34_基本不等式_

1、2022年年1月月29日星期六日星期六讓理想的雄鷹展翅高飛！讓理想的雄鷹展翅高飛！2abab思考：思考：這會(huì)標(biāo)中含有這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？怎樣的幾何圖形？思考：思考：你能否在這個(gè)你能否在這個(gè)圖案中找出一些相等圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？關(guān)系或不等關(guān)系？ 這是這是2002年在北京召開的第年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)會(huì)標(biāo)根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，會(huì)會(huì)標(biāo)會(huì)標(biāo)根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。情好客。ab22ab22ab1、正方形正方形ABCD的的面積面

2、積S=、四個(gè)直角三角形的四個(gè)直角三角形的面積和面積和S = =2ab、S與與S有什么有什么樣的不等關(guān)系？樣的不等關(guān)系？ 探究：探究： S S問：問：那么它們有相等的情況嗎？那么它們有相等的情況嗎？ADBCEFGHba22ab重要不等式：重要不等式： 一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有，我們有當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立。222ababABCDE(FGH)ab思考：思考：你能給出不等式你能給出不等式 的證明嗎？的證明嗎？222abab2()0ab2()0ab2()0ab所以222.abab所以ab當(dāng)時(shí)ab當(dāng)時(shí)222abab證明：（作差法）證明：（作差法） 2

3、()ab結(jié)論：結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有，總有 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立222abab文字?jǐn)⑹鰹槲淖謹(jǐn)⑹鰹? : 兩數(shù)的平方和兩數(shù)的平方和不小于不小于它們積的它們積的2 2倍倍. . 適用范圍：適用范圍： a,bR0,0, ,ababa b如果我們用分別代替可得到什么結(jié)論？0,0, ,ababa b如果我們用分別代替可得到什么結(jié)論？22()()2abab2abab替換后得到：替換后得到： 即：即：)0, 0(ba2abab 即：即：你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個(gè)不等式嗎？你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個(gè)不等式嗎？還可以變形為：還可以變形為：

4、2()2abab2abab證明：證明：要證要證 只要證只要證_ab 要證，只要證要證，只要證_0ab要證，只要證要證，只要證2(_)0顯然顯然, 是成立的是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)時(shí), 中的等號(hào)成立中的等號(hào)成立. 分析法分析法22(0,0,() ,() )abaabb2abab)0, 0(ba證明不等式：證明不等式：2 ab2 abba特別地，若特別地，若a0，b0，則，則_2abab通常我們把上式寫作：通常我們把上式寫作：(0,0)2ababab當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式.基本不等式基本不等式在數(shù)學(xué)中，我們把在數(shù)學(xué)中

5、，我們把 叫做正數(shù)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)， 叫做正數(shù)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；的幾何平均數(shù)；2abab文字?jǐn)⑹鰹椋何淖謹(jǐn)⑹鰹椋簝蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).適用范圍：適用范圍： a0,b02()2abab還可以變形為：還可以變形為： 你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? ?RtACDRtDCB，BCDC所以DCAC2DCBC ACab所以ABCDEabO如圖如圖, AB是圓的直徑是圓的直徑, O為圓心，為圓心，點(diǎn)點(diǎn)C是是AB上一點(diǎn)上一點(diǎn), AC=a, BC=b. 過點(diǎn)過點(diǎn)C作垂

6、直于作垂直于AB的弦的弦DE,連接連接AD、BD、OD.如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2abab你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? ?如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2ababOD與與CD的大小關(guān)系怎樣的大小關(guān)系怎樣? OD_CD如圖如圖, AB是圓的直徑是圓的直徑, O為圓心，為圓心，點(diǎn)點(diǎn)C是是AB上一點(diǎn)上一點(diǎn), AC=a, BC=b. 過點(diǎn)過點(diǎn)C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,連接連接AD、BD、OD.2abab幾何意義：半徑不小于

