【學(xué)習(xí)】第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、五邑大學(xué)五邑大學(xué)第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算1邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2邏輯代數(shù)的基本定理邏輯代數(shù)的基本定理3邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯函數(shù)及其表示方法4邏輯函數(shù)表達(dá)式類型的轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)表達(dá)式類型的轉(zhuǎn)換6邏輯函數(shù)的化簡方法邏輯函數(shù)的化簡方法5五邑大學(xué)五邑大學(xué)思思 考考 題題1邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)與普通代與普通代數(shù)運(yùn)算規(guī)數(shù)運(yùn)算規(guī)則不同處則不同處2邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)為什么要為什么要進(jìn)行化簡進(jìn)行化簡3邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)表達(dá)式類表達(dá)式類型為什么型為什么要轉(zhuǎn)換要轉(zhuǎn)換五邑大學(xué)五邑大學(xué)第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)基本概

2、念基本概念邏輯：事物的因果關(guān)系邏輯：事物的因果關(guān)系邏輯運(yùn)算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：邏輯運(yùn)算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)： 邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)在二值邏輯中的變量取值：在二值邏輯中的變量取值： 0/10/1五邑大學(xué)五邑大學(xué)2.1 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算與（與（AND） 或（或（OR） 非非（NOT） 五邑大學(xué)五邑大學(xué)與與條件同時(shí)具備，結(jié)果發(fā)生條件同時(shí)具備，結(jié)果發(fā)生Y=A AND B = A&B=AB=AB五邑大學(xué)五邑大學(xué)或或條件之一具備，結(jié)果發(fā)生條件之一具備，結(jié)果發(fā)生Y= A OR B = A+B五邑大學(xué)五邑大學(xué)非非條件不具備，結(jié)果發(fā)生條件不具備，結(jié)果發(fā)生 ANOTY A五邑大學(xué)五邑大學(xué)幾種常用

3、的復(fù)合邏輯運(yùn)算幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算與非與非 或非或非 與或非與或非五邑大學(xué)五邑大學(xué)幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算異或異或BABABAY五邑大學(xué)五邑大學(xué)幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算同或同或BAABBABAY)(五邑大學(xué)五邑大學(xué)2.2.1 基本公式基本公式表為邏輯代數(shù)的基本公式，也叫布爾恒等式表2.3.1 邏輯代數(shù)的基本公式序號(hào)序號(hào)1 12 23 34 45 56 67 78 89 9公 式公 式00AAA 1AAA0AAABBACBACBA)()(CABACBA)(BABA)(AA)(序號(hào)序號(hào)101011111212131314141515161617171818

4、公 式公 式AA 0AAA1 AAABBACBACBA)()()()(CABACBABABA )(100111 A2.2 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式五邑大學(xué)五邑大學(xué)A 0 = 0A + 0 = AA 1 = AA + 1 = 12. 交換律、結(jié)合律、分配律交換律、結(jié)合律、分配律a. 交換律交換律： AB= BA A + B=B + Ab. 結(jié)合律結(jié)合律：A（BC） =（ AB）C A +（ B C）= （AB） + Cc. 分配律分配律：A( B + C) = AB + AC A + BC = (A + B)(A + C)1.關(guān)于變量與常數(shù)關(guān)系的定理關(guān)于變量與常數(shù)

5、關(guān)系的定理邏輯代數(shù)的基本公式邏輯代數(shù)的基本公式說明：由表中可以看出說明：由表中可以看出五邑大學(xué)五邑大學(xué)a. 互補(bǔ)律：10AAAAb. 重疊律：A A = A A + A = Ac. 非非律：AA)(d. 吸收律：A + A B = A A (A+B) = A BABAAe. 摩根定律：BAAB )(BABA )(注：以上定律均可由真值表驗(yàn)證注：以上定律均可由真值表驗(yàn)證3.邏輯函數(shù)獨(dú)有的基本定理邏輯函數(shù)獨(dú)有的基本定理邏輯代數(shù)的基本公式邏輯代數(shù)的基本公式五邑大學(xué)五邑大學(xué)邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式表2.3.1 邏輯代數(shù)的基本公式序號(hào)序號(hào)1 12 23 34 45 56

6、67 78 89 9公 式公 式00AAA 1AAA0AAABBACBACBA)()(CABACBA)(BABA )(AA)(序號(hào)序號(hào)101011111212131314141515161617171818公 式公 式AA 0AAA1 AAABBACBACBA)()()()(CABACBABABA )(100111 A五邑大學(xué)五邑大學(xué)序號(hào)序號(hào)212122222323242425252626公 式公 式ABABAABAA)(CABABCCABA ABAABABAA )()(ABAABABAACABABCDCABA 表2.3.2 常用公式2.2.2 若干常用公式若干常用公式邏輯代數(shù)的基本公式和常用

