基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)(共8頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì) 張中華教材：人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（A版）必修5課題：3.4 基本不等式（第一課時(shí)）一、教材分析基本不等式是高中教材人教A版必修五第三章第三節(jié)的內(nèi)容，是不等式這一章中繼一元二次不等式、簡(jiǎn)單線性規(guī)劃之后，從幾何背景（趙爽的弦圖）中抽離出的基本結(jié)論，是證明其他不等式成立的重要依據(jù)，也是求解最值問題的有力工具之一。就本章的編寫而言，教材講究從直觀性上學(xué)習(xí)，注重每個(gè)數(shù)學(xué)模型引領(lǐng)數(shù)學(xué)思想的教材編排暗線，并且都體現(xiàn)出遵循從幾何背景入手，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想。本節(jié)內(nèi)容在此基本上滲透不等式的證明方法（比較法、綜合法、分析法），并且會(huì)在后續(xù)學(xué)習(xí)

2、時(shí)再次得到加強(qiáng)。基本不等式的學(xué)時(shí)安排是3課時(shí)，它涉及基本不等式的推導(dǎo)教學(xué)和求解最值問題兩大部分。本節(jié)課是基本不等式教學(xué)的第一課時(shí)，其主要學(xué)習(xí)任務(wù)是通過趙爽弦圖中面積的直觀比較、抽象概括，提煉出不等式。在此基礎(chǔ)上，通過演繹替換、證明探究、數(shù)形結(jié)合及實(shí)際應(yīng)用等四種不同的角度引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)基本不等式。其中基本不等式的證明是從代數(shù)、幾何多方面展開，既有邏輯推理，又有直觀的幾何解釋，使學(xué)生充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，進(jìn)一步培養(yǎng)其抽象概括能力和推理論證能力。這就使得不等式的證明成為本節(jié)課的核心內(nèi)容。二、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過程。教學(xué)難點(diǎn)：從不

3、同角度探索基本不等式的證明，能利用基本不等式的模型求解函數(shù)最值。三、教學(xué)目標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本節(jié)課的要求有以下兩條：探索并了解基本不等式的證明過程；會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題。根據(jù)課標(biāo)要求和本節(jié)教學(xué)內(nèi)容，并考慮學(xué)生的接受能力，我將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：1、知識(shí)與能力目標(biāo)：理解掌握基本不等式，并能運(yùn)用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單的求最值問題；理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念，學(xué)會(huì)構(gòu)造條件使用基本不等式；培養(yǎng)學(xué)生探究能力以及分析問題解決問題的能力。2、過程與方法目標(biāo)：按照創(chuàng)設(shè)情景，提出問題 剖析歸納證明 幾何解釋 應(yīng)用（最值的求法、實(shí)際問題的解決）的過程呈現(xiàn)。啟動(dòng)觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維

4、活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法，通過運(yùn)用多媒體的教學(xué)手段，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)探索基本不等式性質(zhì)，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，體驗(yàn)成功的樂趣。3、情感與態(tài)度目標(biāo)：通過問題情境的設(shè)置，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界，通過數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界，從而培養(yǎng)學(xué)生善于思考、勤于動(dòng)手的良好品質(zhì)。四、學(xué)生學(xué)情分析學(xué)生在此之前已經(jīng)具備了平面幾何的基本知識(shí)，掌握了不等式的基本性質(zhì)和比較法證明不等式。在學(xué)習(xí)本節(jié)課前盡管學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的最值問題以及不等式的性質(zhì)和解法，但對(duì)于用不等式模型來(lái)解決問題及基本不等式的各種幾何背景學(xué)生還是有一些困難，一時(shí)很難接受；從重要不等式到基本不等式的簡(jiǎn)潔結(jié)

5、構(gòu)使得變量范圍是從全體實(shí)數(shù)變化為正實(shí)數(shù)，很不好理解；對(duì)于變量存在和或者積為定值也需仔細(xì)觀察，在整體的變化過程中取最值是整體與局部的數(shù)學(xué)思想容易忽視。另外，教材中提出探究基本不等式的幾何解釋需要學(xué)生具備良好的邏輯推理能力，而且圖形中線段間的關(guān)系也比較隱蔽，不易被發(fā)現(xiàn)。因此，我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：從不同角度探索基本不等式的證明，能利用基本不等式的模型求解函數(shù)最值。五、教學(xué)策略分析本節(jié)課采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在教師的引導(dǎo)下，以學(xué)生的自主探究與合作交流為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，以“基本不等式的發(fā)現(xiàn)與證明”為基本研究?jī)?nèi)容，為學(xué)生提供自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)

