廣東省中考數(shù)學(xué)第二部分題型研究題型五圓的綜合題試題

1、題型五圓的綜合題針對演練1.如圖，AB是OO的弦，AB= 4,過圓心O的直線垂直 AB于點D,交O 0于點C和點E,1連接 AC BC OB cos/ACB= 3，延長 OE到點 F,使 EF= 20E求證：/ BOE=Z ACB(2) 求O 0的半徑；(3) 求證：BF是O O的切線.第1題圖2.如圖，AB為O O的直徑，點 C為圓外一點，連接 AC BC分別與O 0相交于點 D點E,且Ad De，過點D作DF丄BC于點F,連接BD DE AE求證：DF是O 0的切線；(2) 試判斷 DEC勺形狀，并說明理由；(3) 假設(shè)OO的半徑為5，AC= 12，求sin / EAB的值.第2題圖3.

2、(2021 長沙9分)如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于O O,對角線 AC為O O的直徑，過點 C 作AC的垂線交AD的延長線于點E,點F為CE的中點，連接 DB DC DF(1) 求/ CDE勺度數(shù)；(2) 求證：DF是O O的切線；(3) 假設(shè) AC= 2 ：5DE 求 tan / ABD的值.第3題圖4. (2021 德州10分)如圖，O 0是厶ABC的外接圓，AE平分/ BAC交O O于點E,交BC 于點D,過點E作直線I / BC(1) 判斷直線l與OO的位置關(guān)系，并說明理由；(2) 假設(shè)/ ABC的平分線 BF交AD于點F,求證：BE= EF(3) 在 的條件下，假設(shè) DE= 4, D

3、F= 3,求AF的長.第4題圖5.(2021永州)如圖， ABC內(nèi)接于O O,且AB= AC直徑AD交BC于點E F是OE上的一點，使CF/ BD(1) 求證：BE= CE(2) 試判斷四邊形BFCD勺形狀，并說明理由；(3) 假設(shè) BC= 8, AD= 10,求 CD的長.第5題圖6. (2021省卷24, 9分)O 0是厶ABC的外接圓，AB是直徑，過 Bc的中點P作O O的 直徑PG交弦BC于點D,連接AG CP PB(1) 如圖，假設(shè)D是線段OP的中點，求/ BAC勺度數(shù)；(2) 如圖，在DG上取一點K,使DK= DP連接CK求證：四邊形AGK是平行四邊形；(3) 如圖，取CP的中點E

4、,連接ED并延長ED交AB于點H連接PH求證：PHLAB圖圖團第6題圖7.(2021原創(chuàng))如圖，AB切O O于點B, AD交O O于點C和點D,點E為De的中點,連接OE交CD于點F,連接BE交CD于點G求證：AB= AG(2)假設(shè) DG= DE 求證：GB= GC- GA在的條件下，假設(shè)3tan D= 4, EG=10,求O O的半徑.第7題圖8. (2021達州)在厶ABC勺外接圓O O中， ABC勺外角平分線 C交O O于點D,F為Ad 上一點，且 Af Bc ，連接DF并延長DF交BA的延長線于點 E 判斷DB與 DA的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2) 求證： BCm AFD(3) 假設(shè)/

5、 AC= 120°O O的半徑為5, DC= 6，求DE的長.第8題圖9. 如圖，AB為O O的直徑，P是BA延長線上一點，PC切O 0于點C, CG是O 0的弦， CGL AB垂足為點D求證： ACDA ABC(2) 求證：/ PCA=Z ABC3(3) 過點A作AE/ PC交O 0于點E,交CG于點F,連接BE假設(shè)sin P= 5, Cl 5,求BE 的長.第9題圖10. (2021 大慶9分)如圖，在 Rt ABC中，/ C= 90°，以BC為直徑的O O交斜邊 AB 于點M假設(shè)H是AC的中點，連接MH.(1) 求證：MH為OO的切線；33(2) 假設(shè) MH= 2,

6、tan / ABC= 4，求O O的半徑；(3) 在(2)的條件下分別過點 A B作O O的切線，兩切線交于點D, AD與O O相切于N點，過N點作NQL BC垂足為E,且交O O于Q點，求線段 NQ的長度.第10題圖11. 如圖， ABC為O O的內(nèi)接三角形，P為BC延長線上一點， 的直徑，過 C作CG_ AD交AD于 E,交AB于 F,交O O于G.(1) 判斷直線PA與O O的位置關(guān)系，并說明理由；(2) 求證：AG= AF- AB(3) 假設(shè)O O的直徑為10, AC= 2 '5, AB= 4 _：5,求厶AFG的面積.PAC=/ B, AD為O O第11題圖12. (2021