7、弦長的一半幾何意義：半徑不小于弦長的一半ADBEOCab適用范圍適用范圍文字?jǐn)⑹鑫淖謹(jǐn)⑹觥?”成立條件成立條件222abab2ababa=ba=b兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不兩數(shù)的平方和不小于它們積的小于它們積的2 2倍倍 a,bRa0,b0填表比較：填表比較：注意從不同角度認(rèn)識(shí)基本不等式注意從不同角度認(rèn)識(shí)基本不等式（1）把）把36寫成兩個(gè)正數(shù)的積，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，寫成兩個(gè)正數(shù)的積，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的和最??？它們的和最小？（2）把）把18寫成兩個(gè)正數(shù)的和，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，寫成兩個(gè)正數(shù)的和，當(dāng)這兩個(gè)

8、正數(shù)取什么值時(shí)，它們的積最大？它們的積最大？ab=36當(dāng)當(dāng)a=b=6時(shí)，和時(shí)，和a+b最小為最小為122abab2()2ababa+b=18當(dāng)當(dāng)a=b=9時(shí)，積時(shí)，積ab最大為最大為81不等式不等式2a bab是一個(gè)基本不等式，它在解決實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，是一個(gè)基本不等式，它在解決實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，是解決是解決最大（?。┲底畲螅ㄐ。┲祮栴}的有力工具。問題的有力工具。【應(yīng)用練習(xí)應(yīng)用練習(xí)】22222min216(1)sin(,)8sin (2)1( )loglog2,);88(3),2,8;2(4)21_axykkZxf xxaxRyxxxyxxxyx最小值是 ；設(shè)，則的值域是設(shè)則中 當(dāng)

9、時(shí)的最小值是其中正確命題的有(4)11(1)0,;xxx例 ：已知求的最值11:221xx12x.xxxx解當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)原式有最小值1(2)0,;xxx已知求的最值1(3)3,3xyxxx若函數(shù)當(dāng) 為何值時(shí)，函數(shù)有最值，并求其最值。結(jié)論結(jié)論1 1：兩個(gè)正數(shù)積為定值，則和有最小值兩個(gè)正數(shù)積為定值，則和有最小值3:x311y(x-3)33x-312 (3)353xxxx、解 13,435xxx當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為 。1112:( x)()2 () ()2x1xx12.xxxxx 、解當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)有最大值各項(xiàng)皆為各項(xiàng)皆為正數(shù)；正數(shù)；和或積為和或積為定值；定值；注意注意等號(hào)等號(hào)成立的條

10、件成立的條件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值時(shí)，要注意利用基本不等式求最值時(shí)，要注意已知已知 x, y 都是正數(shù)都是正數(shù), P, S 是常數(shù)是常數(shù).(1) xy=P x+y2 P( (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時(shí)時(shí), 取取“=”號(hào)號(hào)) ).(2) x+y=S xy S2( (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時(shí)時(shí), 取取“=”號(hào)號(hào)) ).14基本不等式主要作用是什么？基本不等式主要作用是什么？ 求最值求最值強(qiáng)調(diào)：強(qiáng)調(diào)：求最值時(shí)要考慮不等式是否能取到求最值時(shí)要考慮不等式是否能取到“”2( )sin,(0, )sinf xxxx求的最值。配湊系數(shù)配湊系數(shù)分析分析: x+(1-

11、 -2x) 不是不是 常數(shù)常數(shù).2=1為為 解解: 0 x0.12y=x(1- -2x)= 2x(1- -2x) 12 22x+(1- -2x) 21218= . 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)時(shí), 取取“=”號(hào)號(hào).2x=(1- -2x), 即即 x= 14當(dāng)當(dāng) x = 時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù) y=x(1- -2x) 的最大值是的最大值是 .1418 若若 0 x0時(shí)，時(shí)， 的最小值為的最小值為 ，此時(shí)，此時(shí)x= 。211xx232(0,0)xyxy61 3、若實(shí)數(shù)、若實(shí)數(shù) ，且，且 ，則，則 的最小的最小值是（值是（ ） A、10 B、 C、 D、, x y5xy33xy634 618 3D4、在下列函數(shù)中

12、，最小值為、在下列函數(shù)中，最小值為2的是（的是（ ） A、 B、C、 D、5(,0)5xyxR xx1lg(110)lgyxxx33 ()xxyx R1sin(0)sin2yxxx C1 1、設(shè)設(shè) 且且a+ba+b=3,=3,求求a ab b的最小值的最小值_。 , a bR3、若，則函數(shù)的最小值是若，則函數(shù)的最小值是_。1x27101xxyx2、求函數(shù)求函數(shù)f(x)=x2(4-x2) (0 x0）的最大值為）的最大值為12，則，則 的最小值為（的最小值為（ ）b23ab A. B. C. D. 4 25683113略解略解：xy02-2202yx063 yxbyaxz(4,6)點(diǎn)選把把（4

