分類(lèi)計(jì)數(shù)原理

1、分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理開(kāi)平市教倫中學(xué) 楊清波教學(xué)目標(biāo)：（一）知識(shí)目標(biāo)：1.分類(lèi)計(jì)數(shù)原理 2.分步計(jì)數(shù)原理（二）能力目標(biāo)：1.正確理解分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的內(nèi)容；;2.正確運(yùn)用兩個(gè)基本原理分析、解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；3.了解基本原理在實(shí)際生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用。（三）情感目標(biāo)要求學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中面對(duì)復(fù)雜的事務(wù)和現(xiàn)象，能夠作出正確的分析，準(zhǔn)確的判斷，進(jìn)而拿出完善的處理方案，提高實(shí)際的應(yīng)變能力，從而認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的內(nèi)在聯(lián)系及不可分割性。教學(xué)重點(diǎn)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理教學(xué)難點(diǎn)正確運(yùn)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理教學(xué)方法啟發(fā)引導(dǎo)式教具準(zhǔn)備多媒體教學(xué)過(guò)程一、創(chuàng)設(shè)情景-引入新課同學(xué)們，今天我們學(xué)

2、習(xí)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，那么什么是分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理呢？首先我們看第一個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：從北京到上海，可以乘火車(chē)，也可以乘汽車(chē)。一天中火車(chē)有3班，汽車(chē)有2班。那么一天中，乘坐這些交通工具從北京到上海共有多少種不同的走法？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，首先要弄清楚這道題是要完成從北京到上海這件事，只要從北京到上海，就算完成了這件事。其次，從北京到上海有幾類(lèi)走法？可以分兩類(lèi)走法，一類(lèi)是乘火車(chē)，另一類(lèi)是乘汽車(chē)，其中，乘火車(chē)有3種走法，乘汽車(chē)有兩種走法。第三，無(wú)論乘哪班火車(chē)或汽車(chē)，都能從北京直接到達(dá)上海。汽車(chē)1火車(chē)2火車(chē)3汽車(chē)2北京上?；疖?chē)1問(wèn)題2：商場(chǎng)里有上衣和褲子兩類(lèi)服裝，其中上衣有三種顏色，褲子有兩

3、種顏色，從這家商場(chǎng)里任買(mǎi)一件衣服，有多少種不同的選法？這兩個(gè)問(wèn)題中，要完成一件事，都有兩類(lèi)不同的辦法，每一類(lèi)辦法又有不同的方法，無(wú)論用哪種方法都能獨(dú)立完成這件事。二、觀察上面的例題，歸納分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理-形成概念（啟發(fā)式教學(xué)的應(yīng)用）由這兩個(gè)問(wèn)題我們就能得到分類(lèi)計(jì)數(shù)原理從北京到上海，乘火車(chē)有3種走法，乘汽車(chē)有2種走法，所以共有325種不同的走法.完成一件事，有n類(lèi)辦法，在第1類(lèi)辦法中有m1種不同的方法，在第2類(lèi)辦法中有m2種不同的方法，在第n類(lèi)辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N=m1m2mn種不同的方法同學(xué)們現(xiàn)在開(kāi)始理解記憶這個(gè)原理。根據(jù)剛才的理解記憶，需要注意一下幾個(gè)問(wèn)

4、題（1）首先弄清要完成一件什么事，怎樣才算完成這件事；（2）要確定一個(gè)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，分類(lèi)要做到“不重不漏”,即任意完成這件事的兩種方法都是不同的，且完成這件事的每一種方法必屬于某一類(lèi)；（3）各類(lèi)之間相互獨(dú)立，且每類(lèi)里的每種方法都能獨(dú)立完成這件事; （4）因?yàn)楦黝?lèi)方法數(shù)相加即可得到完成這件事的方法總數(shù)，所以分類(lèi)計(jì)數(shù)原理又叫加法原理.下面我們看第2個(gè)問(wèn)題這個(gè)問(wèn)題與問(wèn)題1有什么不同？上衣和褲子各三種顏色。實(shí)際上分成兩類(lèi)，每類(lèi)有三種顏色。選擇的方法有：上衣顏色1，上衣顏色2，上衣顏色3，褲子顏色1，褲子顏色2，褲子顏色3，一共6種選擇方法，實(shí)際上是3×2 = 6再看一個(gè)類(lèi)似的問(wèn)題：從北京到上海，