6、生在知識(shí)的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力。六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1、創(chuàng)設(shè)情境國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)被譽(yù)為是數(shù)學(xué)界的奧林匹克盛會(huì)，每次大會(huì)上都會(huì)宣布菲爾茲獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)名單。諾貝爾獎(jiǎng)中唯獨(dú)沒有設(shè)置數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，而菲爾茲獎(jiǎng)被譽(yù)為國(guó)際數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)。迄今為止已有兩位華人數(shù)學(xué)家獲此殊榮，第一位是美籍華人丘成桐教授，在班會(huì)中我們?cè)雎犨^他的演講，第二位是澳洲華裔數(shù)學(xué)家陶哲軒。在2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)來(lái)到北京，請(qǐng)看大會(huì)會(huì)標(biāo)。會(huì)標(biāo)根據(jù)三國(guó)時(shí)期吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽用于證明“勾股定理”的弦圖設(shè)計(jì)，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。下面請(qǐng)同學(xué)們思考以下問題。2、公式引讀問題1：會(huì)標(biāo)

7、中含有怎樣的幾何圖形？學(xué)生一致回答三角形和正方形問題2：你能否在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？學(xué)生們開動(dòng)腦筋，找到很多相等關(guān)系與不等關(guān)系，下面我們從圖形面積角度量化研究“四個(gè)直角三角形面積小于大正方形面積”這一不等關(guān)系。 生1：，得； 生2：，得。 問題3：四個(gè)直角三角形面積與大正方形面積什么時(shí)候?qū)崿F(xiàn)相等？ 生1：時(shí)(從數(shù)的角度) 生2：中間小正方形四點(diǎn)合一時(shí)(從形的角度) 兩位同學(xué)分別從數(shù)與形的角度給出結(jié)論，教師利用幾何畫板改變弦圖中兩直角邊的長(zhǎng)度，展示運(yùn)動(dòng)變化的弦圖，請(qǐng)學(xué)生進(jìn)一步觀察體會(huì)?！驹O(shè)計(jì)意圖】介紹國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)以及趙爽的相關(guān)背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，滲透愛國(guó)主義教育。提出弦

8、圖中面積間的不等關(guān)系，體會(huì)相對(duì)關(guān)系與不等關(guān)系的辯證統(tǒng)一，展現(xiàn)趙爽弦圖的構(gòu)圖巧妙、精致，體現(xiàn)數(shù)與形的完美統(tǒng)一，讓學(xué)生對(duì)弦圖的認(rèn)識(shí)清晰、完整。同時(shí)通過運(yùn)動(dòng)變化將直觀的面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為隱含的數(shù)值關(guān)系?！練w納】對(duì)于兩直角邊，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。問題4：上式對(duì)正實(shí)數(shù)是成立的，那么對(duì)任意實(shí)數(shù)，上式都成立嗎？請(qǐng)證明自己的結(jié)論。（請(qǐng)學(xué)生自主探究完成證明，學(xué)生比較自然的想到用“比較法”證明。教師利用投影儀展示學(xué)生的完整證明過程。強(qiáng)調(diào)和兩種情況，說明“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義。）【歸納】由圖形中面積間的不等關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)了兩實(shí)數(shù)間的這一事實(shí)：對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立?！驹O(shè)計(jì)意圖】問題4給學(xué)生提供思維發(fā)展的空

9、間，讓學(xué)生從對(duì)知識(shí)的直觀感知上升到理性證明，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程及其嚴(yán)謹(jǐn)性，又鞏固了證明不等式的基本方法，為后續(xù)證明基本不等式做鋪墊。在此過程中給學(xué)生提供了一種研究思路：由圖形中的不等關(guān)系可以獲得相應(yīng)實(shí)數(shù)間的一些不等式，滲透數(shù)形結(jié)合思想。問題5：對(duì)于上式，如果,用代替，代替可得到什么結(jié)論？，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。問題6：請(qǐng)用不等式的性質(zhì),證明這個(gè)不等式。 方法一：作差比較或由展開證明。 方法二：分析法（完成課本填空）設(shè)計(jì)依據(jù)：課本是學(xué)生了解世界的窗口和工具，所以，課本必須成為學(xué)生賴以學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的文本。在教學(xué)中要讓學(xué)生學(xué)會(huì)認(rèn)真看書、用心思考，養(yǎng)成講講議議、動(dòng)手動(dòng)筆、仔細(xì)觀察、用心體會(huì)的好