13、4，6 6）代代入入z z = = a ax x+ +b by y得得4 4a a+ +6 6b b = =1 12 2, ,2 23 32 23 3 2 2a a+ +3 3b b即即2 2a a+ +3 3b b = = 6 6, ,而而+ += =+ +a ab ba ab b6 61 13 3b ba a1 13 32 25 5= =+ +( (+ +) )+ +2 2 = =, ,故故A A6 6a ab b6 66 6A變式變式：如圖，用一段長為如圖，用一段長為24m 的籬笆圍一個(gè)一邊的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，靠墻的矩形花園，問這個(gè)矩形的長、寬各

14、為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？花園的面積最大，最大面積是多少？解：解：設(shè)設(shè)AB=x ，BC=242x ， 矩形花園的面積為矩形花園的面積為x(242x) m2(242 )yxx令因此，這個(gè)矩形的長為因此，這個(gè)矩形的長為12m、寬為、寬為6m時(shí)，時(shí)，花園面積最大，最大面積是花園面積最大，最大面積是72m2當(dāng)當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y取得最小值為取得最小值為72222422(6)72yxxx 則(012)x變式變式：如圖，用一段長為如圖，用一段長為24m 的籬笆圍一個(gè)一邊的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，靠墻的矩形花園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，花園的面

15、積最大，最大面積是多少？花園的面積最大，最大面積是多少？解：解：如圖，設(shè)如圖，設(shè)BC=x ，CD=y ， 則籬笆的長為則籬笆的長為矩形花園的面積為矩形花園的面積為xy m2xyABDC22xy得得 1442xy 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立因此，這個(gè)矩形的長為因此，這個(gè)矩形的長為12m、寬為、寬為6m時(shí)，時(shí)，花園面積最大，最大面積是花園面積最大，最大面積是72m2即即 xy 72即即x=12，y=6x +2y= 24 x=2y2422xy2xy2241226xyxxyy解，可得變式變式：如圖，用一段長為如圖，用一段長為24m 的籬笆圍一個(gè)一邊的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問這個(gè)

16、矩形的長、寬各為多少時(shí)，靠墻的矩形花園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？花園的面積最大，最大面積是多少？解：解：如圖，設(shè)如圖，設(shè)BC=x ，CD=y ， 則籬笆的長為則籬笆的長為矩形花園的面積為矩形花園的面積為xy m22xyxyxyABDCx + y不是不是 定值定值.2=24為為 222xyxy得得 2xy 144當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立因此，這個(gè)矩形的長為因此，這個(gè)矩形的長為12m、寬為、寬為6m時(shí)，時(shí)，花園面積最大，最大面積是花園面積最大，最大面積是72m224122即即 xy 72即即x=12，y=6x +2y= 24 x=2y2241

17、226xyxxyy解，可得變式變式：如圖，用一段長為如圖，用一段長為24m 的籬笆圍一個(gè)一邊的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，靠墻的矩形花園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？花園的面積最大，最大面積是多少？分析：設(shè)分析：設(shè)AB=x ，BC=242x ， x242xABDC變式變式：如圖，用一段長為如圖，用一段長為24m 的籬笆圍一個(gè)一邊的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，靠墻的矩形花園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？花園的面積最大，最大面積是多少？解：設(shè)解：設(shè)AB=x ，BC=2

18、42x ， 矩形花園的面積為矩形花園的面積為x(242x) m21(242 )2 (242 )2xxxx212242()7222xx當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)2x=242x,即即x=6時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立因此，這個(gè)矩形的長為因此，這個(gè)矩形的長為12m、寬為、寬為6m時(shí)，時(shí)，花園面積最大，最大面積是花園面積最大，最大面積是72m2(其中其中2x+(24- -2x)=24 是定值是定值)某種生產(chǎn)設(shè)備購買時(shí)費(fèi)用為某種生產(chǎn)設(shè)備購買時(shí)費(fèi)用為1010萬元，每年的設(shè)備管理費(fèi)萬元，每年的設(shè)備管理費(fèi)共計(jì)共計(jì)9 9千元，這種生產(chǎn)設(shè)備的維修費(fèi)各年為：第一年千元，這種生產(chǎn)設(shè)備的維修費(fèi)各年為：第一年2 2千元，第二年千元，第