7、公式邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式五邑大學(xué)五邑大學(xué)2.3 邏輯代數(shù)的基本定理邏輯代數(shù)的基本定理 代入定理代入定理 任何一個(gè)含有變量任何一個(gè)含有變量A 的等式，如果的等式，如果將所有出現(xiàn)將所有出現(xiàn) A 的位置都用同一個(gè)邏輯函的位置都用同一個(gè)邏輯函數(shù)數(shù)G來替換，則等式仍然成立。來替換，則等式仍然成立。利用代入定理可以證明一些公式，也可以將利用代入定理可以證明一些公式，也可以將前面的兩變量常用公式推廣成多變量的公式前面的兩變量常用公式推廣成多變量的公式五邑大學(xué)五邑大學(xué)2.3.1 代入定理代入定理應(yīng)用舉例：應(yīng)用舉例： 式式 A+BC = (A+B)(A+C) A+B(CD) = (A+B)(A+CD)=

8、 (A+B)(A+C)(A+D)？五邑大學(xué)五邑大學(xué)應(yīng)用舉例：應(yīng)用舉例： CBABCACBABCBBABA)()()(代入以2.3.1 代入定理代入定理利用代入定理可以證明一些公式，也可以將利用代入定理可以證明一些公式，也可以將前面的兩變量常用公式推廣成多變量的公式前面的兩變量常用公式推廣成多變量的公式五邑大學(xué)五邑大學(xué)2.3 邏輯代數(shù)的基本定理邏輯代數(shù)的基本定理 反演定理反演定理 若已知邏輯函數(shù)若已知邏輯函數(shù)Y的邏輯式，則只要將的邏輯式，則只要將Y式中所有的式中所有的“.”換為換為“+”, “+”換為換為“.”,常常量量“0”換成換成“1”，“1”換成換成“0”，所有，所有原原變量（不帶非號(hào)）變

9、成變量（不帶非號(hào)）變成反反變量，所有變量，所有反反變量變量換成換成原原變量，得到的新函數(shù)即為原函數(shù)變量，得到的新函數(shù)即為原函數(shù)Y的的反函數(shù)反函數(shù)（補(bǔ)函數(shù)）（補(bǔ)函數(shù)） 。五邑大學(xué)五邑大學(xué)2.3 .2 反演定理反演定理2.3.2 反演定理反演定理 -對(duì)任一邏輯式對(duì)任一邏輯式原變量反變量反變量原變量，0110YY變換順序 先括號(hào)，然后乘，最后加不屬于單個(gè)變量的上的反號(hào)保留不變五邑大學(xué)五邑大學(xué)2.3.2 反演定理反演定理應(yīng)用舉例：應(yīng)用舉例：CDCBAY)(DCBDACBCADCCBAY)(五邑大學(xué)五邑大學(xué)2.3.2 反演定理反演定理解：由反演定理解：由反演定理DCCBCADCCCCBCACDCBACD

10、CBAY )()( 五邑大學(xué)五邑大學(xué)2.3 邏輯代數(shù)的基本定理邏輯代數(shù)的基本定理2.3.3 對(duì)偶規(guī)則對(duì)偶規(guī)則 設(shè)設(shè)Y是一個(gè)邏輯函數(shù)，如果將是一個(gè)邏輯函數(shù)，如果將Y中所有中所有的的“+”換成與換成與“”， “.”換成與換成與“+” ，“1” 換成與換成與“0”， “0” 換成與換成與“1”，而變量保持，而變量保持不變不變，則所得的新的邏，則所得的新的邏輯式輯式 YD 稱為稱為Y的的對(duì)偶式對(duì)偶式。CBAYD如：如：)(CBAY五邑大學(xué)五邑大學(xué)2.3.3 對(duì)偶規(guī)則對(duì)偶規(guī)則對(duì)偶規(guī)則：對(duì)偶規(guī)則：如果兩個(gè)函數(shù)如果兩個(gè)函數(shù)Y和和G相等，則其對(duì)偶式相等，則其對(duì)偶式Y(jié)D和和GD也必然相等。利用對(duì)偶式可以證明一些

11、常用公式也必然相等。利用對(duì)偶式可以證明一些常用公式ACABGACABCBAYDD)(例例 試?yán)脤?duì)偶規(guī)則證明分配律試?yán)脤?duì)偶規(guī)則證明分配律 ABC=(A+B)(A+C)式子成立式子成立證明：設(shè)證明：設(shè)Y ABC，G (A+B)(A+C)，則它們的，則它們的對(duì)偶式為對(duì)偶式為DDGY由于由于故故YG，即，即ABC=(A+B)(A+C)五邑大學(xué)五邑大學(xué)2.3.3 對(duì)偶規(guī)則對(duì)偶規(guī)則證明：設(shè)證明：設(shè)BAGBAAY則它們的對(duì)偶式為則它們的對(duì)偶式為ABABAABAAYD)(由于由于DDGY故故YG，即，即BABAA試?yán)脤?duì)偶規(guī)則證明吸收律試?yán)脤?duì)偶規(guī)則證明吸收律AA BAB 式子成立式子成立ABGD五邑大學(xué)

