34_基本不等式_

1、2022年年1月月29日星期六日星期六讓理想的雄鷹展翅高飛！讓理想的雄鷹展翅高飛！2abab思考：思考：這會標中含有這會標中含有怎樣的幾何圖形？怎樣的幾何圖形？思考：思考：你能否在這個你能否在這個圖案中找出一些相等圖案中找出一些相等關系或不等關系？關系或不等關系？ 這是這是2002年在北京召開的第年在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大屆國際數(shù)學家大會會標會標根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，會會標會標根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。情好客。ab22ab22ab1、正方形正方形ABCD的的面積面

2、積S=、四個直角三角形的四個直角三角形的面積和面積和S = =2ab、S與與S有什么有什么樣的不等關系？樣的不等關系？ 探究：探究： S S問：問：那么它們有相等的情況嗎？那么它們有相等的情況嗎？ADBCEFGHba22ab重要不等式：重要不等式： 一般地，對于任意實數(shù)一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有，我們有當且僅當當且僅當a=b時，等號成立時，等號成立。222ababABCDE(FGH)ab思考：思考：你能給出不等式你能給出不等式 的證明嗎？的證明嗎？222abab2()0ab2()0ab2()0ab所以222.abab所以ab當時ab當時222abab證明：（作差法）證明：（作差法） 2

3、()ab結論：結論：一般地，對于任意實數(shù)一般地，對于任意實數(shù)a、b，總有，總有 當且僅當當且僅當a=b時，等號成立時，等號成立222abab文字敘述為文字敘述為: : 兩數(shù)的平方和兩數(shù)的平方和不小于不小于它們積的它們積的2 2倍倍. . 適用范圍：適用范圍： a,bR0,0, ,ababa b如果我們用分別代替可得到什么結論？0,0, ,ababa b如果我們用分別代替可得到什么結論？22()()2abab2abab替換后得到：替換后得到： 即：即：)0, 0(ba2abab 即：即：你能用不等式的性質直接推導這個不等式嗎？你能用不等式的性質直接推導這個不等式嗎？還可以變形為：還可以變形為：

4、2()2abab2abab證明：證明：要證要證 只要證只要證_ab 要證，只要證要證，只要證_0ab要證，只要證要證，只要證2(_)0顯然顯然, 是成立的是成立的.當且僅當當且僅當a=b時時, 中的等號成立中的等號成立. 分析法分析法22(0,0,() ,() )abaabb2abab)0, 0(ba證明不等式：證明不等式：2 ab2 abba特別地，若特別地，若a0，b0，則，則_2abab通常我們把上式寫作：通常我們把上式寫作：(0,0)2ababab當且僅當當且僅當a=b時取等號，這個不等式就叫做基本不等式時取等號，這個不等式就叫做基本不等式.基本不等式基本不等式在數(shù)學中，我們把在數(shù)學中

5、，我們把 叫做正數(shù)叫做正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，的算術平均數(shù)， 叫做正數(shù)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；的幾何平均數(shù)；2abab文字敘述為：文字敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).適用范圍：適用范圍： a0,b02()2abab還可以變形為：還可以變形為： 你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? ?RtACDRtDCB，BCDC所以DCAC2DCBC ACab所以ABCDEabO如圖如圖, AB是圓的直徑是圓的直徑, O為圓心，為圓心，點點C是是AB上一點上一點, AC=a, BC=b. 過點過點C作垂

6、直于作垂直于AB的弦的弦DE,連接連接AD、BD、OD.如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2abab你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? ?如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2ababOD與與CD的大小關系怎樣的大小關系怎樣? OD_CD如圖如圖, AB是圓的直徑是圓的直徑, O為圓心，為圓心，點點C是是AB上一點上一點, AC=a, BC=b. 過點過點C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,連接連接AD、BD、OD.2abab幾何意義：半徑不小于

7、弦長的一半幾何意義：半徑不小于弦長的一半ADBEOCab適用范圍適用范圍文字敘述文字敘述“=”成立條件成立條件222abab2ababa=ba=b兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不兩數(shù)的平方和不小于它們積的小于它們積的2 2倍倍 a,bRa0,b0填表比較：填表比較：注意從不同角度認識基本不等式注意從不同角度認識基本不等式（1）把）把36寫成兩個正數(shù)的積，當這兩個正數(shù)取什么值時，寫成兩個正數(shù)的積，當這兩個正數(shù)取什么值時，它們的和最?。克鼈兊暮妥钚?？（2）把）把18寫成兩個正數(shù)的和，當這兩個正數(shù)取什么值時，寫成兩個正數(shù)的和，當這兩個