10、習(xí)慣，真正學(xué)會(huì)讀“數(shù)學(xué)書”。要證 只要證 要證,只要證 要證,只要證 顯然, 是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí), 中的等號(hào)成立 。 【歸納】證明方法叫做分析法，實(shí)際上是尋找結(jié)論的充分條件，執(zhí)果索因的一種思維方法?！驹O(shè)計(jì)意圖】激發(fā)學(xué)生的思維，使其從多角度發(fā)現(xiàn)不等式與不等式的內(nèi)在聯(lián)系，認(rèn)識(shí)到它們是對(duì)同一個(gè)事實(shí)的兩種不同描述，其本質(zhì)是一致的。同時(shí)也能促進(jìn)學(xué)生形成對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)行反思的意識(shí)與習(xí)慣。此處的證明由學(xué)生獨(dú)立完成，相互交流，并展示不同的證明方法，這樣既能使不同認(rèn)知基本的學(xué)生暴露出不同的問題，并加以解決，又能教會(huì)學(xué)生欣賞同伴身上的閃光點(diǎn)，發(fā)揚(yáng)合作精神。3、公式構(gòu)想【歸納】通常我們把不等式 ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)

11、取等號(hào)。稱為基本不等式。我們把 叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)?；静坏仁轿淖?jǐn)⑹鰹椋簝蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)?；静坏仁綄?shí)質(zhì)反映的是兩個(gè)正數(shù)的和與積之間的不等關(guān)系。【過渡】從代數(shù)的角度我們證明了基本不等式，實(shí)際上，在許多幾何圖形中也都蘊(yùn)含著基本不等式，下面就讓我們回歸到直觀圖形進(jìn)一步理解基本不等式?！締栴}7】你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?如圖,點(diǎn)C是AB上一點(diǎn), AC=a，BC=b， 以AB為直徑作圓, O為圓心，過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DC,連接AD、BD、OD。如何用a, b表示OD? 如何用a, b表示CD?OD與CD的大小關(guān)系怎樣?

12、(請(qǐng)學(xué)生合作探究完成，并展示說明：生1：直角三角形中，斜邊大于直角邊； 生2：在直角三角形中，斜邊上的中線不小于斜邊的高。 生3：在圓中，半徑不小于半弦。)【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)圖形的探究多角度說明基本不等式的幾何意義，由于學(xué)生對(duì)問題的分解能力不足，不知如何入手探究，并且表示的線段及其幾何意義學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)。為了幫助學(xué)生，我將問題7分解為三個(gè)小問題，從運(yùn)動(dòng)變化的角度幫助學(xué)生觀察、歸納。一方面，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)結(jié)合的基本思想；另一方面，培養(yǎng)學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化的角度思考問題、解決問題的能力，多角度認(rèn)識(shí)基本不等式的幾何解釋?！具^渡】基本不等式體現(xiàn)的是兩個(gè)正數(shù)的和與積之間的不等關(guān)系，這在解決實(shí)際問題中有著廣泛應(yīng)

13、用，是解決最值問題的有力工具。4、公式活用 例1：(1)用籬笆圍成一個(gè)面積為100m2的矩形菜園,問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？ （請(qǐng)學(xué)生嘗試完成，并表述解題過程，教師板書。強(qiáng)調(diào)能取得最小值的原因及等號(hào)成立的條件。教師歸納：根據(jù)基本不等式發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)正數(shù)積為定值時(shí)，和存在最小值。） (2)用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？ （請(qǐng)學(xué)生嘗試完成，并表述解題過程，教師板書。強(qiáng)調(diào)能取得最大值的原因及等號(hào)成立的條件。教師歸納：根據(jù)基本不等式發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)正數(shù)和為定值時(shí)，積存在最大值。）【設(shè)計(jì)意圖】本題是基本

14、不等式在實(shí)際問題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，一方面，讓學(xué)生知道可以利用基本不等式求解最大（?。┲档膯栴}；另一方面，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基本不等式的理解，特別是等號(hào)成立的條件，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，具備反思的意識(shí)，也為后續(xù)提出“一正，二定，三相等”做鋪墊。 5、課堂小結(jié) （1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么? （2）在應(yīng)用基本不等式時(shí)，需要注意哪幾點(diǎn)？ （3）在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？（請(qǐng)學(xué)生發(fā)言，并相互補(bǔ)充，教師點(diǎn)評(píng)即可。教師可適當(dāng)總結(jié)本節(jié)課所應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想與方法。）【總結(jié)提升】本節(jié)課我們從幾何圖形中發(fā)現(xiàn)重要不等式，并抽象出基本不等式，又從代數(shù)的角度證明了基本不等式的正確性，并回歸到圖形中理解了基本不等式的幾何意義。這是一個(gè)由形到數(shù)又到形的過程，數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想在此得到了淋漓盡致的體現(xiàn)。理論聯(lián)系實(shí)際方顯基本不等式的強(qiáng)大作用，在應(yīng)用中我們進(jìn)