基本不等式求最值的類型與方法-經(jīng)典大全

1、專題：根本不等式求最值的類型及方法一、幾個(gè)重要的根本不等式：當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)，“=號(hào)成立；當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)，“=號(hào)成立；當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時(shí),“=號(hào)成立； ,當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時(shí),“=號(hào)成立.注： 注意運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)的條件：一“正、二“定、三“等； 熟悉一個(gè)重要的不等式鏈：。二、函數(shù)圖象及性質(zhì)(1)函數(shù)圖象如圖：(2)函數(shù)性質(zhì)：值域：；單調(diào)遞增區(qū)間：，；單調(diào)遞減區(qū)間：，.三、用均值不等式求最值的常見類型類型：求幾個(gè)正數(shù)和的最小值。例1、求函數(shù)的最小值。解析：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，“=號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是。評(píng)析：利用均值不等式求幾個(gè)正數(shù)和的最小值時(shí)，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件

2、，使其積為常數(shù)。通常要通過添加常數(shù)、拆項(xiàng)常常是拆底次的式子等方式進(jìn)行構(gòu)造。類型：求幾個(gè)正數(shù)積的最大值。例2、求以下函數(shù)的最大值： 解析：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，“=號(hào)成立，故此函數(shù)最大值是1。，那么，欲求y的最大值，可先求的最大值。,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí) “=號(hào)成立，故此函數(shù)最大值是。評(píng)析：利用均值不等式求幾個(gè)正數(shù)積的最大值，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其和為常數(shù)。通常要通過乘以或除以常數(shù)、拆因式常常是拆高次的式子、平方等方式進(jìn)行構(gòu)造。類型：用均值不等式求最值等號(hào)不成立。例3、假設(shè)x、y，求的最小值。解法一：單調(diào)性法由函數(shù)圖象及性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)。證明：任取且，那么，那么，即在上是減函數(shù)。故當(dāng)時(shí)，在上有最小

3、值5。解法二：配方法因，那么有，易知當(dāng)時(shí)，且單調(diào)遞減，那么在上也是減函數(shù)，即在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上有最小值5。解法三：拆分法，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是5。評(píng)析：求解此類問題，要注意靈活選取方法，特別是單調(diào)性法具有一般性，配方法及拆分法也是較為簡潔實(shí)用得方法。類型：條件最值問題。例4、正數(shù)x、y滿足，求的最小值。解法一：利用均值不等式,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是18。解法二：消元法由得，由，那么。當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是18。解法三：三角換元法令那么有那么：，易求得時(shí)“=號(hào)成立，故最小值是18。評(píng)析：此類問題是學(xué)生求解易錯(cuò)得一類題目，解法一學(xué)生普遍有

4、這樣一種錯(cuò)誤的求解方法： 。原因就是等號(hào)成立的條件不一致。類型：利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問題。例5、正數(shù)滿足，試求、的范圍。解法一：由，那么，即解得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=號(hào)，故的取值范圍是。又，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=號(hào)，故的取值范圍是。解法二：由，知，那么：，由，那么：，當(dāng)且僅當(dāng)，并求得時(shí)取“=號(hào)，故的取值范圍是。，當(dāng)且僅當(dāng)，并求得時(shí)取“=號(hào)，故的取值范圍是。評(píng)析：解法一具有普遍性，而且簡潔實(shí)用，易于掌握，解法二要求掌握構(gòu)造的技巧。四、均值不等式易錯(cuò)例析：例1. 求函數(shù)的最值。錯(cuò)解：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)。所以當(dāng)時(shí)，y的最小值為25，此函數(shù)沒有最大值。分析：上述解題過程中應(yīng)用了均值不等式，卻

5、忽略了應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)的條件導(dǎo)致錯(cuò)誤。因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以須?duì)的正負(fù)加以分類討論。正解：1當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)。所以當(dāng)時(shí)， 2當(dāng)時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，.例2. 當(dāng)時(shí)，求的最小值。錯(cuò)解：因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，。分析：用均值不等式求“和或“積的最值時(shí)，必須分別滿足“積為定值或“和為定值，而上述解法中與的積不是定值，導(dǎo)致錯(cuò)誤。正解：因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，。例3. 求的最小值。錯(cuò)解：因?yàn)椋苑治觯簾o視了取最小值時(shí)須成立的條件，而此式化解得，無解，所以原函數(shù)取不到最小值。正解：令，那么又因?yàn)闀r(shí)，是遞增的。所以當(dāng)，即時(shí)，。例4.且，求的最小值.錯(cuò)解： ,的最

6、小值為.分析：解題時(shí)兩次運(yùn)用均值不等式，但取等號(hào)條件分別為和，而這兩個(gè)式子不能同時(shí)成立，故取不到最小值.正解：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立. 的最小值為.綜上所述，應(yīng)用均值不等式求最值要注意： 一要正：各項(xiàng)或各因式必須為正數(shù)；二可定：必須滿足“和為定值或“積為定值，要湊出“和為定值或“積為定值的式子結(jié)構(gòu)，如果找不出“定值的條件用這個(gè)定理，求最值就會(huì)出錯(cuò)；三能等：要保證等號(hào)確能成立，如果等號(hào)不能成立，那么求出的仍不是最值。技巧一：湊項(xiàng)例1：，求函數(shù)的最大值。解：因，所以首先要“調(diào)整符號(hào)，又不是常數(shù)，所以對(duì)要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，。技巧二：湊系數(shù)例2. 當(dāng)時(shí)，求的最大值。解析