12、五邑大學(xué)2.4 邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯函數(shù)及其表示方法真值表真值表邏輯式邏輯式邏輯圖邏輯圖波形圖波形圖卡諾圖卡諾圖邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯函數(shù)及其表示方法各種表示方法之各種表示方法之間可以相互轉(zhuǎn)換間可以相互轉(zhuǎn)換五邑大學(xué)五邑大學(xué)真真 值值 表表YBA011101110000輸出輸入五邑大學(xué)五邑大學(xué)邏輯式邏輯式 將輸入將輸入/輸出之間的邏輯關(guān)系用輸出之間的邏輯關(guān)系用與與/ /或或/ /非非的運(yùn)算的運(yùn)算式表示就得到邏輯式。式表示就得到邏輯式。 如異或關(guān)系的邏輯函數(shù)可寫成如異或關(guān)系的邏輯函數(shù)可寫成 YA B AB 邏邏 輯輯 式式五邑大學(xué)五邑大學(xué)邏輯圖邏輯圖 用用邏輯圖形符號(hào)邏輯圖形符號(hào)表示邏輯運(yùn)算

13、關(guān)系，與邏輯電路表示邏輯運(yùn)算關(guān)系，與邏輯電路的實(shí)現(xiàn)相對(duì)應(yīng)。的實(shí)現(xiàn)相對(duì)應(yīng)。 下圖表示的是異或關(guān)系的邏輯圖下圖表示的是異或關(guān)系的邏輯圖邏邏 輯輯 圖圖ABY五邑大學(xué)五邑大學(xué)波形圖波形圖 將輸入變量所有取值可能與對(duì)應(yīng)輸出按時(shí)間順序排將輸入變量所有取值可能與對(duì)應(yīng)輸出按時(shí)間順序排列起來畫成時(shí)間波形，也稱時(shí)序圖。列起來畫成時(shí)間波形，也稱時(shí)序圖。如如波波 形形 圖圖五邑大學(xué)五邑大學(xué)卡卡 諾諾 圖圖 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法實(shí)質(zhì)：將邏輯函數(shù)的實(shí)質(zhì)：將邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和最小項(xiàng)之和的以圖形的方的以圖形的方式表示出來式表示出來以以2n個(gè)小方塊分別代表個(gè)小方塊分別代表 n 變量的所有最小項(xiàng)變量的

14、所有最小項(xiàng)，并將它們排列成矩陣，而且使，并將它們排列成矩陣，而且使幾何位置相鄰幾何位置相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)在的兩個(gè)最小項(xiàng)在邏輯上也是相鄰的邏輯上也是相鄰的（只有一個(gè)（只有一個(gè)變量不同），就得到表示變量不同），就得到表示n變量全部最小項(xiàng)的變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖?？ㄖZ圖。 五邑大學(xué)五邑大學(xué)邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式最小項(xiàng)最小項(xiàng)之和之和 最大項(xiàng)最大項(xiàng)之積之積五邑大學(xué)五邑大學(xué)兩變量兩變量A，B的最小項(xiàng)的最小項(xiàng)三變量三變量A，B，C的最小項(xiàng)的最小項(xiàng)）4個(gè)（22ABBABABA,）8個(gè)（32ABCCABCBACBABCACBACBACBA,邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和的形式邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和的形式

15、最小項(xiàng)舉例：最小項(xiàng)舉例：五邑大學(xué)五邑大學(xué)最小項(xiàng)的編號(hào)最小項(xiàng)的編號(hào)ABCCABCBACBABCACBACBACBA五邑大學(xué)五邑大學(xué)邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成最小項(xiàng)之和的形式邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成最小項(xiàng)之和的形式例：例：),()(),(763mBCAABCCABAABCCABBCCABCBAY利用公式可將任何一個(gè)函數(shù)化為1 AA im邏輯函數(shù) 最小項(xiàng)之和的形式五邑大學(xué)五邑大學(xué)邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成最小項(xiàng)之和的形式邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成最小項(xiàng)之和的形式例：例：DCBAACDBAADCBCDBDDCBDBCAADCBACBDBCDCBADCBAY)()(.)()(),(五邑大學(xué)五邑大學(xué)卡卡 諾諾 圖圖 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法邏輯函數(shù)的卡

16、諾圖表示法實(shí)質(zhì)：將邏輯函數(shù)的實(shí)質(zhì)：將邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和最小項(xiàng)之和的以圖形的方的以圖形的方式表示出來式表示出來以以2n個(gè)小方塊分別代表個(gè)小方塊分別代表 n 變量的所有最小項(xiàng)變量的所有最小項(xiàng)，并將它們排列成矩陣，而且使，并將它們排列成矩陣，而且使幾何位置相鄰幾何位置相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)在的兩個(gè)最小項(xiàng)在邏輯上也是相鄰的邏輯上也是相鄰的（只有一個(gè)（只有一個(gè)變量不同），就得到表示變量不同），就得到表示n變量全部最小項(xiàng)的變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖?？ㄖZ圖。 五邑大學(xué)五邑大學(xué)表示最小項(xiàng)的卡諾圖表示最小項(xiàng)的卡諾圖二變量卡諾圖二變量卡諾圖 三變量的卡諾圖三變量的卡諾圖變量的卡諾圖變量的卡諾圖五邑大學(xué)五邑大學(xué)各種表現(xiàn)形

