橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)設(shè)計(jì)

1、教學(xué)設(shè)計(jì)單位:寶應(yīng)縣曹甸高級中學(xué)姓名: 陳莉霞所用教材版本 : 蘇教版學(xué)科: 高中數(shù)學(xué)年級: 高二橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、 教學(xué)內(nèi)容分析橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程是蘇教版教科書（選修）數(shù)學(xué) 1-1 第 2 章圓錐曲線與方程 第二節(jié)內(nèi)容。 本節(jié)在教材中的地位和作用： 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程在本章節(jié)是非常重要的部分， 起著總領(lǐng)全章的作用。 而圓錐曲線是高考的重點(diǎn)， 也是教學(xué)的重點(diǎn)。 而且本章節(jié)的內(nèi)容和生活實(shí)踐的聯(lián)系也比較緊密， 是培養(yǎng)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實(shí)際生活的能力的重要章節(jié)。 本章節(jié)的教學(xué)還有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力。 因?yàn)闄E圓， 雙曲線以及拋物線有相類似的性質(zhì)， 教學(xué)中只要真正的把橢圓的性質(zhì)講透了，那其它兩

2、部分的教學(xué)也就事半功倍了。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析我們班是一個(gè)體藝班, 班上的大部分學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性較差，主動(dòng)性不夠，學(xué)習(xí)有依賴性， 且學(xué)習(xí)的信心不足， 對數(shù)學(xué)存在或多或少的恐懼感。 所以教師在講解得時(shí)候應(yīng)該盡量地要帶動(dòng)起學(xué)生， 激起他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和熱愛。 教師應(yīng)該特別注意提問的方式, 要結(jié)合學(xué)生們所掌握的知識水平的程度, 來有針對性地提問。三、設(shè)計(jì)思想為了培養(yǎng)不僅能“學(xué)會(huì)”知識，而且能“會(huì)學(xué)”知識的人才以及根據(jù)我校提出的“創(chuàng)設(shè)情景、激發(fā)情感、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、主動(dòng)發(fā)展”的教學(xué)模式，在課堂設(shè)計(jì)上，教師應(yīng)學(xué)會(huì)如何創(chuàng)設(shè)情景， 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣； 圍繞教材的重難點(diǎn)， 比如本節(jié)的“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)”

3、 ，教師應(yīng)學(xué)會(huì)如何設(shè)計(jì)不同的活動(dòng)環(huán)節(jié)，設(shè)置由淺入深、環(huán)環(huán)相扣的問題，通過教師適時(shí)的引導(dǎo)，通過生生間、師生間的交流互動(dòng)，通過學(xué)生自己的發(fā)現(xiàn)、分析、探究、反思，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，不斷完善自己的知識體系， 提高獲取知識的能力， 嘗試合作學(xué)習(xí)的快樂， 體驗(yàn)成功的喜悅。四、教學(xué)目標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)橢圓的定義建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；能根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，和焦點(diǎn)坐標(biāo)；進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)知識與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，培養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力 培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、歸納能力、探索發(fā)現(xiàn)能力；提高運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力及運(yùn)算能力。親身經(jīng)歷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方

4、程的獲得過程，感受數(shù)學(xué)美的熏陶；通過主動(dòng)探索， 合作交流， 感受探索的樂趣和成功的體驗(yàn)， 體會(huì)數(shù)學(xué)的理性和嚴(yán)謹(jǐn) ;養(yǎng)成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和契而不舍的鉆研精神， 形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的積極態(tài)度。五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) : 橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。 通過學(xué)生自主建立直角坐標(biāo)系和對方程的討論選擇突出重點(diǎn)。教學(xué)難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程。六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)流程：問題情境-建構(gòu)數(shù)學(xué)一例題解析一課堂小結(jié)一作業(yè)布置1 問題情境：情境 生活中存在著大量的橢圓，比如：餐桌的外輪廓線，汽車的貯油罐的橫截面的外輪廓線等等。 （教師用幻燈片投影給學(xué)生看）問題1 同學(xué)們還能舉出些橢圓的例子嗎？問題2 怎樣才

5、能設(shè)計(jì)出橢圓的形狀呢？【設(shè)計(jì)意圖】問題情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲。為了復(fù)習(xí)橢圓的定義，我設(shè)計(jì)了上面的情境和問題 1，讓學(xué)生感受到橢圓的存在非常普遍。小到日常生活用品，大到建筑物的外形，天體的運(yùn)行軌道。通過問題 2 讓學(xué)生主動(dòng)思考如何畫橢圓及橢圓的定義。提問：橢圓的定義用語言是怎樣闡述的？學(xué)生1:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于| F1F2|）的點(diǎn)的 軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距。教師：好，這位同學(xué)回答得非常正確。那么下面請?jiān)偎伎家粋€(gè)問題：前面我們講過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，請同學(xué)們回顧一下求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本步驟有哪些？2 建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)生2：建立直角

