【2019-2020】高中數(shù)學(xué)必修二同步學(xué)習(xí)講義：第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系章末復(fù)習(xí)課

1、1 / 23 【2019- 2020】人教 A版高中數(shù)學(xué)必修二同步學(xué)習(xí)講義：第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系章末復(fù)習(xí)課 1. 四個(gè)公理 公理 1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平 面內(nèi). 公理 2:過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面. 公理 3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一 條過該點(diǎn)的公共直線. 公理 4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行. 2. 直線與直線的位置關(guān)系 3. 平行的判定與性質(zhì) (1) 直線與平面平行的判定與性質(zhì) 判定 性質(zhì) 定義 定理 圖形 a - - a - 甲一 X / |Z7 條件 aAa= ? a? a, b? a

2、, a / b a / a a / a, a ? aCl 3= b 點(diǎn)鶯直線備平面之間的位置關(guān)系 2 / 23 結(jié)論 a/a b / a a n a= ? a / b (2) 面面平行的判定與性質(zhì) 判定 性質(zhì) 定義 定理 圖形 / B % / 條件 an 3= ? a ? 3, b? 3, an b= P, a/ a, b / a a / 3, an Y= a, 3n Y= b a / 3, a? 3 結(jié)論 a / 3 a/ 3 a / b a / a (3) 空間中的平行關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系 4. 垂直的判定與性質(zhì) (1) 直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面 的一條垂線，那么這

3、兩個(gè)平面 互相垂直 圖形 條件 結(jié)論 判定 d a 丄 b , b? ab 為a內(nèi)的任意直線) a 丄a a 丄 m , a 丄 n , m、n? a, mn n = O a 丄a 才r I l a / b , a 丄 a b 丄a 性質(zhì) Z a 丄 a , b? a a 丄 b 廠t I f a 丄a , b 丄a a / b 圖形語言 符號(hào)語言 (2)平面與平面垂直的判定與性質(zhì)定理 文字語言 判定定理 3 / 23 5. 空間角 （1） 異面直線所成的角 定義：設(shè) a, b 是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn) 0 作直線 a/ a, b/ b,把 a與 b所成的銳角（或直角）叫做異面直線 a,

4、 b所成的角（或夾角）. 范圍：設(shè)兩異面直線所成角為 B ,則 0 B W 90 . （2） 直線和平面所成的角 平面的一條斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角叫做這條直線與 這個(gè)平面所成的角. 當(dāng)直線與平面垂直和平行（或直線在平面內(nèi)）時(shí)，規(guī)定直線和平面 所成的角分別為 90。和 0. （3） 二面角的有關(guān)概念 二面角：從一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖 形叫做二面角. 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平 面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角 的平面角. 類型一 幾何中共點(diǎn)、共線、共面問題 例 1 如圖所示，空間四邊形 ABCD 中，E,

5、F 分別為 AB, AD 的中 點(diǎn)，G, H 分別在 BC CD 上，且 BG： GC= DH： HC= 1 : 2. 求證：（1）E、F、G H 四點(diǎn)共面； (2) GE 與 HF 的交點(diǎn)在直線 AC 上. 4 / 23 證明 (1) v BG： GC= DH： HC GH/ BD 又 EF/ BD EF/ GH E、F、G H 四點(diǎn)共面. v G H 不是 BC CD 的中點(diǎn)，二 EFM GH. 又 EF/ GH 二 EG 與 FH 不平行， 則必相交，設(shè)交點(diǎn)為 M. HG?面 ACD? MW ABC 且 MW ACD HF?面 ACD ? M 在面 ABC 與面 ACD 的交線上， 又面

6、 AB面 ACD-AC? M AC. GE 與 HF 的交點(diǎn)在直線 AC 上. 反思與感悟 (1)證明共面問題 證明共面問題，一般有兩種證法：一是由某些元素確定一個(gè)平面， 再證明其余元素在這個(gè)平面內(nèi)；二是分別由不同元素確定若干個(gè)平 面，再證明這些平面重合. 證明三點(diǎn)共線問題 證明空間三點(diǎn)共線問題，通常證明這些點(diǎn)都在兩個(gè)面的交線上，即 先確定出某兩點(diǎn)在某兩個(gè)平面的交線上，再證明第三個(gè)點(diǎn)是兩個(gè)平 面的公共點(diǎn)，當(dāng)然必在兩個(gè)平面的交線上. (3) 證明三線共點(diǎn)問題 證明空間三線共點(diǎn)問題，先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直 線經(jīng)過這點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問題. 跟蹤訓(xùn)練 1 如圖，0 是正方