17、式的相互轉(zhuǎn)換各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換真值表真值表 邏輯式邏輯式例：奇偶判別函數(shù)的真值表例：奇偶判別函數(shù)的真值表nA=0，B=1，C=1使 ABC=1nA=1，B=0，C=1使 ABC=1nA=1，B=1，C=0使 ABC =1這三種取值的任何一種都使這三種取值的任何一種都使Y=1,所以所以 Y= ? 五邑大學(xué)五邑大學(xué)真值表真值表 邏輯式：邏輯式：n找出真值表中使找出真值表中使 Y=1 的輸入變量取值組合。的輸入變量取值組合。n每組輸入變量取值對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，其中取值每組輸入變量取值對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，其中取值為為1的寫原變量，取值為的寫原變量，取值為0的寫反變量。的寫反變量。n將這些變量相加即得將這

18、些變量相加即得 Y。各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換五邑大學(xué)五邑大學(xué)例例2.5.2 已知真值表如表所示，試寫出輸已知真值表如表所示，試寫出輸出的邏輯函數(shù)出的邏輯函數(shù)解：其輸出的邏輯函數(shù)為解：其輸出的邏輯函數(shù)為CABCBABCACBAY各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換五邑大學(xué)五邑大學(xué)真值表真值表 邏輯式：邏輯式：n找出真值表中使找出真值表中使 Y=1 的輸入變量取值組合。的輸入變量取值組合。n每組輸入變量取值對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，其中取值每組輸入變量取值對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，其中取值為為1的寫原變量，取值為的寫原變量，取值為0的寫反變量。的寫反變量。n將這些變量相加即得將這些變量相加

19、即得 Y。 把輸入變量取值的所有組合逐個(gè)代入邏輯式把輸入變量取值的所有組合逐個(gè)代入邏輯式中求出中求出Y，列出真值表，列出真值表各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換五邑大學(xué)五邑大學(xué)例例2.5.3 寫出邏輯函數(shù)寫出邏輯函數(shù)YAB C 的的真值表真值表解：其真值表如表所示解：其真值表如表所示輸入輸入輸出輸出ABCY00001111001100110101010110101110表表2.5.3各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換五邑大學(xué)五邑大學(xué)邏輯式邏輯式 邏輯圖邏輯圖1. 用圖形符號(hào)代替邏輯式中的邏輯運(yùn)算符。用圖形符號(hào)代替邏輯式中的邏輯運(yùn)算符。)(CBAY各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換各種表

20、現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換五邑大學(xué)五邑大學(xué)例例2.5.4 畫出邏輯函數(shù)畫出邏輯函數(shù)Y(AB+C ) ( AC ) B) 的邏輯電路的邏輯電路解：其實(shí)現(xiàn)電路如解：其實(shí)現(xiàn)電路如圖所示圖所示1A AB BC C11Y Y圖2.5.3 例2.5.4的電路圖2.5.3 例2.5.4的電路各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換五邑大學(xué)五邑大學(xué)邏輯式邏輯式 邏輯圖邏輯圖1. 用圖形符號(hào)代替邏輯式中的邏輯運(yùn)算符。用圖形符號(hào)代替邏輯式中的邏輯運(yùn)算符。2. 從從輸入到輸出輸入到輸出逐級(jí)寫出每個(gè)圖形符號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯逐級(jí)寫出每個(gè)圖形符號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯 運(yùn)算式。運(yùn)算式。 )( BAB)(BAA)()( BABABABABABAB

21、ABABA )()()(各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換五邑大學(xué)五邑大學(xué)11 1A AB BC CY Y圖2.5.4 例2.5.5的邏輯電路圖2.5.4 例2.5.5的邏輯電路CA例例2.5.5 已知邏輯電路如圖，試寫出輸出已知邏輯電路如圖，試寫出輸出端的邏輯函數(shù)式。端的邏輯函數(shù)式。ABABC解：輸出的邏輯式為解：輸出的邏輯式為BCCAABY各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換五邑大學(xué)五邑大學(xué)波形圖波形圖 真值表真值表各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換 將每個(gè)時(shí)間段內(nèi)輸入變量和輸出的取值對(duì)將每個(gè)時(shí)間段內(nèi)輸入變量和輸出的取值對(duì)應(yīng)列表，即可得到函數(shù)的真值表。應(yīng)列表，即

22、可得到函數(shù)的真值表。五邑大學(xué)五邑大學(xué)波形圖波形圖 真值表真值表各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換例例2.5.6 已知圖所示是某個(gè)邏輯電路的輸入輸出已知圖所示是某個(gè)邏輯電路的輸入輸出波形，試畫出該真值表，并判斷其邏輯功能波形，試畫出該真值表，并判斷其邏輯功能ABttOOYtO圖2.5.6 例2.5.7的波形圖2.5.6 例2.5.7的波形五邑大學(xué)五邑大學(xué)波形圖波形圖 真值表真值表各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換例例2.5.9 已知邏輯函數(shù)的真值表如表所示，試已知邏輯函數(shù)的真值表如表所示，試畫出輸入輸出波形。畫出輸入輸出波形。輸入輸入輸出輸出ABCY0000111100110