6、坐標(biāo)系、設(shè)點(diǎn)、尋找等量關(guān)系、代入坐標(biāo)、化簡?！驹O(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生復(fù)習(xí)圓的方程的建立過程的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生討論思考如 何選擇適當(dāng)?shù)?坐標(biāo)系來建立橢圓的方程，我想學(xué)生通過這些活動(dòng)能夠建立幾種 常見的坐標(biāo)系，并列出相應(yīng)的代數(shù)方程。我認(rèn)為這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí) 驗(yàn)，分析比較，相互協(xié)作等能力。讓學(xué)生體驗(yàn)到知識的產(chǎn)生過程。教師：很好。那么在求曲線方程的第一步，也就是建立直角坐標(biāo)系時(shí)，我們應(yīng)該注意些什么問題呢？學(xué)生3:要充分利用圖形的對稱性，以及一些關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，建立坐標(biāo)系要遵 守簡單和諧化的原則。教師：好，說得很精彩。那么就請同學(xué)們互相討論一下，看看到底應(yīng)該怎樣建立直角坐標(biāo)系，才能使我們這道題目化簡地更加

7、容易呢？學(xué)生：討論。學(xué)生：大多數(shù)同學(xué)一致認(rèn)同這種建系的方法：以過點(diǎn) F1、F2的直線為x軸， 以線段F1F2的垂直平分線為y軸。因?yàn)檫@樣作出的圖形是一個(gè)對稱的圖形， 非教師：現(xiàn)在請同學(xué)們動(dòng)手求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。(教師巡視)發(fā)現(xiàn)得到這樣一個(gè)式子后， Jx c2 y2 J x c2 y2 2a,大部分學(xué)生就不會(huì)往下做了。還有極少數(shù)同學(xué)知道通過兩邊同時(shí)平方去根號， 但是化簡了一 步，就無法再進(jìn)行下去了，過程太復(fù)雜了?！驹O(shè)計(jì)意圖】 我選擇放手讓學(xué)生化簡，讓學(xué)生體驗(yàn)化簡方程的艱辛，同時(shí) 注意化簡的技巧，注意考慮問題要有多種視角，不要一條胡同走到黑。教師：提示，顯然兩邊直接平的效果并不好，那是否有更好的方

8、法呢？學(xué)生：可以嘗試將根式中的一項(xiàng)移項(xiàng)后，再平方。教師：好，請同學(xué)們繼續(xù)化簡。設(shè)M(x,y)為橢圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)MF+MF=2a, FiF2=2c,(m >n>0)則 Fi -c0、F2 c ,0 .由 MF+MF=2a 得 /x 移項(xiàng)得 x c 2 y2 平J 2j 2x c y 4a 4a x c y整理得 4cx 4a24a x c 2 y2再平方得 a2 x2 2cx c2 y2 a4 2a2xc x2c2再整理得 a2 - c2 x2 a2y2 a2 a2 c2教師：我們知道這里a c,再注意觀察一下x2,y2的系數(shù)之間有什么關(guān)系？學(xué)生：它們的乘積剛好等于右邊的常數(shù)。教

9、師：同學(xué)們的觀察還是非常仔細(xì)的。好，既然a c,那我們不妨令b2 a2 c222如果我們再將不等式的兩邊同時(shí)除以a2b2,得、4 1(a b 0)22a b這就是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程請同學(xué)思考：這里a,b的大小關(guān)系如何？再考慮一下它們的大小與焦點(diǎn)所在的位置有什么關(guān)系？學(xué)生：顯然，a b,且焦點(diǎn)在軸x上。所以應(yīng)該是哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪 個(gè)軸上【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生自己觀察，分析，得出結(jié)論，這樣不僅能夠使他們樹立 起對自己的信心，更重要的是在潛移默化中，使他們解決數(shù)學(xué)問題的能力得到 了提高。教師：請問，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式應(yīng)該是怎樣的呢？22學(xué)生：4f1(a b 0)a2 b2

10、教師：非常棒。下面我們來對比一下橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程，看看有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)：(1)相同點(diǎn)方程中x, y表示橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)；關(guān)于x, y的二元二次方程；方程右邊是常數(shù)1,左邊是平方和的形式；a是橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離和的一半，b2= a2-c2, c是焦距的一半；a2=b2+c2, a>b>0, a>c>0,b 與 c 大小不定焦點(diǎn)位置的判定：焦點(diǎn)在較大分母對應(yīng)的變量的坐標(biāo)軸上(2)不同點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)方 程1 a b 02b2 1a隹聲坐八 、八、一I-標(biāo)與坐標(biāo) 軸交點(diǎn)Fi(-c,0 ), F2(c,0 )Fi(0,c ), F2(0,-c )Ai (-a , 0)A2