7、體 ABCD- A1B1C1D1 上底面 ABCD 的中 心，M 是正方體對(duì)角線 AC1 和截面 A1BD 的交點(diǎn).求證：O M A1 三 點(diǎn)共線 5 / 23 證明 T0 AC AC?平面 ACC1A1 0 平面 ACC1A1. v M AC1 AC?平面 ACC1A1 M 平面 ACC1A1. 又已知 A1平面 ACC1A1 即有 O M A1 三點(diǎn)都在平面 ACC1A 上，又 O M A1 三點(diǎn)都在平面 A1BD 上，所以 O M A1 三點(diǎn)都在平面 ACC1A1 與平面 A1BD 的交線 上， 所以 O、M、A1 三點(diǎn)共線 類型二 平行、垂直關(guān)系 例 2 如圖，在直三棱柱 ABC- A

8、1B1C1 中，A1B1= A1C1, D, E 分別 是棱BC CC1 上的點(diǎn)（點(diǎn) D 不同于點(diǎn) C），且 ADLDE F 為 B1C1 的中 點(diǎn) 八、 求證：（1）平面 ADEL 平面 BCC1B1 直線 A1F/平面 ADE. 證明（1）因?yàn)?ABC- A1B1C1 是直三棱柱， 所以 CCL平面 ABC. 又 AD?平面 ABC 所以 CCLAD. 又因?yàn)?ADLDE， CC1，DE? 平面 BCC1B1 ccm DE=E, 所以 ADL 平面 BCC1B1 又 AD?平面 ADE 所以平面 ADEL 平面 BCC1B1. 因?yàn)?A1B1= A1C1, F 為 B1C1 的中點(diǎn)， 所以

9、 A1F 丄 B1C1. 因?yàn)镃C1L平面 A1B1C1 且 A1F? 平面 A1B1C1， 6 / 23 所以 CC1LA1F. 又因?yàn)?CC1，B1C1? 平面 BCC1B，1 oom BIC仁 ci, 所以 A1F 丄平面 BCC1B1. 由(1)知 ADL 平面 BCC1B1 所以 A1F/AD. 又 AD?平面 ADE A1F?平面 ADE 所以 A1F/平面 ADE. 引申探究 如圖所示，在直三棱柱 ABC- A1B1C1 中，AC= 3 , BC= 4 , AB= 5, AA1= 4，點(diǎn) D 是 AB 的中點(diǎn). (1) 求證：ACL BC1 (2) 求證：AC1/平面 CDB1.

10、 證明 (1)在直三棱柱 ABC- A1B1C1 中，底面三邊長(zhǎng) AC= 3 , BC= 4 , AB= 5 ,所以 ACL BC. 又因?yàn)?cicLAC CionCB= C, 所以 ACL 平面 BCC1B1. 因?yàn)?BC1? 平面 BCC1B1 所以 ACLBC1. 設(shè) CB1 與 C1B 的交點(diǎn)為 E ,連接 DE 四邊形 BCC1B 偽正方形. 因?yàn)?D 是 AB 的中點(diǎn)，E 是 BC1 的中點(diǎn)， 所以 DE/ AC1. 因?yàn)?DE? 平面 CDB1， AC?平面 CDB1 所以 AC”/平面 CDB1. 7 / 23 反思與感悟 (1) 判斷線面平行的兩種常用方法 面面平行判定的落腳

11、點(diǎn)是線面平行，因此掌握線面平行的判定方法 是必要的，判定線面平行的兩種方法： 利用線面平行的判定定理 利用面面平行的性質(zhì)，即當(dāng)兩平面平行時(shí)，其中一平面內(nèi)的任一 直線平行于另一平面 (2) 判斷面面平行的常用方法 利用面面平行的判定定理 面面平行的傳遞性(a/B, BY ? aY ). 利用線面垂直的性質(zhì)(I 丄a, I 丄B ? a / B ). (3) 判定線面垂直的方法 線面垂直定義 (一般不易驗(yàn)證任意性 ) 線面垂直的判定定理(a b , a c , b? a , c? a , bAc = M? a 丄 a ). 平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(a / b, b 丄a ? a a ). 面面垂