23、0110101010111001000表表2.5.9解：由真值表畫出輸入輸出波形如解：由真值表畫出輸入輸出波形如圖所示圖所示ABCYttttOOOO圖2.5.9 例2.5.9的波形圖2.5.9 例2.5.9的波形五邑大學(xué)五邑大學(xué)卡諾圖卡諾圖 真值表真值表各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換根據(jù)真值表得到其卡諾圖如表所示根據(jù)真值表得到其卡諾圖如表所示輸入輸入輸出輸出ABCY00001111001100110101010100110001表表2.6.5A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.6.6 Y的卡諾圖的卡諾圖1 11 11 1五邑大學(xué)五邑大學(xué)卡諾圖卡諾圖

24、邏輯式邏輯式各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換卡諾圖用于化簡邏輯函數(shù)式卡諾圖用于化簡邏輯函數(shù)式五邑大學(xué)五邑大學(xué)真值表真值表邏輯式邏輯式邏輯圖邏輯圖波形圖波形圖卡諾圖卡諾圖各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換五邑大學(xué)五邑大學(xué)2.5 邏輯函數(shù)的化簡法邏輯函數(shù)的化簡法邏輯函數(shù)的最簡形式邏輯函數(shù)的最簡形式 最簡與或最簡與或 -包含的乘積項(xiàng)已經(jīng)最少，每個(gè)乘積項(xiàng)的包含的乘積項(xiàng)已經(jīng)最少，每個(gè)乘積項(xiàng)的因子也最少，稱為最簡的與因子也最少，稱為最簡的與- -或邏輯式?；蜻壿嬍?。CBACYACDCBABCY21五邑大學(xué)五邑大學(xué)2.5 邏輯函數(shù)的化簡法邏輯函數(shù)的化簡法邏輯函數(shù)的化簡有兩種方法邏輯函數(shù)

25、的化簡有兩種方法 公式化簡法公式化簡法 卡諾圖化簡法卡諾圖化簡法 公式法化簡就是利用邏輯代數(shù)的一些公式法化簡就是利用邏輯代數(shù)的一些定理定理、公式公式和運(yùn)算規(guī)則，消去多余的乘積項(xiàng)和多余的和運(yùn)算規(guī)則，消去多余的乘積項(xiàng)和多余的因子。因子。將邏輯函數(shù)的真值表圖形化，將邏輯函數(shù)的將邏輯函數(shù)的真值表圖形化，將邏輯函數(shù)的最最小項(xiàng)之和小項(xiàng)之和的以的以圖形圖形的方式表示出來，然后完成的方式表示出來，然后完成相鄰最小項(xiàng)的相鄰最小項(xiàng)的合并合并。五邑大學(xué)五邑大學(xué)反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項(xiàng)和多余的因子。乘積項(xiàng)和多余的因子。 例：例： DBCBADCDBCBADEB

26、AADCDBCBACDEBACBADCDBCBACCBADEBADBCACBADCDBCBACY )()()(2.5.1 公式化簡法一般化簡需要各種方法綜合起來?；喰枰记珊鸵话慊喰枰鞣N方法綜合起來。化簡需要技巧和經(jīng)驗(yàn)，需多練習(xí)。另外最后的結(jié)果是否為最簡，難經(jīng)驗(yàn)，需多練習(xí)。另外最后的結(jié)果是否為最簡，難以判斷。以判斷。五邑大學(xué)五邑大學(xué)2.5.2 卡諾圖化簡法卡諾圖化簡法將函數(shù)表示為最小項(xiàng)之和的形式將函數(shù)表示為最小項(xiàng)之和的形式 。在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置上添入在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置上添入1，其余地方添其余地方添0。 im用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)五邑大學(xué)五邑大

27、學(xué)表示最小項(xiàng)的卡諾圖表示最小項(xiàng)的卡諾圖二變量卡諾圖二變量卡諾圖 三變量的卡諾圖三變量的卡諾圖變量的卡諾圖變量的卡諾圖五邑大學(xué)五邑大學(xué)最小項(xiàng)的性質(zhì)最小項(xiàng)的性質(zhì)在輸入變量任一取值下，有且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的在輸入變量任一取值下，有且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為值為1。全體最小項(xiàng)之和為全體最小項(xiàng)之和為1 。任何兩個(gè)最小項(xiàng)之積為任何兩個(gè)最小項(xiàng)之積為0 。兩個(gè)兩個(gè)相鄰相鄰的最小項(xiàng)之和可以的最小項(xiàng)之和可以合并合并，消去一對(duì)因子，消去一對(duì)因子，只留下公共因子。，只留下公共因子。 -相鄰相鄰：僅一個(gè)變量不同的最小項(xiàng)：僅一個(gè)變量不同的最小項(xiàng) 如如 BACCBABCACBABCACBA)(與五邑大學(xué)五邑大學(xué)最大項(xiàng)之積最大項(xiàng)之