11、(a, 0)Bi (0, -b)B2 (0, b)Ai (0, a) A2 (0, -a)Bi (-b , 0)B2 (b, 0)【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的這種方式來熟練地掌握橢圓的有關(guān)性質(zhì)。特別要強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意觀察，會(huì)區(qū)分上面的兩個(gè)圖形的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)3例題解析例1已知一個(gè)貯油罐橫截面的外輪廓線是一個(gè)橢圓，它的焦距為，外輪廓線上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的和為 3米，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?！驹O(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)此題的目的是為了鞏固橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的量的關(guān)系和用對稱法建立直角坐標(biāo)系。學(xué)生：以兩焦點(diǎn)Fi,F2所在的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建 立直角坐標(biāo)系，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22x

12、 y-r 1(a b 0) a b根據(jù)題意得，2a=3,2cb2 a2 c21.52 1.22 0.81222.25 0.81因此這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為I 1例2將圓x2 y2 4上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?求所得曲線的方程，并說明它是什么曲線?！驹O(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)的目的有兩個(gè)：（1）對求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方法進(jìn)行再鞏固；（2）讓學(xué)生把橢圓的方程與圓的方程來類比，鞏固橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程列出等式，再化簡。y2 4上的對應(yīng)點(diǎn)的學(xué)生：設(shè)所得曲線上任何一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,圓x2教師：點(diǎn)撥：設(shè)點(diǎn)，然后尋找未知點(diǎn)與已知點(diǎn)之間的關(guān)系,x2y坐標(biāo)P（x, y ）,由題意可知y因?yàn)?x2 y2 4,所以 x

13、2 4y2 4 ,求解這類題目的一般方法?教師：能不能用自己的語言來總結(jié)一下, 學(xué)生：設(shè)出已知點(diǎn)和未知點(diǎn)的坐標(biāo)；找出它們坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，并且用未知量的代數(shù)式表示已知量;利用已知點(diǎn)所滿足的關(guān)系，解出未知點(diǎn)所滿足的關(guān)系。4課堂小結(jié)（讓學(xué)生自己總結(jié)這節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容）2.橢圓兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較3橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本求法及應(yīng)用【設(shè)計(jì)意圖】為了讓學(xué)生建構(gòu)自己的知識體系，我讓學(xué)生自己概括所學(xué)的內(nèi) 容。我認(rèn)為這樣既能培養(yǎng)了學(xué)生的概括能力，又能營造民主和諧的師生關(guān)系。5作業(yè)布置1基礎(chǔ)訓(xùn)練題：課本第28頁1,2,32課后思考題：有關(guān)資料顯示：神舟六號”飛船的運(yùn)行軌道是以地球的中心F2位一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓。已知它的

14、近地點(diǎn) A（離地面最近的點(diǎn)）距地面200公里，遠(yuǎn)地點(diǎn)B （離地面最遠(yuǎn)的 點(diǎn)）距地面347公里，并且在F2、A、B同一直線上，地球半徑約為6371km。你能計(jì)算出 神 舟六號”飛船的軌道方程嗎？（精確到km）【設(shè)計(jì)意圖】為了進(jìn)一步鞏固橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，讓學(xué)生能夠靈活利用橢圓的性質(zhì)來求解其方程，于是我布置了上面的作業(yè).七、評價(jià)設(shè)計(jì)1、在“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”的引入與推導(dǎo)中，充分利用教具演示，并運(yùn)用“實(shí)驗(yàn)猜想推導(dǎo)應(yīng)用” 的思想方法， 逐步由感性到理性地認(rèn)識定理。 我認(rèn)為這樣安排符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律， 揭示了知識的發(fā)生、 發(fā)展過程； 也符合現(xiàn)代教育理論中的“要把學(xué)生學(xué)習(xí)知識當(dāng)作認(rèn)識事物的過程來進(jìn)行教學(xué)”的觀點(diǎn)

15、。2、在教學(xué)的過程中始終本著“教師是課堂教學(xué)的組織者、引導(dǎo)者、合作者”的原則，讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、觀察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等過程建構(gòu)新知識， 并初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度去觀察事物和思考問題， 產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣。3、在創(chuàng)設(shè)情境、推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)、歸納能力，在辨析幾種建系方法所得到方程的繁簡， 比較兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)過程中培養(yǎng)學(xué)生的分析、 判別能力， 在運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程中， 培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力； 另外，通過學(xué)法指導(dǎo)， 引導(dǎo)學(xué)生思維向更深更廣發(fā)展， 以培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)， 并為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)雙曲線和拋物線作好輔墊。橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時(shí)） （ 說課

