第2章 2.5.1 離散型隨機(jī)變量的均值

1、教育精選2.5隨機(jī)變量的均值和方差2.5.1離散型隨機(jī)變量的均值1了解取有限值的離散型隨機(jī)變量的均值的意義，會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望值(重點(diǎn)、難點(diǎn))2掌握隨機(jī)變量均值的線性性質(zhì)及兩點(diǎn)分布、超幾何分布和二項(xiàng)分布的均值公式(重點(diǎn))3能運(yùn)用離散型隨機(jī)變量的均值來解決一些簡單的實(shí)際問題(重點(diǎn))基礎(chǔ)·初探教材整理離散型隨機(jī)變量的均值閱讀教材P68P70，完成下列問題1離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)的定義若離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下表所示，Xx1x2xnPp1p2pn則稱x1p1x2p2xnpn為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，記為E(X)或，即E(X)x1p1x2p2xnp

2、n，其中，xi是隨機(jī)變量X的可能取值，pi是概率，pi0，i1,2，n，p1p2pn1.2超幾何分布、二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望(1)超幾何分布：若XH(n，M，N)，則E(X).(2)二項(xiàng)分布：若XB(n，p)，則E(X)np.1下列說法正確的有_(填序號)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個(gè)變量，其隨X的變化而變化；隨機(jī)變量的均值反映樣本的平均水平；若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)2，則E(2X)4；隨機(jī)變量X的均值E(X).【解析】錯(cuò)誤，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X)是個(gè)常量，是隨機(jī)變量X本身固有的一個(gè)數(shù)字特征錯(cuò)誤，隨機(jī)變量的均值反映隨機(jī)變量取值的平均水平正確，由均值的性質(zhì)可知錯(cuò)誤，因?yàn)镋(X)x1p1x

3、2p2xnpn.【答案】2已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X123P則X的數(shù)學(xué)期望E(X)_.【解析】E(X)1×2×3×.【答案】3若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B，則E(X)的值為_【解析】E(X)np4×.【答案】質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型超幾何分布、二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望(1)從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有X個(gè)紅球，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)_.(2)某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為p0.6，則求一次投籃時(shí)命中次數(shù)的均值E()；

4、求重復(fù)5次投籃時(shí)，命中次數(shù)的均值E()【精彩點(diǎn)撥】(1)利用超幾何分布求E(X)(2)利用二項(xiàng)分布求E()和E()【自主解答】(1)由題意可知，XH(2,3,5)，E(X).【答案】(2)由題意可知，B(1,0.6)，E()0.6.由題意可知，B(5,0.6)，E()5×0.63.1通過本例可以看出，若隨機(jī)變量服從超幾何分布或二項(xiàng)分布，利用各自的數(shù)學(xué)期望公式求均值更方便2超幾何分布、二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望的求法步驟：(1)判斷隨機(jī)變量是否服從超幾何分布或二項(xiàng)分布；(2)找出相應(yīng)的參數(shù)；(3)利用數(shù)學(xué)期望公式求E(X)再練一題1某種種子每粒發(fā)芽的概率為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有

5、發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，每個(gè)坑至多補(bǔ)種一次，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為()A100B200C300D400【解析】由題意可知，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，X服從二項(xiàng)分布，即XB(1 000,0.1)，所以不發(fā)芽種子的數(shù)學(xué)期望為1 000×0.1100.所以補(bǔ)種的種子數(shù)的數(shù)學(xué)期望為2×100200.【答案】B定義法求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望盒中共有9個(gè)球，其中有4個(gè)紅球、3個(gè)黃球和2個(gè)綠球，這些球除顏色外完全相同(1)從盒中一次隨機(jī)取出2個(gè)球，求取出的2個(gè)球顏色相同的概率P；(2)從盒中一次隨機(jī)取出4個(gè)球，其中紅球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別記為x1，x2，x3，隨機(jī)變量X

6、表示x1，x2，x3中的最大數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X)【精彩點(diǎn)撥】(1)利用古典概型求解(2)先寫出X的可能取值，計(jì)算出概率并列出概率分布，利用數(shù)學(xué)期望定義求解【自主解答】(1)取到的2個(gè)顏色相同的球可能是2個(gè)紅球、2個(gè)黃球或2個(gè)綠球，所以P.(2)隨機(jī)變量X所有可能的取值為2,3,4.X4表示的隨機(jī)事件是“取到的4個(gè)球是4個(gè)紅球”，故P(X4)；X3表示的隨機(jī)事件是“取到的4個(gè)球是3個(gè)紅球和1個(gè)其他顏色的球，或3個(gè)黃球和1個(gè)其他顏色的球”，故P(X3)；于是P(X2)1P(X3)P(X4)1.所以隨機(jī)變量X的概率分布如下表：X234P因此隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)2×3