28、積最大項(xiàng)最大項(xiàng)M：M是相加項(xiàng)；是相加項(xiàng)；包含包含n個(gè)因子。個(gè)因子。n個(gè)變量均以原變量和反變量的形式在個(gè)變量均以原變量和反變量的形式在M中出現(xiàn)一中出現(xiàn)一次。次。如：兩變量如：兩變量A, B的最大項(xiàng)的最大項(xiàng)）4個(gè)（22BABABABA,五邑大學(xué)五邑大學(xué)最大項(xiàng)的性質(zhì)最大項(xiàng)的性質(zhì)在輸入變量任一取值下，有且僅有一個(gè)最大項(xiàng)的在輸入變量任一取值下，有且僅有一個(gè)最大項(xiàng)的值為值為0 0；全體最大項(xiàng)之積為全體最大項(xiàng)之積為0 0；任何兩個(gè)最大項(xiàng)之和為任何兩個(gè)最大項(xiàng)之和為1 1；只有一個(gè)變量不同的最大項(xiàng)的乘積等于各相同變只有一個(gè)變量不同的最大項(xiàng)的乘積等于各相同變量之和。量之和。五邑大學(xué)五邑大學(xué)最大項(xiàng)的編號(hào)最大項(xiàng)的編號(hào)

29、CBACBACBACBACBACBACBACBA五邑大學(xué)五邑大學(xué)設(shè)有三變量設(shè)有三變量A、B、C的最小項(xiàng)，如的最小項(xiàng)，如m5 AB C，對(duì)其求反得對(duì)其求反得CBAm555)(MCBACBAm由此可知對(duì)于由此可知對(duì)于n 變量中任意一對(duì)最小項(xiàng)變量中任意一對(duì)最小項(xiàng) mi 和和最大項(xiàng)最大項(xiàng)Mi ，都是互補(bǔ)的，即，都是互補(bǔ)的，即iiiimMMm或最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的關(guān)系五邑大學(xué)五邑大學(xué)imY若某函數(shù)寫成最小項(xiàng)之和的形式為若某函數(shù)寫成最小項(xiàng)之和的形式為則此函數(shù)的反函數(shù)必為則此函數(shù)的反函數(shù)必為)(ikmYk如表中如表中)7 , 6 , 3(763immmmY)5 , 4 , 2 , 1 , 0(54210kmmm

30、mmmYA AB B0 00 00 01 10 01 11 11 1表2.5.15 邏輯函數(shù)Y的真值表表2.5.15 邏輯函數(shù)Y的真值表C C0 00 00 00 01 10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 11 11 11 10 00 00 00 00 0Y Y最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的關(guān)系五邑大學(xué)五邑大學(xué)5421054210)(mmmmmmmmmmY 利用反演定理可得利用反演定理可得ikkikkkMmikmY)()5 , 4 , 2 , 1 , 0(54210kmmmmmmY上式或?qū)懗缮鲜交驅(qū)懗勺钚№?xiàng)與最大項(xiàng)的關(guān)系五邑大學(xué)五邑大學(xué) imYikkmYikkmY)(kikki

31、kMmY最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的關(guān)系五邑大學(xué)五邑大學(xué)CBCAABCBAY),(例2.5.12 試將下列函數(shù)利用真值表轉(zhuǎn)化成兩種標(biāo)準(zhǔn)形式A AB B0 00 00 01 10 01 11 11 1表表2.5.16 例例2.5.12的邏輯函數(shù)真值表的邏輯函數(shù)真值表C C0 00 00 00 01 10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 1Y Y1 11 11 11 11 10 01 10 0解：其真值表如表所示邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成兩種標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成兩種標(biāo)準(zhǔn)形式五邑大學(xué)五邑大學(xué)A AB B0 00 00 01 10 01 11 11 1表表2.5.16 例例2.5.12的邏輯函數(shù)

32、真值表的邏輯函數(shù)真值表C C0 00 00 00 01 10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 1Y Y1 11 11 11 11 10 01 10 0ABCCABCBABCACBACBAmCBAY)7 , 6 , 4 , 3 , 1 , 0(),(邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與型為邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與型為)()5 , 2(),(CBACBAMCBAY則邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或型為則邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或型為邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成兩種標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成兩種標(biāo)準(zhǔn)形式五邑大學(xué)五邑大學(xué))6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 () ( ) () () ( ),(26151346immmmmmmmm

33、BCAABCCBACABCBABCACABABCAABCAACBBBCABBACCBCBCACACBAY用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)ABC五邑大學(xué)五邑大學(xué) 用卡諾圖化簡函數(shù)用卡諾圖化簡函數(shù)依據(jù)：具有相鄰性的最小項(xiàng)可合并，消去不同因依據(jù)：具有相鄰性的最小項(xiàng)可合并，消去不同因子。子。 在卡諾圖中，最小項(xiàng)的相鄰性可以從圖形中直觀在卡諾圖中，最小項(xiàng)的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來。地反映出來。五邑大學(xué)五邑大學(xué)卡諾圖化簡的原則卡諾圖化簡的原則化簡后的乘積項(xiàng)應(yīng)包含函數(shù)式的所有最小項(xiàng)，化簡后的乘積項(xiàng)應(yīng)包含函數(shù)式的所有最小項(xiàng)，即覆即覆蓋圖中所有的蓋圖中所有的1。乘積項(xiàng)的數(shù)目最少，乘積項(xiàng)的數(shù)目最少