8、正數(shù)取什么值時，它們的積最大？它們的積最大？ab=36當當a=b=6時，和時，和a+b最小為最小為122abab2()2ababa+b=18當當a=b=9時，積時，積ab最大為最大為81不等式不等式2a bab是一個基本不等式，它在解決實際問題中有廣泛的應用，是一個基本不等式，它在解決實際問題中有廣泛的應用，是解決是解決最大（?。┲底畲螅ㄐ。┲祮栴}的有力工具。問題的有力工具?！緫镁毩晳镁毩暋?2222min216(1)sin(,)8sin (2)1( )loglog2,);88(3),2,8;2(4)21_axykkZxf xxaxRyxxxyxxxyx最小值是 ；設，則的值域是設則中 當

9、時的最小值是其中正確命題的有(4)11(1)0,;xxx例 ：已知求的最值11:221xx12x.xxxx解當且僅當即時原式有最小值1(2)0,;xxx已知求的最值1(3)3,3xyxxx若函數(shù)當 為何值時，函數(shù)有最值，并求其最值。結論結論1 1：兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值3:x311y(x-3)33x-312 (3)353xxxx、解 13,435xxx當且僅當即時，函數(shù)有最大值，最大值為 。1112:( x)()2 () ()2x1xx12.xxxxx 、解當且僅當即時有最大值各項皆為各項皆為正數(shù)；正數(shù)；和或積為和或積為定值；定值；注意注意等號等號成立的條

10、件成立的條件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值時，要注意利用基本不等式求最值時，要注意已知已知 x, y 都是正數(shù)都是正數(shù), P, S 是常數(shù)是常數(shù).(1) xy=P x+y2 P( (當且僅當當且僅當 x=y 時時, 取取“=”號號) ).(2) x+y=S xy S2( (當且僅當當且僅當 x=y 時時, 取取“=”號號) ).14基本不等式主要作用是什么？基本不等式主要作用是什么？ 求最值求最值強調：強調：求最值時要考慮不等式是否能取到求最值時要考慮不等式是否能取到“”2( )sin,(0, )sinf xxxx求的最值。配湊系數(shù)配湊系數(shù)分析分析: x+(1-

11、 -2x) 不是不是 常數(shù)常數(shù).2=1為為 解解: 0 x0.12y=x(1- -2x)= 2x(1- -2x) 12 22x+(1- -2x) 21218= . 當且僅當當且僅當 時時, 取取“=”號號.2x=(1- -2x), 即即 x= 14當當 x = 時時, 函數(shù)函數(shù) y=x(1- -2x) 的最大值是的最大值是 .1418 若若 0 x0時，時， 的最小值為的最小值為 ，此時，此時x= 。211xx232(0,0)xyxy61 3、若實數(shù)、若實數(shù) ，且，且 ，則，則 的最小的最小值是（值是（ ） A、10 B、 C、 D、, x y5xy33xy634 618 3D4、在下列函數(shù)中

12、，最小值為、在下列函數(shù)中，最小值為2的是（的是（ ） A、 B、C、 D、5(,0)5xyxR xx1lg(110)lgyxxx33 ()xxyx R1sin(0)sin2yxxx C1 1、設設 且且a+ba+b=3,=3,求求a ab b的最小值的最小值_。 , a bR3、若，則函數(shù)的最小值是若，則函數(shù)的最小值是_。1x27101xxyx2、求函數(shù)求函數(shù)f(x)=x2(4-x2) (0 x0）的最大值為）的最大值為12，則，則 的最小值為（的最小值為（ ）b23ab A. B. C. D. 4 25683113略解略解：xy02-2202yx063 yxbyaxz(4,6)點選把把（4

13、4，6 6）代代入入z z = = a ax x+ +b by y得得4 4a a+ +6 6b b = =1 12 2, ,2 23 32 23 3 2 2a a+ +3 3b b即即2 2a a+ +3 3b b = = 6 6, ,而而+ += =+ +a ab ba ab b6 61 13 3b ba a1 13 32 25 5= =+ +( (+ +) )+ +2 2 = =, ,故故A A6 6a ab b6 66 6A變式變式：如圖，用一段長為如圖，用一段長為24m 的籬笆圍一個一邊的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各

14、為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？花園的面積最大，最大面積是多少？解：解：設設AB=x ，BC=242x ， 矩形花園的面積為矩形花園的面積為x(242x) m2(242 )yxx令因此，這個矩形的長為因此，這個矩形的長為12m、寬為、寬為6m時，時，花園面積最大，最大面積是花園面積最大，最大面積是72m2當當x=6時，函數(shù)時，函數(shù)y取得最小值為取得最小值為72222422(6)72yxxx 則(012)x變式變式：如圖，用一段長為如圖，用一段長為24m 的籬笆圍一個一邊的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面

15、積最大，最大面積是多少？花園的面積最大，最大面積是多少？解：解：如圖，設如圖，設BC=x ，CD=y ， 則籬笆的長為則籬笆的長為矩形花園的面積為矩形花園的面積為xy m2xyABDC22xy得得 1442xy 當且僅當當且僅當 時，等號成立時，等號成立因此，這個矩形的長為因此，這個矩形的長為12m、寬為、寬為6m時，時，花園面積最大，最大面積是花園面積最大，最大面積是72m2即即 xy 72即即x=12，y=6x +2y= 24 x=2y2422xy2xy2241226xyxxyy解，可得變式變式：如圖，用一段長為如圖，用一段長為24m 的籬笆圍一個一邊的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個

