兩條直線的位置關(guān)系與對(duì)稱問(wèn)題

1、1.已知直線 ax 2y- 1= 0和直線x y+ 2= 0互 相垂直，則a的值為 ()1A. 1B. 3C 2D 23【解析】由題設(shè)可得X1=1,因此a=2,故選D.第63講兩條直線的位置關(guān)系與對(duì)稱問(wèn)題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握兩直線平行、垂直、相交的條件，能靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式及兩直線平行、垂直的條件 解決有關(guān)問(wèn)題.2. 掌握中心對(duì)稱、軸對(duì)稱等問(wèn)題的幾何特征和求解的基本方法.并能利用圖形的對(duì)稱性解決有關(guān)問(wèn)題.【知識(shí)要點(diǎn)】1.兩直線的位置關(guān)系的判定方法一：設(shè)直線 11： A1x + B1y+ C1= 0, 12： A2x+By+C2= 0(A仆B1不同為0; A2、B2不同為0).(1)1

2、1 與 12 相交? 2%(眷 |1),特況：h 丄I?2.實(shí)數(shù) a= 0是直線 x 2ay+ 1= 0和2x 2ay+ 1 = 0 平行的()A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件【解析】直線2ayM =0和2x-2ayM =0平行，貝 1(-2a)-(-2a)2=0, 得1=0.而a=時(shí)，直線+1=0與2x+1=0平行，故選? A1A2 + B1B2= 0.(2)l1 與 l2平行? A1b2= AQAC2A2Ci(或B1C23.已知直線 l: x y 1 = 0 , l1 : 2x y 2= 0，若 直線J和l1關(guān)于直線l對(duì)稱，則l2的方程是()

3、A . x 2y+ 1 = 0B . x 2y 1 = 0C . x+ y 1 = 0D . x+ 2y 1 = 0【解析】設(shè)A(x, y),幾(冷,y分別是直線b、h 上關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn).S-yx1x則X + Xt2y+y12，求得1=0X1=y+11 = x1又點(diǎn)A1(X1, y在直線l1上，則2x1y12=0將代入得 2(y+1) (x 1)2=0,即卩 x2y 1 = 0，故選B4.直線l1： x+ y= 0, l2： 3x y 6= 0和x軸圍成的三A1B 2 = A 2B1且A1B1C1A1C2 = A2C1(或 B1C2 = B2C1HA2 = B? = C2)(3)l1與l2重合

4、?方法二：若直線和l在斜截式方程i: y=k1x+b1,l2： y=kx+a，貝u(1) 直線h l2的充要條件 .(2) 直線h丄b的充要條件 .若l1和l2的斜率都不存在，則與-若l1和l2中有一條直線斜率不存在而另一條直線斜率為 則 .2 點(diǎn)到直線的距離，兩條平行線的距離設(shè)點(diǎn) P(x0, yo),直線 l: Ax +By+ C = 0,則 P 到 l |Axo + By+ C|22的距離：d = 丫A + B ；(2)兩條平行直線 l1: Ax+ By+ C1 = 0, l2： Ax + ByC1 C2|+ C2= 0之間的距離：d=A2+ B2 .( l1和l2的方程必角形的面積等于須

5、滿足一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)相同).【解析】由 x+ y= 03x y 6= 0，又直線l1與x軸相交于點(diǎn) 0(0,0)，直線l2與x軸相交于點(diǎn)(2,0)，從而圍成的三角形的面積S=2 I l=3=23 .中心對(duì)稱(1)設(shè)平面上的點(diǎn)y)，若滿足：X2X_ 們稱P、 P兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) 中心.點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)稱的坐標(biāo)關(guān)系:M(a, b)、P(x, y)、 y+ y b2 = b，a,M對(duì)稱，點(diǎn) MP (x,那么，我叫做對(duì)稱設(shè)點(diǎn)P(x,y)關(guān)于M(X0,y0)的對(duì)稱點(diǎn) P 的坐標(biāo)是(x, y),貝U ：x = 2X0 xy = 2y0 y4 .軸對(duì)稱【已知兩點(diǎn)題設(shè)2吧電到直線7,即3賈的皐離相等，則實(shí)數(shù)m的值務(wù)1 m +

6、 1|m 7|,求得m =-或m = 6.2一、對(duì)稱問(wèn)題例1 已知直線l: 2x 3y+ 1 = 0,點(diǎn)A( 1， 2).求:(1)點(diǎn)A關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)直線m： 3x 2y6= 0關(guān)于直線I的對(duì)稱直線m的方 程.【解析】(1)設(shè)A (xo, yo)和A( 1 , 2)關(guān)于直 線I對(duì)稱.2 2X0+ 1 312x02 1 3yo 2y 2 + 1= 0(334(，”)33134y0= U13 131 = 0 0 即直線I與m的交點(diǎn)x = 4 y=3 ,B(4,3)在直線 m 上.解得*又在直線 m : 3x 2y 6 = 0上取一點(diǎn) P(2,0),設(shè)P(2,0)關(guān)于2x 3y+