7、 鄂州10分)如圖，在 Rt ABC中，/ ACB= 90°, AO是 ABC的角平分線,以O(shè)為圓心，OC為半徑作O Q求證：AB是O Q的切線；1 AE(2) AQ交O Q于點E,延長AQ交O Q于點D, tan D= 2,求AC勺值；(3) 在 的條件下，設(shè)O Q的半徑為3，求AB的長.第12題圖【答案】1. (1)證明：如解圖，連接 QA0vE7F/第1題解圖CEL AB AD= BD= 2, Ae BE ,/ ACE=Z BCE / AOE=Z BOE 又/ AOB= 2/ ACB/ BOE=Z ACB1(2)解： cos / ACB= 3, cos / BOD= £

8、;在 Rt BOD中設(shè) OD= x,貝U OB= 3x,/ OD+ BD= OB, x2 + 22 = (3x)2，解得 x = ¥， OB= 3x= 322，即o o的半徑為3-2；(3)證明： FE= 2OE9J2 OF= 3OE=-,OB 1 Of= 3，.od=i OB3，OB OD Of= Ob/ BO= / DOB OBFA ODBOBL BFDO交AE于點G,貝U DO= BO/ OB= / OD= 90°，即/ OB是O O的半徑， BF是O O的切線.2. (1)證明：如解圖，連接第2題解圖:丄 ABD=Z ODB- Ad De ,:丄 ABD=Z EBD

9、/ ODB=Z EBDDO/ BC/ OD CFD/ DFL BC:丄 CFD= 90° ,/ ODF= 90°,即 ODL DF,又 OD為O O的半徑，DF是O O的切線； 解： DEC是等腰三角形，理由如下： AB是O O的直徑，/ ADB=Z CDB= 90°,又 BD= BD / ABD=Z EBD ABDA CBI(ASA), AD= CD Ad De , AD= DECD= DE DEC是等腰三角形；1解：由可知AD= 2AC= 6 , Ad De , ODLAE / ABD=Z DAEDG sin / DAE= ad在 Rt ADB中 , sin

10、/ ABD=尋毛 B 10DG 66 =10，- DG= 3.6 , OG= OD- DG= 1.4 ,在 Rt AGO中, sin / EAB= °=罟=2- OA 5253. 1解：T AC為O O的直徑,/ ADC= 90°,2分/ CDE= 90°u5分9分第3題解圖 證明：如解圖，連接 OD/ CDE= 90°, F 為 CE中點,1DF= CE= CF,/ FDC=Z FCD又 OD= OC/ ODGZ OCD/ ODGZ FDC=Z OCP/ FCD/ ODF=Z OCFT E CL AC,/ OCF= 90° ,/ ODF= 9

11、0°,即 ODL DF,又t OD為O O的半徑，DF為O O的切線；解：在 ACDA ECA中 ,t/ ADC=/ ACE= 90°, / EAC=Z CAD ACZ AEC AC_AD aAC aC= ad- ae又 T AC= 2 5DE 20DE= AE- DE - AE AE= 5DE AD= 4DEt在 Rt ACD中 , aC= aD+ CD , CD= 2DE又 t在O O 中，/ ABD=Z ACD tan / ABD= tan / ACD= AD 2.4. (1)解：直線I與OO相切.理由如下: 如解圖，連接 OE OB OC第4題解圖/ AE平分/ B

12、AC/ BAE=Z CAEBe Ce ,:丄 BOE=Z COE又 OB= OC OEL BC/ l / BC OEL l ,又 OE為O O的半徑，直線I與O O相切； 3分證明：T BF平分/ ABC / ABF=Z CBF又/ CBE=Z CAE=Z BAE / CBEFZ CBF=Z BAEFZ ABF又/ EBF=Z CBEFZ CBF / EFB=Z BAEbZ ABF / EBF=Z EFB BE= EF; 6分解：T BE= EF, DE= 4 , DF= 3 , BE= EF= DE+ DF= 7 ,t be Ce , Z DBE=Z BAEtZ DEB=Z BEA BED