12、直的性質(zhì)(a丄B, aAp= I , a? B, aXl ? a 丄a ). 面面平行的性質(zhì)(a 丄a , a / B ? a 丄B ). 面面垂直的性質(zhì)(a A B = I , a丄Y, B丄丫 ? I 丄丫). 跟蹤訓(xùn)練 2 如圖，AB 是圓 0 的直徑，PA 垂直圓 O 所在的平面，C 是圓 O上的點(diǎn). (1) 求證：BCX平面 PAC 設(shè) Q 為 PA 的中點(diǎn)，GAOC 勺重心，求證：QG/平面 PBC. 證明(1)由 AB 是圓 0 的直徑，得 ACL BQ 由 P平面 ABC, BC? 平面 ABC得 PAL BC. 又 PAH AC= A, PA?平面 PAC AC?平面 PAC

13、 8 / 23 所以 BCL 平面 PAC. 連接 0G 并延長(zhǎng)交 AC 于點(diǎn) M 連接 QM Q0 由 GAOC 的重心，得 M 為 AC 的中點(diǎn). 由 Q 為 PA 的中點(diǎn)，得 QM PC 又 O 為 AB 的中點(diǎn)，得 OM BC. 因?yàn)?QMn MO= M QM 平面 QMO MC?平面 QMO BCH PC= C, BC?平 面 PBC PC? 平面 PBC 所以平面 QMO 平面 PBC. 因?yàn)?Q(?平面 QMO 所以 QG/平面 PBC. 類型三 空間角的求解 例 3 如圖所示，四棱錐 P- ABCD 勺底面 ABCD 是平行四邊形，BA= BD= , AD= 2, PA=PD=

14、 , E, F 分別是棱 AD PC 的中點(diǎn). (1) 證明：EF/平面 PAB 若二面角 P- AD- B 為 60. 證明：平面 PBCL 平面 ABCD 求直線 EF 與平面 PBC 所成角的正弦值. (1) 證明 如圖所示，取 PB 的中點(diǎn) M 連接 MF AM. 因?yàn)?F 為 PC 的中點(diǎn)，所以 MF/ BC 且 MF= BC. 由已知有 BC/ AD BC= AD, 又由于 E 為 AD 的中點(diǎn)， 因而 MF/ AE 且 MF= AE, 故四邊形 AMFE 為平行四邊形，所以 EF/ AM. 又 AMP 平面 PAB 而 EF?平面 PAB 所以 EF/平面 PAB. (2) 證明

15、 連接 PE，BE. 因?yàn)?PA= PD BA= BD 而 E 為 AD 的中點(diǎn)， 9 / 23 所以 PEI AD BE! AD 所以/ PEB 為二面角 P- AD- B 的平面角. 在厶 PAD 中 ,由 PA= PD= , AD= 2,可解得 PE= 2. 在厶 ABD 中，由 BA= BD=, AD= 2,可解得 BE= 1. 在厶 PEB 中，PE= 2, BE= 1,Z PEB= 60 ,故可得/ PBE= 90 ，即 BE! PB. 又 BC/ AD BE! AD 從而 BE! BC 又 B8 PB= B , 因此 BE!平面 PBC. 又 BEP 平面 ABCD 所以平面 P

16、BCL 平面 ABCD. 解 連接 BF,由知，BE!平面 PBC 所以/ EFB 為直線 EF 與平 面 PBC所成的角.由 PB=及已知，得/ ABP 為直角，而 MB= PB=, 可得 AM=,故EF=.又 BE= 1,故在 Rt EBF 中， sin / EFB=.所以直線 EF 與平面 PBC 所成角的正弦值為. 反思與感悟 (1) 求異面直線所成的角常用平移轉(zhuǎn)化法 ( 轉(zhuǎn)化為相交 直線的夾角 ). (2) 求直線與平面所成的角常用射影轉(zhuǎn)化法 ( 即作垂線、找射影 ) . (3) 二面角的平面角的作法常有三種：定義法；垂線法；垂面 法. 跟蹤訓(xùn)練 3 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為 1 , B

17、 CH BC = O,求： (1) AO 與A C 所成角的大小； (2) AO 與平面 ABCD 所成角的正切值； 平面 AOB 與平面 AOC 所成角的大小. 解(1) v A C/ AC 二 AO 與A C 所成的角就是/ OAC. v AB 丄平面 BC , OC?平面 BC , OCLAB 又 OCL BO ABA B8 B, 10 / 23 OCL 平面 ABO. 又 OA?平面 ABO 二 OCL OA. 在 Rt AOC 中, OC=, AC=, sin / OAC= = , / OAC= 30 即 AO 與 A C 所成角為 30. 如圖，作 OEL BC 于 E,連接 AE