16、稿 ）南山外國語學(xué)校 張玉軍一、教材分析1、教材的地位及作用江蘇教育版（選修2 1）第二章圓錐曲線是高考重點(diǎn)考查章節(jié)。 “橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”是圓錐曲線第一節(jié)的內(nèi)容, 是繼學(xué)習(xí)圓以后運(yùn)用 “曲線和方程”理論解決具體的二次曲線的又一實(shí)例。從知識上說，它是運(yùn)用坐標(biāo)法研究曲線的幾何性質(zhì)的又一次實(shí)際演練，同時(shí)它也是進(jìn)一步研究橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)；從方法上說，它為后面研究雙曲線、拋物線提供了基本模式和理論基礎(chǔ)；所以說，無論從教材內(nèi)容，還是從教學(xué)方法上都是起著承上啟下的作用，它是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵。因此搞好這一節(jié)的教學(xué)，具有非常重要的意義。2、 教學(xué)目標(biāo)根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理

17、特征，制定如下教學(xué)目標(biāo)：（ 1） 、知識目標(biāo)：掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，通過對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的探求，熟悉求曲線方程的一般方法。（ 2） 、能力目標(biāo)：讓學(xué)生通過自我探究、操作、數(shù)學(xué)思想（待定系數(shù)法）的運(yùn)用等，從而提高學(xué)生實(shí)際動(dòng)手、合作學(xué)習(xí)以及運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力。（ 3） 、情感目標(biāo)：在教學(xué)中充分揭示“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)形數(shù)美的統(tǒng)一，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，勇于創(chuàng)新的精神。3、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo)。在學(xué)習(xí)本課橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了直線與圓的方程，對曲線和方程的概念有了一些了解與運(yùn)用的經(jīng)驗(yàn)，

18、用坐標(biāo)法研究幾何問題也有了初步的認(rèn)識。但由于學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)間還不長、學(xué)習(xí)程度也較淺，學(xué)生對坐標(biāo)法解決幾何問題掌握還不夠。另外，學(xué)生對含有兩個(gè)根式之和（差）等式化簡的運(yùn)算生疏，去根式的策略選擇不當(dāng)?shù)仁菍?dǎo)致“標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)”成為學(xué)習(xí)難 點(diǎn)的直 接原因。據(jù)以上對教材及學(xué)情的分析，確定橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程為本課的教學(xué)重點(diǎn)；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)為本課的難點(diǎn)。4、教材處理根據(jù)新大綱要求， 本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)以及結(jié)合我校學(xué)生的實(shí)際情況， 我把本節(jié)內(nèi)容分 2 個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。第一課時(shí)，主要研究橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。第二課時(shí)，運(yùn)用橢圓的定義求曲線的軌跡方程。二、教學(xué)方法和教學(xué)手段課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問題的情境

19、， 激發(fā)學(xué)生主動(dòng)的發(fā)現(xiàn)問題解決問題， 充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性；有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生個(gè)性思維品質(zhì)，這是本節(jié)課的教學(xué)原則 。根據(jù)這樣的原則及所要完成的教學(xué)目標(biāo) ，我采用如下的教學(xué)方法和手段：教學(xué)方法 ： 我采用的是引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、探索討論法等。1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：用課件演示動(dòng)點(diǎn)的軌跡，啟發(fā)學(xué)生歸納、概括橢圓定義。2、探索討論法：由學(xué)生通過聯(lián)想、歸納把原有的求軌跡方法遷移到新情況中，有利于學(xué)生對知識進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)；有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，發(fā)揮其創(chuàng)造性。引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法和探索討論法是適應(yīng)新課程體系的一種全新教學(xué)模式，它能更好地體現(xiàn)學(xué)生的主體性，實(shí)現(xiàn)師生、生生交流，體現(xiàn)課堂的開放性與公平性。教學(xué)

20、手段：利用多媒體課件教學(xué)，化抽象為具體，降底學(xué)生學(xué)習(xí)難度，增強(qiáng)動(dòng)感及直觀感，增大教學(xué)容量，提高教學(xué)質(zhì)量。三、學(xué)法指導(dǎo)“授人以魚，不如授人以漁.”教會(huì)學(xué)生：1、動(dòng)手嘗試；2、仔細(xì)觀察；3分析討論；4、抽象出概念，推出方程。這樣 有利于學(xué)生發(fā)揮學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造” 過程.四、教學(xué)程序教學(xué)流程設(shè)計(jì)：認(rèn)識橢圓一畫橢圓一定義橢圓-推導(dǎo)橢圓方程一橢圓方程知識講解一橢圓方程知識運(yùn)用一本課小結(jié)一作業(yè)布置教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)程序(師生雙邊活動(dòng))設(shè)計(jì)意圖認(rèn) 識 橢 圓圖片展示：橢圓就在我們身邊。(1)、從學(xué)生所關(guān)心的 實(shí)際問題引入，使學(xué)生 了解數(shù)學(xué)來源于實(shí)際。(2)、展示圖片，使學(xué)