7、 1 = 0的對(duì)稱點(diǎn)為P (xy1),(1) 設(shè)平面上有直線I: Ax, By, C= 0,和兩點(diǎn)P(x, y)、P (x , y),若滿足下列兩個(gè)條件：PP丄直線I ； PP的中點(diǎn)在直線I上 , 則點(diǎn)P、P 關(guān)于直線I對(duì)稱(2) 對(duì)稱軸是特殊直線的對(duì)稱問(wèn)題對(duì)稱軸是特殊直線時(shí)的對(duì)稱問(wèn)題可直接通過(guò)代換法 得解： 關(guān)于x軸對(duì)稱(以y代y )； 關(guān)于y軸對(duì)稱(以x代x )； 關(guān)于y = x對(duì)稱(x - y 互換)； 關(guān)于x + y= 0對(duì)稱(以x代 y，以y 代 x )； 關(guān)于x = a對(duì)稱(以2a x代 x )； 關(guān)于y= b對(duì)稱(以2b y代 y ).(3) 對(duì)稱軸為一般直線的對(duì)稱問(wèn)題可根據(jù)對(duì)稱

8、的意義，由垂直平分列方程，從而找到坐標(biāo)之間的關(guān)系：設(shè)點(diǎn) P(X1, %) , Q(X2, y關(guān)于直線 I : Ax + By + C =0(AB和)對(duì)稱，則也一現(xiàn)三 B恐航一 A5-直議系1,y1 2= 1X1 231則.,2X1, 2 y1,2 3 ；+ 1 = 0,解得$2,630P (13, 13).由對(duì)稱性可知p (洛,30)6x1= 13“ 即30y1=石在直線m上.從而直線 m的方程為3 30-313y 3 =6 (x 4),4 413即 9x 46y+ 102 = 0.三、距離公式和直線系及應(yīng)用例3已知直線I經(jīng)過(guò)直線2x+ y 5 = 0與x 2y= 0的交 占八、(1) 若點(diǎn)A

9、(5,0)到I的距離為3,求I的方程;(2) 求點(diǎn)A(5,0)到I的距離的最大值.0)與血+砰+0=0平行的直線方程(包括原直端；Ax4咼4=0“為待定系數(shù)、(2)過(guò)41 兀+i?j?+G = QW41r+Ea)j+GI=0 的交點(diǎn)的直 線方程為；0+5+)+ 4 02k+B + Cz)=O( 4 色不包含直繞4去+血葉口=衢二、兩直線位置關(guān)系及應(yīng)用例2已知兩條直線 l1: ax by, 4= 0和 l2： (a 1)x + y + b= 0,求滿足下列條件的a, b的值.(1) h丄 l2，且 h過(guò)點(diǎn)(3, 1)；(2) h/l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等.【解析】(1)由已知可得的

10、斜率必存在，12=1a.若kg=0,貝11a=0, a=1.Vl1l2,直線!的斜率!必不存在，即=0.又.山過(guò)點(diǎn)(一3, 1),-3a+b+4=0, 即b=3a4= 10(不合題意，.此種情況不存在，附片0.【解析】 依題設(shè)可設(shè)I方程為(2x+ y 5) +心2y)= 0,即(2 + 片x+ (1 2 訕一5= 0,則點(diǎn) A(5,0)到 I 的距離 d= , |10；5 5|2 = 3, (2+ 入2+( 1- 2 入2，即2關(guān)一5入+ 2= 0,求得入=2或；,故I的方程為x= 2或4x 3y 5= 0.右k20,即卩冷、k2都存在，k2= 1 a, k1 =a，h丄I2,2x+ y 5=

11、 0(2)由F “，x 2y= 0解得交點(diǎn)P(2,1).過(guò)點(diǎn)P任作一直線I,設(shè)d為A點(diǎn)到I的距離，則 dw |PA|,當(dāng)I丄PA時(shí)，等號(hào)成立.4nax= lPAl=5 2 + 0 1 = /10-a二 k1 k2 = 1,即b(1 a)= 1 又I1 過(guò)點(diǎn)(3, 1),. 3a+ b+4= 0. 由聯(lián)立，解得a=2, b= 2.(2)V I2的斜率存在，屮I2,.直線I1的斜率 存在，k1= k2,即 b= 1 a.又坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且h I2,四、直線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用 h、I2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即b=b例4已知 n條直線：I1: x y+ c, = 0, c1=,

12、I2: x y+ c = 0, I3： x y+ c3= 0,，In： x y + cn= 0(其 中c1 c2 0法很自然，但運(yùn)算量較大，解略.然后解不等式組2.y=2xg(k),此想因?yàn)?Cn= 2dn，所以 Cn =+ 1 .(2)設(shè)直線In： x y+ Cn = 0交x軸于M，交y軸于N , 則 OMN 的面積S OMNn2(n + 1 24,十.n (n +12*所以 Sn=4 (n N ).1 12|OM | |ON| = 2c2 =由(2)Sn =呼(3)所圍成的圖形是等腰梯形，S= (n-12Sn -1 =4 ,-n2 (n+1 f (n 1 f n23所以 Sn Sn-1= n .44故所求面積為n3(n2, n N*).解法二：注意到I2與x軸、y軸分別交于A(2,0)、B(0,4),由I1與I2的交點(diǎn)P在第一象限，知P在線段 AB內(nèi)(即不含二端點(diǎn))，即P內(nèi)分AB.若設(shè)P(x。，y。)分AB所成的比為 入即AP= ?PB.” 2X=1+ 入由(X0 2, y0)