5、要從北京先乘火車(chē)到鄭州，再于第二天從鄭州乘汽車(chē)到上海.一天中從北京到鄭州的火車(chē)有3班，從鄭州到上海的汽車(chē)有2班.那么兩天中，從北京到上海共有多少種不同的走法？這個(gè)問(wèn)題與問(wèn)題1有什么不同？這個(gè)問(wèn)題也是要完成從北京到上海這件事，但是這個(gè)問(wèn)題又與問(wèn)題1不同，問(wèn)題1中乘火車(chē)或汽車(chē)中的任何一種，都能直接到達(dá)上海，而這個(gè)問(wèn)題里面，無(wú)論單獨(dú)乘火車(chē)或汽車(chē)都不能從北京直接到達(dá)上海，要從北京到上海必須分兩步，第一步要先到鄭州，然后才能從鄭州到達(dá)上海，只有這兩步都完成了，才能從北京到達(dá)上海。從北京到鄭州乘火車(chē)有3種走法，再?gòu)泥嵵莸缴虾３似?chē)有2種走法，并且兩步依次完成后，才能到達(dá)上海，所以共有3×2 =

6、6種不同的走法火車(chē)1火車(chē)3汽車(chē)1汽車(chē)2北京上海火車(chē)2鄭州所有走法：火車(chē)1汽車(chē)1 火車(chē)1汽車(chē)2火車(chē)2汽車(chē)1 火車(chē)2汽車(chē)2火車(chē)3汽車(chē)1 火車(chē)3汽車(chē)2 由這兩個(gè)問(wèn)題我們就得到分步計(jì)數(shù)原理。完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2 × × mn種不同的方法.現(xiàn)在理解記憶分步計(jì)數(shù)原理。根據(jù)我們的理解記憶注意一下幾個(gè)問(wèn)題：（1）首先弄清要完成一件什么事，怎樣才算完成這件事； （2）確定一個(gè)合適的分步標(biāo)準(zhǔn)，注意每個(gè)步驟相互依存,缺一不可，只有連續(xù)完成每一個(gè)步驟，這件事才算完

7、成；（3）因?yàn)槊坎椒椒〝?shù)相乘得到完成這件事的方法總數(shù)，所以分步計(jì)數(shù)原理又叫乘法原理三、比較歸納-深化概念為了更好的掌握這兩個(gè)原理，我們來(lái)比較這兩個(gè)原理的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。1.共同點(diǎn)：都是計(jì)數(shù)原理，即統(tǒng)計(jì)完成某件事不同方法種數(shù)的原理，因此都要先弄清是怎樣一件事,如何才算完成這件事.2.不同點(diǎn)：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理中的n類(lèi)辦法相互獨(dú)立， 且每類(lèi)里的每種方法都可獨(dú)立完成這件事； 分步計(jì)數(shù)原理中的各個(gè)步驟互相依存，每一步都不能獨(dú)立完成該件事，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成.例題：第一個(gè)盒內(nèi)裝有6個(gè)不同的彩球，第二個(gè)盒內(nèi)裝有5個(gè)不同的彩球，第三個(gè)盒內(nèi)裝有4個(gè)不同的彩球。（1）從三個(gè)盒內(nèi)任取一個(gè)彩球，有幾種不

8、同的取法？（2）從三個(gè)盒內(nèi)各取一個(gè)彩球，有幾種不同的取法？第一個(gè)問(wèn)題，取球的方法有三類(lèi)，第一類(lèi)方法從第一個(gè)盒子里取一個(gè)球，第二類(lèi)方法從第二個(gè)盒子里取一個(gè)球，第三類(lèi)方法從第三個(gè)盒子里取一個(gè)球，從任何一個(gè)盒子里取一個(gè)球，都能完成這件事，所以用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理。第二個(gè)問(wèn)題，要完成這件事，需要分三個(gè)步驟，即要從每個(gè)盒子里各取一球，只有這三個(gè)步驟都完成了，才算完成了這件事。所以應(yīng)該用分步計(jì)數(shù)原理。四、學(xué)以致用-培養(yǎng)能力例1.書(shū)架的第一層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，第二層放有3本不同的文藝書(shū)，第3層放有2本不同的體育書(shū).（1）從書(shū)架上任取1本書(shū)，有多少種不同的取法？（2）從書(shū)架的第1、2、3層各取1本書(shū)，有多少種

