)為33，求它的第8項(xiàng).分析與解答方法1：要求第8項(xiàng)，必須知道首項(xiàng)和公差.因?yàn)閍4=a1+3d，又a4=21，所以a1=21-3d又a6=a1+5d，又a6=33，所以a1=33-5d所以：21-3d=33

6、-5d，所以d=6 a1=21-3d=3，所以 a8=3+76=45.方法2：考慮到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2d，其中a6已知，只要求2d即可.又 a6=a5+d=a4+d+d=a4+2d，所以 2d=a6-a4所以a8=3+76=45方法2說(shuō)明：如果能夠靈活運(yùn)用等差數(shù)列各項(xiàng)間的關(guān)系，解題將更為簡(jiǎn)便.三、等差數(shù)列求和若a1 小于a2，則公差為d的等差數(shù)列a1,a2,a3an可以寫(xiě)為a1,a1+d,a1+d2，a1+d（n-1）.所以，容易知道：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=an-1+a2=an+a1.設(shè) Sn=a1+a2+a3+an則 Sn=an+an

7、-1+an-2+a1兩式相加可得：2Sn=（a1+an）+(a2+an-1)+(an+a1)即：2Sn=n（a1+an）,所以，Sn=n（a1+an）2例5 計(jì)算 1+5+9+13+17+1993.當(dāng)a1；大于a2。時(shí)，同樣也可以得到上面的公式.這個(gè)公式就是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式.解：因?yàn)?，5，9，13，17，1993是一個(gè)等差數(shù)列，且al=1，d=4，an=1993.所以，n=（ana1）d+1=499.所以，1+5+9+13+17+1993=（1+1993）4992=997499=497503.題目做完以后，我們?cè)賮?lái)分析一下，本題中的等差數(shù)列有499項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第250項(xiàng)的值是997

8、，而和恰等于997499.其實(shí)，這并不是偶然的現(xiàn)象，關(guān)于中項(xiàng)有如下定理：這個(gè)定理稱(chēng)為中項(xiàng)定理.例6 建筑工地有一批磚，碼成如右圖形狀，最上層兩塊磚，第2層6塊磚，第3層10塊磚，依次每層都比其上面一層多4塊磚，已知最下層2106塊磚，問(wèn)中間一層多少塊磚？這堆磚共有多少塊？解：如果我們把每層磚的塊數(shù)依次記下來(lái)，2，6，10，14， 容易知道，這是一個(gè)等差數(shù)列.方法1：a1=2， d=4， an=2106，貝n=（an-a1）d+1=527這堆磚共有則中間一項(xiàng)為 a264=a1+（264-1）4=1054.方法2：（a1+an）n2=（2+2106）5272=555458（塊）.則中間一項(xiàng)為（a1

9、+an）2=1054a1=2， d=4， an=2106，這堆磚共有 1054527=555458（塊）.n=（an-a1）d+1=527例7 求從1到2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差.解：根據(jù)題意可列出算式：（2+4+6+8+2000）-（1+3+5+1999）解法1：可以看出，2，4，6，2000是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，1，3，5，1999也是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，且項(xiàng)數(shù)均為1000，所以：原式=（2+2000)10002-（1+1999）10002=1000.解法2：注意到這兩個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)相等，公差相等，且對(duì)應(yīng)項(xiàng)差1，所以1000項(xiàng)就差了1000個(gè)1，即原式=1

10、0001=1000.例8 連續(xù)九個(gè)自然數(shù)的和為54，則以這九個(gè)自然數(shù)的末項(xiàng)作為首項(xiàng)的九個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和是多少？分析與解答方法1：要想求這九個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，可以先求出這九個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最小的一個(gè).即條件中的九個(gè)連續(xù)自然數(shù)的末項(xiàng).因?yàn)椋瑮l件中九個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和為54，所以，這九個(gè)自然數(shù)的中間數(shù)為549=6，則末項(xiàng)為6+4=10.因此，所求的九個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和為（10+18）92=126.方法2：考察兩組自然數(shù)之間的關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)：后一組自然數(shù)的每一項(xiàng)比前一組自然數(shù)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)大8，因此，后一組自然數(shù)的和應(yīng)為54+89=126.在方法1中，可以用另一種方法來(lái)求末項(xiàng)，根據(jù)求和公式Sn=（a1+an）n2，

11、則 a1+a9=5429.又因?yàn)閍1=a9-8，所以代入后也可求出a9=10.例9 100個(gè)連續(xù)自然數(shù)（按從小到大的順序排列）的和是8450，取出其中第1個(gè)，第3個(gè)第99個(gè)，再把剩下的50個(gè)數(shù)相加，得多少？分析與解答方法1：要求和，我們可以先把這50個(gè)數(shù)算出來(lái).100個(gè)連續(xù)自然數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，且和為8450，則：首項(xiàng)+末項(xiàng)=84502100=169，又因?yàn)槟╉?xiàng)比首項(xiàng)大99，所以，首項(xiàng)=（169-99）2=35.因此，剩下的50個(gè)數(shù)為：36，38，40，42，44，46134.這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，和為（36+134）502=4250.方法2：我們考慮這100個(gè)自然數(shù)分成的兩個(gè)數(shù)列，這兩個(gè)數(shù)列有相