34、，即圈成的矩形最少即圈成的矩形最少。每個(gè)乘積項(xiàng)因子最少，每個(gè)乘積項(xiàng)因子最少，即圈成的矩形最大即圈成的矩形最大。 n 為了使圈成的矩形最大，可以在不同的圈中為了使圈成的矩形最大，可以在不同的圈中反復(fù)反復(fù)圈圈 入某一項(xiàng)。入某一項(xiàng)。n 邊邊邊邊相連，相連，角角角角相連。相連。五邑大學(xué)五邑大學(xué)合并最小項(xiàng)的原則：合并最小項(xiàng)的原則：n兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去一對(duì)因子兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去一對(duì)因子n四個(gè)排成矩形的相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消四個(gè)排成矩形的相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去兩對(duì)因子去兩對(duì)因子n八個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去三對(duì)因子八個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去三對(duì)因子 用卡諾圖化

35、簡函數(shù)用卡諾圖化簡函數(shù)五邑大學(xué)五邑大學(xué)例：例：CBCBCACACBAY),(ABC 用卡諾圖化簡函數(shù)用卡諾圖化簡函數(shù)五邑大學(xué)五邑大學(xué)例：例：CBCBCACACBAY),(CBCABAABC 用卡諾圖化簡函數(shù)用卡諾圖化簡函數(shù)五邑大學(xué)五邑大學(xué)例：例：CBCBCACACBAY),(ABCCBBACA 用卡諾圖化簡函數(shù)用卡諾圖化簡函數(shù)五邑大學(xué)五邑大學(xué)例：例：CBCBCACACBAY),(CBCABACBBACA 用卡諾圖化簡函數(shù)用卡諾圖化簡函數(shù)五邑大學(xué)五邑大學(xué)例例 用卡諾圖簡化下面邏輯函數(shù)用卡諾圖簡化下面邏輯函數(shù))14,12,10, 9 , 8 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0(),(m

36、DCBAYABABCDCD00000101111110101010表2.4.16 Y的卡諾圖表2.4.16 Y的卡諾圖000011110101解解:CBBADY11111111111 用卡諾圖化簡函數(shù)用卡諾圖化簡函數(shù)五邑大學(xué)五邑大學(xué)例：例：ABCDDCACBADCDCAABDABCY 用卡諾圖化簡函數(shù)用卡諾圖化簡函數(shù)五邑大學(xué)五邑大學(xué)例：例：DCACBADCDCAABDABCYABCDDA 用卡諾圖化簡函數(shù)用卡諾圖化簡函數(shù)五邑大學(xué)五邑大學(xué)注：注： 以上是通過合并卡諾圖中的以上是通過合并卡諾圖中的“1”項(xiàng)來簡化邏輯函數(shù)的，項(xiàng)來簡化邏輯函數(shù)的，有時(shí)也通過合并有時(shí)也通過合并“0”項(xiàng)先求項(xiàng)先求F的反函數(shù)

37、，再求反得的反函數(shù)，再求反得Y例如上面的例題例如上面的例題,圈圈“0”情況如表情況如表所示，可得所示，可得ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.15 Y的卡諾圖的卡諾圖0000111101010 00 00 00 0111111111111DAYDADAY)( 用卡諾圖化簡函數(shù)用卡諾圖化簡函數(shù)五邑大學(xué)五邑大學(xué)a.任意項(xiàng)：任意項(xiàng)：輸入變量的某些取值對(duì)電路的功能沒影輸入變量的某些取值對(duì)電路的功能沒影響，這些項(xiàng)稱為響，這些項(xiàng)稱為任意項(xiàng)任意項(xiàng)。 例如例如8421BCD碼取值為碼取值為0000 1001十個(gè)狀態(tài)，而十個(gè)狀態(tài)，而10101111這六個(gè)狀態(tài)不可能出現(xiàn)，故對(duì)應(yīng)的函

38、數(shù)取這六個(gè)狀態(tài)不可能出現(xiàn)，故對(duì)應(yīng)的函數(shù)取“0”或取或取“1”對(duì)函數(shù)沒有影響，這些項(xiàng)就是任意項(xiàng)。對(duì)函數(shù)沒有影響，這些項(xiàng)就是任意項(xiàng)。2、化簡時(shí)，根據(jù)需要任意項(xiàng)可以、化簡時(shí)，根據(jù)需要任意項(xiàng)可以作為作為“1”也可作也可作“0”處理處理，以得到相鄰最小項(xiàng)矩形組合最大（包含，以得到相鄰最小項(xiàng)矩形組合最大（包含“1”的個(gè)數(shù)最多）為原則。的個(gè)數(shù)最多）為原則。1、將任意項(xiàng)在卡諾圖相應(yīng)位置、將任意項(xiàng)在卡諾圖相應(yīng)位置用用“ ”表示表示最小項(xiàng)的表達(dá)式為最小項(xiàng)的表達(dá)式為dmY其中其中d為任意項(xiàng)為任意項(xiàng)無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡五邑大學(xué)五邑大學(xué)例例 用卡諾圖簡化下列邏輯函數(shù)，并寫成最簡與或式用卡諾圖簡化下列