21、生更好的掌握橢圓形 狀，更直觀、形象地了 解后面要學(xué)的內(nèi)容；k 1、畫一畫(畫橢圓)：回(1)、請學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備的硬紙板、細(xì)線、鉛筆, 橢同桌一起合作畫橢圓。(2)、課件動(dòng)態(tài)演示橢圓的形成過程： 圓接著指出：這就是我們要學(xué)習(xí)的一類新的封閉曲線一一橢圓。士 7E義橢圓2、議一議(橢圓的定義及有關(guān)概念)(1)、由學(xué)生畫圖及教師演示橢圓的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生歸納定義。定義：在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)Fi, F2的距離之和等 于常數(shù)2a(2a> I FiF21)的點(diǎn)的軌跡叫做 橢 圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的 焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離 叫做橢圓的焦距，記I F1F2 |=2c.(2)、橢圓定義的再認(rèn)識。問題：為什

22、么要滿足2a>2c呢？(1)當(dāng)2a=2c 時(shí)，軌跡是什么？ ( 2)當(dāng)2a<2c時(shí)，軌跡 又是什么？結(jié)論：(1)、當(dāng)2a>尸什2|時(shí)，是橢圓；(2)、當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，是線段；(1)、通過畫圖給學(xué)生 提供一個(gè)動(dòng)手操作、合 作學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)；調(diào)動(dòng)學(xué) 生學(xué)習(xí)的積極性(2)、多媒體演示向?qū)W 生說明橢圓的具體畫 法，更直觀形象。讓學(xué)生通過反思畫圖， 歸納定義，理解定義， 利用動(dòng)畫演示，深刻地 理解橢圓定義條件，突 破了重點(diǎn)。(3)、當(dāng)2a<尸什2|軌跡不存在。3、求一求：（橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)）（教師引導(dǎo)）設(shè)問1：求曲線方程的一般方法樣？ （建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡）設(shè)問2:本題

23、中可以怎樣建立直角坐 標(biāo)系？（讓學(xué)生根據(jù)自已的經(jīng) 驗(yàn)來確定）方案1:（如圖1）以Fi、F2所在的直線為x軸，F(xiàn)1F2 的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系：推 導(dǎo) 橢 圓 方 程方案2:（如圖2）以Fi、F2所在的直線為y軸,FlF2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系讓學(xué)生自己去推導(dǎo)橢 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，給學(xué)生 較多的思考問題的時(shí) 間和空間，變“被動(dòng)” 為“主動(dòng)”，變“灌輸” 為“發(fā)現(xiàn)”。教師結(jié)合 猜想加以引導(dǎo)。圖21(a b 0)說明：a b 0 ； a2 b2 c2股定理c2問題占八、撥通過精心設(shè)問突破了 橢圓方程推導(dǎo)的難點(diǎn)， 深化了學(xué)生的探索活 動(dòng)。允許和鼓勵(lì)學(xué)生提 問，讓學(xué)生從“不問” 到“敢問、善問”是培

24、 養(yǎng)學(xué)習(xí)能力的重要一 環(huán)。圖12222方程：吃1(a b 0)和2三a2b2a2b2請學(xué)生觀察歸納二個(gè)方程的特征，從而區(qū)別焦 點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上的橢圓標(biāo)方程；令 b2 a2 c2 要滲透數(shù)學(xué)對稱美教學(xué)。（要區(qū)別與習(xí)慣思維下的勾 2, 2 .a b ）;4、問一問：問題1 :在探索中得到了橢圓方程：丫晨一了一y2 （!（x c）2 y2 2a但不會(huì)化簡。問題2:化簡后得到的方程好象沒有猜想簡潔、漂亮，與課本上的標(biāo)準(zhǔn)方程也有一點(diǎn)距離。設(shè)問：教師問：化簡含有根號的式子時(shí)，我們通 常有什么方法？學(xué)生回答：可以兩邊平方。教師問：對于本式是直接平方好呢，還是 恰當(dāng)整理后再平方？學(xué)生通過實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)對于這個(gè) 方

25、程，直接平方不利于化簡，而整理后再平方，最 后能得到圓滿的結(jié)果。橢圓方程知識講解5、用一用(講解知識)例1:判斷卜列各橢圓的焦點(diǎn)位置，并說出焦點(diǎn)坐標(biāo)、焦距。2222(1)之上1上134422(3) 3x2 4y2 1(4) x2 y- 14例2:求適合下列條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0),(4,0),橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于10(2)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0, 2),(0,2),并且橢 圓經(jīng)過點(diǎn)(3,5)2 2(1)、掌握橢圓方程中 a,b,c三者之間的關(guān)系 (2)、掌握運(yùn)用橢圓定 義法、待定系數(shù)法求橢 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。運(yùn)用定 義法時(shí)要強(qiáng)化根式化 簡計(jì)算；運(yùn)用待定系

