第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念及性質(zhì)ppt課件

1、第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級數(shù)概念及性質(zhì) 第二節(jié) 數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法 第三節(jié) 冪級數(shù) 第四節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開 第五節(jié) 冪級數(shù)應(yīng)用 第六節(jié) 傅里葉級數(shù) 返 回CALCULUS 返回第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級數(shù)概念及性質(zhì)數(shù)項(xiàng)級數(shù)概念及性質(zhì)一、數(shù)項(xiàng)級數(shù)概念一、數(shù)項(xiàng)級數(shù)概念二、數(shù)項(xiàng)級數(shù)及其性質(zhì)二、數(shù)項(xiàng)級數(shù)及其性質(zhì)第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 導(dǎo)言：無窮級數(shù)是研究無限個離散量之和的數(shù)學(xué)模型.它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的有力工具. 本章主要介紹數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念、性質(zhì)與斂散性判別法；冪級數(shù)的收斂性及將函數(shù)展開為冪級數(shù).第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級數(shù)概念及性質(zhì)數(shù)項(xiàng)級數(shù)概念及性質(zhì) 求和

2、運(yùn)算是數(shù)學(xué)的最基本運(yùn)算，從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)隨時(shí)都可以遇到，這些求和主要是有限項(xiàng)之和.如：數(shù)值相加、函數(shù)相加、數(shù)列求和等.如：等比數(shù)列求和. 1)1 ( 12rraarararaSnnn 實(shí)際問題中, 除了要遇到有限項(xiàng)求和外, 經(jīng)常還要遇到從有限個數(shù)量相加到無窮個數(shù)量相加的問題.則有這里就出現(xiàn)了無窮個數(shù)量相加問題. 圓的面積問題: 半徑為 的圓的面積為 .在圓內(nèi)作圓的內(nèi)接正六邊形其面積為 ；以正六邊形邊為底頂點(diǎn)在圓周上作三角形其面積和為 ；以此類推有RS1a2a1aS 21aaSininaS1limnaaaS21321aaaS設(shè)數(shù)列 ,21,321,161,81,41,21n將數(shù)列的所有項(xiàng)按照

3、給定的次序相加，得到表達(dá)式)1 ( 21321161814121n用 表示上式的前n 項(xiàng)和，即nS,211S,41212S,21814121,nnS這樣就得到一個數(shù)列 ,321nSSSS 由數(shù)列極限概念，可知數(shù)列 在 時(shí)的極限，可以看成1式的和.nSn由等比數(shù)列求和公式得nnnS21121121121于是1211limlimnnnnS121161814121n所以 此例說明為了解決無窮項(xiàng)相加21221321問題，按照有限與無限之間的辨證轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以通過數(shù)列極限給出其和的概念，即數(shù)項(xiàng)級數(shù)概念.一 、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 定義1 若數(shù)列u1, u2, , un , ，按其給定次序用加號將其連接起來所得

4、和式簡記為 . 稱其為數(shù)項(xiàng)級數(shù), 稱其第n 項(xiàng)un為通項(xiàng)或一般項(xiàng). 級數(shù)的前n項(xiàng)和1nnunuuu21nniinuuuuS211稱為級數(shù)的前n項(xiàng)部分和. nS數(shù)列 稱為部分和數(shù)列.,32121211nnuuuuSuuSuS假設(shè) 存在, 則稱級數(shù) 收斂, 并稱此極限值 S 為級數(shù)的和, 記為 . 假設(shè) 不存在, 則稱級數(shù) 發(fā)散. 定義2 設(shè)級數(shù) 的前 n 項(xiàng)部分和數(shù)列為，,:21nnSSSSSSnnlim1nnuSunn1nnSlim1nnu1nnu假設(shè) 收斂，則稱1nnu21nnnnuuSSr為級數(shù) 的余項(xiàng).1nnu例 判定級數(shù) 的收斂性.1) 12)(12(2nnn) 12)(12(2532

5、312nnSn解 所給級數(shù)的前n項(xiàng)和, 11211limlimnSnnn可知故所給級數(shù)收斂，且和為1.12112151313111nn,1211n例 判定級數(shù) 的收斂性.11lnnnn解 由 得nnnnunln) 1ln(1lnnnuuuS21可知) 1ln(limlimnSnnn由級數(shù)的斂散定義知，級數(shù) 發(fā)散.11lnnnnln) 1ln() 2ln3(ln) 1ln2(lnnn)1ln(n 例 判定等比級數(shù) 的斂散性.1211nnnarararaar 解 假設(shè) 時(shí), 1r. 1)1 ( 12rraarararaSnnn當(dāng)|r|1時(shí), 因 , 所以 即級數(shù)發(fā)散. nnrlimnnSlim當(dāng)