18、. v平面 BC 丄平面 ABCD OEL 平面 ABC, / OAE 為 OA 與平面 ABC所成的角. 在 Rt OAE 中，OE=, AE=f(1,2)2) =, tan Z OAE=. 即 AO 與平面 ABCD 所成角的正切值為. (3) v OCL OA， OCL OB， OAA OB= O， OCL 平面 AOB. 又v OC?平面 AOC 平面 AOBL 平面 AOC. 即平面 AOB 與平面 AOC 所成角為 90 1 .若 l1 ，l2 ，l3 是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是 ( ) A. 11 丄 12,12 丄 13 ? 11 / 13 B. 11 丄 12

19、,12 / 13 ? 11 丄 13 C. l1 / l2 / l3 ? l1 ，l2 ，l3 共面 D. 11 ，12，13 共點(diǎn) ? 11 ，12 ，13 共面 答案 B 11 / 23 解析 當(dāng) 11 丄 12 , 12 丄 13 時(shí)，11 也可能與 13 相交或異面，故 A 錯(cuò)；11 丄 12 , 12 / 13 ? 11 丄 13 , B 正確；當(dāng) 11 / 12 / 13 時(shí)，11 , 12 ，13 未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故 C 錯(cuò)； 11 ，12 ，13 共點(diǎn) 時(shí)， 11 ，12 ，13 未必共面，如正方體中從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱， 故 D 錯(cuò). 2. 設(shè)有不同的直線 m

20、 n 和不同的平面a、B ,下列四個(gè)命題中， 正確的是 ( ) A. 若 mil a , n / a ,貝卩 mn B. 若 a , n? a , m/ B , n / B ,貝卩 a / B C. 若a丄B, m? a,貝卩ml B D. 若 a 丄 B, ml B , m?a,貝 y ma 答案 D 解析 選項(xiàng) A 中當(dāng) m/ a , n/ a 時(shí), m 與 n 可以平行、相交、異 面；選項(xiàng) B 中滿足條件的 a 與 B 可以平行,也可以相交；選項(xiàng) C 中，當(dāng)a l B , m? a時(shí)，m 與B可以垂直，也可以平行等.故選 項(xiàng) A、B、C 均不正確. 3. _ 在正方體 ABCD- A1B

21、1C1D 仲，E 為 DD1 的中點(diǎn)，貝卩 BD1 與平面 ACE 的關(guān)系是 . 答案 BD1/平面 ACE 解析 如圖，連接 BD 交 AC 于點(diǎn) Q 連接 EO. 在厶 BDD1 中，E0 綊 BD1, BD1?平面 AEC EO 平面 AEC BD1/平面 ACE. 4. 空間四邊形 ABCD 中，平面 ABDL 平面 BCD / BAD= 90 ,/ BCD =90 ,且 AB= AD 則 AC 與平面 BCD 所成的角是 _ . 答案 45 解析 如圖所示，取 BD 的中點(diǎn) O,連接 AO CO. 因?yàn)?AB= AD 所以 ACL BD 又平面 ABDL 平面 BCD 所以 ACL平

22、面 BCD. 12 / 23 因此，/ ACC 即為 AC 與平面 BCD 所成的角. 由于/ BAD= 90 =/ BCD 所以 AC= OC= BD 又 ACLCC 所以/ ACC=45. 5. 如圖，在棱錐 P ABC 中，D, E , F 分別為棱 PC, AC AB 的中 點(diǎn).已知 PAL AC PA= 6 BC= 8 DF= 5. 求證：（1）直線 PA/平面 DEF 平面 BDEL 平面 ABC. 證明（1）因?yàn)?D, E 分別為棱 PC AC 的中點(diǎn)，所以 DE/ PA. 又因?yàn)?PA?平面 DEF DE?平面 DEF 所以直線 PA/平面 DEF. 因?yàn)?D, E , F 分

