數(shù)學(xué)選修1-1人教新課標(biāo)a版2.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案

1、2.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程問題導(dǎo)學(xué)一、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程活動與探究1根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過點(3，1)；(2)焦點為直線3x4y120與坐標(biāo)軸的交點遷移與應(yīng)用動圓P與定圓A：(x2)2y21外切，且與直線l：x1相切，求動圓圓心P的軌跡方程求拋物線方程的方法：(1)定義法：直接利用定義求解；(2)待定系數(shù)法：若已知拋物線的焦點位置，則可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出p值即可；若拋物線的焦點位置不確定，則要分情況討論另外，焦點在x軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設(shè)成y2ax(a0)，焦點在y軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設(shè)成x2ay(a0)二、由拋物線方程求焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程活動與探究2已知下

2、列拋物線的方程，分別求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1)y28x；(2)2x25y0；(3)y2ax(a0)遷移與應(yīng)用1拋物線y4x2的焦點坐標(biāo)為()A(1,0) BC D2求以原點為頂點，坐標(biāo)軸為對稱軸，并且經(jīng)過點P(2，4)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其對應(yīng)的準(zhǔn)線、焦點坐標(biāo)如果已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程時，首先要判斷拋物線的對稱軸和開口方向，一次項的變量若為x(或y)，則x軸(或y軸)是拋物線的對稱軸，一次項系數(shù)的符號決定開口方向注意焦點與準(zhǔn)線在原點的兩側(cè)，它們與原點的距離均等于一次項系數(shù)的絕對值的三、拋物線定義的應(yīng)用活動與探究3(1)設(shè)圓C與圓x2(y3)21外切，與直線y0相切，

3、則C的圓心軌跡為()A拋物線 B雙曲線C橢圓 D圓(2)設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x28y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)遷移與應(yīng)用1若拋物線y24x上有一點P到焦點F的距離為5，且點P在直線xy30的上方，則P的坐標(biāo)為_2拋物線x2ay過點A，則點A到此拋物線焦點的距離為_在解答有關(guān)拋物線上任意一點P(x0，y0)到焦點F的距離(常稱為焦半徑)的問題時，我們有以下結(jié)論(p0)：(1)對于拋物線y22px，|PF|x0；(2)對于拋物線y22px，|PF|x0；(3)對于拋物線x

4、22py，|PF|y0；(4)對于拋物線x22py，|PF|y0四、與拋物線有關(guān)的最值問題活動與探究4已知拋物線的方程為x28y，F(xiàn)是焦點，點A(2,4)，在此拋物線上求一點P，使|PF|PA|的值最小遷移與應(yīng)用1已知點P在拋物線y24x上，那么點P到點Q(2，1)的距離與點P到拋物線焦點的距離之和取得最小值時，點P的坐標(biāo)為()A BC(1,2) D(1，2)2已知拋物線y22px(p0)上的一點M到定點A和焦點F的距離之和的最小值等于5，求拋物線的方程解關(guān)于拋物線的最值、定值問題時，首先要注意拋物線上的點到焦點的距離與點到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化，其次是注意平面幾何知識的應(yīng)用，例如兩點之間線段最短、

5、三角形中三邊之間的不等關(guān)系、點與直線上點的連線中垂線段最短等答案：課前·預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1距離相等焦點準(zhǔn)線預(yù)習(xí)交流1(1)提示：軌跡是過定點F且垂直于定直線l的一條直線(2)提示：B2y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y預(yù)習(xí)交流2(1)提示：以y22px(p0)為例，焦點是，準(zhǔn)線方程是x，所以p是焦點到準(zhǔn)線的距離(2)提示：一次項變量為x(或y)，則焦點在x軸(或y軸)上；若系數(shù)為正，則焦點在正半軸上；若系數(shù)為負(fù)，則焦點在負(fù)半軸上；焦點確定，開口方向也隨之確定(3)提示：(1,0)x1左課堂·合作探究【問題導(dǎo)學(xué)】活動與探究1思

6、路分析：(1)點在第三象限，則拋物線的焦點可能在x軸的負(fù)半軸上，也可能在y軸的負(fù)半軸上，按這兩種情況進行討論；(2)直線與坐標(biāo)軸的交點有兩個，分情況討論焦點的位置，從而確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解：(1)點(3，1)在第三象限，設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)或x22py(p0)若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，則由(1)22p×(3)，解得p；若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p0)，則由(3)22p×(1)，解得p所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x或x29y(2)對于直線方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，所求拋物線的焦點為(0，3)或(4,0)當(dāng)焦點

