數(shù)學(xué)選修1-1人教新課標(biāo)a版2.3.1拋物線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案

1、2.3.1拋物線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程問(wèn)題導(dǎo)學(xué)一、求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程活動(dòng)與探究1根據(jù)下列條件寫(xiě)出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，1)；(2)焦點(diǎn)為直線(xiàn)3x4y120與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)遷移與應(yīng)用動(dòng)圓P與定圓A：(x2)2y21外切，且與直線(xiàn)l：x1相切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程求拋物線(xiàn)方程的方法：(1)定義法：直接利用定義求解；(2)待定系數(shù)法：若已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)位置，則可設(shè)出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出p值即可；若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)位置不確定，則要分情況討論另外，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線(xiàn)方程可統(tǒng)一設(shè)成y2ax(a0)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線(xiàn)方程可統(tǒng)一設(shè)成x2ay(a0)二、由拋物線(xiàn)方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線(xiàn)方程活動(dòng)與探究2已知下

2、列拋物線(xiàn)的方程，分別求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程：(1)y28x；(2)2x25y0；(3)y2ax(a0)遷移與應(yīng)用1拋物線(xiàn)y4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(1,0) BC D2求以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，4)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)如果已知拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程時(shí)，首先要判斷拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸和開(kāi)口方向，一次項(xiàng)的變量若為x(或y)，則x軸(或y軸)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開(kāi)口方向注意焦點(diǎn)與準(zhǔn)線(xiàn)在原點(diǎn)的兩側(cè)，它們與原點(diǎn)的距離均等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的三、拋物線(xiàn)定義的應(yīng)用活動(dòng)與探究3(1)設(shè)圓C與圓x2(y3)21外切，與直線(xiàn)y0相切，

3、則C的圓心軌跡為()A拋物線(xiàn) B雙曲線(xiàn)C橢圓 D圓(2)設(shè)M(x0，y0)為拋物線(xiàn)C：x28y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)相交，則y0的取值范圍是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)遷移與應(yīng)用1若拋物線(xiàn)y24x上有一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為5，且點(diǎn)P在直線(xiàn)xy30的上方，則P的坐標(biāo)為_(kāi)2拋物線(xiàn)x2ay過(guò)點(diǎn)A，則點(diǎn)A到此拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為_(kāi)在解答有關(guān)拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離(常稱(chēng)為焦半徑)的問(wèn)題時(shí)，我們有以下結(jié)論(p0)：(1)對(duì)于拋物線(xiàn)y22px，|PF|x0；(2)對(duì)于拋物線(xiàn)y22px，|PF|x0；(3)對(duì)于拋物線(xiàn)x

4、22py，|PF|y0；(4)對(duì)于拋物線(xiàn)x22py，|PF|y0四、與拋物線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題活動(dòng)與探究4已知拋物線(xiàn)的方程為x28y，F(xiàn)是焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2,4)，在此拋物線(xiàn)上求一點(diǎn)P，使|PF|PA|的值最小遷移與應(yīng)用1已知點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y24x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2，1)的距離與點(diǎn)P到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A BC(1,2) D(1，2)2已知拋物線(xiàn)y22px(p0)上的一點(diǎn)M到定點(diǎn)A和焦點(diǎn)F的距離之和的最小值等于5，求拋物線(xiàn)的方程解關(guān)于拋物線(xiàn)的最值、定值問(wèn)題時(shí)，首先要注意拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離的轉(zhuǎn)化，其次是注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，例如兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短、

5、三角形中三邊之間的不等關(guān)系、點(diǎn)與直線(xiàn)上點(diǎn)的連線(xiàn)中垂線(xiàn)段最短等答案：課前·預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1距離相等焦點(diǎn)準(zhǔn)線(xiàn)預(yù)習(xí)交流1(1)提示：軌跡是過(guò)定點(diǎn)F且垂直于定直線(xiàn)l的一條直線(xiàn)(2)提示：B2y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y預(yù)習(xí)交流2(1)提示：以y22px(p0)為例，焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線(xiàn)方程是x，所以p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離(2)提示：一次項(xiàng)變量為x(或y)，則焦點(diǎn)在x軸(或y軸)上；若系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在正半軸上；若系數(shù)為負(fù)，則焦點(diǎn)在負(fù)半軸上；焦點(diǎn)確定，開(kāi)口方向也隨之確定(3)提示：(1,0)x1左課堂·合作探究【問(wèn)題導(dǎo)學(xué)】活動(dòng)與探究1思

6、路分析：(1)點(diǎn)在第三象限，則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)可能在x軸的負(fù)半軸上，也可能在y軸的負(fù)半軸上，按這兩種情況進(jìn)行討論；(2)直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有兩個(gè)，分情況討論焦點(diǎn)的位置，從而確定拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程解：(1)點(diǎn)(3，1)在第三象限，設(shè)所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)或x22py(p0)若拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，則由(1)22p×(3)，解得p；若拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p0)，則由(3)22p×(1)，解得p所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x或x29y(2)對(duì)于直線(xiàn)方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，所求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為(0，3)或(4,0)當(dāng)焦點(diǎn)