23、別為棱 PC AC AB 的中點(diǎn)，PA= 6 , BC= 8,所 以 DE/ PA DE= PA= 3 EF= BC= 4. 又因?yàn)?DF=5 故 DF2=DE2EF2 所以/ DEF= 90 即 DELEF. 又 PAL AC DE/ PA 所以 DEL AC. 因?yàn)?ACT EF= E, AC?平面 ABC EF?平面 ABC 所以 DE!平面 ABC. 又 DE?平面 BDE 所以平面 BDEL 平面 ABC. 一、 平行關(guān)系 1平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系 2直線與平面平行的主要判定方法 (1) 定義法； (2) 判定定理； (3) 面與面平行的性質(zhì) 3平面與平面平行的主要判定方法 (1) 定義

24、法； (2) 判定定理； (3) 推論； a 丄 a, a 丄 B ? a II B . 13 / 23 二、 垂直關(guān)系 1空間中垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化 2判定線面垂直的常用方法 (1) 利用線面垂直的判定定理 (2) 利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂 直” (3) 利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂 直” (4) 利用面面垂直的性質(zhì) 3判定線線垂直的方法 (1) 平面幾何中證明線線垂直的方法 (2) 線面垂直的性質(zhì)： a! a， b? a ? a! b. (3) 線面垂直的性質(zhì)： a! a， bI a ? a! b. 4判斷面面垂直的方法 (1) 利用

25、定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角 (2) 判定定理： a? a ， a! B ? a! B . 三、空間角的求法 1找異面直線所成角的三種方法 (1) 利用圖中已有的平行線平移 (2) 利用特殊點(diǎn) ( 線段的端點(diǎn)或中點(diǎn) ) 作平行線平移 (3) 補(bǔ)形平移 2線面角：求斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射 影，即確定過斜線上一點(diǎn)向平面所作垂線的垂足通常是解由斜線 段、垂線段、斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形 課時(shí)作業(yè) 一、選擇題 1下列說法正確的是 ( ) A. 經(jīng)過空間內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面 14 / 23 B. 如果直線 I 上有一個(gè)點(diǎn)不在平面 a內(nèi)，那么直線上所有

26、點(diǎn)都不 在平面a內(nèi) C. 四棱錐的四個(gè)側(cè)面可能都是直角三角形 D. 用一個(gè)平面截棱錐，得到的幾何體一定是一個(gè)棱錐和一個(gè)棱臺(tái) 答案 C 解析 在 A 中，經(jīng)過空間內(nèi)的不共線的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面， 故 A 錯(cuò)誤；在 B 中，如果直線 I 上有一個(gè)點(diǎn)不在平面 a內(nèi)，那么直 線與平面相交或平行，則直線上最多有一個(gè)點(diǎn)在平面 a內(nèi)，故 B 錯(cuò) 誤；在 C 中，如圖的四棱錐，底面是矩形，一條側(cè)棱垂直底面，那 么它的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，故 C 正確；在 D 中，用一個(gè)平行 于底面的平面去截棱錐，得到兩個(gè)幾何體，一個(gè)是棱錐，一個(gè)是棱 臺(tái)，故 D 錯(cuò)誤.故選C. 2 .設(shè)a l p是二面角，直線 a 在平

27、面a內(nèi)，直線 b 在平面B 內(nèi)，且 a、b 與 l 均不垂直，則 ( ) A. a 與 b 可能垂直也可能平行 B. a 與 b 可能垂直，但不可能平行 C. a 與 b 不可能垂直，但可能平行 D. a 與 b 不可能垂直，也不可能平行 答案 A 解析 Ta I P是二面角， 直線 a 在平面a內(nèi)， 直線 b 在平面 p 內(nèi)， 且 a、b 與 l 均不垂直， 當(dāng) a/l，且 b/l時(shí)，由平行公理得 a/ b,即 a, b 可能平行，故 B與 D 不正確；當(dāng) a, b 垂直時(shí)，若二面角是直二面角，則 all與已 知矛盾,若二面角不是直二面角,則 a, b 可以垂直,且滿足條件, 故 C 不正確

28、；a與 b 有可能垂直，也有可能平行，故選 A. 3.在空間中, a, b 是不重合的15 / 23 直線, a , p 是不重合的平面,則 下列條件中可推出 a/b的是( ) A. a? a, b? p ,a /p B. a/ a , b? p C. al a, bl a D. al a , b? a 答案 C 解析 對(duì)于 A,若 a? a , b? p , a/p，貝y a 與 b 沒有公共點(diǎn)， 即 a 與 b 平行或異面；對(duì)于 B,若 a/a, b? a,則 a 與 b 沒有公 共點(diǎn)，即 a 與 b 平行或異面；對(duì)于 C,若 a 丄a, bl a，由線面垂 直的性質(zhì)定理，可得 a/ b;