7、為(0，3)時，3，p6，此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y；當(dāng)焦點為(4,0)時，4，p8，此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y或y216x遷移與應(yīng)用1解：如圖，設(shè)動圓圓心P(x，y)，過點P作PDl于點D，作直線l：x2，過點P作PDl于點D，連接PA設(shè)圓A的半徑為r，動圓P的半徑為R，可知r1圓P與圓A外切，|PA|RrR1又圓P與直線l：x1相切，|PD|PD|DD|R1|PA|PD|，即動點P到定點A與到定直線l距離相等，點P的軌跡是以A為焦點，以l為準(zhǔn)線的拋物線設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，可知p4，所求的軌跡方程為y28x活動與探究2思路分析：解答

8、本題可先把原方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得參數(shù)p，再求焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程解：(1)p4，所求拋物線的焦點坐標(biāo)為(2,0)，準(zhǔn)線方程是x2(2)2x25y0化為x2y，且拋物線開口向下，p拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程是y(3)由于a0，p，拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x遷移與應(yīng)用1D解析：原方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y，焦點在y軸上，且p，拋物線的焦點坐標(biāo)為2解：由已知設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x22py(p0)或y22px(p0)，把P(2，4)代入x22py或y22px得p或p4，故所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2y或y28x當(dāng)拋物線方程是x2y時，焦點坐標(biāo)是F，準(zhǔn)線方程是y當(dāng)拋物線方程是y28x時，焦點坐標(biāo)

9、是F(2,0)，準(zhǔn)線方程是x2活動與探究3(1)思路分析：利用圓與圓外切、直線與圓相切的幾何條件求軌跡A解析：由題意知動圓圓心C到點(0,3)距離與到定直線y1的距離相等，C的圓心軌跡是拋物線(2)思路分析：利用拋物線的定義將|FM|轉(zhuǎn)化為點M到準(zhǔn)線的距離，再利用直線與圓相交的條件求解C解析：由拋物線方程為x28y，得焦點坐標(biāo)為(0,2)，準(zhǔn)線方程為y2，則|FM|等于點M到準(zhǔn)線y2的距離，|FM|y02又圓與準(zhǔn)線相交，|FM|y024y02遷移與應(yīng)用1(4,4)解析：設(shè)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，拋物線方程為y24x，準(zhǔn)線方程為x1|PF|x015x04代入拋物線方程，得y4x016，y0&#

10、177;4又P在直線xy30的上方，P的坐標(biāo)為(4,4)2解析：把點A代入拋物線方程得a4，即拋物線方程為x24y，準(zhǔn)線方程為y1由拋物線定義，得|AF|1活動與探究4思路分析：根據(jù)拋物線的定義把|PF|轉(zhuǎn)化為點P到準(zhǔn)線的距離，畫出圖形，通過觀察圖形，利用“數(shù)形結(jié)合”的思想即可求出點P的坐標(biāo)解：(2)28×4，點A(2,4)在拋物線x28y的內(nèi)部如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過點P作PQl于點Q，過點A作ABl于點B，由拋物線的定義可知：|PF|PA|PQ|PA|AQ|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q，A三點共線時，|PF|PA|取得最小值，即為|AB|A(2,4)，不妨設(shè)|PF|PA|的值最小時

11、，點P的坐標(biāo)為(2，y0)，代入x28y，得y0故使|PF|PA|的值最小的拋物線上的點P的坐標(biāo)為遷移與應(yīng)用1A解析：點Q(2，1)在拋物線內(nèi)部，如圖所示由拋物線的定義知，拋物線上的點P到點F的距離等于點P到準(zhǔn)線x1的距離，過Q點作x1的垂線，與拋物線交于K，則K為所求，當(dāng)y1時，x，P為2解：(1)當(dāng)點A在拋物線內(nèi)部時，422p·，即p時，|MF|MA|MA|MA|當(dāng)A，M，A共線時(如圖中A，M，A共線時)，(|MF|MA|)min5故5p3，滿足3，所以拋物線方程為y26x(2)當(dāng)點A在拋物線外部或在拋物線上時，422p·，即0p時，連接AF交拋物線于點M，此時(|M

12、A|MF|)最小，即|AF|min5，24225，±3p1或p13(舍去)故拋物線方程為y22x綜上，拋物線方程為y26x或y22x當(dāng)堂檢測1拋物線y24x的焦點到準(zhǔn)線的距離為()A1 B2 C4 D8答案：B解析：由y24x得焦點坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1，焦點到準(zhǔn)線的距離為22以雙曲線的右頂點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ay216x By212xCy220x Dy220x答案：A解析：由已知拋物線的焦點為(4,0)，則設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，p8所求方程為y216x3已知動點M(x，y)的坐標(biāo)滿足，則動點M的軌跡是()A橢圓B雙曲線C拋物線D以上均不對答案：C解析：設(shè)F(2,0)，l：x2，則M到F的距離為，M到直線l：x2的距離為|x2|，又|x2|，所以動點M的軌跡是以F(2,0)為焦點，l：x2為準(zhǔn)線的拋物線4設(shè)拋物線y28x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