12、同的公差，相同的項(xiàng)數(shù)，且剩下的數(shù)組成的數(shù)列比取走的數(shù)組成的數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)總大1，因此，剩下的數(shù)的總和比取走的數(shù)的總和大50，又因?yàn)樗鼈兿嗉拥暮蜑?450.所以，剩下的數(shù)的總和為（8450+50）2=4250.四、等差數(shù)列的應(yīng)用例10 把210拆成7個(gè)自然數(shù)的和，使這7個(gè)數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是5，那么，第1個(gè)數(shù)與第6個(gè)數(shù)分別是多少？解：由題可知：由210拆成的7個(gè)數(shù)必構(gòu)成等差數(shù)列，則中間一個(gè)數(shù)為2107=30，所以，這7個(gè)數(shù)分別是15、20、25、30、35、40、45.即第1個(gè)數(shù)是15，第6個(gè)數(shù)是40.例11 把27枚棋子放到7個(gè)不同的空盒中，如果要求每個(gè)盒子都不空，且任意兩個(gè)

13、盒子里的棋子數(shù)目都不一樣多，問(wèn)能否辦到，若能，寫(xiě)出具體方案，若不能，說(shuō)明理由.分析與解答因?yàn)槊總€(gè)盒子都不空，所以盒子中至少有一枚棋子；同時(shí)，任兩盒中棋子數(shù)不一樣，所以7個(gè)盒中共有的棋子數(shù)至少為1+2+3+4+5+6+7=28.但題目中只給了27枚棋子，所以，題中要求不能辦到.例12 從1到50這50個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，取兩數(shù)相加，使其和大于50，有多少種不同的取法？解：設(shè)滿足條件的兩數(shù)為a、b，且ab，則若a=1，則b=50，共1種.若a=2，則b=49，50，共2種.若a=3，則b=48，49，50，共3種.若a=25，則b=26，27，50，共25種.若a=26，則b=27，28，50，共24

14、種.（a=26，b=25的情形與a=25，b=26相同，舍去）.若a=27，則b=28，29，50，共23種.若a=49，則b=50，共1種.所以，所有不同的取法種數(shù)為1+2+3+25+24+23+22+l=2（1+2+3+24）+25=625.例13 x+y+z=1993有多少組正整數(shù)解.顯然，x不能等于1992，1993.所以，原方程的不同的整數(shù)解的組數(shù)是：l+2+3+1991=1983036.本題中運(yùn)用了分類(lèi)的思想，先按照x的值分類(lèi)，在每一類(lèi)中，又從y的角度來(lái)分類(lèi)，如：x=1987時(shí)，因?yàn)閥+z=6，且y、z均為正整數(shù)，所以y最小取1，最大取5，即按y=1，2，3，4，5分類(lèi)，每一類(lèi)對(duì)應(yīng)

15、一組解，因此，x=1987時(shí)，共5組解.例13 把所有奇數(shù)排列成下面的數(shù)表，根據(jù)規(guī)律，請(qǐng)指出：197排在第幾行的第幾個(gè)數(shù)？第10行的第9個(gè)數(shù)是多少？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 43 45 47 49 分析與解答197是奇數(shù)中的第99個(gè)數(shù).數(shù)表中，第1行有1個(gè)數(shù). 第2行有3個(gè)數(shù). 第3行有5個(gè)數(shù) 第n行有2n-l個(gè)數(shù)因此，前n行中共有奇數(shù)的個(gè)數(shù)為：1+3+5+7+（2n-1）=1+（2n-1）n2=nn因?yàn)?9991010.所以，第99個(gè)數(shù)位于數(shù)表的第10行的倒數(shù)第2個(gè)數(shù)，即第18個(gè)數(shù)，即197位于第10行第18個(gè)數(shù).第10行的第9個(gè)數(shù)是奇數(shù)中的第90個(gè)數(shù).因?yàn)?9+9=90），它是179.例14 將自然數(shù)如下排列，1 2 6 7 15 16 3 5 8 14 17 4 9 13 18 10 12 11 在這樣的排列下，數(shù)字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，問(wèn)：1993排在第幾行第幾列？分析與解答不難看出，數(shù)表的排列規(guī)律如箭頭所指，為研究的方便，我們不妨把原圖順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)45，就成為三角陣（如右圖），三角陣中，第1行1個(gè)數(shù)，第2行2個(gè)數(shù)第n行就有n個(gè)數(shù)，設(shè)1993在三角陣中的第n行，則：1+2+3+n-119931+