29、對(duì)于 D,若 ala, b? a,則由線面垂 直的定義可得 alb,故選 C. 4 .已知直線 I ?平面a，直線 m?平面a，下面四個(gè)結(jié)論：若 I 丄a,貝y I丄m若 I /a,貝y I / m若 I 丄 m,貝y I 丄a；若 l / m 則 I /a,其中正確的是( ) A. B . C . D . 答案 D 解析 由直線 I ?平面a，直線 m?平面a，知 在中，若 I 丄a ,則由線面垂直的性質(zhì)定理得 I 丄 m 故正確； 在中，若 I / a ,則 I 與 m 平行或異面，故錯(cuò)誤；在中，若 I 丄 m 則 I 與a不一定垂直，故錯(cuò)誤；在中，若 I / m 則由線 面平行的判定定理

30、得| / a ,故正確.故選 D. 5. 在正方體 ABCD- A1B1C1D 仲，E, F, G 分別是 A1B1, B1C1 BB1 的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)推斷： FG/平面 AA1D1DEF/平面 BC1D1FG/平面 BC1D1平面 EFG/平面 BC1D1. 其中推斷正確的序號(hào)是 ( ) A. B. C. D. 16 / 23 答案 A 解析 在正方體 ABCD- A1B1C1D1 中，E, F, G 分別是 A1B1, B1C1 BB1 的中點(diǎn)，二 FG/ BC1 v BC1/ AD1 二 FG/ AD1 v FG?平面 AA1D1D AD1?平面 AA1D1D 二 FG/平面 AA

31、1D1D 故正 確； v EF/ A1C1 A1C1 與平面 BC1D1 相交，二 EF 與平面 BC1D1 相交，故 錯(cuò)誤； v E, F , G 分別是 A1B1, B1C1, BB1 的中點(diǎn)， FG/ BC1 v FG?平面 BC1D1 BC1?平面 BC1D 1 二 FG/平面 BC1D1 故正確； V EF 與平面 BC1D1 相交，平面 EFG 與平面 BC1D1 相交，故錯(cuò) 誤故選 A. 6. 如圖，四邊形 ABCD 是圓柱的軸截面，E 是底面圓周上異于 A B 的一點(diǎn)，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是 ( ) A. AE! CE B. BE! DE C. DEL 平面 CED D.平面 A

32、DEL 平面 BCE 答案 C 解析 由 AB 是底面圓的直徑，則/ AEB= 90 即 AE! EB. V四邊形 ABCD圓柱的軸截面， ADL 底面 AEB BCL底面 AEB. BE!AD ADH AE= A, 因此 BE!平面 ADE. 同理可得：AE!CE 平面 BCEL 平面 ADE. 可得 A， B，D 正確. 而 DEL 平面 CED 不正確. 17 / 23 故選 C. 7. 如圖，在四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 為菱形，/ DAB= 60 側(cè)面 PAD 為正三角形，且平面 PADL 平面 ABCD 則下列說法錯(cuò)誤的 是( ) A. 在棱 AD 上存在點(diǎn) M 使

33、ADL 平面 PMB B. 異面直線 AD 與 PB 所成的角為 90 C. 二面角 P BC A 的大小為 45 D. BDL 平面 PAC 答案 D 解析 對(duì)于 A,取 AD 的中點(diǎn) M 連 PM BM T側(cè)面 PAD 為正三角 形， PMLAD 又底面 ABCD 是/ DAB= 60 的菱形， ABD 是等邊三角形， ADL BM ADL 平面 PBM 故 A 正確. 對(duì)于 B,T ADL平面 PBM ADL PB即異面直線 AD與 PB所成的角 為 90 ,故 B 正確. 對(duì)于 C, 平面 PB平面 ABC 圧 BC BC/ AD BCL平面 PBM BCL PB BCL BM, /

