兩條直線的位置關(guān)系與對稱問題

1、1.已知直線 ax 2y- 1= 0和直線x y+ 2= 0互 相垂直，則a的值為 ()1A. 1B. 3C 2D 23【解析】由題設(shè)可得X1=1,因此a=2,故選D.第63講兩條直線的位置關(guān)系與對稱問題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握兩直線平行、垂直、相交的條件，能靈活運用點到直線的距離公式及兩直線平行、垂直的條件 解決有關(guān)問題.2. 掌握中心對稱、軸對稱等問題的幾何特征和求解的基本方法.并能利用圖形的對稱性解決有關(guān)問題.【知識要點】1.兩直線的位置關(guān)系的判定方法一：設(shè)直線 11： A1x + B1y+ C1= 0, 12： A2x+By+C2= 0(A仆B1不同為0; A2、B2不同為0).(1)1

2、1 與 12 相交? 2%(眷 |1),特況：h 丄I?2.實數(shù) a= 0是直線 x 2ay+ 1= 0和2x 2ay+ 1 = 0 平行的()A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件【解析】直線2ayM =0和2x-2ayM =0平行，貝 1(-2a)-(-2a)2=0, 得1=0.而a=時，直線+1=0與2x+1=0平行，故選? A1A2 + B1B2= 0.(2)l1 與 l2平行? A1b2= AQAC2A2Ci(或B1C23.已知直線 l: x y 1 = 0 , l1 : 2x y 2= 0，若 直線J和l1關(guān)于直線l對稱，則l2的方程是()

3、A . x 2y+ 1 = 0B . x 2y 1 = 0C . x+ y 1 = 0D . x+ 2y 1 = 0【解析】設(shè)A(x, y),幾(冷,y分別是直線b、h 上關(guān)于l對稱的點.S-yx1x則X + Xt2y+y12，求得1=0X1=y+11 = x1又點A1(X1, y在直線l1上，則2x1y12=0將代入得 2(y+1) (x 1)2=0,即卩 x2y 1 = 0，故選B4.直線l1： x+ y= 0, l2： 3x y 6= 0和x軸圍成的三A1B 2 = A 2B1且A1B1C1A1C2 = A2C1(或 B1C2 = B2C1HA2 = B? = C2)(3)l1與l2重合

4、?方法二：若直線和l在斜截式方程i: y=k1x+b1,l2： y=kx+a，貝u(1) 直線h l2的充要條件 .(2) 直線h丄b的充要條件 .若l1和l2的斜率都不存在，則與-若l1和l2中有一條直線斜率不存在而另一條直線斜率為 則 .2 點到直線的距離，兩條平行線的距離設(shè)點 P(x0, yo),直線 l: Ax +By+ C = 0,則 P 到 l |Axo + By+ C|22的距離：d = 丫A + B ；(2)兩條平行直線 l1: Ax+ By+ C1 = 0, l2： Ax + ByC1 C2|+ C2= 0之間的距離：d=A2+ B2 .( l1和l2的方程必角形的面積等于須

5、滿足一次項對應(yīng)系數(shù)相同).【解析】由 x+ y= 03x y 6= 0，又直線l1與x軸相交于點 0(0,0)，直線l2與x軸相交于點(2,0)，從而圍成的三角形的面積S=2 I l=3=23 .中心對稱(1)設(shè)平面上的點y)，若滿足：X2X_ 們稱P、 P兩點關(guān)于點 中心.點與點對稱的坐標(biāo)關(guān)系:M(a, b)、P(x, y)、 y+ y b2 = b，a,M對稱，點 MP (x,那么，我叫做對稱設(shè)點P(x,y)關(guān)于M(X0,y0)的對稱點 P 的坐標(biāo)是(x, y),貝U ：x = 2X0 xy = 2y0 y4 .軸對稱【已知兩點題設(shè)2吧電到直線7,即3賈的皐離相等，則實數(shù)m的值務(wù)1 m +

6、 1|m 7|,求得m =-或m = 6.2一、對稱問題例1 已知直線l: 2x 3y+ 1 = 0,點A( 1， 2).求:(1)點A關(guān)于直線I的對稱點A的坐標(biāo)；(2)直線m： 3x 2y6= 0關(guān)于直線I的對稱直線m的方 程.【解析】(1)設(shè)A (xo, yo)和A( 1 , 2)關(guān)于直 線I對稱.2 2X0+ 1 312x02 1 3yo 2y 2 + 1= 0(334(，”)33134y0= U13 131 = 0 0 即直線I與m的交點x = 4 y=3 ,B(4,3)在直線 m 上.解得*又在直線 m : 3x 2y 6 = 0上取一點 P(2,0),設(shè)P(2,0)關(guān)于2x 3y+