39、邏輯函數(shù)，并寫成最簡與或式)13,12,11,10, 8 , 7 , 4 , 2()15,14, 9 , 6 , 1 , 0(),(dmDCBAY解：根據(jù)解：根據(jù)Y的卡諾圖的卡諾圖則最簡與或式為則最簡與或式為CBADY111111 無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡五邑大學(xué)五邑大學(xué)無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡b.約束項(xiàng)約束項(xiàng) ：在邏輯函數(shù)中，輸入變量的取值不是任：在邏輯函數(shù)中，輸入變量的取值不是任意的，受到限制。對(duì)輸入變量取值所加的限制稱為意的，受到限制。對(duì)輸入變量取值所加的限制稱為約束約束，被約束的項(xiàng)叫做，被約束的項(xiàng)叫做約束項(xiàng)約束項(xiàng)。例如有三個(gè)邏輯變量例如有三個(gè)邏輯變量A、

40、B、C分別表示一臺(tái)電動(dòng)機(jī)的分別表示一臺(tái)電動(dòng)機(jī)的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止。若正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止。若A1表示電動(dòng)機(jī)正轉(zhuǎn)，表示電動(dòng)機(jī)正轉(zhuǎn)，B1表表示電動(dòng)機(jī)反轉(zhuǎn)，示電動(dòng)機(jī)反轉(zhuǎn)，C1表示電動(dòng)機(jī)停止，則其表示電動(dòng)機(jī)停止，則其ABC的只的只能是能是100、010、001，而其它的狀態(tài)如，而其它的狀態(tài)如000、011、101、110、111是不能出現(xiàn)的狀態(tài)，故是不能出現(xiàn)的狀態(tài)，故ABC為具有約束的變?yōu)榫哂屑s束的變量，恒為量，恒為0。可寫成?？蓪懗?ABCCABCBABCACBA這些恒等于這些恒等于“0”的最小項(xiàng)稱為的最小項(xiàng)稱為約束項(xiàng)約束項(xiàng)五邑大學(xué)五邑大學(xué)例例 試簡化下列邏輯函數(shù)，寫最簡成與或式試簡化下列邏輯函數(shù)，寫最簡

41、成與或式0),(約束條件：BACDBADCBADBCACBADCBAY解：約束條件為解：約束條件為0ABBA則則Y的卡諾圖如所示的卡諾圖如所示最簡與或式為最簡與或式為DCCAACY11111無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡五邑大學(xué)五邑大學(xué) 將約束項(xiàng)和任意項(xiàng)統(tǒng)稱為將約束項(xiàng)和任意項(xiàng)統(tǒng)稱為無關(guān)項(xiàng)無關(guān)項(xiàng) 。即把這些最。即把這些最小項(xiàng)是否寫入卡諾圖對(duì)邏輯函數(shù)無影響小項(xiàng)是否寫入卡諾圖對(duì)邏輯函數(shù)無影響 含有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的表示方法含有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的表示方法最小項(xiàng)的表達(dá)式為最小項(xiàng)的表達(dá)式為dmY其中其中d為無關(guān)項(xiàng)為無關(guān)項(xiàng)也可以寫成也可以寫成0約束條件：ddmY利用無關(guān)項(xiàng)可以使得函數(shù)進(jìn)一步簡化利用

42、無關(guān)項(xiàng)可以使得函數(shù)進(jìn)一步簡化無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡五邑大學(xué)五邑大學(xué)化簡步驟：化簡步驟： 1、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)、用卡諾圖表示邏輯函數(shù) 2、合并的最小項(xiàng)、合并的最小項(xiàng)n 矩形圈上所有的矩形圈上所有的1 1n 矩形圈要最大，圈數(shù)要最少矩形圈要最大，圈數(shù)要最少n 有無關(guān)項(xiàng)用有無關(guān)項(xiàng)用“ ” ”表示，表示，可作可作“1”1”也也可作可作“0”0” 3、化簡后的乘積項(xiàng)相加、化簡后的乘積項(xiàng)相加 用卡諾圖化簡函數(shù)用卡諾圖化簡函數(shù)五邑大學(xué)五邑大學(xué)2.6 邏輯函數(shù)表達(dá)式類型的轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)表達(dá)式類型的轉(zhuǎn)換 邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式有很多種，如與或邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式有很多種，如與或式、或與式、與非式、與或非式等，不同的表式、或與式、與非式、與或非式等，不同的表達(dá)形式可由達(dá)形式可由不同的門電路不同的門電路來實(shí)現(xiàn)。一般的邏輯來實(shí)現(xiàn)。一般的邏輯函數(shù)為與或式（乘積和），這樣需要轉(zhuǎn)換成其函數(shù)為與或式（乘積和），這樣需要轉(zhuǎn)換成其它的形式，利用卡諾圖可以很方便的實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換。它的形式，利用卡諾圖可以很方便的實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換。五邑大學(xué)五邑大學(xué)與或式轉(zhuǎn)換成與非式與或式轉(zhuǎn)換成與非式1. 與或式轉(zhuǎn)換成與非式與或式轉(zhuǎn)換成與非式 利用摩根定理將整個(gè)與或式兩次求反利用摩根定理將整個(gè)與或式兩次求反，即可得到與非式。即可