13、AEB DE=BE 即4= 7 BE AE 即 7 AE解得 AE="4 , 9分 AF= AE EF= 49-7 = ? 10分445. 1證明：t AD是O O的直徑, Z ABD=Z ACD= 90° ,在 Rt ABD和 Rt ACD中 ,AB= ACAD= AD Rt AB匪 Rt ACDHL,/ BAD=Z CAD/ AB= AC AD垂直平分BC BE= CE 解：四邊形BFCD是菱形理由如下： AD是O O的直徑，AB= AC ADLBC BE= CE CF/ BD / FCE=Z DBE在厶 BEDm CEF中 ,/ DBE=Z FCEBE= CE,/ B

14、ED=Z CEF= 90° BEDA CEFASA), BD= CF,四邊形BFCD是平行四邊形，/ BAD=Z CAD BD= CD四邊形BFCD是菱形； 解： AD是O O的直徑，ADL BC BE= CE / ECD=/ CAE/ AEC=Z DEC= 90° , Rt CDE Rt ACE de_ce CAE CE= DE- AE設(shè) DE= x,貝U AE= AD- DE= 10 x ,/ BC= 8 ,1 CE= ?BC= 4 , 42 = x(10 x),解得 x = 2 或 x = 8(舍去),在 Rt CED中 ,CD=P CE+ DE42 + 22 = 2

15、逅6. (1)解：點P為BC的中點，PG為O O的直徑, BP= PC PGL BC CD= BD / ODB= 90° ,/ D為OP的中點，1 1 OD= OP= OB2 2 / OBD= 30° , AB為O O的直徑， / ACB= 90° ,/ BAC= 60°證明：由知，CD= BD 在 PDBFHA KDC中,BD= CD/ BDP=Z CDKDP= DK PDBs KDCSAS, BP= CK / BP=Z CKD/ AOGZ BOP AG= BP, AG= CK/ OP= OB / OBP=Z BPO又/ G=Z OBP:丄 G=Z B

16、PO=Z CKD AG/ CK四邊形AGKd平行四邊形； 證明：T CE= PE CD= BD, DE/ PB 即 DH/ PB/ G=Z BPO PB/ AG DH/ AG / OAGZ OHD / G=Z ODH/ OA= OG / OAGZ G / ODH=Z OHD OD= OH 在 OBDA OPH中 ,OD= OH/ DOB=Z HOPOB= OP OBX OPHSAS, / OHP=Z ODB= 90° , PHLAB 7.證明：如解圖，連接 OB3分6分9分第7題解圖 AB為O O的切線， OBL AB / ABG-Z OBG 90° ,點E為DC的中點，O

17、EL CD/ OEGZ FGE= 90°,又 OB= OE/ OBGZ OEG/ ABG=Z FGE/ BGA=/ FGE/ ABG=Z BGA AB= AG證明：如解圖，連接 BC/ DG= DE:丄 DGE=Z DEG由(1)得/ ABG=Z BGA又/ BGA=Z DGE/ A=Z GDE/ GBC=Z GDE/ GBC=Z A,/ BGC=Z AGBGB&A GAB GB_GC gaTgb GB= GC- GA解：如解圖，連接 OD亠亠/ EF 3在 Rt DEF中，tan / EDF= 尸二,DF 4設(shè)EF= 3x ,貝U DF= 4x ,由勾股定理得 DE= 5x

18、 ,/ DG= DE- DG= 5x , GF= DG- DF= x.在Rt EFG中 ,由勾股定理得 GF+ EF= EG,即 x2+ (3x)2 = ( 10)2 ,解得 x= 1 ,設(shè)OO半徑為 r,在 Rt ODF中 , OD= r, OF= r 3 , DF= 4 ,由勾股定理得 OF+ FD2= OD,即(r 3)2+ 42= r2 , f 25解得r =6 O O的半徑為.& 解：DB= DA 理由如下： CD平分/ ACM / MC=Z ACD / ACD和/ ABD都是 AD所對的圓周角,/ AC=/ ABD/ MC=Z ABD 又/ MC=Z BAD/ BAD=Z