6、時(shí), 因 所以 即級數(shù)發(fā)散.1r. naSnnnSlim當(dāng) 時(shí), 因 不存在, 級數(shù)發(fā)散.1r, 0122aSSnnnnSlim11nnarra1綜上, 當(dāng)|r|1時(shí), 當(dāng)|r|1時(shí) 發(fā)散.11nnar二、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 若級數(shù) 收斂, 其和為S, 則對任意常數(shù) ，則級數(shù) 也收斂, 且其和為k S. 1nnu1nnku0k證 設(shè)級數(shù) 與 的部分和分別為 與1nnu1nnkunSnTnnnkSkukukuT21由于 ，于是極限 與 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散，從而級數(shù) 與 的斂散性相同.且)0( kkSTnnnnTlimnnSlimnunkukSSkkSTnnnnnnlimlimlim 性質(zhì)

7、2 假設(shè) 收斂, 其和為S ； 收斂, 其和為T 那么 必收斂, 其和為 .1nnu1nnv1)(nnnvuTS 證 設(shè) ， ， 的部分和為 ， 與1nnu1nnvnSnT1)(nnnvunRnnnnnTSvuvuvuR)()()(2211因?yàn)?， ，所以 Sunn1Tvnn1SSnnlimTTnnlimTSTSTSRnnnnnnnnnlimlim)(limlim于是所以，級數(shù) 收斂于1)(nnnvuTS 性質(zhì)3 在級數(shù) 中去掉或添加有限項(xiàng), 所得新級數(shù)與原來級數(shù)的收斂性相同.1nnu 性質(zhì)4 收斂級數(shù)添括號后所得級數(shù)仍收斂且和不變例 斷定 的收斂性.13521nnn所以由級數(shù)收斂性質(zhì)知 收斂

8、.13521nnn解 因?yàn)榈缺燃墧?shù) 與 均收斂121nn135nn (1) 假設(shè) 收斂， 發(fā)散, 那么 必定發(fā)散.1nnu1nnv1)(nnnvu (2) 假設(shè) 發(fā)散， 也發(fā)散, 那么 不一定發(fā)散.1nnu1nnv1)(nnnvu (4) 假設(shè) 發(fā)散, 則添括號的新級數(shù)不一定發(fā)散.1nnu思考與練習(xí)：以下命題請給出證明或反例.(3) 若級數(shù) 發(fā)散, 則級數(shù) (k0) 必定發(fā)散.1nnu1nnku 定理 (收斂必要條件) 假設(shè) 收斂, 則必有1nnu. 0limnnu又 由極限的運(yùn)算法則可知1nnnSSu證 由于 收斂，因而 .1nnuSSSSnnnn1limlim，注意：這個定理的逆命題不正確

9、, 即級數(shù)的通項(xiàng)的極限為零，并不一定能保證 收斂.1nnu. 0limlim)(limlim11SSSSSSunnnnnnnnnnnnnuulim 0lim1nnu推論 假設(shè) 或 不存在, 那么 必定發(fā)散.例 證明調(diào)和級數(shù) 發(fā)散.nnn13121111 證明一 構(gòu)造幾何圖形，由圖可知級數(shù)的部分和等于圖形中矩形面積之和nknknS11131211此部分和大于曲邊梯形的面積即) 1ln(11111ndxxkSnnkn) 1ln(limnn因所以nnSlim故調(diào)和級數(shù)發(fā)散.1 2 3 4 n n+1xy1 證明二 假設(shè)級數(shù)收斂其和為S , 即 那么SSnnlimSSnn2lim于是0)(lim2SS

10、SSnnn而212121212121112nnnnnnSSnn故0)(lim2nnnSS由此矛盾，所以級數(shù)發(fā)散.對于調(diào)和級數(shù) 有 但級數(shù)發(fā)散.11nn. 01limlimnunnn例 判定級數(shù) 的斂散性.214332nn解 所給級數(shù)的通項(xiàng) ，21nnun, 0121limlimnnunnn所以級數(shù)為發(fā)散級數(shù). 例 (芝諾悖論)烏龜與阿基里斯賽跑問題:芝諾(古希臘哲學(xué)家)認(rèn)為如果先讓烏龜爬行一段路程后,再讓阿基里斯(古希臘神話中的賽跑英雄)去追它,那么阿基里斯將永遠(yuǎn)追不上烏龜. 芝諾的理論根據(jù)是：阿基里斯在追上烏龜前,必須先到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn),這時(shí)烏龜已向前爬行了一段路程,于是,阿基里斯必須趕上這段路程,可是烏龜此時(shí)又向前爬行了一段路程如此下去,雖然阿基里斯離烏龜越來越接近,但卻永遠(yuǎn)追不上烏龜. 該結(jié)論顯然是錯誤的,但從邏輯上講這種推論卻沒有任何矛盾這就是著名的芝諾悖論. 在此,我們用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行分析反駁. 設(shè)烏龜與阿基里斯起跑時(shí)的間距為 ,烏龜?shù)乃俣葹?, 阿基里斯的速度是烏龜?shù)?00倍,則由烏龜爬行到 的時(shí)間與阿基里斯到達(dá) 的時(shí)間相等有1sv2A1A0A1A2A3