7、為(0，3)時(shí)，3，p6，此時(shí)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y；當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，4，p8，此時(shí)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y或y216x遷移與應(yīng)用1解：如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心P(x，y)，過(guò)點(diǎn)P作PDl于點(diǎn)D，作直線(xiàn)l：x2，過(guò)點(diǎn)P作PDl于點(diǎn)D，連接PA設(shè)圓A的半徑為r，動(dòng)圓P的半徑為R，可知r1圓P與圓A外切，|PA|RrR1又圓P與直線(xiàn)l：x1相切，|PD|PD|DD|R1|PA|PD|，即動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A與到定直線(xiàn)l距離相等，點(diǎn)P的軌跡是以A為焦點(diǎn)，以l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)設(shè)拋物線(xiàn)的方程為y22px(p0)，可知p4，所求的軌跡方程為y28x活動(dòng)與探究2思路分析：解答

8、本題可先把原方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得參數(shù)p，再求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程解：(1)p4，所求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程是x2(2)2x25y0化為x2y，且拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，p拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程是y(3)由于a0，p，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x遷移與應(yīng)用1D解析：原方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y，焦點(diǎn)在y軸上，且p，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為2解：由已知設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是x22py(p0)或y22px(p0)，把P(2，4)代入x22py或y22px得p或p4，故所求的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2y或y28x當(dāng)拋物線(xiàn)方程是x2y時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F，準(zhǔn)線(xiàn)方程是y當(dāng)拋物線(xiàn)方程是y28x時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)

9、是F(2,0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程是x2活動(dòng)與探究3(1)思路分析：利用圓與圓外切、直線(xiàn)與圓相切的幾何條件求軌跡A解析：由題意知?jiǎng)訄A圓心C到點(diǎn)(0,3)距離與到定直線(xiàn)y1的距離相等，C的圓心軌跡是拋物線(xiàn)(2)思路分析：利用拋物線(xiàn)的定義將|FM|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，再利用直線(xiàn)與圓相交的條件求解C解析：由拋物線(xiàn)方程為x28y，得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為y2，則|FM|等于點(diǎn)M到準(zhǔn)線(xiàn)y2的距離，|FM|y02又圓與準(zhǔn)線(xiàn)相交，|FM|y024y02遷移與應(yīng)用1(4,4)解析：設(shè)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，拋物線(xiàn)方程為y24x，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x1|PF|x015x04代入拋物線(xiàn)方程，得y4x016，y0&#

10、177;4又P在直線(xiàn)xy30的上方，P的坐標(biāo)為(4,4)2解析：把點(diǎn)A代入拋物線(xiàn)方程得a4，即拋物線(xiàn)方程為x24y，準(zhǔn)線(xiàn)方程為y1由拋物線(xiàn)定義，得|AF|1活動(dòng)與探究4思路分析：根據(jù)拋物線(xiàn)的定義把|PF|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，畫(huà)出圖形，通過(guò)觀察圖形，利用“數(shù)形結(jié)合”的思想即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)解：(2)28×4，點(diǎn)A(2,4)在拋物線(xiàn)x28y的內(nèi)部如圖，設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為l，過(guò)點(diǎn)P作PQl于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)A作ABl于點(diǎn)B，由拋物線(xiàn)的定義可知：|PF|PA|PQ|PA|AQ|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q，A三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|PF|PA|取得最小值，即為|AB|A(2,4)，不妨設(shè)|PF|PA|的值最小時(shí)

11、，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，y0)，代入x28y，得y0故使|PF|PA|的值最小的拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為遷移與應(yīng)用1A解析：點(diǎn)Q(2，1)在拋物線(xiàn)內(nèi)部，如圖所示由拋物線(xiàn)的定義知，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)x1的距離，過(guò)Q點(diǎn)作x1的垂線(xiàn)，與拋物線(xiàn)交于K，則K為所求，當(dāng)y1時(shí)，x，P為2解：(1)當(dāng)點(diǎn)A在拋物線(xiàn)內(nèi)部時(shí)，422p·，即p時(shí)，|MF|MA|MA|MA|當(dāng)A，M，A共線(xiàn)時(shí)(如圖中A，M，A共線(xiàn)時(shí))，(|MF|MA|)min5故5p3，滿(mǎn)足3，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為y26x(2)當(dāng)點(diǎn)A在拋物線(xiàn)外部或在拋物線(xiàn)上時(shí)，422p·，即0p時(shí)，連接AF交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，此時(shí)(|M

12、A|MF|)最小，即|AF|min5，24225，±3p1或p13(舍去)故拋物線(xiàn)方程為y22x綜上，拋物線(xiàn)方程為y26x或y22x當(dāng)堂檢測(cè)1拋物線(xiàn)y24x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為()A1 B2 C4 D8答案：B解析：由y24x得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x1，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為22以雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ay216x By212xCy220x Dy220x答案：A解析：由已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為(4,0)，則設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，p8所求方程為y216x3已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)的坐標(biāo)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是()A橢圓B雙曲線(xiàn)C拋物線(xiàn)D以上均不對(duì)答案：C解析：設(shè)F(2,0)，l：x2，則M到F的距離為，M到直線(xiàn)l：x2的距離為|x2|，又|x2|，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F(2,0)為焦點(diǎn)，l：x2為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)4設(shè)拋物線(xiàn)y28x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