34、PBM 是二面角 P- BC- A 的平面角， 設(shè) AB= 1,貝卩 BM= , PM=, 在 Rt PBM 中 , tan / PBMk= 1, 即/ PBIM= 45,故二面角 P- BC- A 的大小為 45,故 C 正確.錯(cuò) 誤的是 D,故選 D. 二、填空題 8. _ 個(gè)正四面體木塊如圖所示，點(diǎn) P 是棱 VA 的中點(diǎn)，過點(diǎn) P 將木 塊鋸開，使截面平行于棱 VB 和 AC 若木塊的棱長(zhǎng)為 a ,則截面面積 為18 / 23 _ . 答案乎 解析 在平面 VAC 內(nèi)作直線 PD/ AC 交 VC 于 D,在平面 VBA 內(nèi)作直 線 PF/ VB 交 AB 于 F,過點(diǎn) D 作直線 D

35、E/ VB 交 BC 于 E,連接 EF. v PF/ DE P, D, E , F 四點(diǎn)共面，且面 PDEF 與 VB 和 AC 都平行，則四邊形 PDEF為邊長(zhǎng)為 a 的正方形， 故其面積為 . 9. 如圖所示，在直三棱柱 ABbA1B1C1 中，底面是/ ABC 為直角的 等腰直角三角形，AC= 2a, BB1= 3a, D 是 A1C1 的中點(diǎn)，點(diǎn) F 在線段 AA1 上，當(dāng) AF= _ 時(shí)，CF!平面 B1DF. 答案 a 或 2a 解析由已知得 B1DL 平面 AC1, 又 CF?平面 AC1,二 B1DL CF, 故若 CF!平面 B1DF 則必有 CF! DF. 設(shè) AF= x

36、(0 v x v 3a),貝 S CF2= x2 + 4a2 , DF2= a2+ (3a - x)2 , 又 CD2= a2+ 9a2= 10a2, 10a2= x2 + 4a2 + a2 + (3a -x)2 , 解得 x = a 或 2a.故答案為 a 或 2a. 10. 如圖，在正方體 ABC A1B1C1D 中，有下面結(jié)論： AC/平面 CB1D1 AC!平面 CB1D1 AC1 與底面 ABCD 所成角的正切值是； 19 / 23 AD1 與 BD 為異面直線.其中正確的結(jié)論的序號(hào)是 _ . 答案 解析 因?yàn)?A8 平面 CB1D 牡 C,所以 AC/平面 CB1D 唯昔誤，所以

37、錯(cuò)誤. 連接 BC1, A1C1, 則 AC1!B1D1, AC1!B1C, 因?yàn)?B1D 們B1C= B1,所以 AC!平面 CB1D1 所以正確.因?yàn)?AC1 在底面 ABCD的射影為 AG 所以/ C1AC 是 AC1 與底面 ABCD 所成的 角，所以 tan / C1AC= =，所以正確. 由異面直線的定義可知，AD1 與 BD 為異面直線，所以正確.故 答案為. 三、解答題 11一個(gè)空間幾何的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖 (1) 所示，直觀圖如圖 (2) 所示 圖 (1) 圖(2) (1) 求它的體積； (2) 證明：A1CL平面 AB1C1 若 D 是棱 CC1 的中點(diǎn)，在棱 AB 上取

38、中點(diǎn) E,判斷 DE 是否平行于 平面AB1C1 并證明你的結(jié)論. (1) 解 四邊形 BCC1B1 是矩形，BB1= CC 仁，BC= 1,且 AA1C1C 是 邊長(zhǎng)為的正方形，垂直于底面 BB1C1C， 所以該幾何體的體積為 V=x1xx=. (2) 證明 因?yàn)? ACB= 90 ，所以 BCLAC 又因?yàn)槿庵?ABC-A1B1C1 為直三棱柱，所以 BCLCC1 又因?yàn)锳CT CC 仁 C,所以 BCL平面 ACC1A1 所以 BCL A1C； 又因?yàn)锽1C1/ BQ 所以B1CLA1C 又因?yàn)樗倪呅蜛CC1A偽正方形，所以 A1CLAC1 又 B1C 們 AC 仁 C1 ,所以 A1CL平面 AB1C1. (3) 解 當(dāng) E 為棱 AB 的中點(diǎn)時(shí)，DE/平面 AB1C1 證明：如圖所示 20 / 23 取 BB1 的中點(diǎn) F ,連接 EF、FD DE. 因?yàn)?D、 E、 F 分別是棱 CC1 AB和BB1的中點(diǎn)， 所以 EF/ AB1 又 AB1?平面 AB1C1 EF?平面 AB1C1 所以 EF/平面 AB1C1. 又 FD/ B1C1 所以 FD/ 平面 AB1C1 又 EFA FD= F,所以平面 DEF