9、不同的取法？分析：首先看問(wèn)題（1）和問(wèn)題（2）二的不同，第一個(gè)問(wèn)題無(wú)論從書(shū)架的那一層取一本書(shū)，都能完成這件事情，而第二個(gè)問(wèn)題從書(shū)架的1、2、3層各取一本書(shū) ，需要三個(gè)步驟，少一步都不能完成這件事情。解：（1）從書(shū)架上任取1本書(shū)，有3類(lèi)辦法：第1類(lèi)辦法是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書(shū)，有4種取法；第2類(lèi)辦法是從第2層取1本文藝書(shū)，有3種取法；第3類(lèi)辦法是從第3層取1本體育書(shū)，有2種取法.根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是：N=m1m2m3=4+3+2=9答:從書(shū)架上取1本書(shū)有9種不同的取法.（2）從書(shū)架的1、2、3層各取1本書(shū)，分3個(gè)步驟完成：第1步從第1層取1本計(jì)算機(jī)書(shū)，有4種取法；第2步從第2層取1

10、本文藝書(shū)，有3種取法；第3步從第3層取1本體育書(shū)，有2種取法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是：N=m1×m2 × m34×3×224答:從書(shū)架的第1、2、3層各取1本書(shū)，有24種不同的取法.歸納總結(jié)該例題：（啟發(fā)式教學(xué)的應(yīng)用）用兩個(gè)原理解題的步驟： 第一步：指明要完成一件什么事，并依事件特點(diǎn)確定是分“n類(lèi)”還是分“n步” ；第二步：求每 “類(lèi)”或每“步”中不同方法的種數(shù)； 第三步：利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法總數(shù)； 例2 一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤(pán),每個(gè)撥號(hào)盤(pán)上有從0到9共10個(gè)數(shù)字,這4個(gè)撥號(hào)盤(pán)可以組成多少個(gè)四位數(shù)字的號(hào)碼?解：由于號(hào)碼鎖的

11、每個(gè)撥號(hào)盤(pán)有0到9這10個(gè)數(shù)字，每個(gè)撥號(hào)盤(pán)的數(shù)字有10種取法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，4個(gè)撥號(hào)盤(pán)上各取1個(gè)數(shù)字組成的個(gè)數(shù)是 N=10×10×10×10=10000本題的特點(diǎn)是數(shù)字可以重復(fù)使用，例如0000，1111，1212等等，與分步計(jì)數(shù)原理比較，這里完成每一步的方法數(shù) m=10，有n=4個(gè)步驟,結(jié)果是總個(gè)數(shù)N=104 一般的，完成一件事有n個(gè)步驟，每一步驟的方法數(shù)相同，都是m, 則完成這件事共有mn 種不同方法。 （牢記：步驟數(shù)n是指數(shù)?。├?. 如圖是廣場(chǎng)中心的一個(gè)大花壇，國(guó)慶期間要在A、B、C、D四個(gè)區(qū)域擺放鮮花，有4種不同顏色的鮮花可供選擇,規(guī)定每個(gè)區(qū)域只準(zhǔn)擺

12、放一種顏色的鮮花，相鄰區(qū)域鮮花顏色不同，問(wèn)共有多少種不同的擺花方案？解：給圖中四個(gè)區(qū)域擺放鮮花，有4類(lèi)辦法：ABDC第1類(lèi)四個(gè)區(qū)域鮮花顏色全不相同，依A、B、C、D的順序依次擺放，共有4×3×2×124種；第2類(lèi)AC同色，BD不同色，共有4×3×224種；第3類(lèi)BD同色，AC不同色，共有4×3×224種；第4類(lèi)AC同色，BD同色，共有4×312種.依據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，共有不同的擺花方案種數(shù)為：N=24+24+24+12=84答：共有84種不同的擺花方案鞏固練習(xí)：1填空：（1）一件工作可以用2種方法完成，有5人會(huì)第一種方法完成，另有4人會(huì)用第2種方法完成，從中選出1人來(lái)完成這件工作，不同的選法的種數(shù)是 9 . (2)從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，不同走法的種數(shù)是 6 . 2.現(xiàn)有高中一年級(jí)的學(xué)生3名，高中二年級(jí)的學(xué)生5名，高中三年級(jí)的學(xué)生4名. （1）從中選1人參加接待外賓的