26、數(shù) 法時(shí)強(qiáng)調(diào)“二定”即定 位定量；(3)、培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知 識解決問題的能力。橢圓方程知識運(yùn)用6、練一練(運(yùn)用知識)221、已知F1、F2是橢圓人 L 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過259F1的直線交橢圓于 M N兩點(diǎn)，則 MNF2的周長 為。2、平面內(nèi)兩定點(diǎn)跑離之和等于8, 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到這兩 個(gè)定點(diǎn)的跑離之和等于10,建立適當(dāng)坐標(biāo)系寫出動(dòng) 點(diǎn)的軌跡方程。通過課堂練習(xí)，使學(xué)生 進(jìn)一步鞏固知識，運(yùn)用 知識小結(jié)小結(jié)：(一、二、二、三)1、一個(gè)定義：(橢圓的定義)、2、二類方程：(焦點(diǎn)分別在x軸、y軸的上的兩個(gè) 標(biāo)準(zhǔn)方程)、3、二種方法：(去根號的方法、彳寺定系數(shù)系法)4、三個(gè)意識：(求美意識，求簡意識，猜想意識)歸

27、納小結(jié)，突出重點(diǎn)， 鞏固新知，形成知識網(wǎng) 絡(luò)。作業(yè)布置1、寫出適合卜列條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：(1) a=4,b=1,焦點(diǎn)在 x 軸上。(2) a=4,c=3,2、運(yùn)用橢圓的定義Vx2 6x 13 Jx2 6x 13 103.研究性題：反思畫圖，觀察橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最大 最小的點(diǎn)是哪個(gè)點(diǎn)？并用數(shù)學(xué)方法加以證明。(1)、鞏固知識發(fā)現(xiàn)和 彌補(bǔ)教學(xué)中的不足。(2)、強(qiáng)化學(xué)生的基本 技能的訓(xùn)練，提高學(xué)生 運(yùn)用新知識的熟練程 度五、板書設(shè)計(jì)課題1、橢圓的定義2、肩關(guān)概念3、標(biāo)準(zhǔn)方程(1)、焦點(diǎn)在x軸上(2)、焦點(diǎn)在y軸上橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程 書寫例1:(寫要點(diǎn))例2:(1)詳寫(2)寫關(guān)鍵步驟六、教

28、學(xué)評價(jià)1、這節(jié)課圍繞“認(rèn)識橢圓一畫橢圓一定義橢圓-推導(dǎo)橢圓方程一 橢圓方程知識講解一橢圓方程知識運(yùn)用”這一主線展開。2、教學(xué)中學(xué)生通過觀看動(dòng)畫、動(dòng)手實(shí)踐，自己總結(jié)出橢圓定義， 符合從感性上升為理性的認(rèn)識規(guī)律。3、在整個(gè)教學(xué)過程中，采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、探索討論法等教學(xué)方法, 注重?cái)?shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的滲透。培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勇于創(chuàng)新的精 神。_清華等五校聯(lián)考(華約)自主招生數(shù)學(xué)試卷n N*, n 15.集合A、B都是I 1,2, ,n的真子集，aA B , AU B I.證明:集合A或B中，必有兩個(gè)不同的數(shù)，它們的和為完全平方數(shù)21f x ax bx x(a 0),萬程f x x的兩個(gè)根是x1和X2,

29、且為 0 , x2 x1 一，又0 tXi.試比較f t與Xi的大小.f x max x 1 , x2 5的最小值，并求出相應(yīng)的 x的值.f x是定義在R上的不恒為0的函數(shù)，且對于任意的a,b R,有f ab af b bf a .(1)求f 0 , f 1的值；(2)判定函數(shù)f x的奇偶性，并證明你的結(jié)論；什f 2 n*(3)右f 22, un n N ,求數(shù)列un的前n項(xiàng)和Sn.n，22 ，2,一一一-".-x的方程ax 1 a 1 x , a 1.證明方程的正跟比1小，負(fù)根比 1大.a , b是兩個(gè)正數(shù)，且 a b.當(dāng)x a,b時(shí)，y x2 4x 6的最小值為a ,最大值為b

30、, 求a, b彳t.m2的長方形圍欄，圍欄一邊靠墻 .現(xiàn)有鐵絲網(wǎng)50 m,筑成這樣的圍欄最少要多少鐵絲網(wǎng)？ 已有的墻最多利用多長？最少利用多長？ABCD中，過一個(gè)頂點(diǎn)D作對角線CA的平行線DE ,若CE CA ,且CE交邊DA于點(diǎn)F .求證：AE AF .10.設(shè)ABC的重心為G,外心為O,外接圓半徑為r , OG d , |BC a, |CA b,222_ 22AB c.求證：a b c 9rd11.設(shè)圓滿足：截 y軸所得弦長為 2；被x軸分成兩段弧，其弧長比為 3:1 ,在滿足上述條件的圓中，求圓心到直線x 2y 0的距離最小的圓的方程.A為圓心，以2cos (0-)為半徑的圓外有一點(diǎn) B