7、×4×.1求解本題的關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量X的含義，同時(shí)計(jì)算P(X2)時(shí)采用了間接法2定義法求數(shù)學(xué)期望的步驟：(1)確定隨機(jī)變量的取值；(2)求隨機(jī)變量的概率分布；(3)根據(jù)E(X)x1p1x2p2xnpn求數(shù)學(xué)期望E(X)再練一題2盒中裝有5節(jié)同牌號的五號電池，其中混有兩節(jié)廢電池現(xiàn)在無放回地每次取一節(jié)電池檢驗(yàn)，直到取到好電池為止，求抽取次數(shù)X的分布列及均值【解】X可取的值為1,2,3，則P(X1)，P(X2)×，P(X3)××1.抽取次數(shù)X的分布列為X123PE(X)1×2×3×.探究共研型離散型隨機(jī)變量的均值實(shí)際應(yīng)

8、用探究1某籃球明星罰球命中率為0.7，罰球命中得1分，不中得0分，則他罰球一次的得分X可以取哪些值？X取每個(gè)值時(shí)的概率是多少？【提示】隨機(jī)變量X可能取值為0,1.X取每個(gè)值的概率分別為P(X0)0.3，P(X1)0.7.探究2在探究1中，若該球星在一場比賽中共罰球10次，命中8次，那么他平均每次罰球得分是多少？【提示】每次平均得分為0.8.探究3在探究1中，你能求出在他參加的各場比賽中，罰球一次得分大約是多少嗎？為什么？【提示】在球星的各場比賽中，罰球一次的得分大約為0×0.31×0.70.7(分)因?yàn)樵谠撉蛐菂⒓痈鲌霰荣愔衅骄P球一次的得分只能用隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望來描述

9、他總體得分的平均水平具體到每一場比賽罰球一次的平均得分應(yīng)該是非常接近X的均值的一個(gè)分?jǐn)?shù)隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：元)為X.(1)求X的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即X的數(shù)學(xué)期望)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%，如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】(1)X的所有可能取值有6,2,1，2.P(X6)0.

10、63，P(X2)0.25，P(X1)0.1，P(X2)0.02.故X的分布列為：X6212P0.630.250.10.02(2)E(X)6×0.632×0.251×0.1(2)×0.024.34.(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤為E(X)6×0.72×(10.70.01x)1×x(2)×0.014.76x(0x0.29)依題意，E(X)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多為3%.1實(shí)際問題中的均值問題均值在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如對體育比賽的成績預(yù)測，消費(fèi)預(yù)

11、測，工程方案的預(yù)測，產(chǎn)品合格率的預(yù)測，投資收益的預(yù)測等方面，都可以通過隨機(jī)變量的均值來進(jìn)行估計(jì)2概率模型的三個(gè)解答步驟(1)審題，確定實(shí)際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些(2)確定隨機(jī)變量的分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的均值(3)對照實(shí)際意義，回答概率，均值等所表示的結(jié)論再練一題3甲、乙兩射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，射擊相同的次數(shù)，已知兩運(yùn)動(dòng)員擊中的環(huán)數(shù)X穩(wěn)定在7,8,9,10環(huán)將它們的比賽成績畫成頻率分布直方圖如圖2­5­1甲和圖乙所示圖2­5­1(1)根據(jù)這次比賽的成績頻率分布直方圖推斷乙擊中8環(huán)的概率P(X乙8)，以及甲擊中9環(huán)以上(

12、包括9環(huán))的概率；(2)根據(jù)這次比賽的成績估計(jì)甲、乙誰的水平更高(即平均每次射擊的環(huán)數(shù)誰大)【解】(1)由圖乙可知P(X乙7)0.2，P(X乙9)0.2，P(X乙10)0.35.所以P(X乙8)10.20.20.350.25.同理P(X甲7)0.2，P(X甲8)0.15，P(X甲9)0.3，所以P(X甲10)10.20.150.30.35.P(X甲9)0.30.350.65.(2)因?yàn)镋(X甲)7×0.28×0.159×0.310×0.358.8，E(X乙)7×0.28×0.259×0.210×0.358.7，則有

13、E(X甲)>E(X乙)，所以估計(jì)甲的水平更高構(gòu)建·體系1隨機(jī)變量X的概率分布為：X135P0.50.30.2則其數(shù)學(xué)期望E(X)等于_【解析】E(X)1×0.53×0.35×0.22.4.【答案】2.42將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)數(shù)6出現(xiàn)次數(shù)X的均值E(X)_. 【導(dǎo)學(xué)號：29440054】【解析】XB，E(X)100×.【答案】3某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的均值E()8.9，則y的值為_【解析】依題意得即解得y0.4.【答案】0.44設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能的取值為1,2,3，P(Xk)akb(k1,2,3)又X的均值E(X)3，則ab_.【解析】P(X1)ab，P(X2)2ab，P(X3)3ab，E(X)1×(ab)2×(2ab)3×(3ab)3，14a6b3.又(ab)(2ab)(3ab)1，6a3b1.由可知a，b，ab.【答案】5袋中有4個(gè)黑球，3個(gè)白球，2個(gè)紅球，從中任