第二節(jié)__洛必達法則ppt課件

1、機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束第二節(jié)第二節(jié) 洛必達法則洛必達法則 : 00 洛必達法則洛必達法則型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、 三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題二、二、0,0,00,1,0,00,1,0型未定式解型未定式解法法機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束.00 )()(lim )()()()(型未定式型未定式或或常把這種極限稱為常把這種極限稱為在通在通可能存在、也可能不存可能存在、也可能不存極限極限大，那末大，那末都趨于零或都趨于無窮都趨于零或都趨于無窮與與時，兩個函數(shù)時，兩個函數(shù)或或如果當如果當 xFxfxFxfxaxxax一

2、、一、 ： 洛比達法則洛比達法則 00型未定式解法型未定式解法型及型及 【定義】【定義】【例如】【例如】,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx )00()( 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(,)2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxax 那末那末或為無窮大或為無窮大存在存在且且都存在都存在及及點的某去心鄰域內(nèi)點的某去心鄰域內(nèi)在在都趨于零都趨于零及及函數(shù)函數(shù)時時當當設設【定理【定理1 1】【定義】這種在一定條件下通過分子分母分別求

3、導【定義】這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則. .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【證】【證】 定義輔助函數(shù)定義輔助函數(shù), 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF,),(xaU內(nèi)任取一點內(nèi)任取一點在在 , 為端點的區(qū)間上為端點的區(qū)間上與與在以在以xa , )(),(11件件滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的條條xFxf則有則有)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()( Ff )(之間之間與與在在ax ,aax 時時當當,)()(li

4、mAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax 【證完】【證完】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束使使用用洛洛必必達達法法則則，即即定定理理的的條條件件，可可以以繼繼續(xù)續(xù)滿滿足足型型，且且仍仍屬屬如如果果 )(),(00)()( )1(xFxfxFxf . , )2(該法則仍然成立該法則仍然成立時時當當 x.)()(lim)()(lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxax.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx . , , )3(應的洛必達法則應的洛必達法則也有相也有相時的未定式時的未定式當當 x

5、ax（即定理（即定理2 2）【注】【注】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【例【例1 1】【解】【解】.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原原式式1seclim20 xx . 1 【例【例2 2】【解】【解】.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原原式式266lim1 xxx.23 )00()00(機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【注意】【注意】（1 1） 上式中上式中 已不是未定式，已不是未定式，不能再使用洛必達法則，否則導致不能再使用洛必達法則，否則導致錯誤的結(jié)果錯誤的結(jié)果. .266

6、lim1 xxx（2 2） 由此可見，在使用羅必達法則時應由此可見，在使用羅必達法則時應步步整理、步步判別。如果不是未定式就步步整理、步步判別。如果不是未定式就堅決不能用洛必達法則。堅決不能用洛必達法則。機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【例【例3 3】【解】【解】.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 【例【例4 4】【解】【解】.sinlnsinlnlim0bxaxx 求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原原式式. 1 )00()( bxaxxcoscoslim0 機動機動 目錄目錄 上

7、頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【例【例5 5】【解】【解】.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 00機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【例【例6 6】)0 ( lim 為正整數(shù)，為正整數(shù)，求求nexxnx【解】【解】相繼應用洛必達法則相繼應用洛必達法則n n次，得次，得 xnxxnxenxex 1lim lim xnxexn 0!lim 0 )( 【

8、教材例【教材例5 5】)0( lnlim nxxnx求求【解】【解】11lim lnlim nxxnxnxxx01lim nxnx)( 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【注意】洛必達法則是求未定式極限的一種有效【注意】洛必達法則是求未定式極限的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好. .【例【例7 7】【解】【解】.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原原式式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 或或上式上式22031sec

9、limxxx 2203tanlimxxx 313lim220 xxx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束二、二、0,00,1,0 型未定式解法型未定式解法【例【例8 8】【解】【解】.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 2limxxe . 【關(guān)鍵】將以上其它類型未定式化為洛必達法則可【關(guān)鍵】將以上其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型解決的類型 ),00()( 【步驟】【步驟】 100100 或或注：以下寫法僅是記號注：以下寫法僅是記號1. 【0】型】型2limxexx 原原式式 , . 00 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【例【

10、例9 9】【解】【解】).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 0000 xxxxxsinsinlim0 原原式式xxxxxcossincos1lim0 . 0 【步驟】【步驟】xxxxxsincos2sinlim0 2. 【】型】型 . 00 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【說明】【說明】 上式中上式中xxxxxsinsinlim0 可結(jié)合等價無窮小可結(jié)合等價無窮小代換更簡單。先代換，再用洛必達法則代換更簡單。先代換，再用洛必達法則)0( sinxxx200sinlimsinsinlimxxxxxxxxx 02sinlim0 xxxxx2cos1lim

11、0 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【步驟】【步驟】 ln01ln0ln01000取對數(shù)取對數(shù).0 【例【例1010】【解】【解】.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 3. 【00,1,0】 型型冪指函數(shù)類冪指函數(shù)類機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【實質(zhì)】【實質(zhì)】 先化為復合函數(shù)：先化為復合函數(shù)：uvveuln 利用復合函數(shù)的外層函數(shù)的連續(xù)性：利用復合函數(shù)的外層函數(shù)的連續(xù)性：極限符號與函數(shù)符號交換位置，結(jié)合極限符號與函數(shù)符號交換位置，

12、結(jié)合洛必達法則求極限洛必達法則求極限. .【例【例1111】【解】【解】.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原原式式xxxe 1ln lim111 lim1 xxe.1 e機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【例【例1212】【解】【解】.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取取對對數(shù)數(shù)得得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原原式式機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【例【例131

13、3】【解】【解】.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原原式式).sin1(limxx 極限振蕩不存在極限振蕩不存在故洛必達法則失效。但故洛必達法則失效。但)cos11(limxxx 原原式式. 1 【注意】洛必達法則的使用條件：充分條件，不必要【注意】洛必達法則的使用條件：充分條件，不必要機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束三、小結(jié)洛必達法則洛必達法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 )00(uvveuln 取對數(shù)取對數(shù)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【思考題】設設)()(limxgxf是是不不定定型型極極限限，如如果果)(