31、 .已知AB 2sin，設(shè)過B且與圓A外切于點(diǎn)C的圓的圓心為(1)當(dāng)取某個(gè)值時(shí)，說明點(diǎn)M .M的軌跡P是什么曲線?(2)點(diǎn)M是軌跡P上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是圓A上的動(dòng)點(diǎn)，記MN的最小值為.求f 的取值范圍.，-Snan的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(n, )(n N n)均在函數(shù)y 3x2的圖像上.(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè) bnbn的前n項(xiàng)和，求最小正整數(shù)m，使彳導(dǎo)Tn都成立.an an 1m20對所有n Nf x 2x 4 , Snf(-)nf(-)nf(n), n 1,2,.若不等式n 1a恒成立,Sn1求實(shí)數(shù)a的取值范圍.華約試題解析、選擇題(1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足憶|<1且|Za5解：由|

32、 zB3411 zC23契|z|21 , 5一| 二則憶| 二()z 2D 121 5 |z| ,已經(jīng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)實(shí)數(shù)的方程。2解得|z| 二2(舍去)，(2)在正四棱錐P-ABCD中，M、N分別為PA、PB的中點(diǎn)，且側(cè)面與底面所成二面角的正切為 J2。則異面直線DM與AN所成角的余弦為()A13b16C-8d112分析本題有許多條件，可以用“求解法”，即假設(shè)題中的一部分要素為已知，利用這些條件來確定其余的要素。本題中可假設(shè)底面邊長為已知(不妨設(shè)為2),利用側(cè)面與底面所成二面角可確定其他要素，如正四棱錐的高等。然后我們用兩種方法，一種是建立坐標(biāo)系，另一種是平移其中一條線段與另一條在一起。解法一：

33、如圖，設(shè)底面邊長為2,則由側(cè)面與底面所成二面角的正切為J2得高為J2。如圖建立坐標(biāo)系，則 A(1, -1, 0), B(1, 1, 0), C(-1, 1, 0), D(-1, -1, 0), P(0, 0, M),一 11,211.231. 2132則 M(一, ,), N (, - ,) , DM ( , ,), AN (,-,)。設(shè)所成的角為2222 222222 22DM ANDM -AN解法二：如圖，設(shè)底面邊長為2,則由側(cè)面與底面所成二面角的正切為J2得高為V2 °平移DM與AN在一起。即M移到N, D移到CD的中點(diǎn) Q。于是QN = DM = AN。而FA = PB 1=

34、AB = 2,所以QN = AN = J3 ,而AQ = J5 ,容易算出等腰A AQN的頂角COS ANQ 一。6解法三：也可以平移 AN與DM在一起。即 A移到M, N移到PN的中點(diǎn)Q。以下略。過點(diǎn)（-1,1）的直線l與曲線相切，且（-1,1）不是切點(diǎn)，則直線l的斜率為（）A2 B1 C 1 D 2此題有誤，原題丟了，待重新找找。(4)若 A B232 .2 一則cos A cos B的最小值和最大值分別為（）3 3A1 -1 3B-,- C12 2D1 12D - ,1 22分析首先盡可能化簡結(jié)論中的表達(dá)式2 A cos A2cos B ,沿著兩個(gè)萬向：降次:把三角函數(shù)的平方去掉；去角：

35、原來含兩個(gè)角，去掉一個(gè)。2 A 2-1 cos 2 A 1 cos2B 解：cos A cos B , 1 ,1 萬(cos2 A cos 2 B)1，八 1 cos(A B)cos(A B) 1 5cos(A B),可見答案是 b（5）如黑，已和e仇外切J點(diǎn)C, e O,匕0? 乂都和e。內(nèi)切，同點(diǎn)分別為小乩A cos ft - 0B sin/?-cos= 0C sin2/? + sincr = 0D sin 2/7: 0分析題目中的條件是通過三個(gè)圓來給出的，有點(diǎn)眼花繚亂。我們來轉(zhuǎn)化一下，就可以去掉三個(gè)圓，已知條件變?yōu)椋篈0 Oi O2邊Oi O2上一點(diǎn)C, O Oi、0 02延長線上分別一

36、點(diǎn)A、B,使得 O1A = O1C,O2B = O2C。O1O2 , C 在O1O2 上,00102OO2O1O1AC01cAOiCAO2CB1 00102 ,21 (OO1O2202BC02CB1一00201 ,故 2OO2Q)(O1CA02cB) , sin cos。22解法二：對于選擇填空題，可以用特例法，即可以添加條件或取一些特殊值，在本題中假設(shè)兩個(gè)小圓的半徑相等，則0010200201-101CAO?CB- 001。2(QCA02CB) , sincos一。22(6)已知異面直線a, b成60°角。A為空間一點(diǎn)則過 A與a, b都成45°角的平面(A有且只有一個(gè)B