16、矩形的長、寬各為多少時，靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？花園的面積最大，最大面積是多少？解：解：如圖，設如圖，設BC=x ，CD=y ， 則籬笆的長為則籬笆的長為矩形花園的面積為矩形花園的面積為xy m22xyxyxyABDCx + y不是不是 定值定值.2=24為為 222xyxy得得 2xy 144當且僅當當且僅當 時，等號成立時，等號成立因此，這個矩形的長為因此，這個矩形的長為12m、寬為、寬為6m時，時，花園面積最大，最大面積是花園面積最大，最大面積是72m224122即即 xy 72即即x=12，y=6x +2y= 24 x=2y2241

17、226xyxxyy解，可得變式變式：如圖，用一段長為如圖，用一段長為24m 的籬笆圍一個一邊的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？花園的面積最大，最大面積是多少？分析：設分析：設AB=x ，BC=242x ， x242xABDC變式變式：如圖，用一段長為如圖，用一段長為24m 的籬笆圍一個一邊的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？花園的面積最大，最大面積是多少？解：設解：設AB=x ，BC=2

18、42x ， 矩形花園的面積為矩形花園的面積為x(242x) m21(242 )2 (242 )2xxxx212242()7222xx當且僅當當且僅當2x=242x,即即x=6時，等號成立時，等號成立因此，這個矩形的長為因此，這個矩形的長為12m、寬為、寬為6m時，時，花園面積最大，最大面積是花園面積最大，最大面積是72m2(其中其中2x+(24- -2x)=24 是定值是定值)某種生產設備購買時費用為某種生產設備購買時費用為1010萬元，每年的設備管理費萬元，每年的設備管理費共計共計9 9千元，這種生產設備的維修費各年為：第一年千元，這種生產設備的維修費各年為：第一年2 2千元，第二年千元，第

19、二年4 4千元，第三年千元，第三年6 6千元，依每年千元，依每年2 2千元的千元的增量遞增。問這種生產設備最多使用多少年報廢最合增量遞增。問這種生產設備最多使用多少年報廢最合算算( (即使用多少年的平均費用最少？即使用多少年的平均費用最少？) )( (0 0. .2 2 + + 0 0. .2 2x x) )x x1 10 0 + + 0 0. .9 9x x + +1 10 0 x x2 2y y = = = 1 1+ + +x xx x1 10 01 10 0 x x1 1+ + 2 2= = 3 3x x1 10 01 10 0 x x只只有有= =即即x x = = 1 10 0取取

20、= = x x1 10 0解：設使用解：設使用x年報廢最合算年報廢最合算A A地產汽油，地產汽油，B B地需要汽油地需要汽油. .運輸工具沿直線運輸工具沿直線ABAB從從A A地到地到B B地運地運油，往返油，往返ABAB一趟所需的油耗太大一趟所需的油耗太大. .如果在線段如果在線段ABAB之間的某地之間的某地C C（不與（不與A A，B B重合）建一油庫可選作中轉站，即可由這種運重合）建一油庫可選作中轉站，即可由這種運輸工具先將油從輸工具先將油從A A地運到地運到C C地，然后再由同樣的運輸?shù)?，然后再由同樣的運輸工具將油從工具將油從C C地運到地運到B B地地. .設設 = =x x，往返，

21、往返A A，C C一趟所需一趟所需的油耗等于從的油耗等于從A A地運出總油量的地運出總油量的 . .往返往返C C，B B一趟所一趟所需的油耗等于從需的油耗等于從C C地運出總油量的地運出總油量的 . .不計裝卸中的損耗，不計裝卸中的損耗，定義：運油率定義：運油率P P= = . .請判斷是否選址請判斷是否選址C C為為ABAB中點時從中點時從A A地經過地經過C C中轉再運油到中轉再運油到B B地地的運油率最大？的運油率最大？ACAB100 x1100 xBA地收到的汽油量地運出的汽油量解：該題考查函數(shù)的應用問題，解決問題的關鍵是解：該題考查函數(shù)的應用問題，解決問題的關鍵是“情景情景”和和“數(shù)式數(shù)式”間的相互轉化，再結合數(shù)學結果解間的相互轉化，再結合數(shù)學結果解釋實質問題即可，要關注解題過程中釋實質問題即可，要關注解題過程中“均值不等式均值不等式”的的巧妙應用巧妙應用. . 設從設從A A地運出的油量為地運出的油量為a a, ,則則C C地收到的油量為地收到的油量為 , ,B B地收到的油量為地收到的油量為 故運油率故運油率ax1001axx100110011 當且僅當當且僅當 即即x x= = 時，取時，取“=”.=”.又又 , , 當當C C地為地