19、二年4 4千元，第三年千元，第三年6 6千元，依每年千元，依每年2 2千元的千元的增量遞增。問這種生產(chǎn)設(shè)備最多使用多少年報(bào)廢最合增量遞增。問這種生產(chǎn)設(shè)備最多使用多少年報(bào)廢最合算算( (即使用多少年的平均費(fèi)用最少？即使用多少年的平均費(fèi)用最少？) )( (0 0. .2 2 + + 0 0. .2 2x x) )x x1 10 0 + + 0 0. .9 9x x + +1 10 0 x x2 2y y = = = 1 1+ + +x xx x1 10 01 10 0 x x1 1+ + 2 2= = 3 3x x1 10 01 10 0 x x只只有有= =即即x x = = 1 10 0取取

20、= = x x1 10 0解：設(shè)使用解：設(shè)使用x年報(bào)廢最合算年報(bào)廢最合算A A地產(chǎn)汽油，地產(chǎn)汽油，B B地需要汽油地需要汽油. .運(yùn)輸工具沿直線運(yùn)輸工具沿直線ABAB從從A A地到地到B B地運(yùn)地運(yùn)油，往返油，往返A(chǔ)BAB一趟所需的油耗太大一趟所需的油耗太大. .如果在線段如果在線段ABAB之間的某地之間的某地C C（不與（不與A A，B B重合）建一油庫可選作中轉(zhuǎn)站，即可由這種運(yùn)重合）建一油庫可選作中轉(zhuǎn)站，即可由這種運(yùn)輸工具先將油從輸工具先將油從A A地運(yùn)到地運(yùn)到C C地，然后再由同樣的運(yùn)輸?shù)?，然后再由同樣的運(yùn)輸工具將油從工具將油從C C地運(yùn)到地運(yùn)到B B地地. .設(shè)設(shè) = =x x，往返，

21、往返A(chǔ) A，C C一趟所需一趟所需的油耗等于從的油耗等于從A A地運(yùn)出總油量的地運(yùn)出總油量的 . .往返往返C C，B B一趟所一趟所需的油耗等于從需的油耗等于從C C地運(yùn)出總油量的地運(yùn)出總油量的 . .不計(jì)裝卸中的損耗，不計(jì)裝卸中的損耗，定義：運(yùn)油率定義：運(yùn)油率P P= = . .請(qǐng)判斷是否選址請(qǐng)判斷是否選址C C為為ABAB中點(diǎn)時(shí)從中點(diǎn)時(shí)從A A地經(jīng)過地經(jīng)過C C中轉(zhuǎn)再運(yùn)油到中轉(zhuǎn)再運(yùn)油到B B地地的運(yùn)油率最大？的運(yùn)油率最大？ACAB100 x1100 xBA地收到的汽油量地運(yùn)出的汽油量解：該題考查函數(shù)的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是解：該題考查函數(shù)的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是“情景情景”和和“數(shù)式數(shù)式”間的相互轉(zhuǎn)化，再結(jié)合數(shù)學(xué)結(jié)果解間的相互轉(zhuǎn)化，再結(jié)合數(shù)學(xué)結(jié)果解釋實(shí)質(zhì)問題即可，要關(guān)注解題過程中釋實(shí)質(zhì)問題即可，要關(guān)注解題過程中“均值不等式均值不等式”的的巧妙應(yīng)用巧妙應(yīng)用. . 設(shè)從設(shè)從A A地運(yùn)出的油量為地運(yùn)出的油量為a a, ,則則C C地收到的油量為地收到的油量為 , ,B B地收到的油量為地收到的油量為 故運(yùn)油率故運(yùn)油率ax1001axx100110011 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 即即x x= = 時(shí)，取時(shí)，取“=”.=”.又又 , , 當(dāng)當(dāng)C C地為地