37、有且只有兩個(gè)C有且只有三個(gè)D有且只有四個(gè)分析已知平面過A,再知道它的方向，就可以確定該平面了。 因?yàn)樯婕暗狡矫娴姆较? 我們考慮它的法線，并且假設(shè) a, b為相交直線也沒關(guān)系。于是原題簡化為：已知兩條相交直線a, b成60°角，求空間中過交點(diǎn)與 a, b都成45°角的直線。答案是 4個(gè)。.31(,-),xa yb zc (1,1)則2231 一已知向重 a (0,1), b ( , ), c22222.一x y z的最小值為()4- 3A1 B -C -D232解：由 xa yb zc (1,1)得由于x2 3(y22z) (y z)2,可以用換元法的思想，看成關(guān)于x, y

38、 +2 y zz, y - z三個(gè)變量，變形V3，代入y z 2(x 1)2 (y z)282 24 入3x24x 3(x -)2一,答案 B (y z)2x 2_2x2 2(x 1)22解法一：焦點(diǎn)F (1AB方程0)y = x T,與拋物線方程y2 = 4x聯(lián)立,0), C (-1,EFDF解：SBDFDES BDEzS bde，S BDEBDABS ABE(1 X)S abe ,S ABEACyS ABC ,S bdf (1 x) yzS abc 2(1 x) yz 。 將A 2 2 B4-2- 54.22.2C D 33解得A 2 2tan ACBkCA2 2二 22 2222一 2

39、u-r= -，kCB2 22kCAkCB1kCAkCBABCD 中，/BAD = 45° ,A解法二：如圖，利用拋物線的定義，將原題轉(zhuǎn)化為：在直角梯形EF/DA EF= 2 , AF = AD, BF = BC,求 / AEB。DGAtanBEFtanAEB2a B2J2),于是2。類似的，有2tanEBC22AEB AEF BEF2 AEF ,tan 2AEF2 J2 ,答案ACBGFAFtanAEFtanEADDEAD如圖，己知的面積為2. ZX E分別為邊抽，邊/C上的點(diǎn),Jly + z-工=1 ,則她W面積的最大值為()的F為線段DEE一點(diǎn)，沒=彳，二戶AB ACAES AB

40、Cy z x 1,變形為y z x 1,暫時(shí)將 x看成常數(shù)，欲使 yz取得最大值必須x 111y z ，于是S bdf （1 x）（x 1）,解這個(gè)一元函數(shù)的極值問題，x 時(shí)223取極大值16 。27（10）將一個(gè)正11邊形用對角線劃分為 9個(gè)三角形，這些對角線在正11邊形內(nèi)兩兩不相 交，則（）A存在某種分法，所分出的三角形都不是銳角三角形 B存在某種分法，所分出的三角形恰有兩個(gè)銳角三角形 C存在某種分法，所分出的三角形至少有3個(gè)銳角三角形D任何一種分法所分出的三角形都恰有1個(gè)銳角三角形解：我們先證明所分出的三角形中至多只有一個(gè)銳角三角形。如圖，假設(shè)AABC是銳角三角形，我們證明另一個(gè)三角形A

41、DEF（不妨設(shè)在AC的另一邊）的（其中的邊EF有可能與AC重合）的/ D 一定是鈍角。事實(shí)上，Z D > /ADC,而四邊形 ABCD是圓內(nèi)接四邊形，所以/ ADC = 180° -/B,所以/ D為鈍角。這樣就排除了 B, CoC卜面證明所分出的三角形中至少有一個(gè)銳角三角形。假設(shè)A ABC中/ B是鈍角，在 AC的另一側(cè)一定還有其他頂點(diǎn)，我們就找在AC的另一側(cè)的相鄰（指有公共邊AC） AACD,則/ D = 180° -/B是銳角，這時(shí)如果或是鈍角，我們用同 樣的方法繼續(xù)找下去，則最后可以找到一個(gè)銳角三角形。所以答案是D。二、解答題(11)已知不足兌珀一篇形.(I)

42、證喟占 tanJ4tan+tanC = tanJ4taiiJ£ftaiiC：CIO 茅 g tan C-1 = 33 +1alic * JI sin 2Af sin 2, sin 2c 的倒數(shù)成等差效列. tan A求cosX_C的值.2解：(I) tanC tan(A B) tan A tan B ,整理得tan A tan B 1tanAtan BtanC tan A tan B tanC(II)由已知 J3tanAtanC tan A tan B tanC，與(I)比較知 tan B J3 B二一。3又 11224sin 2 A sin2C 4sin2A sin2C sin2B .n 273' sin2Asin 2c 73'sin3sin(A C)cos(A C) 13 ，而 sin(A C) sin B ,cos2(A C) cos2( A C) ,32一 一 一 1 一一cos2(A C) cos2B -，代入得 2cos