19、ABDDB= DA證明：如解圖，連接 AF,第8題解圖/ AD- BD Ad Bd ,/ Af Bc , Df Cd , AF= BC, DF= DC在厶 BCCm AFD中,BD- ADBC- AF,DC- DF BCD AFDSSS);解:J/ AC 120°,/ MC/ AC 60°,/ ABD- / BAD- / BDA= 60°, ABD是等邊三角形，如解圖，連接 DO并延長與AB交于點G,那么/ ADO 30°,過點 O作 OHLAD于點 H,貝U AD 2DH= 2OD cos30 ° - 5.3,/ ADFb/ DAF=/ AF

20、E=/ ACD- 60°,/ AD曰/ E-/ BAD- 60°, / DAF=/ E,J / ADF=/ EDA ADFA EDADA_dfDe-DAD- DF,J DF= DC- 6,DA= 5 3,25DE=亍9. (1)證明：J AB是O O直徑, / ACB= 90°,J CGL AB / AD- / ACB= 90°,J / CA-/ BAC ACZ ABC證明：如解圖，連接 0C第9題解圖-PC切O O于點 c, OCL PC / PCT 90°,Z PCA-zOCT 90°,Z ACB= 90°, Z ABO

21、AT 90°,OC OA Z OCTzOAC Z PCA=ZABC(3)解：T AE/ PC / PCA=Z CAF / A吐 CGAcAg ,Z ABC=Z ACFZ PCA=Z ABCZ CAF=Z ABCZ ACF=Z CAFFA= FCCF= 5,AF= 5,AE/ PCZ FAD=Z P,3sin P=匚/3 sin / FAD=匚，5 . FD= 3, AD= 4, CD= 8,在Rt COD中，設(shè)CO= r，那么有 r = 10, AB= 2r = 20,/ AB是O O的直徑， / AEB= 90°,3 sin / EAB=BE= 3ABT 5,.B320=

22、 5， BE= 12.10. (1)證明：如解圖，連接 OM CM第10題解圖/ BC為o O的直徑，/ AM=Z BM= 90°,/ H是AC的中點，1 HC= HM= 2AC/ HM=Z HCM/ OM= OC/ OMC / OCM/ OM= / OCH/ AC= 90°=/ OCH/ OM=90°,即卩 OML MH又 OM為O O的半徑，(3分) MH為O O的切線；&3解：T MH2， AC= 2MHh 3,亠亠AC 3在 Rt ABC中, tan / ABC=,BC 4 - BC= 4,(5分)故OO的半徑為2;解：如解圖，過點 D作DPI A

23、C于點P,連接ON第10題解圖貝U DP= BC= 4, BD= PC設(shè) DB= DN= x,貝U AP= 3-x,/ AN= AC= 3, AD x + 3.在Rt ADP中，由勾股定理得,(x + 3)2-(3 x)2= 42,4解得x= 3,DNh B> 3, AD= 13,/ QNL BC AC丄 BC BD£ BC- AC/ NQ/ DB4.DN=至即 3=BEAD BC 134 '16be=13，OE= OB- BE=曙， EN= ；ON OE=魯,(9分)48 NQ= 2EN=百11. (1)解：直線 PA與O O相切.理由如下:/ ADO O的直徑， C

24、G_ AD , AD垂直且平分CG AC= AG / Ad AGC/ AGC=Z B,Z PAC=Z B, / PAC=Z ACG PA/ CG/ CGL AD, PAL AD,又 AD為O O的直徑直線PA是OO的切線；【一題多解】如解圖，連接 DC第11題解圖那么/ B=Z ADC AD是O O的直徑, / AC圧 90° , / ADQ-Z DAC= 90°.又/ PAC=Z B, / ADC=/ PAC / PAOZ DAC= 90°,即 DAL PA PA是O O的切線.(2) 證明：由垂徑定理得 Ac Ag ,/ Ad B,/ CAB=Z FAC ABCo ACF AC AB"AF= AC AC= AF- Ab又 AC= AG AG= AF- AB【一題多解】此題還可以通過連接BG證明FAG從而證得 aG= AF- AB(3) 解：由(2)得 AG= AF- ABT AG= AC= 2 5 , AB= 4 .''5 ,(2 ''5) 2= 4 .'5AF, AF= 5,如解圖，連接 BD那么/ ABD= 90°,第11題解圖由勾股定理得 BD=QAD_ AB =7102-( 4擊)2 = 2心,/ AEF=Z ABD= 90&#