7、：由知，利用根本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，注意到為定值，故只需將湊上一個(gè)系數(shù)即可。當(dāng)，即x2時(shí)取等號(hào) 當(dāng)x2時(shí)，的最大值為8。技巧三： 別離例3. 求的值域。解：此題看似無法運(yùn)用根本不等式，不妨將分子配方湊出含有x1的項(xiàng)，再將其別離。當(dāng),即時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“號(hào)。技巧四：換元解析二：此題看似無法運(yùn)用根本不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在別離求最值。當(dāng),即t=時(shí),當(dāng)t=2即x1時(shí)取“號(hào)。技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，假設(shè)遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。解：令，那么因，但解得不在區(qū)間，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)

8、遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?。技巧六：整體代換：屢次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否那么就會(huì)出錯(cuò)。2：，且，求的最小值。解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，又，可得時(shí)， 。穩(wěn)固練習(xí)：1、：且，那么的最大值為( )(A) (B) (C) (D)2、假設(shè)，且恒成立，那么a的最小值是( )(A) (B) (C)2 (D)13、以下不等式：；.其中正確的個(gè)數(shù)是( )(A)0個(gè) (B)1個(gè) (C)2個(gè) (D)3個(gè)4、設(shè)，那么以下不等式中不成立的是( )(A) (B) (C) (D)5、設(shè)且的最大值是( )(A) (B) (C) (D)6、假設(shè)實(shí)數(shù)滿足，那么的最小值是( )(A)1

9、8 (B)6 (C) (D)7、假設(shè)正數(shù)滿足，那么的取值范圍是 .8、假設(shè),且，那么的最小值為 . 根本不等式知識(shí)點(diǎn)：1. (1)假設(shè)，那么(2)假設(shè)，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=2. (1)假設(shè)，那么(2)假設(shè)，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=(3)假設(shè)，那么 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=3.假設(shè)，那么 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=假設(shè)，那么 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=假設(shè)，那么 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=4.假設(shè)，那么 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=假設(shè)，那么 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=5.假設(shè)，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=注意：(1) 當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大(2)求最

10、值的條件“一正，二定，三取等(3)均值定理在求最值、比擬大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一：求最值例：求以下函數(shù)的值域1y3x 2 2yx解：(1)y3x 22 值域?yàn)椋?(2)當(dāng)x0時(shí)，yx22；當(dāng)x0時(shí)， yx= x2=2值域?yàn)椋?2，+解題技巧技巧一：湊項(xiàng)例 ，求函數(shù)的最大值。 解：因，所以首先要“調(diào)整符號(hào)，又不是常數(shù)，所以對(duì)要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，。技巧二：湊系數(shù)例： 當(dāng)時(shí)，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個(gè)系數(shù)即可

11、。當(dāng)，即x2時(shí)取等號(hào) 當(dāng)x2時(shí)，的最大值為8。變式：設(shè)，求函數(shù)的最大值。解：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。技巧三： 別離技巧四：換元例：求的值域。解析一：此題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有x1的項(xiàng)，再將其別離。當(dāng),即時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“號(hào)。解析二：此題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在別離求最值。當(dāng),即t=時(shí),當(dāng)t=2即x1時(shí)取“號(hào)。技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，假設(shè)遇等號(hào)取不到的情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。解：令，那么因，但解得不在區(qū)間，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?。技?/p>

12、六：整體代換屢次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否那么就會(huì)出錯(cuò)。例：，且，求的最小值。錯(cuò)解：，且， 故 。錯(cuò)因：解法中兩次連用均值不等式，在等號(hào)成立條件是，在等號(hào)成立條件是即,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用均值不等式處理問題時(shí)，列出等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，又，可得時(shí)， 。技巧七例：x，y為正實(shí)數(shù)，且x 21，求x的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab。同時(shí)還應(yīng)化簡中y2前面的系數(shù)為 ， xx x·下面將x，分別看成兩個(gè)因式：x· 即x·x

13、 技巧八：a，b為正實(shí)數(shù)，2baba30，求函數(shù)y的最小值.分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或根本不等式求解，對(duì)此題來說，這種途徑是可行的；二是直接用根本不等式，對(duì)此題來說，因條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用根本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。法一：a， ab·b由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2t34t28 ab18 y 當(dāng)且僅當(dāng)t4，即b3，a6時(shí)，等號(hào)成立。法二：由得：30aba2b a2b2 30ab2令u那么u22u300， 5u33，ab18，y點(diǎn)評(píng)：此題考查不等式的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；如何由不等式出發(fā)求得的范圍，關(guān)鍵是尋找到之間的關(guān)系，由此想到不等式，這樣將條件轉(zhuǎn)換為含的不等式，進(jìn)而解得的范圍.技巧九、取平方例: 求函數(shù)的最大值。解析：注意到與的和為定值。又，所以當(dāng)且僅當(dāng)=，即時(shí)取等號(hào)。 故。應(yīng)用二：利用