7、 1 = 0的對稱點為P (xy1),(1) 設(shè)平面上有直線I: Ax, By, C= 0,和兩點P(x, y)、P (x , y),若滿足下列兩個條件：PP丄直線I ； PP的中點在直線I上 , 則點P、P 關(guān)于直線I對稱(2) 對稱軸是特殊直線的對稱問題對稱軸是特殊直線時的對稱問題可直接通過代換法 得解： 關(guān)于x軸對稱(以y代y )； 關(guān)于y軸對稱(以x代x )； 關(guān)于y = x對稱(x - y 互換)； 關(guān)于x + y= 0對稱(以x代 y，以y 代 x )； 關(guān)于x = a對稱(以2a x代 x )； 關(guān)于y= b對稱(以2b y代 y ).(3) 對稱軸為一般直線的對稱問題可根據(jù)對稱

8、的意義，由垂直平分列方程，從而找到坐標(biāo)之間的關(guān)系：設(shè)點 P(X1, %) , Q(X2, y關(guān)于直線 I : Ax + By + C =0(AB和)對稱，則也一現(xiàn)三 B恐航一 A5-直議系1,y1 2= 1X1 231則.,2X1, 2 y1,2 3 ；+ 1 = 0,解得$2,630P (13, 13).由對稱性可知p (洛,30)6x1= 13“ 即30y1=石在直線m上.從而直線 m的方程為3 30-313y 3 =6 (x 4),4 413即 9x 46y+ 102 = 0.三、距離公式和直線系及應(yīng)用例3已知直線I經(jīng)過直線2x+ y 5 = 0與x 2y= 0的交 占八、(1) 若點A

9、(5,0)到I的距離為3,求I的方程;(2) 求點A(5,0)到I的距離的最大值.0)與血+砰+0=0平行的直線方程(包括原直端；Ax4咼4=0“為待定系數(shù)、(2)過41 兀+i?j?+G = QW41r+Ea)j+GI=0 的交點的直 線方程為；0+5+)+ 4 02k+B + Cz)=O( 4 色不包含直繞4去+血葉口=衢二、兩直線位置關(guān)系及應(yīng)用例2已知兩條直線 l1: ax by, 4= 0和 l2： (a 1)x + y + b= 0,求滿足下列條件的a, b的值.(1) h丄 l2，且 h過點(3, 1)；(2) h/l2，且坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等.【解析】(1)由已知可得的

10、斜率必存在，12=1a.若kg=0,貝11a=0, a=1.Vl1l2,直線!的斜率!必不存在，即=0.又.山過點(一3, 1),-3a+b+4=0, 即b=3a4= 10(不合題意，.此種情況不存在，附片0.【解析】 依題設(shè)可設(shè)I方程為(2x+ y 5) +心2y)= 0,即(2 + 片x+ (1 2 訕一5= 0,則點 A(5,0)到 I 的距離 d= , |10；5 5|2 = 3, (2+ 入2+( 1- 2 入2，即2關(guān)一5入+ 2= 0,求得入=2或；,故I的方程為x= 2或4x 3y 5= 0.右k20,即卩冷、k2都存在，k2= 1 a, k1 =a，h丄I2,2x+ y 5=

11、 0(2)由F “，x 2y= 0解得交點P(2,1).過點P任作一直線I,設(shè)d為A點到I的距離，則 dw |PA|,當(dāng)I丄PA時，等號成立.4nax= lPAl=5 2 + 0 1 = /10-a二 k1 k2 = 1,即b(1 a)= 1 又I1 過點(3, 1),. 3a+ b+4= 0. 由聯(lián)立，解得a=2, b= 2.(2)V I2的斜率存在，屮I2,.直線I1的斜率 存在，k1= k2,即 b= 1 a.又坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等，且h I2,四、直線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用 h、I2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即b=b例4已知 n條直線：I1: x y+ c, = 0, c1=,

12、I2: x y+ c = 0, I3： x y+ c3= 0,，In： x y + cn= 0(其 中c1 c2 0法很自然，但運算量較大，解略.然后解不等式組2.y=2xg(k),此想因為 Cn= 2dn，所以 Cn =+ 1 .(2)設(shè)直線In： x y+ Cn = 0交x軸于M，交y軸于N , 則 OMN 的面積S OMNn2(n + 1 24,十.n (n +12*所以 Sn=4 (n N ).1 12|OM | |ON| = 2c2 =由(2)Sn =呼(3)所圍成的圖形是等腰梯形，S= (n-12Sn -1 =4 ,-n2 (n+1 f (n 1 f n23所以 Sn Sn-1= n .44故所求面積為n3(n2, n N*).解法二：注意到I2與x軸、y軸分別交于A(2,0)、B(0,4),由I1與I2的交點P在第一象限，知P在線段 AB內(nèi)(即不含二端點)，即P內(nèi)分AB.若設(shè)P(x。，y。)分AB所成的比為 入即AP= ?PB.” 2X=1+ 入由(X0 2, y0)